Kapitel 8. Kap.8, Potentialströmning

Relevanta dokument
1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Kapitel 4. Differentialrelationer. Repetition Energiekvationen Vorticitet Strömfunktionen Hastighetspotential Potentialströmning

0 x 1, 0 y 2, 0 z 4. GAUSS DIVERGENSSATS. r r r r. r r k ut ur kroppen

Aerodynamik och kompressibel strömning

Värt att memorera:e-fältet från en punktladdning

Potentialteori Mats Persson

10. Tillämpningar av integraler

BERNOULLIS EKVATION. Friktionsfri strömning, Eulers ekvation på vektorform:

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Differentialrelationer. Repetition Energiekvationen Vorticitet Strömfunktionen Hastighetspotential Potentialströmning

Fysiktävlingen Lösningsförslag. Uppgift 1. Vi får anta att kinetisk energi övergår i lägesenergi, och att tyngdpunkten lyftes 6,5 m.

1 Föreläsning IX, tillämpning av integral

1. Kraftekvationens projektion i plattans normalriktning ger att

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till uppgifter i magnetostatik

Lösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

undanträngda luften vilket motsvarar Flyft kraft skall först användas för att lyfta samma volym helium samt ballongens tyngd.

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri

Bevarandelagar för fluidtransport, dimensionsanalys och skalning (Kapitel 3)

A. Egenskaper hos plana figurer (MTM458)

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

I ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

TATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill

14. Potentialer och fält

ω = θ rörelse i två dimensioner (repetition) y r dt radianer/tidsenhet kaströrelse: a x = 0 a y = -g oberoende rörelse i x- respektive y-led

Tentamen Fysikens Matematiska Metoder, Tilläggskurs, vt 2009, SI (a) Bestäm en reellvärd funktion f(x), 0 x 1, för vilken funktionalen

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 3 (1-48)

MATEMATISK FORMELSAMLING

Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

θ = M mr 2 LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 10 LP 10.1

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

ξ = reaktionsomsättning eller reaktionsmängd, enhet mol.

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

13 Generaliserade dubbelintegraler

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik

Tentamen i Mekanik D, TKYY , kl 14:00-19:00

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL A ( ) ( + + )

TFEI02: Vågfysik. Tentamen : Lösningsförslag

Formelsamling. TFYA16 Mekanik TB. r r. B r. Skalär produkt. Vektorprodukt (kryss produkt) r r r. C r B r Φ A r. En vektor: där Φ är vinkeln mellan A r

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

Laborationsuppgift om Hertzsprung-Russell-diagrammet

Tryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

forts. Kapitel A: Komplexa tal

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

3. Analytiska funktioner.

Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 29 augusti, 2008, kl

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

Harmoniska funktioner

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Tor 25 sep 2014, kl 13:15-17:15

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

Datum: xxxxxx. Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Denna. Uppgift Låt u och w. Uppgift 2x. Uppgift.

Diskreta stokastiska variabler

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

FINALTÄVLING. 24 april 1999 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

Bevarandelagar för fluidtransport, dimensionsanalys och skalning (Kapitel 3)

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

TNA004 Analys II Sixten Nilsson. FÖ 1 Kap Inledning

Lösningar till repetitionstentamen i EF för π3 och F3

TYP-TENTAMEN I TURBOMASKINERNAS TEORI

Tavelpresentation grupp 5E

Där a mol av ämnet A reagerar med b mol av B och bildar c mol av C och d mol av D.

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

2. För ljudvågor i en gas, innesluten i ett sfärisk skal, gäller vågekvationen. u tt = c 2 u

Matlab: Inlämningsuppgift 2

1. Det totala tryckfallet från pumpens utlopp, via rörledningen och alla komponenterna tillbaks till pumpens inlopp ges av. p = d

Innehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1

i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning?

LEONARDO DA VINCI ( )

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

v = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C.

Transkript:

Kpitel 8 Kp.8, Voticitet (epetition) Hstighetspotentil Stömfunktionen Supeposition Cikultion -dimensionell kopp Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Komple potentil Rottionssmmetisk potentilstömning

Rottion v ett fluidelement Kpitel 4 Vinkelhstighet: dt d dt d z β α ω 1 Små vinkl ge: dt u d ddt v d 1 α dt v d ddt u d 1 β d d t d v d Δ t d u d Δ t d u Δ t d v Δ dα dβ

Kpitel 4 u dδt Rottion v ett fluidelement Låt dα v dt 0 dt dβ u dt Note tt i D-fllet ä ω ω 0 v d dδt 1 v u Vinkelhstigheten ωz 1 w v På smm sätt: ω 1 u w ω z z 1 1 ϖ ot ( V ) ( V ) Voticitet: ζ ω d dβ d dα u d dδt Stömningen klls ottionsfi om 0 ζ v dδt

Kpitel 8 Fiktionsfi stömning: V ρ Dt D ρg p μ V μ 0 DV ρ Dt ρg p Eules ekvtion Ge Benoullis ekvtion om den integes längs stömlinje, se sid. 59 w w u Rottionsfi stömning:,, 0 V v z u z v

Kpitel 8 Fiktionsfi och ottionsfi stömning: Om stömningen ä ottionsfi V φ,, z, t ( ) 0 kn hstighetspotentilen definies V ( u v, w) φ,, V φ φ φ φ u φ, v φ w φ z z Kontinuitet: φ φ φ φ z 0 Impuls: φ ρ t p ρv ρgz konstnt

Kpitel 8 Stömfunktionen: ψ ψ 0 Hstighetskomponeten kn nu skivs som u v Jämfö med 0 u ψ ψ v Fiktionsfi och ottionsfi stömning, : Fö D-stömning: u ψ ψ v φ φ Stömlinje och potentillinje lltid vinkelät mot vnd

Kpitel 8 Fiktionsfi och ottionsfi stömning: Fö D-stömning: ψ u ψ v φ φ Stömlinje och potentillinje lltid vinkelät mot vnd Fiktionsfi och ottionsfi stömning klls potentilstömning

Kpitel 8 : Veklighet :

Kpitel 8 : Elementfll vilk kn kombines fö tt skp nd stömning: 1. Pllellstömning: ψ U U sinθ φ U U cosθ ψ φ u U ψ φ v 0 φ U ψ

Kpitel 8 :. Linjekäll/sänk: ψ mθ φ mln Stkn m Q πb Q b Volmflödet Utstäckning nomlt mot plnet v v θ φ 1 ψ m θ 1 φ ψ 0 θ

Kpitel 8 : 3. Linjevivel: ψ K ln φ Kθ vivelstkn v v θ φ 1 ψ 0 θ 1 φ ψ θ K

Kpitel 8 Supepostion: Gfisk metod Eempel: linjesänk linjevivel i oigo. Föbind punkte dä ψ s ψ v konstnt

Kpitel 8 : Supeposition v elementfll, eempel: Pllellstömning käll Rnkinehlvkopp ψ U sinθ mθ φ U cosθ mln

Kpitel 8 Käll i (,)(-,0) Sänk i (,)(,0) ψ ψ s k ψ ψ θ mctn θ mctn m k m s ( θ ) k ψ s m k θs tnθ k tnθs θ k k s θ s m k m s

Kpitel 8 ( ) ctn m m s k s k θ θ ψ ψ ψ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ctn ctn 1 ctn tn tn 1 tn tn ctn tn tn 1 tn tn tn s k s k s k θ θ θ θ θ θ β α β α β α

Kpitel 8 Käll sänk i oigo: Dubblett ψ d lim 0 mctn m λ m ψ d φ λ λ λ sinθ λ cosθ

Kpitel 8 Pllellstömning Käll i (,)(-,0) Sänk i (,)(,0) Rnkine-ovl ψ ψ ψ ψ U sinθ m θ p k s Ovlen bilds v stömlinjen ψ 0 ( θk s ) U mctn k s θ k θ s m k m s L

Kpitel 8 Rnkine-ovl: 4 4 4 m U u ψ Hstighet i -led Stgntionspunkte i (,)(±L,0) 0 4 4 L m U L L L m U U m L ± U m L 1 ± U m h h cot ( ) 1 1 m h U m U u

Kpitel 8 Clinde: Låt nu 0 h 1 u L m U dvs. cikulä clinde Pllellstömning dubblett ψ d U φ U λ λ λ sinθ U sinθ U cosθ λ cosθ

Kpitel 8 Kelvin-ovl: Pllellstömning vivelp i ± ψ U 1 K ln ( ) ( )

Kpitel 8 Cikulä clinde med cikultion Pllellstömning dubblettlinjevivel Men låt oss föst infö cikultionen

Kpitel 8 C Cikultion Γ ( ud vd wdz) V cosαds V ds C C C ds V Fö ottionsfi stömning gälle: V φ φ φ φ V ds φ ds d d dz z dφ ds α V Γ C dφ φ 1 φ1 0 OBS! Γ 0 om C ä en sluten kuv gälle ej om C inneslute en linjevivels centum

Kpitel 8 C Fö linjevivel gälle: v v θ 0 K Γ C V ds π 0 K dθ πk ds V Cikulä clinde med cikultion Pllellstömning dubblettlinjevivel

Cikulä clinde med cikultion Kpitel 8 λ sinθ ψ U sinθ K ln C Låt clinden bilds v stömlinjen ψ 0 λ U Dett uppnås genom tt sätt dä ä clindedien C1 K ln Pllellstömning dubblettlinjevivel 1 ψ U sin θ K ln

Cikulä clinde med cikultion Kpitel 8 v v θ 1 ψ U θ ψ U cosθ 1 sinθ 1 K Då clinden ote komme hstigheten tt v olik på ovn- och undesid. Dett ge upphov till en tckskillnd som i sin tu ge en lftkft, dett klls Mgnuseffekten

Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Hstighet på clindetn: Benoulli ge nu: Lös ut ttcket v Kpitel 8 0 vθ U sinθ K ρu ρ p ps U sinθ p s ρu K K p 1 4sin θ 4 sinθ U U K v θ θ Motståndskften kn skivs som π D s 0 ( p p ) cosθ bdθ

Kutt-Joukovskis lftkftsteoem π D s 0 Infö ( p p ) cosθ bdθ β π K U Kpitel 8 ρu ( D b 1 4sin θ 4β sinθ β ) cosθ dθ 0 n t cosθ sin θ dθ 0 0 D Alembets pdo: Motståndskften på ll kopp i en inviskös stömning ä noll v θ π 0 θ

Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Lftkften L π 0 ρu sinθ dθ πρu π L s 0 b 0 π Kpitel 8 ( p p ) sinθ bdθ ( 3 sinθ 4sin θ 4β sin θ β sinθ ) dθ 0 π 0 K b U sin L ρu bβ sin π 0 3 ρu θ dθ 0 θ dθ ρu bβ ( πk ) b ρuγb 1 v θ θ cosθ sinθ π 0 θ

Kutt-Joukovskis lftkftsteoem Kpitel 8

Komment till eempel 8.3 Kpitel 8 OBS! Dt i fig 8.15 gälle fö Re3800, i eemplet ä Re60000. Re3800; C L 1.44; C D 0.9 Re60000; C L 0.91; C D 0.7

Kpitel 8 Flettne-oto Union Rotoplne, 1931. Skeppet Bucku, bggd i Hmbug 190, clind, L18.5m, D.8 m. Hstighet 5-6 knop

Komple potentil Komple hstighet: Någ eempel: Pllellstömning Linjekäll Linjevivel f f Kpitel 8 ( z) φ (, ) iψ ( ) f, df dz φ ψ φ ψ i i i iα f ( z) Uze ( z) m ( z ) ln z 0 ( z) ik ( z ) ln z 0 u iv

Kpitel 8 Komple potentil Konfom vbildning f Clinde med cikultion iα ( z) Uze mln( z z ) ik ( z z ) 0 ln 0 Joukovski-vinge ζ z 1 z

Kpitel 8 Hönstömning n n inθ n n ( ζ ) Aζ A e A cosθ ia sinθ f π β n n vgö hönvinkeln

Kpitel 8 Hönstömning f iα ( z) Uze med U 1 α 0 Avbildning: z Aζ n n n inθ n n ( ζ ) Aζ A e A cosθ ia sinθ f

Kpitel 8 Spegling Används fö tt genee vägg.

Kpitel 8 Rottionssmmetisk potentilstömning 1. Pllellstömning: 1 ψ U sin θ φ U cosθ v v θ U cosθ U sinθ. Punktkäll/sänk: ψ mcosθ m φ v v θ Q 4π 0 m 3. Punktdubblett: λ sin θ ψ λ cosθ φ Note tt det inte finns någon motsvighet till linjevivel.

Kpitel 8 Rottionssmmetisk potentilstömning, se även sid. 563-567 Supeposition gälle som tidige. Pllellstömning käll i (,)(-,0) sänk i (,)(,0) Rnkine-ovoid Pllellstömning dubblett sfä 3 1 λ ψ U sin θ sin θ v U cosθ 1 3 v θ 3 1 U sinθ 3

Kpitel 8 Hdodnmisk mss (hdodnmic mss, dded mss, vitul mss) Nä en kopp ccelees, måste även den omkingliggnde fluiden ccelees. Koppen komme tt upplevs som tnge. ΣF Unde ntgnde om potentilstömning: du ( m m ) dt h KE 1 1 U fluid dmvel mh

Eempel, Sfä: KE Kpitel 8 Hdodnmisk mss 1 1 U fluid dmvel mh v U 3 U 3 cosθ v θ 3 3 V v v el θ sinθ dm ρ ( π sinθ ) ddθ Intege: KE fluid ρπ 3 3 U m h 3 3 ρπ Clinde: m h ρπ L