GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen f( har gränsvärdet A, då går mot talet a om följande gäller: Till varje ε > 0 (oavsett hur litet ε är finns det ett tal δ > 0 sådant att. funktionen f( är definierad för ( a δ, a ( a, a δ.. (0< a < δ f( A< ε Vi skriver då a f ( A (eller f( A då a Anmärkning. Talet δ i ovanstående definition är ( i allmänt beroende av ε så att vi kan skriva δ( ε istället. Anmärkning. Uttrycket 0< a < δ kan skrivas på ekvivalent sätt a < δ, a eller ( a δ, a ( a, a δ. Anmärkning. Lägg märke till att i ovanstående definition, på grund av kraven a, spelar det inte någon roll om funktionen f( är definierad i punkten a (Om f( är definierad i a då spelar det inte någon roll vilket värde funktionen har i punkten a. ------------------------------------------------------------------------------ På liknade sätt definieras ensidiga gränsvärden aa ff(, ff( aa samt gränsvärden då, och. (Vi anger definitioner för de här fallen samt oegentliga gränsvärden i slutet av den här stencilen. ------------------------------------------------------------------------------- Eempel. Visa med hjälp av definitionen att ( 0 av 0
Lösning: Låt ε > 0 vara ett reellt tal. Vi undersöker uttrycket f( A ssssss (* Eftersom är mindre än ε om är mindre än ε/ ser vi att vi kan t e välja δ ε ; då gäller f( < ε ε om 0 < 0 < δ. Vi har bevisat, enligt definitionen att 0 (. Vi ser att det är svårt att beräkna gränsvärden med hjälp av definitionen men, med hjälp av definitionen, härleds nedanstående räkneregler, som därefter används vid beräkning av olika typer av gränsvärden. Räkneregler:. Om aa ff( 0 och funktionen gg( är begränsad i en omgivning till punkten a [dvs. det finns ett konstant tal M så att gg( MMi omgivningen] då gäller aa ff(gg( 0. Om aa ff( A och gg( B, där A och B är reella tal, aa då gäller : ( ff( gg( AB aa ( ff( gg( AAAA aa ( ff( aa gg( AA BB, oooo BB 0. Om ff( gg( i en omgivning till a då är ff( gg( aa aa gränsvärdena eisterar. (om. INSTÄNGNINGSREGELN. Om ff( h( gg( och dessutom f ( g( A då är även h( A > a > a > a Anmärkning: Instängningsregeln framgår från egenskap eftersom av 0
f ( h( g( f ( h( g( A h( A Därför h( A > a > a > a > a > a Uppgift. Bevisa, med hjälp av definitionen, ovanstående räkneregler. ( Beviset finns i de flesta analysböcker. ------------------------------------------------------------------------------------------- Ensidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande: aa Vänstergränsvärdet av funktionen f( i punkten aa aa Högergränsvärdet av funktionen f( i punkten aa Eempel. fförr < Låt f( fförr fförr > y Bestäm 0 a ff(, bb ff( ooooh cc ff( Svar: aa ff( bb ff( cc ff( Om de två ensidiga (enkelsidiga gränsvärden är lika av 0
ff( AA aa ff( AA aa då och endast då gäller ff( AA aa ( Alltså, llllll aa ff( eisterar endast om de ensidiga gränsvärdena är lika. Definition aanta att funktionen f ( är definierad i ett öppet intervall runt punkten a. Funktionen ff( är kontinuerlig i punkten a om aa Annars är den diskontinuerlig i punkten a. ff( ff(aa Eftersom aa ff( ff(aa är ekvivalent med aa ff( aa ff( ff(aa har vi en ekvivalent definition Definition b Funktionen ff( är kontinuerlig i punkten a om ff( ff( ff(aa aa aa I teoretiska problem används ofta följande ε-δ definition av kontinuerliga funktioner: Definition e Funktionen ff( är kontinuerlig i punkten a om till varje ε > 0 finns det ett tal δ > 0 sådant att ( a < δ ( f( f(a< ε Vänsterkontinuerlig och högerkontinuerlig funktion Definition c Funktionen ff( är vänsterkontinuerlig i punkten a om ff( ff(aa aa Definition d Funktionen ff( är högerkontinuerlig i punkten a om ff( ff(aa aa av 0
KONTINUITET I ETT INTERVALL OCH PÅ HELA DEFINITIONSMÄNGDEN Definition f En funktion är kontinuerlig i intervallet (a, b om den är kontinuerlig i varje 0 i (a, b.en funktion är kontinuerlig i intervallet [a, b] om den är kontinuerlig i varje 0 i (a, b samt högerkontinuerlig i a och vänsterkontinuerlig i b. Vi säger att en funktion är kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i hela definitionsmängden. Elementära funktioner: De elementära funktionerna är polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, eponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, inversa trigonometriska funktioner och alla kombinationer av dessa med hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning. ln( sin Eempelvis är y är en elementär funktion medan 8 fförr < f( fförr är inte elementär. fförr > VIKTIGT: Sats: Alla elementära funktioner är kontinuerliga funktioner ( i sina definitionsmängder. n Alltså är y, n positivt heltal, n y, 0 n positivt heltal, p y, > 0 p ett reellt tal (men ej heltal, y sin, y cos, sin π cos y tan(, nπ, y cot(, nπ, cos sin y, y, y e, y a, a > 0, y arcsin,, y arccos,, y arctan, y arccot kontinuerliga funktioner (i sina definitionsmängder. Samma gäller med alla kombinationer av dessa med hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning. -------------------------------------------------------------------- Om ff( och gg( är kontinuerliga då är av 0
ff(gg(, ff( gg( och ff( gg( ddärr gg( 0 också kontinuerliga funktioner. Eempelviss är en kontinuerlig funktion om ±. Eempel Bestäm. ff(. ff(. ff(. ff( ( oooo dddddd ffffffffff och avgör om ff( är kontinuerlig i punkten då fförr < a f ( / fförr fförr > fförr < b f ( fförr fförr > Svar: a. ff(. ff( /. ff( y. Eftersom de ensidiga gränsvärden är lika ff( ff( finns det 0 ff(. Funktionen är inte kontinuerlig i punkten eftersom, t e, ff( ff(. b. ff( 6 av 0
. ff(. ff(. Eftersom dem ensidiga gränsvärden är lika ff( ff( finns det ff(. y Funktionen är kontinuerlig i punkten eftersom ff( ff( ff(. Eempel. ( Viktigt eempel Låt ff(. Funktionen ff( är inte f(/ definierad i punkten 0. Bestäm med hjälp av funktionens graf följande gränsvärden a 0 c bb 0 dd Svar: aa 0 Alternativt kan vi skriva om 0. { Vi kan använda föregående resultat som minnesregel " "; endast som 0 minnesregel eftersom det är inte definierat att dela med 0. } bb 0 Alternativt kan vi skriva om 0. 7 av 0
{ Vi kan memorera resultat som " 0 " men endast som minnesregel eftersom det är inte definierat att dela med 0. } c dd 0 0 { Vi kan memorera resultat som " 0"} Beräkning av gränsvärdena I samband med beräkning av gränsvärdena kallar vi följande uttryck för obestämda uttryck: 0 0,, 0,, 00,, 0. När vi får ett obestämt uttryck vid direkt beräkning av ett gränsvärde, skriver vi om funktionen, förenklar och därefter försöker igen beräkna gränsvärdet. Ibland krävs det kompletterande undersökningar, variabelbyten, L Hospitals regel o dyl. Nedan finns några eempel. A Rationella uttryck där går mot ett reellt tal Eempel. Beräkna följande gränsvärde >. Lösning: Om vi substituerar direkt i 0 får vi det obestämda uttrycket. 0 Därför förkortar vi först bråket med. [ Vi kan faktorisera täljaren och nämnaren, och förkorta bråket därefter. Alternativt, kan vi dela täljaren och nämnaren med (-.] > ( ( > ( > Svar: > Eempel. Beräkna följande gränsvärde 8 av 0
> Lösning: Om vi substituerar i. får vi det obestämda uttrycket 0 0. Detta betyder att både, täljaren och nämnaren är delbara med (-. Det är inte uppenbart hur vi ska faktorisera täljaren. Därför delar vi ( med (- ( polynomdivision och får ( / (- ( kontrollera själv Nu har vi ( ( > ( ( > > Svar: Uppgift. Beräkna följande gränsvärden: 0 0 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 8 0 0 0 0 7 0 7 6 6 Svar: 0 / -/ -/ 0 6 -/ 7 0 8 /0-0 / /7 / B Rationella uttryck där går mot Vid beräkning av gränsvärdena där går mot utnyttjar vi ofta att av 0
00 om Eempel 6. Beräkna a > b > c > Lösning: Vi bryter ut i täljaren den potens som har störst eponent och samtidigt nämnarens största potens och därefter förkortar bråket. ( Alternativ: Man kan i början förkorta bråket med största potensen. 0 0 0 0 > b ( ( ( med förkortar > > 0 ( ( > c ( ( ( med förkortar > > > ( ( ( ( med förkortar a > > 0 av 0
Svar: a b 0 c Uppgift. Beräkna följande gränsvärden: a 00 > 00 b > 00 c > d > e > f > a Lösning: 00 > 00 > 00 ( 00 ( 00 > 00. Svar: a / b 0 c d e f 0 C Rotuttryck Eempel 7. Beräkna följande gränsvärde Lösning: >. (Anmärkning: Om vi substituerar får vi uttrycket 0. Därför förenklar vi uttrycket 0 först och substituerar efter förenkling. Eempel 8. Beräkna följande gränsvärde a > b > c 6 > Lösning: av 0
a > ( ( ( > > ( ( ( > b ( ( > > ( ( > ( ( ( > ( ( 8 c 6 > > 6 ( > (6 ( > ( ( > ( 8 Svar a b 8 c 8 Uppgift. Beräkna följande gränsvärde a 0 b c d a Lösning: 0 0 ( ( ( ( 0 ( 0 Svar a / b c -/ d 60 Standardgränsvärdet av 0
ssssssss ( AAAAAA: VVVVVVVVVVVVVV ärr ii rrrrrrrrrrrrrrrr. 0 Eempel. Beräkna ssssss 0 Lösning: Direkt substitution ger ett obestämt uttryck 0 0. VVVV ssssssssssssssssssssssss tt (ssssss ärr eeeeeeeeeeeeeeeeeeee mmmmmm tt/. Dessutom 0 ärr eeeeeeeeeeeeeeeeeeee mmmmmm tt 0 tt 0 ssssssss tt/ tt 0 ssssssss tt ssssssss [eeeeeeeeeeeeeeee, ssssssssssssssssssssännnnnnärrrrrrrr] tt 0 tt Svar: ssssss / 0 Uppgift. Beräkna följande gränsvärden aa 0 ssssss(8 bb ssssss(tt tt 0 ssssss(8tt cc tttttt(yy yy 0 ssssss(yy dd yy 0 tttttt(yy ssssss(yy ee ssssss(hssssssss h 0 h Tipps för d Använd formeln ssssssss ssssssss cccccc( aabb ssssss(aabb ff ssssssss ππ ππ ssssss(aa g aa aa Lösning ( Lägg märke till att, för alla uppgifter, direkt substitution ger det obestämda uttrycket 0. 0 a 0 ssssss(8 0 8 8 ssssss(8 8 8 bb ssssss(tt tt 0 ssssss(8tt tt 0 ssssss(tt tt ssssss(8tt tt 8 av 0
tttttt(yy c yy 0 ssssss(yy d Svar: / yy 0 ssssss(yy ccccccyy ssssss(yy yy 0 ccccccyy ssssss(yy yy ssssss(yy yy ssssss(hssssssss cccccc( e h 0 h h 0 h ssssssh h [cccccc( h ssssss h h 0 h ] cccccc( 0 cccccccc Anmärkning: Vi har faktiskt i upp. e härlett och bevisat att derivatan av ssssssss är cccccccc. f För att få det standardgränsvärdet substituerar vi ππ tt och får ππ ssssssss ππ tt 0 ssssss(tt ππ tt [ vvvv tttttt bbbbbbbb ttttå pppppppppppppppp ππ] ssssss(ttππ tt 0 tt [ffffffffffffff: ssssss(ππ tt ssssssss] ssssss(tt tt 0 tt ssssss(aa g aa aa [ Substitution aa tt ] ssssssss tt 0 tt Uppgift 6. Kan man bestämma tal a så att funktionen ff( blir kontinuerlig i punkten om fförr < a f ( fförr aaaa fförr > aaaa fförr < b f ( fförr fförr > aaaa fförr < c f ( fförr fförr > a Lösning : av 0
Vänstergränsvärde i punkten : [ Lägg märke till att < ii detta fall, för, och därför väljer vi f(. ] Högergränsvärde i punkten : ff( ( ( Lägg märke till att > den här gången, för, och därför väljer vi f( a. Funktionens värde i punkten : ff( aaaa aa ff( Funktionen är kontinuerlig i punkten om Detta är sant om a. ff( ff( ff( Alltså är funktionen f( kontinuerlig i punkten om a. Svar : a Funktionen f( är kontinuerlig i punkten om a. b Funktionen f( är kontinuerlig i punkten om a. c Det finns inte a så att funktionen f( blir kontinuerlig i punkten. Här anger vi definitioner av olika typer av gränsvärden: FORMELLA DEFINITIONER AV HÖGER_ OCH VÄNSTERGRÄNSVÄRDEN Definition. ( Högergränsvärde Låt A och a vara reella tal. Vi säger att funktionen f( har högergränsvärdet A, då går mot a om följande gäller: Till varje (" litet tal" ε > 0 finns det ett tal δ > 0 så att. funktionen f( är definierad för (a, a δ. (a, a δ f( A< ε av 0
Vi skriver då a f ( A Definition. ( Vänstergränsvärde Låt A och a vara reella tal. Vi säger att funktionen f( har vänstergränsvärdet A, då går mot a om följande gäller: Till varje ( " litet tal" ε > 0 finns det ett tal δ > 0 så att. funktionen f( är definierad för (a δ, a och (a δ, a f( A< ε Vi skriver då a f ( A OBEGRÄNSADE FUNKTIONER. OEGENTLIGA GRÄNSVÄRDEN I ovanstående definitioner har vi antagande att A är ett tal. Nu definierar vi funktionens oegentliga gränsvärden och. Låt a vara ett reell tal. Låt f vara en reell funktion med definitionsmängden D f. Antag vidare att varje omgivning av punkten a innehåller andra punkter än a som ligger i funktionens definitionsmängd D f. Definition. Vi säger att funktionen f(, då går mot Till varje ( "stort tal" M > 0 finns det ett tal δ > 0 så att. funktionen f( är definierad för (a, a δ och. (a, a δ f( > M a om följande gäller: Vi skriver då a f ( Definition 6. Vi säger att funktionen f(, då går mot Till varje tal M < 0 finns det ett tal δ > 0 så att. funktionen f( är definierad för (a, a δ a om följande gäller: 6 av 0
och : (a, a δ f( < M Vi skriver då a f ( Om vi i de två ovanstående definitionerna ersätter (a, a δ med (a δ, a får vi definitioner för oegentliga gränsvärden då går mot a : a f ( och Eempel: Låt f ( ( a f (. Då gäller f (, f ( ( Den vertikala linjen kallas funktionens lodrät ( vertikal asymptot. GRÄNSVÄRDEN DÅ ± Definition 7a. Låt A vara ett reell tal. Vi säger att funktionen f( har gränsvärdet A, då går mot om följande gäller: Till varje ε > 0 finns det ett tal M > 0 så att. funktionen är definierad för > M och > M f( A < ε Vi skriver då f ( A På liknande sätt definieras betydelse av uttrycket f ( A. 7 av 0
Definition 7b. Låt A vara ett reell tal. Vi säger att funktionen f( har gränsvärdet A, då går mot om följande gäller: Till varje ε > 0 finns det ett tal M så att. funktionen är definierad för < M och. < M f( A < ε Vi skriver då f ( A Eempel: Låt sin f ( Då gäller f ( 0 och f ( 0. ( Den horisontella ( vågräta linjen y0 kallas funktionens vågrät ( horisontell asymptot. Eempel: Låt f ( sin I det här fallet eisterar inte gränsvärdet av f ( sin då > eftersom i varje interval ( b, antar funktionen f ( sin alla värden mellan och Eempel. Bevisa med hjälp av definitionen att > Bevis: Låt ε >0. Vi försöker finna ett (stort tal M ( som beror av ε så att 8 av 0
< ε för alla >M. Vi har 6 8 6 8 6 6 8 6 < ( om > Sista gäller om > ( som vi kan anta eftersom ->. Alltså < Istället ε < kan vi därför lösa enkla olikheten ε < Eftersom ε < om ε > kan vi ta, ma( ε M. Då blir ε < < för >M. Alltså för varje ε >0 finns det M [Vi kan välja t e, ma( ε M ] sådant att < ε om M >. Enligt definitionen betyder detta att > vilket skulle bevisas. Uppgift 7. Bevisa med hjälp av definitionen att > Tips. Se ovanstående eempel Till slut anger vi definitionen för uttrycken av typ ± ± ( f. Definition 8. Vi säger att funktionen f( går mot då går mot om följande gäller: Till varje tal K > 0 ( oavsett hur stort är K finns det ett tal M > 0 så att. funktionen är definierad för >M av 0
och. > M f( >K Vi skriver då f ( Definition. Vi säger att funktionen f( går mot då går mot om följande gäller: Till varje tal K finns det ett tal M > 0 så att. funktionen är definierad för >M och. > M f( < K Vi skriver då f ( På liknande sätt definieras uttryck f ( och f ( Eempel: Låt f (. då gäller f ( och f (. 0 av 0