Tensoranalys. Anders Ramgard. Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson. x 3. e 1. e 2. x 2 x 1. e 3

Tensoranalys Anders Ramgard Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson x 3 n e 2 e 1 x 2 x 1 e 3 Matematisk fysik, Institutionen för fysik Kungliga Tekniska Högskolan tockholm 2004

Typsatt i L A TEX kriven av Anders Ramgard, 1976. Reviderad och redigerad av Tommy Ohlsson, 1998. Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson, 2004. Uppgifterna och lösningarna är redigerade av Mattias Blennow, 2004. c Matematisk fysik, KTH, 2004 Tryckt i verige av Universitetsservice U AB, tockholm, 2004.

Kapitel 1 Kartesiska tensorer 1.1 Transformation av koordinater och vektorkomponenter vid byte av kartesiskt koordinatsystem Låt K(x 1, x 2, x 3 ) och K (x 1, x 2, x 3 ) vara två kartesiska koordinatsystem. Ortsvektorn till en godtycklig punkt P kan refereras till K eller K (se figur 1.1): r P = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = x 1e 1 + x 2e 2 + x 3e 3, (1.1) där e betecknar de vanliga basvektorerna. x 3 x 3 P x 2 x 2 x 1 x 1 Figur 1.1: i kan referera till punkten P med hjälp av koordinater i K eller koordinater i K. 1

2 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER Om vi skalärmultiplicerar ekvation (1.1) med e i, där i = 1, 2, 3, så får vi x i = x 1(e i e 1) + x 2 (e i e 2) + x 3 (e i e 3). (1.2) i inför nu transformationskoefficienterna a ij e i e j = cos[e i,e j], (1.3) där [e i,e j] är vinkeln mellan basvektorerna e i och e j, samt två konventioner: 1. Ett ensamt index skall anta värdena 1, 2, 3. 2. Om ett index förekommer på två ställen i samma term, så är det underförstått att man skall summera termen över detta index. Dessa två konventioner brukar tillsammans kallas Einsteins summationskonvention. Om denna konvention tillämpas, så kan ekvation (1.2) skrivas x i = 3 a ij x j = a ij x j. (1.4) j=1 Längden av vektorn r P kan uttryckas på två sätt: 3 i=1 x 2 i = 3 x 2 i. (1.5) Om vi sätter in ekvation (1.4) i vänsterledet av ekvation (1.5), så finner vi att 3 i=1 i=1 x 2 i = x ix i = a ij x j a ik x k = x i x i = De båda sista leden är lika för alla x 1, x 2 och x 3 endast om 3 x 2 i. (1.6) i=1 a ij a ik = δ jk, (1.7) där δ jk = { 1, om j = k 0, om j k är Kroneckers delta (eller Kroneckersymbolen). Genom att multiplicera ekvation (1.4) med a ik, finner vi att (1.8) dvs. a ik x i = a ik a ij x j = δ kj x j = x k, (1.9) x k = a ik x i (1.10) Ett sådant index sägs vara ett dummy-index. Innebörden av ett uttryck ändras ej om man byter beteckningarna på varje par av dummy-index. Man måste naturligtvis ha olika beteckningar på olika par av dummy-index. (Jämför ekvation (1.6).)

1.2. KARTEIKA TENORER 3 och om vi sätter in detta i högerledet av ekvation (1.5), så erhålls x ix i = x i x i = a ji x ja ki x k. (1.11) Första och sista ledet i ekvation (1.11) är lika endast om a ji a ki = δ jk. (1.12) Komponenterna av en godtycklig vektor A transformeras på samma sätt som ortvektorns komponenter, dvs. (Jämför ekvationer (1.4) och (1.10).) Om vi inför matriserna a = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23, A = A 1 A 2 a 31 a 32 a 33 A 3 A i = a ij A j, (1.13) A i = a ji A j. (1.14) och I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 så kan ekvationer (1.12), (1.13) och (1.14) skrivas på matrisform, (1.15) aa T = I, A = aa, och A = a T A, (1.16) där T betecknar transponatet av en matris. 1.2 Kartesiska tensorer Definition: En kartesisk tensor av ordning N är en storhet som har 3 N komponenter A ij...n (antalet index är N). id byte av kartesiska koordinater i rummet enligt ekvationerna x i = a ij x j + b i, (1.17) så skall tensorns komponenter transformeras enligt i betraktar endast kartesiska högersystem. A ij...n = a ir a js... a nv A rs...v. (1.18) En jämförelse mellan ekvationer (1.13) och (1.18) visar att en vektor är en kartesisk tensor av första ordningen. En kartesisk tensor av ordning noll har en enda komponent, vilken har samma värde i alla koordinatsystem. En nollte ordningens kartesisk tensor är med andra ord detsamma som en skalär. Ett kartesiskt tensorfält är en funktion som tillordnar en tensor till varje punkt i någon del av rummet. Transformationslagen för en andra ordningens tensor lyder på matrisform: där A = (A ij ). A = aaa T, (1.19)

4 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER 1.3 Några exempel på kartesiska tensorer 1. Den yttre produkten av två tensorer: Antag att A i och B i är vektorer. ambandet mellan deras komponenter i två kartesiska koordinatsystem K och K är alltså A i = a ik A k, (1.20) B j = a jl B l. (1.21) i definierar en storhet med två index enligt följande: R ij = A i B j i K, (1.22) R ij = A i B j i K. (1.23) Denna storhet, den yttre produkten, är en andra ordningens tensor, ty R ij = a ika k a jl B l = a ik a jl R kl. (1.24) 2. Gradienten: Låt Φ vara ett givet skalärfält sådant att Φ (x 1, x 2, x 3 ) = Φ(x 1, x 2, x 3 ). (1.25) i definierar en storhet, gradienten av Φ, med tre komponenter i varje koordinatsystem enligt följande: R i = Φ x i i K, (1.26) R i = Φ x i i K, (1.27) osv. Genom användning av kedjeregeln för partiell derivering finner vi att R i = Φ x i men enligt ekvation (1.10) gäller dvs. = Φ x j, (1.28) x j x i x j = a ij x i, (1.29) x j x i = a ij. (1.30) Insättning av ekvation (1.30) i ekvation (1.28) ger slutligen R i = Φ x j a ij = a ij R j, (1.31) i använder här och i fortsättningen bokstäverna A, B, C,... för storheter som vi vet är tensorer och bokstäverna R,, T,... för storheter vilkas transformationsegenskaper är obekanta.

1.4. TENORTRANFORMATIONEN TRANITIITET 5 dvs. R i är ett kartesiskt tensorfält av första ordningen. i inför i fortsättningen notationen i och kan således skriva gradienten av Φ som i Φ. x i (1.32) 3. ektorgradienten: i antar att A i är ett givet vektorfält: A i = a ija j (1.33) och definierar en storhet, vektorgradienten av A i, med två index enligt följande: R ij = A i x j i K, (1.34) R ij = A i x j i K, (1.35) osv. Det gäller nu att R ij = j A i är ett kartesiskt tensorfält av andra ordningen, ty R ij = A i x j = a ik A k x j = a ik A k x l x l x j = a ik a jl R kl. (1.36) 4. Kroneckers delta: Antag att tensorn A ij har komponenterna A ij = δ ij (1.37) i ett givet koordinatsystem K. i finner tensorns komponenter i ett godtyckligt koordinatsystem K ur A ij = a ira js A rs = a ir a js δ rs = a ir a jr = δ ij. (1.38) Denna tensor har således samma komponenter i alla koordinatsystem. Kroneckers delta är ett exempel på en isotrop tensor, vilket innebär att tensorns komponenter antar samma värden i alla koordinatsystem. 1.4 Tensortransformationens transitivitet Låt K, K och K vara tre kartesiska koordinatsystem. i antar att koordinattransformationerna dem emellan ges av ekvationerna: här. En annan vanlig notation är (...),i x j = a jk x k, (1.39) x i = b ij x j, (1.40) x i = c ik x k. (1.41) x i (...), men vi kommer inte att använda den

6 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER K K K Genom insättning av ekvation (1.39) i ekvation (1.40), finner vi att och en jämförelse med ekvation (1.41) visar att Ekvation (1.43) lyder på matrisform x i = b ij a jk x k (1.42) c ik = b ij a jk. (1.43) c = ba. (1.44) En kartesisk tensor, som har komponenterna A ij... i K, har komponenterna A ij... = a ir a js... A rs... (1.45) i K. Komponenterna i K finner vi genom transformation av komponenterna i K : A ij... = b irb js... A rs... = b irb js... a ru a sv... A uv... = b ir a ru b js a sv...a uv.... (1.46) Med hjälp av ekvation (1.43) kan ekvation (1.46) skrivas A ij = c iu c jv... A uv.... (1.47) Detta är samma komponenter som vi får om vi transformerar tensorn direkt från K till K enligt ekvation (1.41). Den ovan härledda egenskapen måste naturligtvis föreligga om tensordefinitionen överhuvud taget skall ha någon mening. Man brukar säga att tensortransformationen är transitiv (tensortransformationerna bildar en grupp). 1.5 Hur man gör nya tensorer av gamla 1. Addition: Låt A ij och B ij vara tensorer, dvs. A ij = a ir a js A rs, (1.48) B ij = a ir a js B rs. (1.49)

1.5. HUR MAN GÖR NYA TENORER A GAMLA 7 Genom addition komponentvis i varje koordinatsystem, så erhålls R ij = A ij + B ij, (1.50) R ij = A ij + B ij, (1.51) osv. Det gäller att R ij är en tensor, ty R ij = a ir a js A rs + a ir a js B rs = a ir a js (A rs + B rs ) = a ir a js R rs. (1.52) 2. Yttre produkt: Definiera en storhet med komponenter i alla koordinatsystem enligt följande: R ijklm = A ijk B lm, (1.53) R ijklm = A ijkb lm, (1.54) osv. Insättning av och A ijk = a ira js a kt A rst (1.55) B lm = a lu a mv B uv (1.56) i ekvation (1.54) ger R ijklm = a ir a js a kt A rst a lu a mv B uv = a ir a js a kt a lu a mv R rstuv. (1.57) R ijklm, den yttre produkten av A ijk och B lm, är således en tensor. Den yttre produktens ordningstal är lika med summan av faktorernas ordningstal. 3. Kontraktion: Låt A ijkl vara en tensor. ätt osv. Genom att sätta l = j i så finner vi att R ik = A ijkj, (1.58) R ik = A ijkj, (1.59) A ijkl = a ira js a kt a lu A rstu, (1.60) R ik = A ijkj = a ira js a kt a ju A rstu = a ir a kt a js a ju A rstu = a ir a kt δ su A rstu = a ir a kt A rsts = a ir a kt R rt, (1.61) dvs. Det gäller attr ik är en tensor, kontraktionen av A ijkl. id en kontraktion sjunker tensorns ordningstal med 2. Andra möjliga kontraktioner av A ijkl är A iikl, A ijji, osv.

8 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER 4. Inre produkt: En inre produkt mellan två tensorer är en yttre produkt, i vilken kontraktion har utförts. T.ex. A ij B jkl och A ij B ijk. Den vanliga skalärprodukten A i B i mellan två vektorer erhålls exempelvis genom kontraktion av den yttre produkten A i B j. Den inre produkten är en tensor, eftersom såväl den yttre produkten som kontraktionen är tensorer. 5. Permutation av index: Om A ijk är en tensor, så är R ijk = A kji (1.62) en tensor (analog definition i alla koordinatsystem), ty R ijk = A kji = a kr a js a it A rst = a it a js a kr A rst = a it a js a kr R tsr. (1.63) 6. Derivata: Låt A ij vara ett tensorfält. Den partiella derivatan R ijk = k A ij (1.64) (analog definition i alla koordinatsystem) är då också den en tensor. Om vi deriverar ekvation (1.64) partiellt med avseende på x k och använder kedjeregeln, så finner vi nämligen att R ijk = A ij x k = a ir a js A rs x t x t x k = a ir a js a kt R rst. (1.65) R ijk är en tensor av tredje ordningen. ännu en derivering ger en tensor av fjärde ordningen, osv. Om vi deriverar skalärfältet Φ två gånger, så erhåller vi en tensor av andra ordningen: j i Φ. En kontraktion av denna tensor ger oss ett skalärfält i i Φ, vilket vi känner igen som Φ, dvs. Laplaceoperatorn av Φ. Divergensen av ett vektorfält är ett skalärfält, eftersom A = i A i. (1.66)

1.6. PERMUTATIONYMBOLEN 9 1.6 Permutationssymbolen Definition: Permutationssymbolen (Levi-Civita-symbolen) definieras enligt: 1, om i, j, k är en jämn permutation av 1,2,3 ǫ ijk 1, om i, j, k är en udda permutation av 1,2,3, (1.67) 0, om två index är lika dvs. ǫ 123 = ǫ 231 = ǫ 312 = ǫ 132 = ǫ 213 = ǫ 321 = 1. En permutation innebär att byta plats på ett antal index. En udda (jämn) permutation kan göras genom att parvis byta plats på index ett udda (jämnt) antal gånger. ats 1.1 ǫ ijk är en (isotrop) tensor. Bevis: Om A ijk = ǫ ijk i K, så är A ijk = a ir a js a kt ǫ rst = a i1 a j2 a k3 + a i2 a j3 a k1 + a i3 a j1 a k2 = a i1 a j3 a k2 a i2 a j1 a k3 a i3 a j2 a k1 a i1 a i2 a i3 a j1 a j2 a j3 a k1 a k2 a k3 = e i (e j e k ) i K, (1.68) ty e i = (e i e j)e j = a ij e j. Den skalära trippelprodukten (1.68) är lika med volymen av den parallellepiped, som spänns upp av basvektorerna e 1,e 2,e 3. Eftersom e 1,e 2,e 3 bildar ett ortonormerat högersystem, så gäller det att 1, om i, j, k är en jämn permutation av 1,2,3 e i (e j e k) = 1, om i, j, k är en udda permutation av 1,2,3, 0, om två index är lika dvs. A ijk = ǫ ijk. ats 1.2 Det gäller att ǫ ijk = ǫ jki = ǫ kji = ǫ jik = ǫ kji = ǫ ikj. Bevis: Om i, j, k är olika följer likheten från definitionen av permutationssymbolen. Om i = j, j = k eller i = k följer från definitionen att ǫ ijk = 0 och därmed uppfylls likheten trivialt. ats 1.3 (A B) i = ǫ ijk A j B k (1.69) Bevis: (A B) 1 = ǫ 123 A 2 B 3 + ǫ 132 A 3 B 2 = A 2 B 3 A 3 B 2, osv. På samma sätt visar man att rotationen kan skrivas: ( A) i = ǫ ijk x j A k = ǫ ijk j A k. (1.70)

10 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER Den skalära trippelprodukten blir på tensorform: ats 1.4 Det gäller att A (B C) = A i ǫ ijk B j C k = ǫ ijk A i B j C k. (1.71) ǫ ijk ǫ lmn = δ il δ jm δ kn + δ im δ jn δ kl + δ in δ jl δ km δ im δ jl δ kn δ in δ jm δ kl δ il δ jn δ km. (1.72) Genom att sätta l = i (kontraktion av i och l) i ekvation (1.72) i sats 1.4, så finner vi följande följdsats. Följdsats 1.1 Det gäller att ǫ ijk ǫ imn = δ jm δ kn δ jn δ km. (1.73) Bevis: Om vi utför summationen i vänsterledet av ekvation (1.73), så får vi ǫ 1jk ǫ 1mn + ǫ 2jk ǫ 2mn + ǫ 3jk ǫ 3mn, vilket är skilt ifrån noll endast under förutsättning att j k och att m och n är en permutation av j och k. I fallet j = m och k = n är vänsterledet lika med 1 och i fallet j = n och k = m är vänsterledet lika med 1. Man inser lätt att samma påstående är sant för högerledet i ekvation (1.73). Lägg märke till att ǫ ijk transformeras som en tensor endast om man uteslutande tillåter kartesiska högersystem (eller vänstersystem). id byte från ett högersystem till ett vänstersystem transformeras inte ǫ ijk som en tensor. Inte heller ǫ ijk A j B k och ǫ ijk j A k är tensorer vid ett sådant byte av koordinatsystem. Närmare bestämt gäller att ǫ ijk = a ir a js a kt ǫ rst, (1.74) ǫ ijk A j B k = a ir ǫ rst A s B t, (1.75) osv., där K är ett högersystem och K är ett vänstersystem. torheterna ǫ ijk A j B k och ǫ ijk j A k betecknas ibland som axiala vektorer eller pseudovektorer till skillnad mot polära vektorer, dvs. storheter som transformeras som tensorer av första ordningen vid alla byten av det kartesiska koordinatsystemet. 1.7 Om vektorprodukter Givet två vektorer A och B kan två olika typer av vektorprodukter bildas, den polära samt den axiala vektorprodukten. Den axiala vektorprodukten är densamma som kryssprodukten. Produkter med en vektor som resultat.

1.8. HÄRLEDNING A EKTORFORMLER 11 Definition: Den polära vektorprodukten ges av A B nab sin θ, (1.76) där n A,B, {A,B,n} alltid bildar ett högersystem, A = A, B = B, n = 1 och vinkeln θ mellan A och B ges av 0 θ π. Om {e 1,e 2,e 3 } är ett ortonormerat högersystem, så gäller att varav följer att dvs. e i e j = ǫ ijk e k, (1.77) A B = A j e j B k e k = A j B k ǫ jki e i = ǫ ijk A j B k e i, (1.78) (A B) i = ǫ ijk A j B k. (1.79) Om däremot {e 1,e 2,e 3 } bildar ett ortonormerat vänstersystem, så erhålls i stället e i e j = ǫ ijk e k, (1.80) (A B) i = ǫ ijk A j B k. (1.81) Definition: Den axiala vektorprodukten (eller kryssprodukten) ges av A B nab sin θ, (1.82) där n A, B, {A, B, n} har samma orientering som koordinatsystemet, A = A, B = B, n = 1 och vinkeln θ mellan A och B ges av 0 θ π. Det inses lätt att A B = ambanden (1.79), (1.81) och (1.83) medför att { A B i högersystem A B i vänstersystem. (1.83) (A B) i = ǫ ijk A j B k (1.84) gäller både i höger- och vänstersystem. idare gäller det att A B är en polär vektor samt att A B är en axial vektor. 1.8 Härledning av vektorformler med hjälp av tensormetoder Tensormetoder ger oss ett tämligen kraftfullt verktyg för att härleda många vektorformler. Nedan följer ett antal exempel.

12 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER Exempel 1.1 [A (B C)] i = ǫ ijk A j (B C) k = ǫ ijk A j ǫ klm B l C m = ǫ kij ǫ klm A j B l C m Exempel 1.2 Exempel 1.3 = δ il δ jm A j B l C m δ im δ jl A j B l C m = A j B i C j A j B j C i = A j C j B i A j B j C i = (A C)B i (A B)C i = [B(A C) C(A B)] i (A B) = i (A B) i = i ǫ ijk A j B k = ( i ǫ ijk )A j B k + ǫ ijk ( i A j )B k + ǫ ijk A j ( i B k ) = B k ǫ kij i A j A j ǫ jik i B k = B k ( A) k A j ( B) j = B ( A) A ( B) [ ( A)] i = ǫ ijk j ( A) k = ǫ ijk j ǫ klm l A m = ǫ ijk ǫ klm j l A m = ǫ kij ǫ klm j l A m = δ il δ jm j l A m δ im δ jl j l A m = j i A j j j A i = i j A j j j A i = i ( A) ( )A i = [ ( A) A] i 1.9 Integration av kartesiska tensorer Om A ijk är ett kartesiskt tensorfält i koordinatsystemet K, så är volymsintegralen R ijk = A ijk d (1.85) (analog definition i alla koordinatsystem) en kartesisk tensor. Komponenterna i koordinatsystemet K blir nämligen R ijk = A ijk d = a ir a js a kt A rst d = a ir a js a kt A rst d = a ir a js a kt R rst, (1.86) där är den givna volymen sedd från K och d = d är det invarianta volymselementet. På liknande sätt visar man att ytintegralen A ij... d

1.10. GAU OCH TOKE ATER FÖR KARTEIKA TENORER 13 och linjeintegralen är kartesiska tensorer. L A ij... dl 1.10 Gauß och tokes satser för kartesiska tensorer Enligt vektoranalysen gäller att Φ d = Φn d, (1.87) vilket kan skrivas på följande sätt med tensorbeteckningar i Φ d = Φn i d. (1.88) Istället för skalärfältet Φ kan vi sätta in vilken kontinuerligt deriverbar funktion som helst. peciellt kan Φ ersättas med det kartesiska tensorfältet A jk... varpå Gauß sats i A jk d = A jk... n i d (1.89) följer. Det gäller att båda leden i ekvation (1.89) är kartesiska tensorer. Om ekvation (1.89) tillämpas på ett vektorfält samt en kontraktion utförs så erhålls Gauß sats i dess vanliga form: i A i d = A i n i d. (1.90) Om vi ersätter A jk... i ekvation (1.89) med ǫ jik A k, så finner vi en annan känd sats i ǫ jik A k d = ǫ jik i A k d = ǫ jik A k n i d. (1.91) Från vektoranalysen har vi även integralsatsen n Φ d = Φ dr. (1.92) Om vi här inför dr = t dl (t är enhetstangenten till L) samt övergår till tensorbeteckningar, så får vi ǫ rst n s t Φ d = Φt r dl. (1.93) Med samma motivering som ovan kan vi byta Φ mot A jk... och kommer på så sätt fram till tokes sats: ǫ rst n s t A jk... d = A jk... t r dl. (1.94) L L L

14 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER tokes sats i dess vanliga form erhåller vi ur ekvation (1.94) genom substitutionen A jk... A r : ǫ rst n s t A r d = A r t r dl. (1.95) Det bör noteras att Gauß och tokes satser kan skrivas som en sats på en mer allmän form, se bilaga A. 1.11 pänningstensorn Betrakta en infinitesimal yta d inuti en vätska eller en fast kropp. i inför en +-sida och en -sida på ytan och låter n vara den enhetsnormal som pekar ut från +-sidan. Mediet på +-sidan påverkar mediet på -sidan med en kraft T(n) d, som beror av ytelementets orientering. I en vilande vätska är kraften per ytenhet vinkelrät mot ytan: T(n) = pn, (1.96) där p är trycket, men detta gäller i allmänhet ej för en vätska i rörelse eller för en fast kropp. Enligt lagen om verkan och motverkan måste kraften från -sidan mot +-sidan vara lika med minus kraften från +-sidan mot -sidan, dvs. pänningstensorn σ ij definieras sålunda: L T( n) = T(n). (1.97) σ ij T j (e i ) = T(e i ) e j i K, (1.98) σ ij = T(e i) e j i K, (1.99) osv. i skall i det följande bevisa att σ ij är ett kartesiskt tensorfält och konstruerar därför en infinitesimal tetraeder i den punkt där vi studerar de inre spänningarna (se figur 1.2). Tre av tetraederns sidytor (d 1, d 2 och d 3 ) låter vi vara parallella med koordinatplanen i koordinatsystemet K under det att den fjärde sidoytan d får ha den godtyckliga enhetsnormalen n. Om F d betecknar de krafter på tetraedern som är proportionella mot volymen (t.ex. gravitationskraften), så blir rörelseekvationen för tetraedern: ρ rd = F d + T( e j )d j + T(n)d, (1.100) där ρ är densiteten och r d2 r dt 2. i låter nu tetraederns kantlängder gå mot noll. Därvid kommer de båda termer som innehåller d att gå mot noll snabbare än de övriga termerna så att vi kan försumma bidraget från dem. idare gäller att d j = n e j d = n j d. (1.101)

1.11. PÄNNINGTENORN 15 x 3 n e 2 e 1 x 2 x 1 e 3 Figur 1.2: i studerar de inre spänningarna i en infinitesimal tetraeder. Ekvation (1.100) kan således skrivas T(n) = (n e j )T( e j ) = (n e j )T(e j ). (1.102) En skalärmultiplikation med e i ger oss slutligen: T i (n) = n j T(e j ) e i = n j σ ji. (1.103) Om vi sätter n = e r i ekvation (1.102) samt skalärmultiplicerar med e s, så finner vi att T(e r) e s = (e r e j )T(e j ) e s, (1.104) men vänsterledet i ekvation (1.104) är lika med σ rs och e s = (e s e i )e i, så det gäller även att σ rs = (e r e j)(e s e i)t(e j ) e i = a rj a si σ ji, (1.105) dvs. spänningstensorn är en tensor. Den totala ytkraften på en ändlig delvolym av mediet finner vi genom integration över :s slutna begränsningsyta : [ ] T(n) d = T i d = n j σ ji d. (1.106) i Ytintegralen kan skrivas som en volymsintegral med hjälp av Gauß sats: n j σ ji d = i σ ji d. (1.107) Med användning av kvotlagen (sats 2.1) kan man direkt ur ekvation (1.103) sluta sig till att σ ij är en tensor.

16 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER Om mediet befinner sig i jämvikt, så är summan av volymskrafterna och ytkrafterna lika med noll, dvs. (F i + j σ ji )d = 0. (1.108) Eftersom ekvation (1.108) gäller för alla volymer, så måste integranden vara identiskt lika med noll: F i + j σ ji = 0, (1.109) vilket är jämviktsekvationerna för mediet. I en vilande vätska är σ ji = pδ ji. Ekvationer (1.103) och (1.109) lyder i detta fall T i (n) = n j pδ ji = pn i (1.110) och F i = j (pδ ji ) = i p. (1.111) Man kan visa att spänningstensorn är en symmetrisk tensor (se uppgift 1.8), vilket innebär att σ ij = σ ji. (1.112) 1.12 Töjningstensorn id deformationen av en kropp förflyttas partikeln i punkten P : x i till punkten P : x i = x i + u i (x), där u i (x) är förskjutningsvektorn. i studerar nu förflyttningen av två närbelägna partiklar. Töjningen av sträckan mellan partiklarna definieras som ǫ ds ds. (1.113) ds Ur figur 1.3 erhålls (ds ) 2 = 3 [dx i + ( j u i )dx j ] 2 = i=1 3 [n i + ( j u i )n j ] 2 ds 2 i=1 = [n i n i + 2( j u i )n i n j + ( j u i )( k u i )n j n k ] ds 2. (1.114) För små töjningar, dvs. j u i 1, kan vi försumma kvadratiska termer i j u i och vi får ǫ = ( j u i )n i n j. (1.115) Töjningstensorn ǫ ij definieras enligt ǫ ij 1 2 ( ju i + i u j ). (1.116) Töjningen kan skrivas som ǫ = ǫ ij n i n j. (1.117)

1.13. HOOKE LAG 17 P : x i + u i u i ds Q : x i + dx i + u i + ( j u i )dx j u i + ( j u i )dx j P : x i ds Q : x i + dx i Figur 1.3: Töjning. ektorn från punkten P till punkten Q är dx i = n i ds, där ds är längden av vektorn, och vektorn från punkten P till punkten Q är dx i + ( j u i )dx j = [n i + ( j u i )n j ] ds, som har längden ds. Definition (1.116) innebär att ǫ ij = 0 för en stelkroppsrörelse; en sådan rörelse sammansätts av en translation och en rotation: du = v dt + ω rdt, (1.118) dvs. vilker ger du i = (v i + ǫ ijk ω j x k )dt, (1.119) ǫ ij = 1 2 (ǫ imnω m δ nj + ǫ jmn ω m δ ni )dt = 0. (1.120) 1.13 Hookes lag Hookes generaliserade lag lyder σ ij = c ijkl ǫ kl, (1.121) där c ijkl är 1:a elasticitetstensorn. ymmetrirelationerna σ ij = σ ji och ǫ ij = ǫ ji medför att c ijkl = c jikl = c ijlk. (1.122) Med hjälp av termodynamik kan man visa att c ijkl = c klij. i kan lösa ut ǫ ij ur ekvation (1.121): ǫ ij = C ijkl σ kl, (1.123) där C ijkl är 2:a elasticitetstensorn, som har samma symmetrier som c ijkl. Elasticitetstensorn för en isotrop kropp måste ha samma uppsättning komponenter i alla koordinatsystem, dvs. den måste vara en isotrop tensor. Man kan visa att

18 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER den enda isotropa tensorn av 4:e ordningen, som satisfierar ekvation (1.122), är c ijkl = λδ ij δ kl + µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ). (1.124) Insättning av ekvation (1.124) i ekvation (1.121) ger σ ij = λθδ ij + 2µǫ ij, (1.125) där θ ǫ kk är dilatationen (relativa volymändringen). Om ekvation (1.125) löses med avseende på ǫ ij, så erhålls ǫ ij = 1 E [(1 + ν)σ ij νσ kk δ ij ]. (1.126) Här är E µ(3λ + 2µ) λ + µ elasticitetsmodulen (eller Youngs modul) och ν λ 2(λ + µ) (1.127) (1.128) tvärkontraktionstalet. 1.14 Maxwells elektrostatiska spänningstensor I en kropp som innehåller en kontinuerligt utbredd elektrisk laddning påverkas volymselementet d av kraften (ǫ r = 1) F i d = ρe i d, (1.129) där ρ är laddningstätheten och E i är den elektriska fältstyrkan. Eftersom där D i är den elektriska flödestätheten och så kan ekvation (1.129) skrivas som D i = ǫ 0 E i, (1.130) i D i = ρ, (1.131) F i = E i j D j = ǫ 0 E i j E j = ǫ 0 [ j (E i E j ) ( j E i )E j ]. (1.132) Men j E i är en symmetrisk tensor, ty där φ är den elektriska potentialen, så E i = i φ, (1.133) j E i = j i φ = i j φ = i E j (1.134)

1.14. MAXWELL ELEKTROTATIKA PÄNNINGTENOR 19 och vi kan fortsätta omformningen av ekvation (1.132): F i = ǫ 0 [ j (E i E j ) ( j E i )E j ] = ǫ 0 [ j (E i E j ) 1 ] 2 i(e j E j ) = ǫ 0 j ( E i E j 1 2 E ke k δ ij ). (1.135) Om vi inför Maxwells elektrostatiska spänningstensor så kan krafttätheten skrivas som T ij = E i D j 1 2 E kd k δ ij, (1.136) F i = j T ij. (1.137) Kraften på delvolymen finner vi genom integration av ekvation (1.137): F i d = j T ij d = T ij n j d = (E i D j n j 12 ) E kd k δ ij n j d = [(D n)e 12 ] (E D)n d. (1.138) i har ovan använt Gauß sats för att forma om volymsintegralen till en ytintegral över :s begränsningsyta. Ytkraften är Maxwells elektrostatiska spänning. i T = (D n)e 1 (E D)n (1.139) 2

20 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER

1.15. UPPGIFTER 21 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med 1 1 0 2 2 (a ik ) = 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T (T ik ) = ik om 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift 1.2 a) Tensorn A ij :s komponenter relativt koordinatsystemet K är A ij =. { 1, i = j = 1 0, i 1 eller j 1. Ange tensorns komponenter i koordinatsystemet K, vars 3-axel sammanfaller med K:s 3-axel. K är vridet vinkeln α relativt K kring den gemensamma 3- axeln. b) Härled vektorformeln (ΦA) = Φ A + Φ A med tensormetoder. Uppgift 1.3 En tensor har komponenterna A 11 = 1, A ik = 0 om i 1 eller k 1, relativt det kartesiska koordinatsystemet K. Ange tensorns komponenter relativt koordinatsystemet K, som är vridet vinkeln α relativt K kring den med K gemensamma x 3 -axeln. Uppgift 1.4 Tensorn A ij har följande komponenter relativt det kartesiska koordinatsystemet K: { 1 i + j = 4 A ij = 0 i + j 4. Bestäm A ij i ett koordinatsystem K som är vridet vinkeln α relativt K kring den med K gemensamma x 1 -axeln. Uppgift 1.5 Bevisa följande formler med tensormetoder: a) (ΦA) = Φ A A Φ b) (A + B) = A + B

22 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER c) (A B) = A( B) B( A) + (B )A (A )B d) Φ = 0 Uppgift 1.6 Omforma linjeintegralen A dr till en ytintegral med hjälp av tensormetoder. L Uppgift 1.7 isa att den totala spänningskraften på ytan av volymselementet d har i-komponenten df i = j E ji d, där E ji är spänningstensorn. Uppgift 1.8 isa att spänningstensorn är symmetrisk. Uppgift 1.9 Den kartesiska tensorn A ijk har A 111 som den enda nollskilda komponenten i koordinatsystemet K. Koordinatsystemet K är vridet vinkeln α relativt K kring den gemensamma x 3 -, x 3-axeln. a) ilka av komponenterna A ijk är nollskilda? b) Beräkna A 122. Uppgift 1.10 Utveckla följande vektoruttryck med hjälp av kartesiska tensormetoder a) A ( A) b) [(B )A] Uppgift 1.11 isa att om T ij är de kartesiska komponenterna av en tensor och ǫ ijk permutationssymbolen så är a) T kk, b) T ij T ij och c) ǫ ijk T i1 T j2 T k3 invarianter. Uppgift 1.12 Låt T ij och k vara kartesiska tensorer av ordning två respekive ett. isa att storheterna k k T ij och ǫ ijk C T kedx e är kartesiska tensorer. Uppgift 1.13 Låt φ(r) vara ett skalärfält och a en konstant vektor. Använd tensormetoder för att finna det villkor som φ måste uppfylla för att skall gälla. ( φ a) = ( φ a)

1.15. UPPGIFTER 23 Uppgift 1.14 Låt A vara ett vektorfält som uppfyller ( A) = 0 då r och A ( A) = 0 då r, där är randytan till. Använd tensormetoder för att visa att ( A) 2 d = 0. Uppgift 1.15 För hastighetsfältet v i en ideal vätska gäller v t = (v )v 1 ρ P, där ρ är densiteten och P är trycket. idare gäller ρ + (ρv) = 0. t isa att tidsderivatan av den totala rörelsemängden p = ρvd i en kontrollvolym kan skrivas som p = e i π ik d k, där π ik är de kartesiska komponenterna av en symmetrisk tensor och är randytan till volymen. Bestäm även denna tensors komponenter. Uppgift 1.16 En andragradsyta har ekvationen A ij x i x j + B i x i = 0 i det kartesiska systemet K. I ett annat kartesiskt system K blir ekvationen A ijx ix j + B ix i = 0. isa att A ij (som förutsätts symmetrisk) och B i utgör komponenter av tensorer. Uppgift 1.17 Beräkna storheterna a) δ ii, b) δ ij ǫ ijk, c) ǫ ijk ǫ ljk och d) ǫ ijk ǫ ijk. Uppgift 1.18 isa att tensorer med följande komponenter är isotropa. a) A ijkl = δ ij δ kl b) B ijkl = δ ik δ jl + δ il δ jk c) C ijkl = ǫ nij ǫ nkl

24 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER Uppgift 1.19 Använd kartesiska tensormetoder för att omforma följande uttryck. Resultaten skall översättas till gängse vektorbeteckningar. a) ( A) b) (A B) C c) ( A) d) (A B) e) (r φ) f) (r φ) g) (r A) h) [( φ) ( ψ)] i) ((r )B) j) ((r ) B) k) (A )(B C) Uppgift 1.20 isa att [(r ) (r )]φ = (r )φ. Uppgift 1.21 Använd kartesiska tensormetoder för att omvandla följande linjeintegraler till ytintegraler: a) A dr b) c) L L L AB dr ǫ ijk A ij dx k, där A ij är ett kartesiskt tensorfält. Uppgift 1.22 Låt A vara ett virvelfritt vektorfält. Omforma (A φ) d till en linjeintegral. Uppgift 1.23 Omforma [( φ) GradA] d till en lineintegral. Med ( φ) GradA avses [( φ) GradA] il = ǫ ijk φ x j A l x k.

1.15. UPPGIFTER 25 Uppgift 1.24 Använd kartesiska tensormetoder för att omforma följande integraler till ytintegraler: a) ( A)d b) [( φ) ] A d Uppgift 1.25 kriv (B )A d som en ytintegral om B är ett källfritt fält. Uppgift 1.26 I Kirchhoffs behandling av diffraktionsfenomen uppträder uttrycket (d )E + d ( E) d( E), där E är ett vektorfält och en glatt yta. isa att uttrycket blir noll. Uppgift 1.27 I en kropp flyter en elektrisk ström med strömtätheten j = j(r). Kraften på volymselementet d är då df = j B d, där B är den magnetiska fältstyrkan. För det magnetiska fältet gäller B = 0, H = j, B = µ 0 H. kriv kraften på en delvolym som en ytintegral av formen e i T ij d j och bestäm härigenom de kartesiska tensorkomponenterna T ij. Uppgift 1.28 En tensor har i det kartesiska koordinatsystemet K komponenterna (T ik ) = 1 0 0 1 1 1. 0 0 1 Existerar ett kartesiskt koordinatsystem K så att a) (T ik) = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3?

26 KAPITEL 1. KARTEIKA TENORER b) c) (T ik) = (T ik ) = 0 a b c 0 d e f 0 a b c b 0 0 c 0 0?? Uppgift 1.29 Den s.k. centifugalkraften definierar en vektorvärd funktion av r. F = mω (ω r) a) isa att man kan associera denna med en tensor och bestäm tensorns komponenter. b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer. Uppgift 1.30 Den potentiella energin hos ett system bestående av två små stavmagneter med magnetiska momenten m 1 och m 2 placerade på avståndet r från varandra kan skrivas φ = (m 1 )(m 2 ) 1 r. a) isa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij uppfyller ekvationen φ = M ij m 1i m 2j. b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer. Uppgift 1.31 Kraften F = ev B som verkar på en laddad partikel i ett magnetfält B utgör en vektorvärd funktion av partikelns hastighet v. a) isa att man kan associera en tensor av andra ordningen med denna funktion. b) isa att denna tensor har två imaginära egenvärden och ett egenvärde = 0. Bestäm egenvektorn som svarar mot det senare. Uppgift 1.32 I ett område finns elektriska laddningar med laddningstätheten ρ(r). Den elektriska kraften på volymselementet d är ρ(r)e(r)d,

1.15. UPPGIFTER 27 där E (r) är den elektriska fältstyrkan. Det gäller att E = 1 ρ ǫ 0, E = φ där φ är den elektriska potentialen. isa att den totala kraften på en delvolym kan skrivas F = e i T ik n k d, där T ik = D i E k 1 2 D je j δ ik, D = ǫ 0 E är den elektriska flödestätheten och är randytan till. Uppgift 1.33 Använd tensormetoder för att skriva d [A( A) A ( A)] som en ytintegral över den yta som omsluter. Använd sedan resultatet på a) ett stationärt elektriskt fält genom att sätta A = E där E uppfyller { E = 0 E = ρ(r) ǫ 0 b) och sedan på ett stationärt magnetiskt fält genom att sätta A = B där B uppfyller { B = 0, B = µ 0 i(r) med ρ som laddningstätheten och i som strömtätheten.

Bilaga B Lösningar B.1 Lösningar till uppgifter i kapitel 1 Uppgift 1.1 a) Det gäller att aa T = 1, där 1 är enhetsmatrisen, samt att det(a) = 1. åledes är a en rotation. Q.E.D. b) Transformationsegenskapen T ik = a ijt jl a kl ger matrisformeln (T ik) = (a ij )(T jl )(a kl ) T. Genom att utföra matrismultiplikationen i högerledet erhålls 0 0 0 (T ik) = 0 2 0. 0 0 2 Uppgift 1.2 a) Tensorn A ij är en tensor av andra ordningen och dess komponenter transformeras därför enligt A ij = a ir a js A rs. Eftersom den enda nollskilda komponenten i K är A 11, så erhålls A ij = a i1a j1. Transformationskoefficienterna ges av cosα sinα 0 (a ij ) = sin α cosα 0. 0 0 1 Ur detta erhålls a 11 = cosα, a 21 = sinα samt a 31 = 0. Komponenterna A ij ges därför av cos 2 α cosαsin α 0 (A ij ) = cosαsin α sin 2 α 0. 0 0 0 93

94 BILAGA B. LÖNINGAR b) Genom att använda = e i i erhålls Q.E.D. (ΦA) = i ΦA i = Φ i A i + A i i Φ = Φ A + A Φ. Uppgift 1.3 Transformationskoefficienterna ges av cosα sinα 0 (a ij ) = sin α cosα 0. 0 0 1 Genom att utnyttja att den enda nollskilda komponenten A ik i koordinatsystemet K är A 11 = 1 erhålls A ik = a i1a j1. De nollskilda komponenterna i koordinatsystemet K blir således A 11 = cos 2 α, A 22 = sin 2 α samt A 12 = A 21 = cosα sin α. Uppgift 1.4 Komponenterna A ij ges av (A ij ) = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 och transformationskoefficienterna av (a ij ) = 1 0 0 0 cosα sin α. 0 sinα cosα Använder vi oss av transformationsrelationen (A ij ) = (a ik)(a kl )(a jl ) T erhålls 0 sin α cosα (A ij) = sin α cos 2 α sinαcosα. cosα sinαcosα sin 2 α Uppgift 1.5 Uppgiften löses genom att använda kända samband för partiella derivator, symmetrier och antisymmetrier samt relationen ǫ ijk ǫ klm = δ il δ jm δ im δ jl. a) b) (ΦA) = e i ǫ ijk j ΦA k = e i ǫ ijk (Φ j A k + A k j Φ) = e i ǫ ijk (Φ j A k A j k Φ) = Φ A (A )Φ (A + B) = i (A i + B i ) = i A i + i B i = A + B

B.1. LÖNINGAR TILL UPPGIFTER I KAPITEL 1 95 c) d) (A B) = e i ǫ ijk ǫ klm j A l B k = e i (δ il δ jm δ im δ jl )(A l j B m + B m j A l ) = e i (A i j B j + B j j A i A j j B i B i j A j ) = A( B) + (B )A (A )B B( A) Φ = e i ǫ ijk j k Φ = 1 2 e iǫ ijk ( j k k j )Φ = 0 Uppgift 1.6 i börjar med att skriva om integralen på tensorform: A dr = e i ǫ ijk A j dx k. Gauß sats ger nu L L A dr = e i ǫ ijk ǫ klm d l m A j = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) d l m A j = e i (d i j A j d j i A j ), där vi även använt oss av ǫ-δ-relationen. L Uppgift 1.7 Den totala spänningskraften på en godtycklig volym ges av en integral över dess randyta : F i = E ji d j. Använder vi oss nu av Gauß sats erhålls F i = d j E ji och således ges spännkraften på ett infinitesimalt volymselement av df i = d j E ji. Q.E.D.

96 BILAGA B. LÖNINGAR Uppgift 1.8 Betrakta kraftmomentet på en delvolym, givet av uttrycket M = r Fd + r e i σ ij d j, där F = F(r) är krafttätheten för krafter verkandes på volymen. Jämvikt kräver att ovanstående uttryck är noll. I komponentform erhålls ( ) M i = ǫ ijk x j F k d + x j σ kl d l. Genom att använda Gauß sats kan detta skrivas som M i = ǫ ijk d (x j F k + l x j σ kl ) = ǫ ijk d (x j F k + δ jl σ kl + x j l σ kl ). Enligt jämviktsekvationen (1.109) gäller att F k + l σ kl = 0. För att momentjämvikt skall råda krävs därför att d ǫ ijk σ kj = 0. Eftersom är en godtycklig volym, så måste integranden vara lika med noll. Det följer att ǫ ijk σ kj = 0, vilket är ekvivalent med att den antisymmetriska delen av σ kj är lika med noll. åledes är spänningstensorn symmetrisk. Q.E.D. Uppgift 1.9 a) Transformationskoefficienterna ges av (a ij ) = c s 0 s c 0, 0 0 1 där c = cosα och s = sin α. Eftersom A 111 är den enda nollskilda komponenten i K, så ges komponenterna i K av A ijk = a i1 a j1 a k1. Detta är nollskilt om och endast om alla tre ingående transformationskoefficienter är nollskilda. Detta är ekvivalent med att i, j, k 3. b) Komponenten A 122 ges av A 122 = a 11a 2 21 = cs2. Uppgift 1.10 a) Uttrycket förenklas med hjälp av kartesiska tensormetoder enligt A ( A) = e i ǫ ijk ǫ klm A j l A m = e i (δ il δ jm δ im δ jl )A j l A m = e i (A j i A j A j j A i ) = 1 2 (A2 ) (A )A.

B.1. LÖNINGAR TILL UPPGIFTER I KAPITEL 1 97 b) Uttrycket förenklas enligt följande: [(B )A] = i B j j A i = B j j i A i + ( i B j )( j A i ). Uppgift 1.11 a) T kk = a kja ki T ji = δ ji T ji = T ii b) T ij T ij = a ika jl a im a jn T kl T mn = δ km δ ln T kl T mn = T kl T kl c) Oavsett komponenterna i B ij gäller att ǫ ijk B i1 B j2 B k3 = ǫ ijk B 1i B 2j B 3k, vilket inses lätt om vi skriver ut termerna i summorna. Transformation mellan två kartesiska koordinatsystem ger ǫ ijk T i1t j2t k3 = ǫ ijk T il T jm T kn a 1l a 2m a 3n. i använder oss nu av relationen ovan med B ik = T il a kl och erhåller ǫ ijk T i1t j2t k3 = ǫ ijk T 1l T 2m T 3n a il a jm a kn = ǫ lmn T 1l T 2m T 3n = ǫ lmn T l1 T m2 T n3. Uppgift 1.12 Koordinattransformationen mellan två kartesiska koordinatsystem ges av x i = a ji x j + b i, där a ij är transformationskoefficienterna. Detta innebär att x j x = a ji. i Genom att använda det faktum att T ij och k är kartesiska tensorer erhålls k T ij x k x r T mn T mn = a kl l a im a jn x = a kl a im a jn a kr l = a im a jn l T mn. k x r x r x l åledes är k k T ij en kartesisk tensor. För integralen T ke dx e gäller det att T kedx e = a ki a ej T ij a el dx l = a ki T ij dx j. Integralen är således en tensor av första ordningen. Eftersom ǫ ijk är en tensor av tredje ordningen, så följer att kontraktionen ǫ ijk T ke dx e är en tensor av andra ordningen. Q.E.D.

98 BILAGA B. LÖNINGAR Uppgift 1.13 Med hjälp av kartesiska tensormetoder kan uttrycket ( φ a) skrivas ( φ a) = e i ǫ ijk ǫ klm j l φa m Det sökta villkoret blir således 2 φ = 0. = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) j l φa m = e i ( i j φa j a i j j φ) = ( φ a) a 2 φ. Uppgift 1.14 i studerar vektoruttrycket [A ( A)] i volymen med hjälp av kartesiska tensormetoder: [A ( A)] = ǫ ijk ǫ klm i A j l A m = ǫ ijk ǫ klm [( i A j )( l A m ) + A j i l A m ] = ( A) 2 A [ ( A)] = ( A) 2, där vi använt oss av att A [ ( A)] = 0 i. Integralen kan nu förenklas med hjälp av Gauß sats: d ( A) 2 = d [A ( A)] = d [A ( A)]. Eftersom A ( A) = 0 på randytan, så blir integranden, och således även integralen, noll. Q.E.D. Uppgift 1.15 Tidsderivatan av den totala rörelsemängden ges av ( dp dt = d ρ v ) t + v ρ. t Genom användande av givna samband kan detta skrivas på formen dp dt = d [(ρv )v + P + v( ρv)]. Med hjälp av kartesiska tensormetoder skrivs detta om enligt dp = e i d [ρv k k v i + v i k ρv k + i P] dt = e i d k (ρv i v k + Pδ ki ) = e i d k (ρv i v k + Pδ ik ) = e i d k π ik, där π ik = ρv i v k + Pδ ik är en, uppenbarligen symmetrisk, tensor. Q.E.D.

B.1. LÖNINGAR TILL UPPGIFTER I KAPITEL 1 99 Uppgift 1.16 Genom att utnyttja relationen x i = a ijx j erhålls A ij a ika jl x k x l + B i a ikx k = 0. Detta är sant om och endast om A kl = A ij a ika jl och B k = B i a ik. Genom att multiplicera den första av dessa likheter med a mk a nl erhålls A mn = a mk a nl A kl och genom att multiplicera den andra med a lk erhålls B l = a lkb k. åledes utgör A ij och B i komponenter av tensorer. Hade inte A ij förutsatts vara symmetrisk skulle inte en yta unikt definiera dessa komponenter eftersom vi kan lägga till en godtycklig antisymmetrisk del utan att påverka andragradsytans form. Uppgift 1.17 a) i har enligt Einsteins summationskonvention δ ii = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 1 + 1 + 1 = 3. b) Eftersom δ ij = δ ji och ǫ ijk = ǫ jik erhålls δ ij ǫ ijk = δ ji ǫ jik = δ ij ǫ ijk = 0. Detta gäller alltid då en symmetrisk tensor kontraheras med en antisymmetrisk. c) Enligt ekvation (1.73) gäller att ǫ ijk ǫ ljk = δ il δ jj δ ij δ jl = 2δ il. d) Enligt c) gäller att ǫ ijk ǫ ijk = 2δ ii = 6. Uppgift 1.18 a) För tensorn A ijkl = δ ij δ kl gäller att A ijkl = a im a jn a kr a ls δ mn δ rs = a im a jm a kr a lr = δ ij δ kl. åledes är A ijkl en isotrop tensor. b) För tensorn B ijkl = A ikjl + A iljk gäller att B ijkl = A ikjl + A iljk = A ikjl + A iljk = B ijkl eftersom A ijkl är en isotrop tensor. åledes är B ijkl en isotrop tensor. c) För tensorn C ijkl = ǫ nij ǫ nkl gäller att C ijkl = a im a jr a ks a le ǫ nmr ǫ nse = a im a jr a ks a le a bn a cn ǫ bmr ǫ cse = ǫ nijǫ nkl = ǫ nij ǫ nkl, där vi använt oss av att ǫ ijk är en isotrop tensor samt att a bn a cn = δ bc. åledes är C ijkl en isotrop tensor.

100 BILAGA B. LÖNINGAR Uppgift 1.19 a) Det gäller att ( A) = ǫ ijk i j A k = ǫ jik j i A k = 0 eftersom de partiella derivatorna kommuterar. b) Uttrycket förenklas enligt (A B) ( C) = ǫ ijk ǫ ilm A j B k l C m c) Uttrycket förenklas enligt = (δ jl δ km δ jm δ kl )A j B k l C m = A j B k j C k A j B k k C j = B [(A )C] A [(B )C]. ( A) = e i ǫ ijk ǫ klm j l A m d) Uttrycket förenklas enligt = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) j l A m = e i ( i j A j j j A i ) = ( A) 2 A. (A B) = e i ǫ ijk ǫ klm j A l B m = e i (δ il δ jm δ im δ jl )(B m j A l + A l j B m ) = e i (B j j A i + A i j B j A j j B i B i j A j ) = (B )A + A( B) (A )B B( A). e) Uttrycket förenklas enligt (r φ) = ǫ ijk i x j k φ = ǫ ijk (δ ij k φ + x j i k φ) = 0. f) Uttrycket förenklas enligt (r φ) = e i ǫ ijk ǫ klm j x l m φ = e i (δ il δ jm δ im δ jl )(δ jl m φ + x l j m φ) = e i ( i + x i j j 3 i x j i j )φ = r 2 φ 2 φ (r ) φ. g) Uttrycket förenklas enligt [r ( A)] = e i ǫ ijk ǫ klm ǫ mnp j x l n A p = e i (δ il δ jm δ im δ jl )ǫ mnp (δ jl n + x l j n )A p = e i [ǫ jnp (δ ij n + x i j n ) ǫ inp (3 n + x j j n )]A p = e i ǫ inp ( n 3 n x j j n )A p = (2 + r )( A).

B.1. LÖNINGAR TILL UPPGIFTER I KAPITEL 1 101 h) Uttrycket förenklas enligt [( φ) ( ψ)] = ǫ ijk i ( j φ)( k ψ) = ǫ ijk [( i j φ)( k ψ) + ( j φ)( i k ψ)] = 0. i) Uttrycket förenklas enligt [(r )B] = e i ǫ ijk j x l l B k = e i ǫ ijk (δ jl l B k + x l l j B k ) = (1 + r )( B). j) Uttrycket förenklas enligt [(r ) B] = ǫ ijk ǫ jlm i x l m B k = (δ kl δ im δ km δ il )(δ il m B k + x l i m B k ) = m B m + x k i i B k 3 m B m x i i k B k = r ( 2 B) (2 + r )( B). k) Uttrycket förenklas enligt (A )(B C) = e j ǫ jlm A i i B l C m = A i e j ǫ jlm (C m i B l + B l i C m ) = B [(A )C] C [(A )B]. Uppgift 1.20 Uttrycket kan skrivas som [(r ) (r )]φ = e i ǫ ijk ǫ jlm ǫ knp x l m x n p φ = e i ǫ knp (δ kl δ im δ km δ il )x l (δ mn + x n m ) p φ = e i [ǫ kip x k p + ǫ knp x k x n i p ǫ knp x i (δ nk p + x n k p )]φ. Alla termer utom den första innehåller symmetriska tensorer som kontraheras med permutationssymbolen, således överlever enbart den första termen. Resultatet blir Q.E.D. [(r ) (r )]φ = e i ǫ kip x k p φ = r φ.

102 BILAGA B. LÖNINGAR Uppgift 1.21 a) Integralen kan skrivas L A dr = e i ǫ ijk A j dx k L = e i ǫ ijk ǫ klm d l m A j = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) d l m A j = e i (d i j A j d j i A j ), där tokes sats har använts för att skriva om linjeintegralen till en ytintegral. b) Integralen kan skrivas L A(B dr) = e i = e i L A i B j dx j ǫ jlk d l k A i B j = e i ǫ jlk d l (B j k A i + A i k B j ) = A[d ( B)] B[d (B )]A, där tokes sats har använts för att skriva om linjeintegralen till en ytintegral. c) Integralen skrivs om till en ytintegral med hjälp av tokes sats enligt L ǫ ijk A ij dx k = ǫ ijk ǫ klm d l m A ij = (δ il δ jm δ im δ jl ) d l m A ij = d i j (A ij A ji ). Det är rimligt att enbart den antisymmetriska delen av A ij ger ett bidrag till integralen eftersom vi i den ursprungliga linjeintegralen kontraherat A ij med permutationssymbolen. Uppgift 1.22 Integralen kan skrivas I = (A φ) d = ǫ ijk d i A j k φ.

B.1. LÖNINGAR TILL UPPGIFTER I KAPITEL 1 103 Eftersom A är virvelfritt gäller att φǫ ijk k A j = 0 och således även I = ǫ ijk d i (A j k φ + φ k A j ) = ǫ ijk d i k A j φ = A j φdx j L = φa dr, där vi använt tokes sats för att skriva om ytintegralen som en linjeintegral. Uppgift 1.23 Integralen kan skrivas I = [( φ) GradA] d = e l ǫ ijk ( j φ)( k A l )d i. Lägger vi till 0 = e i ǫ ijk ( k j φ)a l till integranden erhålls I = e l d u ǫ ijk k A l j φ = e l dx j A l j φ L = A(dr φ), L där vi har använt oss av tokes sats för att skriva om ytintegralen till in linjeintegral. Uppgift 1.24 a) Integralen kan skrivas d ( A) = e i ǫ ijk ǫ klm j l A m = e i (δ il δ jm δ im δ jl ) d j l A m = e i d j ( i A j j A i ), där vi använt oss av Gauß sats för att göra om integralen över volymen till en integral över dess randyta. b) Integralen kan skrivas I = d [( φ) ] A = d ǫ ijk ( j φ) k A i.

104 BILAGA B. LÖNINGAR Eftersom A i ǫ ijk j k φ = 0 (de partiella derivatorna kommuterar) kan detta adderas till integranden utan att ändra resultatet I. Effekten av detta blir att I = = = = d ǫ ijk [( j φ) k A i + A i j k φ] ǫ ijk k A i j φ d k ǫ ijk A i j φ d (A φ), där vi använt oss av Gauß sats för att skriva om integralen över volymen till en integral över dess randyta. Uppgift 1.25 Integralen kan skrivas I = d (B )A = e i d B j j A i. Eftersom B är ett källfritt fält gäller att j B j = 0, således kan vi addera e i A i j B j till integranden utan att ändra I. Resultatet av detta är I = e i = e i = e i = d (B j j A i + A i j B j ) d j A i B j d j A i B j A(B d), där vi använt oss av Gauß sats för att göra om integralen över volymen till en integral över dess randyta. Uppgift 1.26 i studerar termen d ( E), denna kan skrivas som d ( E) = e i ǫ ijk ǫ klm d j l E m = e i (δ il δ jm δ im δ jl )d j l E m = e i d j ( i E j j E i ).

B.1. LÖNINGAR TILL UPPGIFTER I KAPITEL 1 105 i kan använda detta för att skriva om integralen av denna term enligt d ( E) = e i d j ( i E j j E i ) = e i d j ( i E j j E i ) = e i d ( i j E j j j E i ) = e i (d i j E j d j j E i ) = [d( E) (d )E], där Gauß sats har använts för att först skriva om en ytintegral till en volymsintegral och sedan skriva om den omskrivna volymsintegralen till en ytintegral. Ur detta följer att det i uppgiften givna uttrycket är lika med noll. Q.E.D. Uppgift 1.27 För kraften F gäller att F i = df i = d ǫ ijk j j B k = 1 d ǫ ijk B k ǫ jlm l B m µ 0 = 1 d (δ kl δ im δ il δ km )B k l B m µ 0 = 1 d (B k k B i B k i B k ). µ 0 Genom att lägga till B i k B k = 0 till integranden kan denna skrivas F i = 1 d ( k B k B i 12 ) µ ib k B k 0 = 1 (d k B k B i 12 ) µ d ib k B k 0 där = 1 µ 0 = d j ( B i B j 1 2 δ ijb k B k ) T ij d j, T ij = B i B j 1 2 δ ijb k B k och Gauß sats har använts för att skriva om integralen över volymen till en integral över dess randyta.

106 BILAGA B. LÖNINGAR Uppgift 1.28 a) Om T ik = T ki så gäller att T ik = a li a jk T lj = a li a jk T jl = T ik. Om en tensor är symmetrisk i ett koordinatsystem så är den alltså automatiskt symmetrisk i ett annat. Eftersom T ik given i uppgiften är symmetrisk och tensorn T ik inte är det existerar alltså inget koordinatsystem K så att T ik antar den angivna formen. b) Kontraktionen T ii är en skalär och har samma värde i alla koordinatsystem. Det gäller att T ii = 3 och att T ii = 0, således existerar inget koordinatsystem K så att T ik antar den angivna formen. c) Något sådant koordinatsystem existerar inte av samma anledning som i a). Uppgift 1.29 a) Kraftens komponenter ges av F i = mǫ ijk ǫ klm ω j ω l x m = m(δ il δ jm δ im δ jl )ω j ω l x m = m(ω j ω j x i ω i ω j x j ) = mt ij x j, där vi har definierat T ij = m(δ ij ω k ω k ω i ω j ). b) Eftersom ω är den enda vektorn som ingår i definitionen av tensorn T ij är det rimligt att tro att ω är en egenvektor till denna tensor. Detta kan enkelt visas genom att sätta in detta i egenvärdesekvationen λa i = T ij a j, resultatet blir T ij ω j = m(ω k ω k ω i ω i ω j ω j ) = 0 och således är ω en egenvektor till tensorn T ij med egenvärdet noll (detta kan även lätt inses eftersom ω ω = 0). Antag nu att vi har en egenvektor a som uppfyller a i ω i = 0 (dessa existerar eftersom T ij är symmetrisk och det således existerar en uppsättning ortogonala egenvektorer). Resultatet av detta blir att T ij a j = m(ω k ω k a i ω i ω j a j ) = mω k ω k a i. Det följer att övriga egenvektorer har egenvärdet mω 2 och kan väljas godtyckligt så länge de väljs ortogonala mot ω. Uppgift 1.30 a) Den potentiella energin kan skrivas φ = (m 1 )(m 2 ) 1 r 1 = m 1i m 2j i j r = m 1i m 2j M ij,

B.1. LÖNINGAR TILL UPPGIFTER I KAPITEL 1 107 där M ij = i j (1/r) är en kartesisk tensor av andra ordningen. Genom att utföra deriveringarna erhålls M ij = 1 ( ) 3 r 3 r 2 x ix j δ ij. b) Den enda riktnig som utmärker sig i systemet är skillnadsvektorn r mellan de två dipolerna. Det är därför rimligt att denna skulle kunna vara en egenvekor till M ij. Detta kan visas genom att sätta in r i egenvärdesekvationen M ij x j = 1 r 3 ( 3 r 2 x ix j x j x i ) = 2 r 3 x i. åledes är r en egenvektor till M ij med egenvärdet 2/r 3. Eftersom M ij är symmetrisk existerar minst en uppsättning ortogonala egenvektorer till M ij, vi ansätter därför att övriga egenvektorer a uppfyller a i x i = 0. Genom att sätta in detta i egenvärdesekvationen erhålls M ij a j = 1 r 3 ( 3 r 2 x ix j a j a i ) = 1 r 3 a i. Ovanstående gäller för alla vektorer som är ortogonala mot r och således är alla dessa egenvektorer till M ij med egenvärdet 1/r 3. Uppgift 1.31 a) Kraftens komponenter kan skrivas som F i = eǫ ijk v j B k = M ij v j, där M ij = eǫ ijk B k är en tensor av andra ordningen. b) Eftersom B är den enda riktning som utmärker sig i definitionen av tensorn M ij är det rimligt att anta att B är en egenvektor till densamma. Detta kan enkelt visas genom att sätta in B i egenvärdesekvationen M ij B j = eǫ ijk B j B k = 0. åledes är B en egenvektor till M ij med egenvärdet noll. Antag nu att vektorn a är en egenvektor till M ij med egenvärdet λ. Detta innebär att N ik a k = M ij M jk a k = λm ij a j = λ 2 a i, a är alltså en egenvektor till M ij M jk med egenvärdet λ 2. amtidigt gäller att N ik = e 2 ǫ ijl ǫ jkm B l B m = e 2 (δ lk δ im δ lm δ ik )B l B m = e 2 (B i B k δ ik B l B l ). Eftersom tensorn N ik är symmetrisk har den en ortogonal uppsättning reella egenvektorer, en av dessa är B enligt ovan. Antag nu att vi har en vektor a som är ortogonal mot B. I detta fall erhålls N ij a j = e 2 (B i B k a k a i B l B l ) = e 2 B l B l a i. åledes måste a vara en egenvektor till N ij. Det följer att de två resterande egenvärdena till N ij är λ 2 = e 2 B i B i. Detta innebär att λ = ±ie B i B i. Alltså har tensorn M ij två imaginära egenvärden (±ie B i B i ) och ett egenvärde som är noll. Egenvektorn tillhörandes egenvärdet noll är parallell med B.

108 BILAGA B. LÖNINGAR Uppgift 1.32 Kraftens komponenter ges av F i = d ρe i = ǫ 0 d E i j E j = ǫ 0 d ( j E i E j E j j E i ) = ǫ 0 d ( j E i E j + E j j i φ) = ǫ 0 d ( j E i E j + E j i j φ) = ǫ 0 d ( j E i E j E j i E j ) = ǫ 0 d ( j E i E j 12 ) ie j E j = (d j E i E j 12 ) d ie j E j ( = d k E i E k 1 ) 2 δ ike j E j = d k T ik, där T ik = E i E k (1/2)δ ik E j E j och där Gauß sats använts för att skriva om integralen över volymen till en integral över dess randyta. Uppgift 1.33 Med hjälp av kartesiska tensormetoder kan integralen skrivas I = d [A( A) A ( A)] = e i d [A i j A j ǫ ijk ǫ klm A j l A m ] = e i d [A i k A k (δ il δ jm δ im δ jl )A j l A m ] = e i d (A i j A j A j i A j + A j j A i ) = e i d ( j A i A j 12 ) ia j A j = e i (A i A j 12 ) δ ija k A k d j, där Gauß sats använts för att skriva om integralen över volymen till en integral över dess randyta.