SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på ytn z + y z 3 1. estäm med hjälp v det tngentpln som beräknts i ett pproimtivt värde på t. (1p Lösning: Låt f(, y, z z + y z 3. Ytn är då nivåytn f(, y, z 1. Eftersom f(1, 1, 1 ligger punkten (, y, (1, 1, verkligen på ytn. Vi bestämmer de prtiell derivtorn v f i (, y, (1, 1,. f (, y, z y z 3 f (1, 1, 8 f y(, y, z yz 3 f y(1, 1, 16 f z(, y, z 1 + 3y y z f z(1, 1, 13 Det sökt tngentplnet hr lltså ekvtion 8( 1 16(y + 1 + 13(z 8 16y + 13z 5. b Ett pproimtivt värde till t fås genom tt bestämm det tl s som är sådnt tt (, y, z (1.1,.9, s uppfyller tngentplnets ekvtion. 8(1.1 1 16(.9 + 1 + 13(s s + 4 65.1 Svr: 8 16y + 13z 5 b t + 4 65.1. ( eräkn volymen melln ytn z 1 y och det område i y-plnet som bestäms v olikhetern + y 1, + y > och y. Lösning: Låt K vr den kropp vrs volym skll beräkns och låt D vr området i y-plnet som ges v olikhetern + y 1, + y > och y. Området D ges i poär koordinter v r 1 och φ 3π/4. Volymen V ol(k ges då v V ol(k 1 y ddy 1 r rdrdφ Svr: π 4 v.e. D 3π/4 dφ 1 r 1 r dr 3π 4 r 1, φ 3π/4 [ ( 1 1 r 3/] π 3 ( 4.
(3 Låt f(, y 3 y 4. eräkn riktningsderivtorn f u(1, 1 då u är en enhetsvektor som är tngetvektor till kurvn 3 y 4 1 i punkten (1, 1; f v(1, 1 då v är en enhetsvektor som hr positiv -komponent och är ortogonl mot kurvn 3 y 4 1 i punkten (1, 1. Lösning: Lösningen bygger på det känd fktumet tt grd f(, b är ortogonl mot f:s nivåkurv genom punkten (, b. Eftersom u är prllell med med kurvn 3 y 4 1 i punkten (1, 1 är u ortogonl mot grd f(1, 1. Vi får f u(1, 1 u grd f(1, 1 eftersom sklärprodukten v två sinsemelln ortogonl vektorer är. v är en enhetsvektor prllell med grd f(1, 1. Vi hr tt grd f(, y (3 y 4, 4 3 y 3 grd f(1, 1 (3, 4, och lltså är v, som också sk positiv -komponent, 1 (3, 4. Vi får 5 Svr: b 5. f v(1, 1 v grd f(1, 1 1 (3, 4 (3, 4 5 5 Del (4 De reellvärd funktionern v två vribler f 1, f, f 3, f 4 hr kontinuerlig prtiell derivtor v ll ordningr i hel R och hr Tylorpolynom v grd i origo enligt nedn: f 1 hr ndr grdens Tylorpolynom p 1 (, y + y + + y i origo. f hr ndr grdens Tylorpolynom p (, y 47 5 + 3y y i origo. f 3 hr ndr grdens Tylorpolynom p 3 (, y + 1y + y i origo. f 4 hr ndr grdens Tylorpolynom p 4 (, y 4 3y i origo. Avgör om någon eller någr v funktionern f 1, f, f 3, f 4 hr en lokl etrempunkt i origo. Avgör i så fll också om möjligt vilken typ v etrempunkt det är. Lösning: Eftersom funktionen f 1 hr prtiell derivtor i origo som båd är 1 ( så hr f 1 ingen lokl etrempunkt i origo. För funktionen f är båd prtiell derivtorn i origo. Vi studerr i funktionens Tylorpolynom den kvdrtisk formen 5 + 3y y 5( (3/5y + (1/5y 5[( (3/1y + (11/1y ] som tydligen är negtivt definit. Alltså hr f en lokl mpunkt i origo.
För funktionen f 3 är båd prtiell derivtorn i origo. Vi studerr i funktionens Tylorpolynom den kvdrtisk formen + 1y + y [( + 5y 3y ] som tydligen är indefinit. Alltså hr f 3 en sdelpunkt och ingen lokl etrempunkt i origo. För funktionen f 4 är båd prtiell derivtorn i origo. Vi studerr i funktionens Tylorpolynom den kvdrtisk formen 4 3y som är indefinit. Alltså hr f 4 en sdelpunkt och ingen lokl etrempunkt i origo. Svr: Den end v funktionern som hr en lokl etrempunkt i origo är f som hr en lokl mpunkt där. (5 eräkn trippelintegrlen koordintplnen och plnet + 3y + 6z 6. K ddydz då K är den tetreder som begränss v Lösning: Tetredern hr sin hörn i punktern (,,, (3,,, (,, och (,, 1. Den sid v tetredern som ligger i y-plnet är en tringel begränsd v - och y-lrn smt linjen + 3y 6 dvs y. Det följer tt 3 3 3 1 1 3 1 y ddydz dz dy d 3 3 Svr: 3 4 K (1 13 1 y dy d 3 3 ( 1 1 3 d 3 [(1 13 y y 4 ] (1 1 3 d 1 9 3 3 + d 3 4. 3 (6 En prtikel rör sig längs den pln kurvn y 3 från (, 4 till (1, 1 i ett krftfält som påverkr prtikeln med krften F(, y ( ( + y, y. 3/ ( + y 3/ eräkn det rbete som krftfältet uträttr. Lösning: På grund v symmetri ser mn direkt tt ( y ( ( + y 3/ y ( + y 3/ för ll (, y (,. Det följer tt krftfältet är konservtivt i vrje enkelt smmnhängde område som inte innehåller origo, speciellt kn vår kurv innesluts i ett sådnt område. Med stndrmetod, eller genom inspektion, finner mn en potentilfunktion U(, y ( + y 1/. Det utförd rbetet ges då v A F dr U(1, 1 U(, 4 1 1. γ
4 Svr: 1/ 1/. Del C (7 För ett visst svängnde trumskinn, givet v + y R, gäller tt svängningsmplituden u(, y uppfyller Helmholtz ekvtion u + u y + c u där c är en konstnt. Av symmetriskäl kn mn förvänt sig lösningr v formen u(, y f( + y, för någon funktion f v en vribel. Vis tt en sådn lösning f måste uppfyll differentilekvtionen f (r + 1 r f (r + c f(r. Lösning: Vi bestämmer först u i termer f och dess derivt. u f( + y f ( + y + y f ( + y + y. Vi bestämmer på motsvrnde sätt u. ( u f ( + y + y f ( + y ( + y + y + f ( ( + y + y f ( ( + y + f ( + y + y +y + y + y f ( ( + y + f ( y + y + y ( + y 3/ f (r r + f (r y r 3, där vi hr infört beteckningen r + y. På grund v symmetri i och y fås också u y f (r y r + f (r r 3.
5 Insättning i Helmholz ekvtion ger f (r r + f (r y r 3 + f (r y r + f (r r 3 + c f(r f (r + y + f (r + y + c f(r r r 3 f (r + 1 r f (r + c f(r V.S. (8 eräkn trippelintegrlen cos z + sin z ddydz då är det område som bestäms v olikhetern, y och + y + z 4. Lösning: Området består v den del v klotet med medelpunkt i origo och rdie som ligger över, i och under först kvdrnten i y-plnet. Eftersom är symetriskt med vseende på plnet z och sin z är en udd funktion i z följer tt sin z ddydz. För tt beräkn cos z ddydz beskriver vi i sfärisk koordinter r cos φ sin θ r y r sin φ sin θ, S : φ π. z r cos θ θ π Dett ger cos z + sin z ddydz cos z ddydz π dφ S ( π cos(r cos θ r sin θdrdφdθ r cos(r cos θ sin θ dθ dr Den inre θ-integrlen beräknr vi med substitutionen u r cos θ (r hålls här konstnt, du r sin θ, och med ny gränser u( r och u(π r. Minustecknet i du försvinner genom omkstning v integrtionsgränsern. Vi får vilket ger π r cos(r cos θ sin θ dθ r r r cos u du r sin r cos z + sin z ddydz π r sin r dr π[sin r r cos r] π(sin cos. Svr: π(sin cos
6 (9 Låt f : R R och g : R R vr två kontinuerlig funktioner sådn tt f g, f( g( och f(b g(b, och låt P : R R vr en funktion med kontinuerlig prtiell derivtor. Vis, utn tt nvänd Greens formel, tt P P (, y d d dy, y γ där D {(, y R : f( y g(, b} och γ är rnden D orienterd moturs. (Påståendet i uppgift 9 är ett specilfll v Greens formel och kn nvänds som ett steg i ett bevis v den generell formuleringen v Greens formel. Lösning: Låt γ 1 vr kurvn y f(, b, där vi tr som kurvprmeter löpnde från till b, och åt γ vr kurvn y g(, b, där vi återigen tr som kurvprmeter men nu löpnde från b till. Då är γ γ 1 + γ och V.L. P (, y d P (, y d + P (, y d γ γ 1 γ b D P (, f( d + b P (, g( d D b P (, f( P (, g( d. Vi jobbr nu med högerledet, och utnyttjr tt D {(, y R : f( y g(, b} ( P b g( H.L. y ddy P b (, y dy d (P (, g( P (, f( V.L. y f(