MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 14 januari 11 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst 1 poäng. Om den erhållna poängen benämns S, och den vid tentamen TEN1 erhållna S 1, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs av villkoren S 1, S 1 och S 1 + S 4 godkänd (g) S 1 + S 5 väl godkänd (vg) Betyget VG tilldelas dock även den som vid ordinarie kurstillfälle och vid motsvarande ordinarie tentamina uppfyller att S 1 + S 1 och att alla inlämningsuppgifter har blivit godkända innan den sista lektionen har gått till ända. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Lös ekvationen x ln(x) e = x 5/.. Skissa minst en period av funktionskurvan y 1 = sin(4x/). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.. Förklara och ange definitionsmängden för funktionen f definierad enligt x + 4x + f(x) = x x 1. 4. Bestäm cos(ω) och sin(ω) då tan(ω) = och < ω <. 5. Förklara vad ekvationen 4x(1 x) + 19 = 4y(y + 5) beskriver, och skissa grafen. 15 4 5. Rangordna de tre talen 4 5 5 5 från det största till det minsta. 7 5 5 7. Beräkna arean av det begränsade område som, beskrivet i figuren till höger, precis innesluts av den räta linjen x =, exponentialkurvan y = e x/, och den räta linjen y = ex/. 8. Lös ekvationen 7 = 4 [ sin (x) + cos(x) ]. 9. Bestäm till kurvan γ : 4y = x ekvationen för den tangent τ som är parallell med den räta linjen λ : x = (y + ). Gör även en skiss av kurvan, tangenten, och den räta linjen.
MMA11 Matematisk grundkurs TEN BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 1/11 Tentamen TEN 11-1-14 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 1. ( x = e) ( x = e ) 1p: Korrekt omformulering av ekvationen till en andragradsekvation i variabeln ln(x ), samt korrekt faktorisering av polynomet i variabeln ln(x ) 1p: Korrekt tolkning att den ena faktorn kan vara lika med noll, samt korrekt angivning av motsvarande lösning 1p: Korrekt tolkning att den andra faktorn kan vara lika med noll, samt korrekt angivning av motsvarande lösning Den som genom prövning har hittat den ena och/eller den andra lösningen, utan att utreda ekvationens hela lösningsmängd, får totalt p.. 1p: Korrekt illustrerad fas (sin-kurveform) och amplitud 1p: Korrekt illustrerad vinkelfrekvens (= 4 ), dvs korrekt illustrerad period ( = ) 1p: Korrekt illustrerat läge i y-led Den som korrekt har illustrerat ekvationen y = sin(4x ) (uppkommen genom en felaktig omskrivning av den rätta ekvationen), tilldelas totalt p.. D f = (, ] (, 1] (5, ) 1p: Korrekt angivet villkor för kvoten under rottecknet, och korrekt gjorda faktoriseringar av dess täljare och nämnare 1p: Korrekt utfört teckenstudium och utifrån detta två av totalt tre delintervall korrekt angivna 1p: Utifrån teckenstudium korrekt angivet tredje delintervall 4. cos( ω ) = sin( ω ) = 1 1 1 1 = 1 1p: Korrekt absolutbelopp för den ena av cos(ω ) och sin(ω ) 1p: Korrekt tecken för den av cos(ω ) och sin(ω ) som först har bestämts till absolutbelopp 1p: Korrekt absolutbelopp och tecken för den andre av de två sökta storheterna 5. 5 ( x 1 4) + ( y + 4) =, dvs en cirkel med medelpunkten i 1 5, ) och med radien ( 4 4 1p: Korrekt omskrivning av ekvationen till tolkningsbar form 1p: Korrekt deltolkning: En cirkel med radien 1p: Korrekt deltolkning: Medelpunkten i 1 5, ), samt skiss ( 4 4 1 Den som utifrån ekvationsformen 1 ( x + ) + 1( y ) = 8 felaktigt har tolkat radien som lika med 8 anses ej ha gjort en omskrivning till tolkningsbar form, och tilldelas totalt 1p av de två första möjliga delpoängen. Den som oavsett tolkningsbar ekvationsform felaktigt har tolkat det som i princip är lika med radien i kvadrat som lika med radien får p i delpoängsättning nr. Forts. på nästa sida 1 ()
MMA11 Matematisk grundkurs TEN BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 1/11 Tentamen TEN 11-1-14 Forts. från föregående sida POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter Den som i en omskrivning en av ekvationen felaktigt har fått en hyperbel i stil med ( x a) ( y b) = c och/eller en rät linje ( x a) + ( y b) = c får totalt p på hela sin lösning, detta i synnerhet om någon eller bägge av ekvationerna (grovt felaktigt) har tolkats som ekvationen för en cirkel med medelpunkten ( a, b) och radien c.. 5 5 5 5 15 5 4 5 > 7 > 4 15 5 5 5 5 5 5 5 5 4 = ( ) ( ) = () = ( ) = 5 5 5 5 5 5 5 4 5 = 4 (5 ) = 4 5 = (4 5) = 1 5 5 5 5 5 5 5 7 = (7 ) = 49 = (49 ) = 98 5 5 9 5 7. ( e ) a.e. 1p: Korrekt uppställd integral 1p: Korrekt primitivtagning 1p: Korrekt insättning av gränser och korrekt svar 8. ( x = + n ) ( x = + n ), där n Z 1p: Korrekt omskrivning av ekvationen till formen = cos ( x ) cos( x) + faktorisering i HL:et till 4, och därefter korrekt (cos( x ) ) 1p: Korrekt inkluderat x = + n som lösningar till ekvationen 1p: Korrekt inkluderat x = + n som lösningar till ekvationen Den som till lösningar endast har angivit två representativa grundvinklar, t.ex. ( x = ) ( x = ), dvs inte tagit med n, får totalt 1p av de två poäng som motsvarar slutspecifikationen av lösningsmängden. 1 9. λ : y = 1 x 4 1p: Korrekt bestämt x -koordinaten x för den punkt P i vilken tangenten τ tangerar kurvan γ 1p: Korrekt ekvation för tangenten τ till γ i P 1p: Korrekta skisser av alla de tre kurvorna γ, λ, och τ Den som genom grafisk prövning (och därmed med en viss grad av osäkerhet i bestämningen) har hittat tangeringspunkten, får ingenting av den första poängen. ()