Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik Detta är ett urval övningar på baskunskaper i matematik för repetition av några delar av gymnasiekurserna. En del övningar kan tyckas annorlunda än något du sett förut, men de bör kunna lösas utan nya matematiska begrepp eller mer avancerade metoder. Ett undantag kan vara uppgifterna om cirklar och ellipser, som kanske inte alla har stött på. Uppgifterna ska lösas utan miniräknare. Förhoppningen är att dessa övningar ska hjälpa dig att komma igång och börja räkna och tänka på problemlösning redan innan kurserna kör igång nästa vecka. Arbeta gärna i par eller små grupper och diskutera hur ni tänker! Uppgifter Dag.. (a) Bestäm primtalsfaktoriseringen av talen 600, 3850 och 847. (b) Vilken är den största gemensamma delaren till talen 600 och 3850? (c) Vad är den minsta gemensamma multipeln av talen 3850 och 847? (Det räcker att ange multipelns primtalsfaktorisering.) Anm. En multipel av t.e. talet 600 kan skrivas som 600 n där n är ett heltal. Att bestämma den minsta gemensamma multipeln av två heltal a och b är detsamma som att bestämma minsta gemensamma nämnare för bråken a och b... Beräkna (a) 35/7 + 7 3 3, (b) (7 8 6 6)/(3 5 5) (3 8 6 4)/(6 7 5)..3. Beräkna (a) 3 70 8, (b) 5 + 0 + 5..4. Ange ett tal mellan,0 och,0..5. Vilket är störst, 300 30.6. Beräkna ( 3 8 )/( 6 3 + ). 5.7. Bestäm y/z om /y = 4/3 och /z = 9/7..8. Beräkna och skriv så enkelt som möjligt 30 eller? (Denna uppgift kan lösas med mycket enkel beräkning.) 30 om = 3..9. Beräkna värdet av a b b a om a = /4 och b = /..0. Skriv + + 3 som ett bråk.
.. Förenkla (a) 5 + 8 + 3 + 7, (b).. Utveckla uttrycken. (a) ( + 3y), (b) (5 ), (c) ( 4y 3 ), (d) ( )( + ), (e) ( + 3)( 3)(4 4 + 9)..3. Faktorisera uttrycken. (a) + 4 + 4, (b) 3 + 4 + 4, (c) z w, (d) 4b 6a, (e) y 6 y 3, (f) y 3 + 4 4 y 4 3 y..4. Skriv ( + 3) som en produkt av två faktorer..5. Förenkla (a) 8 y + y 3 4y, (b) + y + y, (c) y + y + y, (d) + y + y..6. Lös ut R ur sambandet R = R + R. (R är den totala resistansen motsvarande två parallell-kopplade resistanser R och R.) Uppgifter Dag.. Förenkla (a) 05 0 4 0, (b) (4 4 4 ) 4 ( 6 ) 3... Ordna talen 3, 8 7, 3 5 och 5 3 i storleksordning..3. Skriv (t t m ) 5 som en potens av t..4. Skriv ( ) 3 / 3 som en potens av..5. Ordna talen 4, 3 8, 4 5 och 5 6 i storleksordning..6. Förenkla (a) ( ), (b) 9, (c) 3, (d) ( 3)..7. Förenkla (a) 9 3/, (b) 6 3/4, (c) 8 7/3.
.8. Förenkla (a) 9 + 9 + ( ). 49, (b) + 7.9. Vilket av talen och 3 3 är störst?.0. Stämmer det att 5 + 6 = 3 +?.. Skriv om utan rottecken i nämnaren 3 + (a), (b), (c) 3 a + b + a... Förenkla uttrycken (a) + +, (b) +, (c) +..3. Kom ihåg att a b = ab gäller då a > 0 och b > 0. (a) Övertygade dig om följande regel: När a < 0 och b < 0 så gäller a b = ab. Ge ett eempel med några värden på a och b. (b) För vilka a och b gäller a b = ab? Ge ett eempel. (c) För vilka a och b gäller a b = ab? Ge ett eempel. (Denna är klurig.) Uppgifter Dag 3 3.. Skissa graferna till funktionerna i samma koordinatsystem. f() =, g() =, h() = 3, k() = 4. 3.. Låt g() vara som ovan. Bestäm g(z), g() och g( ). 3.3. Skissa graferna till funktionerna. f() = +, g() =, h() =. 3.4. Låt f() och h() vara som ovan. Bestäm f(0), h(0), f( + δ) och h( + δ). 3.5. Skissa graferna till funktionerna. f() =, g() =, h() =, k() = + 4, l() = ( 3). 3.6. Låt f() och l() vara som ovan. Bestäm f( 3), l( + 3) och f(z ). Fortsätt nu med uppgifterna om andragradskurvor och funktionskurvor på bifogade blad. Men uppgift 5.6 och teten på samma sida är mer avancerat och kan hoppas över. 3
4
Svar Dag.. (a) 600 = 3 3 5, 3850 = 5 7, 847 = 7. (b) 5 = 50 (c) 5 7.. (a) 9 (b).3. (a) 3 0 (b) 47 300.4. T.e.,00 eller,005 (detta tal ligger mittemellan) eller,0000. 30.5. 30 ( 30 300 30 är endast en trehundraandradel mindre än, medan 30 är en trehundraförstadel mindre än. Alternativt kan man tänka att förhållandet mellan 30 och 30 är lite större än mellan 300 och 30.).6. 5 64.7. y/z = 7/8.8. 3 8.9. 3.0. 7 0.. (a) 0 + ( ) (b) + ( ).. (a) + 6y + 9y, (b) 5 0 + 4, (c) 4 8 y 3 + 6y 6 (d) 4, (e) 6 8 8..3. (a) ( + ), (b) ( + ), (c) (z + w)(z w), (d) 4(b + a)(b a), (e) y( 3 + y)( 3 y), (f) y( y)..4. 3( + 3).5. (a) +3y (, y 0), (b) ( y), (c) y +y ( y), (d) y (, y 0, y)..6. R = R R R +R Svar Dag.. (a) 0 3 (b) 4 7 eller 34... 8 7 < 3 < 3 5 < 5 3.3. t 5(m+) = t 5m+5.4..5. 5 6 < 4 < 3 8 < 4 5 Tips: Skriv om 4-potensen i bas. Använd sedan att alla eponenter är delbara med 6. 5
.6. (a) (b) 3 (c) 3 (d) 3.7. (a) 7 (b) 8 (c) 8.8. (a) 5 (b) 75.9. 3 3 är större än (eftersom ( 3 3) 6 = 3 = 9 och ( ) 6 = 3 = 8)..0. Ja, eftersom det är två positiva tal och kvadraten av de båda talen är lika... (a) (b) + 3 (c).. (a), (b) a+b a b (c).3. (a) Då a < 0 och b < 0 så är ( a) och ( b) positiva tal och därmed gäller det att a b = ( a)( b) men detta är ju precis ab. Eempel: a = och b = 3 ger ( ) ( 3) = ( ) ( 3). (b) Detta gäller om a 0 och b 0. Eempel: a = och b = 3 ger ( ) 3 = ( ) 3. (c) Detta gäller endast om minst det ena av talen a och b är 0 och det andra talet är negativt. Eempel: a = 0 och b = 3 ger 0 ( 3) = 0 ( 3). Svar Dag 3 (till vissa uppgifter) 3.. g(z) = z, g() = 4, g( ) =. 3.4. f(0) =, h(0) =, f( + δ) = δ, h( + δ) =. 3.6. f( 3) = ( 3), l( + 3) =, f(z ) = z 4. 5.5. (a) Cirkel med radie 3 och centrum i origo. (b) Cirkel radie och med centrum i (, 0). (c) Cirkel med radie och centrum i (, ). (d) Ellips med halvalar och och centrum i origo. (e) Ellips med halvalar och 5 och centrum i (, ). (f) Två parabler med verte i origo, > 0 och -aeln som symmetrilinje. (g) En parabel med verte i (0, ), > 0 och y = som symmetrilinje. (h) Två parabler med verte i origo, den ena med y > 0 och den andra med y < 0 och y-aeln som symmetrilinje. 5.6. (a) Cirkel med radie och centrum i (, ). (b) Cirkel radie 5 och med centrum i (, 3 ). (c) Ellips med halvalar 3 och och centrum i (, ). (d) En parabel med verte i (0, ), > 0 och y = som symmetrilinje. Facit till 5.3 Funktionskurvor finns på det bladet. 6