Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen består av totalt 7 uppgifter som kan ge maximalt 15 poäng. För betyg 3 (godkänt) krävs 6 poäng, för betyg 4 krävs 9 poäng och för betyg 5 krävs 12 poäng. Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. Instruktioner: Rita tydliga figurer och skriv läsligt. Ekvationer från det bifogade formelbladet får utnyttjas i lösningarna om ej annat anges i uppgiften. Glöm ej att kontrollera rimligheten i resultatet och skriv svar. Svar anslås på Mekaniks anslagstavla, ingång 17, C-korridoren. Granskning av tentamen sker på IEI:s studerandeexpedition, ingång 19. Eventuella klagomål skall vara vara skriftliga och examinator tillhanda senast 2008-09-10. 1
1. Är följande utsagor är sanna eller falska (S/F)? Läs utsagorna noggrant (1p) innan du svarar! (a) Fart är en vektoriell storhet. (b) En kropp som rör sig längs en rätlinjig bana med konstant hastighet påverkas av en kraftresultant. (c) Arbete-energiprincipen kan delas upp och användas separat i olika riktningar, t.ex. x, y och z-riktningarna. (d) Vid en stöt mellan två kroppar bevaras rörelsemängden i stötriktningen för varje enskild kropp. (e) Vinkelfrekvensen hos ett dämpat, oscillerande system beror av dämpningen. 2. Utgå från definitionen av arbete och härled energilagen U = T, där (1p) U är arbetet och T är ändringen i kinetisk energi. Tips: Använd kraftlagen F = ma = mdv/dt och definitionen av kinetiska energin. 3. En partikel rör sig i en bana kring en punkt O. Om den resulterande (1p) kraften på partikeln är alltid riktad mot O (dvs. ett centralkraftsproblem), visa att rörelsemängdsmomentet med avseende på O bevaras. 4. Visa med hjälp av friläggning och kraftlagen att banhöjden y = y(x) i (3p) en kastparabel kan skrivas: y = x tan ϕ gx 2 2v 2 0 cos 2 ϕ, där v 0 och ϕ ges i figuren. Försumma luftmotståndet. y v 0 g ϕ x 2
5. a) En massa m hänger i en fjäder som svänger i vertikalplanet kring (3p) infästningen O. a) Ta fram de styrande differentialekvationerna för massans rörelse i termer av r, ṙ, θ och θ, och skriv om dessa ekvationer till ett system av första ordningens differentialekvationer. Fjäderkonstanten är k och fjäderns ospända längd är l 0. b) Ställ upp ett uttryck för systemets totala mekaniska energi. O g θ 6. En hylsa löper friktionsfritt längs en stång som roterar kring sin infäst- (3p) ning i horisontalplanet. Hylsans underkant är fäst till en fjäder med fjäderkonstanten k och ospända längden l 0. Om stången roterar med den konstanta vinkelhastigheten ω = θ och k > mω 2, beräkna a) hylsans position r som funktion av vinkeln θ och b) stångens maximala normalkraft på hylsan. Initiellt är θ = 0 och hylsan befinner sig i vila relativt stången på radien r 0. r g θ 3
7. En initiellt stillastående hylsa med massan 2m får falla fritt längs en (3p) glatt, vertikal stång. Efter fallsträcka h stoppas den fallande massan upp av en annan initiellt stillastående hylsa med massan m som är fäst vid en fjäder med fjäderkonstanten k. Antag att stöten är mycket kort och fullständigt oelastisk (plastisk stöt). a) Visa att farten hos massorna precis efter stöt är v 2 = 2 2gh/3, b) beräkna hur stor del av den mekaniska energin som som förloras under stöten och c) bestäm stötkraftens impuls. Motivera krafter som försummas. 2m g h m k 4
Formelblad till kursen Mekanik-Partikeldynamik för M Kinematik: Hastighet och acceleration Naturliga komponenter n t v = ve t a = ve t + v2 ρ e n Krökningen κ och krökningsradien ρ för en kurva ges av: κ = d2 y dx d2 x 2 dy [ ] 3/2 = 2 [ ] 3/2, ρ = 1/κ 1 + ( dy dx )2 1 + ( dx dy )2 Polära koordinater r θ v = ṙe r + r θe θ a = ( r r θ 2 )e r + (r θ + 2ṙ θ)e θ Kinetik: Kraftlagen F = ma Mekaniska energisatsen U = T + V g + V e där U = 2 1 F dr, T = 1 2 mv2, V g = mgh, V e = 1 2 kx2 5
Impuls och impulsmomentekvationen t2 t 1 F dt = p2 p 1, p = mv t2 t 1 M o dt = h o2 h o1, h o = r mv M o = r F Stöttal Svängningar e = (v 2) n (v 1) n (v 1 ) n (v 2 ) n ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = ω 2 nx 1 + F 01 m sinωt + F 02 m cosωt Lösningen till differentialekvationen ovan kan skrivas x = x h + x p. Homogena lösningen x h ges av: ζ > 1, x h = Ae ωnt( ζ+ ζ 2 1) + Be ωnt( ζ ζ 2 1) ζ = 1, x h = (A + Bt)e ωnt ζ < 1, x h = e ζωnt (Acosω d t + Bsinω d t) = Ce ζωnt sin(ω d t + Ψ) där ω d = ω n 1 ζ 2. Partikulärlösningen x p vid en harmonisk störningskraft beräknas med ansatsen 1 : x p = C 1 + C 2 cosωt + C 3 sinωt 1 om ζ = 0 förutsättes att ω ω n 6