TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om en integrl konvergerr eller divergerr. Inte lik mycket på vd det ekt värdet blir. Låt oss börj med tt definier vd vi menr med en generliserd integrl. Definition. Låt f vr kontinuerlig på ], b[. En integrl f() d säges vr generliserd i om = eller om f() är obegränsd då +, smt generliserd i b om b = eller om f() är obegränsd då b. Vi säger helt enkelt tt en integrl är generliserd i en punkt om det uppstår problem med begränsningen i punkten. Noter tt krvet på tt f är kontinuerlig på ], b[ är strkre än nödvändigt. Vi skulle kunn nöj oss med tt kräv tt f är Riemnnintegrbel på ], b[ (eller mer korrekt på ll slutn delintervll v ], b[). Integrlen integrlen ˆ 7 ˆ2 Eempel d är inte generliserd, integrlen d är generliserd i både och i. d är generliserd i + och + 2 Så hur menr vi då tt vi sk hnter generliserde integrler? Definition. Om f är kontinuerlig på ], b[ så definierr vi den generliserde integrlen enligt f() d = lim s + ˆ c s f() d + lim t b om båd gränsvärden eisterr ändligt (oberoende v vrndr). ˆ t c f() d, där < c < b, john.thim@liu.se
Mn kn gnsk enkelt vis tt vlet v c inte påverkr resulttet (vrför?). Vi tr med båd potentiellt generliserde punktern på en gång, men i fllet tt integrlen inte är generliserd smmnfller gränsvärdet med den klssisk definitionen på Riemnnintegrlen. Dett ligger också till grund för följnde sts. Sts. Om g() d eisterr (som ändlig gränsvärden) så gäller för konstnter c och c 2 tt f() d och Linjäritet ( c f() + c 2 g() ) d = c f() d + c 2 g() d. När vi säger tt en generliserd integrl eisterr nvänder vi iblnd begreppet konvergent. Definition. Om den generliserde integrlen eisterr kllr vi den för konvergent. I de fll där något v gränsvärden inte eisterr kllr vi integrlen för divergent. Värt tt noter är tt en vnlig Riemnn-integrl v en Riemnnintegrbel funktion på ett intervll [, b] självklrt är konvergent. Undersök om (den generliserde) integrlen Eempel d är konvergent. Lösning. Vi börjr med tt skiss den re vi kn tolk integrlen som. y y = b 2
Integrlen är generliserd i både = och i. Vi behöver lltså gör två undersökningr. Vi börjr med och väljer c = : ˆ d = [ 2 ] = 2 2 2, då +. Mot = går det lltså tt definier integrlen. Vd händer i b =? Vi undersöker: Alltså divergerr d = [ 2 ] b = 2 b 2, då b. d och då är även hel integrlen i frågn divergent. Det räcker lltså i det här fllet tt undersök den ndr biten eftersom den är divergent. Hr mn en ning om tt något är divergent bör mn börj med den delen. Undersök om cos d är konvergent. Eempel Lösning. Vi vet hur cosinus ser ut och det är endst i b = integrlen är generliserd. Utn tt tänk så mycket kn vi direkt från definitionen test: cos d = [sin ] b = sin b?, då b. Gränsvärdet skns lltså i dett fll i stället för tt bli oändligt stort. Integrlen divergerr ändå. Mer villkorlig konvergens; symmetri Här kn mn knske funder lite över hur ren är fördeld. Cosinus är en periodisk funktion som befinner sig lik mycket ovnför -eln som under, borde då inte den positiv och negtiv ren t ut vrndr och integrlen bli noll? Svret är mj.. Enligt definitionen ovn så är integrlen divergent. Ing tveksmheter lls. Divergent. Vill vi tt svret sk bli noll (pg v re-rgumentet) måste vi definier begreppet konvergent integrl på något nnt sätt. Dett kn görs och mn prtr då om (ännu mer) villkorligt konvergent integrler. Cuchys principlvärde är ett eempel som nvänds på intervll symmetrisk kring = : ˆ (ˆ ɛ ˆ ) p.v. f()d = lim f() d + f() d. ɛ + Dett gränsvärde kn eister även då integrlen inte är konvergent som vi definiert det tidigre. Betrkt eempelvis f() = / för. ɛ För tt t bort dess vrter v möjlig konvergens introducerr vi begreppet bsolutkonvergens. 3
Definition. Om f() d < kllr vi Absolutkonvergens f() d för bsolutkonvergent. Fler sker bör kommenters ngående denn definition. Vi summerr lite viktig fkt. (i) Om (ii) Om f() d < så är f() d konvergent. f() d är bsolutkonvergent gäller f() d f() d. (iii) Om f() för < < b så eisterr lltid gränsvärden lim och lim t b ˆ t c f() d om vi tillåter resulttet. (iv) Speciellt gäller föregående för f(). s + ˆ c s f() d Vi överlämnr till boken tt bevis påståenden Definition. Om f och f() d är divergent skriver vi f() d =. Dett betyder inte tt integrlen är konvergent, utn br ett kortre sätt tt nge tt integrlen v en icke-negtiv funktion divergerr. Vi kn inte skriv på dett sätt om inte f() (tänk till eempel på eemplet med f() = cos vi såg tidigre). Vis tt sin d är konvergent. Eempel Lösning. Tricket är tt prtilintegrer: sin d = [ cos ] b Integrlen i högerledet är bsolutkonvergent eftersom cos d 2 cos 2 d. [ d = ] b = 2 b 4
då b. Alltså är integrlen vi strtde med konvergent eftersom cos b cos cos b då b. Mn kn också vis tt integrlen inte är bsolutkonvergent (mn blir då tvungen tt nlyser lite noggrnnre hur sin ser ut för < < ). Tekniken som nvänds ovn för tt konstter tt cos är bsolutkonvergent är en mycket nvändbr jämförelseprincip. Låt oss formuler den mer generellt. 2 Sts. Om f() g() för < < b så gäller tt: (i) g() d konvergent f() d konvergent. f() d g() d. Speciellt gäller (ii) f() d divergent g() d divergent. Är ln 3 d konvergent? Eempel Lösning. Vi vet från grundkursen tt ln för >, så ln är också snt för >. Således måste ˆ ln d 3 d < 2 eftersom d = då b. Vi hr nu enligt jämförelsestsen ovn vist tt 2 b integrlen i fråg är konvergent. Avgör om ˆ 3 d är konvergent. + 22 Lösning. Vi ser tt för : eftersom + 2. Då vi vet tt följer det v föregående sts tt kompkt (och slrvigt) som Eempel 3 + 2 = 3 = 2 + 2 ˆ ˆ ˆ 3 + 2 3 d är konvergent och ˆ ˆ 3 d = 3 d så 3 d är konvergent. Oft skriver vi dett lite mer + 22 3 ˆ + 2 d 3 d < 2 5
ˆ eftersom vi vet tt d <. Vi jämför oft med uttryck v formen α, så följnde eempel är br tt komm ihåg. Följnde påståenden gäller: Vnlig jämförelsefunktioner (i) (ii) ˆ d < om och endst om α < ; α d < om och endst om α >. α Beviset v påståenden ovn hndlr br om tt räkn ut integrlern. Vi ser tt om α : ˆ [ ] α d = = α α α α α α då om och endst om α <. Om α > blir den ndr termen oändlig. Vd händer då när α =? Vi undersöker: ˆ d = [ln ] = ln då +. Integrlenˆär lltså inte konvergent i dett fll. Fllen för d hnters på smm sätt. Kortfttt ser vi tt α [ ] α b d = = b α α α α α om och endst om α >. Om α = blir det en logritm nlogt med ovn: d = [ln ]b = ln b då b. Integrlen 3 + 2 d är divergent eftersom 3 ˆ + 2 d = Eempel Olikheten följer från tt + 2/ 3 då. ˆ 3 d ( + 2/ ) d =. Mn kn även nöj sig med tt undersök hur funktionern beter sig loklt kring de generliserde punktern. Mer precist kn vi gör följnde. 6
Sts. Låt f och g vr kontinuerlig funktioner sådn tt: (i) f() och g(), eller f() och g(), på ], b[; (ii) f() d och (iii) < lim b f() g() <. Då gäller tt g() d är generliserde endst i = b; f() d är konvergent g() d är konvergent. Det fktum tt gränsvärdet eisterr (möjligen lik med ) följer för tt det är icke-negtiv funktioner vi rbetr med (eller mer korrekt tt funktionern inte välr tecken). Att vi kräver tt gränsvärdet för kvoten f/g ligger strikt melln och innebär tt f och g beter sig ungefär likdnt när vi närmr oss b. Då förefller det rimligt tt båd integrlern ender konvergerr eller divergerr. Ett noggrnnre bevis återfinnes i boken. På smm sätt kn vi gör om integrlern endst är generliserde i =. Om så är fllet och f() < lim + g() < så är ender båd integrlern konvergent eller divergent. Avgör om Eempel ( ) e / sin d är konvergent. Lösning. Eftersom > vet vi tt e / > så den först fktorn i integrnden är negtiv medn för stor kommer sin tt vr positiv. Vi Mclurinutvecklr (i vribeln t = / respektive s = / ) och ser tt Vi jämför med ( e / ) sin = 3/2 stsen ovn) och ser tt ( e / ) sin ( + O ( 2 )) ( = + O ( ) 2. ( + O som är negtiv (men så länge f och g hr smm tecken går llt br i / 3/2 = + O 7 ( ), då ))
och således konvergerr integrlen i fråg om och endst om d konvergerr. Svret är 3/2 lltså konvergent eftersom den sist integrlen är känt konvergent (se jämförelsefunktionern ovn). Avgör om ˆ ln( + ) d är konvergent. Eempel Lösning. Eftersom > vet vi tt ln( + ) > så integrnden är positiv. Integrlen är generliserd i = så vi Mclurinutvecklr för tt se hur beteendet ser ut: ln( + ) + O() = = ( ) + O. Det dominernde beteendet ges lltså v / så vi jämför med denn funktion: ln( + ) = + O( ), då +. Således är integrlen i fråg konvergent om och endst om denn integrl är divergent så ˆ ln( + ) ˆ d är divergent. Ett lite svårre eempel? Här kommer en gmml uppgift-5 från en tent. d är konvergent. Vi vet tt Konvergerr integrlen Eempel ( ) sin rctn d? Motiver noggrnt. ln( + ) Lösning. Eftersom integrlen är generliserd både i och så delr vi upp i två delr: ( ) ( ) ˆ sin rctn sin rctn d + ln( + ) d. ln( + ) Vi börjr med tt undersök integrlen på [, ]. För ], ] gäller tt ( ) sin rctn ln( + ) rctn ln( + ). Nu vet vi tt rctn och ln( + ) då, så rctn lim + ln( + ) =. 8
Låt därför g() = och f() = g() rctn för >. Då är f, g ln( + ) för > och både f och g är kontinuerlig för >. Vidre visde vi ovn tt f() g() ], [ då +, så enligt jämförelsestsen på gränsvärdesform följer det tt ( ) ˆ sin rctn d ln( + ) kommer vr bsolutkonvergent eftersom vi vet tt ˆ d <. Vi undersöker nu integrlen på [, [. Vi skriver ( ) ( sin rctn f() = + O ( ) ) rctn = 3/2 ln( + ) ln( + ) ( ( )) = + O rctn ln( + ) 3/2 så vi låter g() = 3/2 för >. Då gäller tt ln( + ) ( ( )) f() g() = + O rctn π, då. 3/2 2 Eftersom f och g är kontinuerlig och icke-negtiv på ], [ smt tt gränsvärdet mot för f/g är π 2 ], [ så följer det från jämförelsestsen på gränsvärdesform tt f() d är konvergent om och endst om g() d är konvergent. Vi undersöker denn integrl: 3/2 ln( + ) d d ln 2 3/2 eftersom ln( + ) ln 2 för. Den sist integrlen är känd som konvergent (α = 3/2 är större än ). Svr. Konvergent! Uppgifter v typen ovn brukr vr tråkig läsning vid rättning. Det är missuppfttningr om vd som är förutsättningr och följder, slrv med tt preciser tt krv är uppfylld smt missförstånd om vd jämförelsestsern egentligen säger. Ett förslg på lösningsgång när det gäller jämförelsestsen på gränsvärdesform följer. 9
. Del upp integrlen så tt vrje delintegrl är generliserd i högst en punkt. Betrkt sedn en integrl i tget. 2. Antg tt f() d endst är generliserd i =. Identifier hur integrnden beter sig när = (den punkt integrlen är generliserd i). Använd Mclurinutvecklingr, uppskttningr eller gissningr. Vi sk vis i näst steg tt vlet är vettigt. 3. Konstter tt f() inte håller på tt väl tecken när =. 4. Antg tt vi tycker f() beter sig som g() när. Typiskt här är tt vi skriver f() = f() f() g(). Vi visr sen tt om lim = L så sk < L < gäll g() + g() (om f() är positiv när = ). Blir L = hr vi vlt g() så tt g() väer betydligt snbbre än f(). Får vi L = så väer g() lldeles för långsmt. Det är lltså viktigt tt konstter tt < L <. 5. Avgör konvergens för I = g() d. Om integrlen blir för komplicerd knske det finns bättre vl för g(). Konstter om integrlen är konvergent eller divergent. 6. Hänvis till jämförelsestsen på gränsvärdesform och dr slutstsen tt konvergent precis då Förslg på lösningsgång g() d är konvergent (vilket vi precis undersökte). f() d är