HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm, så det är viktigt tt du klrr v uppgiftern på egen hnd! Trots dett rekommenders och uppmuntrs rbete i grupp smt nvändning v Mthemtic även där endst hndräkning förvänts! I lösningsförslgen hittr du oftst både hndräkning och Mthemtic, dett för tt du sk få träning på båd! Avsknd v lösningsförslg eller "snål" sådn sk tolks positivt som en inspirtion och utmn dig till tt fll igen luckor och verifier det som är gjort. H teorikompendiern till hnds, där finns mång löst eempel. Uppgifter Tpuppgifter i först hnd. Bestäm f b g c f g d f g e f f sin g f g. Integrer b c t t d e sin f cos g i u u u u j u k u u 6 t t t h 5. Integrer b c 5 d 8 t e t h s s s s 5 s i j k u u u f s s s g c c. Integrer sin b 5. Integrer b c cos t t d sin u u e v v mv v f sin t t g sin t t h u u i j b u u k 8 b uv l m t n cos t 6. Bestäm ren som innesluts melln kurvorn f och g då,. 8 6.5..5. 7. Använd integrl för tt bestämm ren v tringeln med hörnen i,, 5, och 5,. 5
Tillämpd Mtemtik I, Övning HH/ITE/BN 8. Området under grfen för, dels i två lik stor delr v linjen.sök...8.6.. 9. För ren A i figuren gäller för ll tt A rctn. Bestäm funktionen f för ll. f A. Bestäm A f t t,. Ange det nltisk uttrcket för A i vrje delintervll. f. Bestäm ren melln grfern och.. Bestäm riktningskoefficienten för en rät linje l : k m som går genom, så tt området som innesluts v eln, eln, l och linjen 6 får ren. k m, 6..5..5...5..5.. Beräkn rbetet som krävs för tt lft 5 kg kol ur en 7 m djup gruv med en kbel som väger.5 kg m. Vid vrje lft kn mn t mimlt 8 kg kol i hisskorgen som väger kg.. En modell för tt beskriv volmen ved i ett träd gvs v Zhng, Borders och Bile. h Om trädet är H högt så gäller för volmen upp till höjden h tt V h k H. Bestäm enheten på konstnten k så tt modellen blir konsistent. b Integrer frm ett slutet uttrck för V h. c Bestäm volmen för hel trädet. Rit vedens utveckling med höjden d Del in höjden i tre lik lång delr och nge hur trädets volm fördels över dess.
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 5. Bestäm ren som innesluts melln sin, cos,...8.6...5..5 5 6. Integrer b c 8 d 7. Bestäm då är området som begränss v olikhetern, och. 8. Bestäm volmen v den kropp som uppstår då området som innesluts v eln, linjern och 5 smt grfen till, 5 roterr ett vrv runt eln. 9. Bestäm volmen v den kropp som uppkommer då området som innesluts v eln, linjern och smt grfen till, roterr ett vrv kring eln...5.. När det mrkerde området som begränss v den rät linjen eln, linjern och roterr ett vrv runt eln lstrs en kropp. Sök, så tt denn kropp får volmen volmenheter.. När det mrkerde området i figuren roterr ett vrv runt eln lstrs en kropp. Sök så tt denn kropp får volmen volmenheter. 6 6. Bestäm med hjälp v integrl volmen v en rk cirkulär clinder med bsrdien R och höjden H. Genomför klklen både med små clindrr och små lökringr
Tillämpd Mtemtik I, Övning HH/ITE/BN. Bestäm med hjälp v integrl volmen v en rk cirkulär kon med bsrdien R och höjden H. Genomför klklen både med små clindrr och små lökringr. Bestäm med hjälp v integrl volmen v ett klot med rdien R. Genomför klklen både med små clindrr och små lökringr Vilken integrl blir enklst? 5. En chokldprlin är formd som en stmpd cirkulär kon med rdiern R och R smt höjden R. Sök dess volm. 6. Bestäm med hjälp v integrl längden v kurvn,,. 7. Bestäm med hjälp v integrl ren v mnteltn hos en rk cirkulär kon med bsrdien R och höjden H. 5.5..5..5. 8. Bestäm med hjälp v integrl såväl re som omkrets för en cirkel med rdien R. Genomför reklklen både med små lökringr och små rektnglr 9. Bestäm med hjälp v dubbelintegrl och polär koordinter ren för en cirkel med rdien R.
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 5. Vilket rbete krävs för tt dr ut en fjäder m om mn vet tt krften N drr ut den m?. I en sml rk stång med längden L m är densiteten kg m proportionell mot vståndet i kvdrt till stångens en ändpunkt. Bestäm tngdpunktens läge G ur ekvtionen m G m. L. I en sml rk stång med längden L m vrierr densiteten kg m linjärt så tt den är vid en ändpunkten och vid den ndr. Bestäm tngdpunktens läge G om vi vet tt denn bestäms v ekvtionen m G m. L. En pppskiv i form v en rätvinklig tringel, med konstnt tdensitet, är uppriggd enligt figur. Bestäm tngdpunktens läge G, G, om vi vet tt denn bestäms v ekvtionen m G m och nlogt i riktningen. b. Bestäm msströghetsmomentet m m för en sml stång med längden L och mssn m, med vseende på en el vinkelrät genom centrum, b en el vinkelrät genom en änden. L 5. I en sml rk stång med längden L m vrierr densiteten kg m linjärt så tt den ökr från vid en ändpunkten till vid den ndr. Bestäm tröghetsmomentet m m kring eln smt kring en el genom mittpunkten prllel med eln. L 6. I en sml rk stång med längden L m vrierr densiteten kg m prbelformt så tt den är vid ändpunktern och på mitten. Bestäm tröghetsmomentet m m kring eln smt kring en el genom mittpunkten prllell med eln. 7. I en sml rk stång är densiteten kg m. L Sök stångens längd L m om mn vet tt den väger M kg. L L
6 Tillämpd Mtemtik I, Övning HH/ITE/BN 8. En tringulär dmmluck enligt figur sk bär trcket från vttnet som vrierr enligt p gn m,där är djupet under vttentn. Sök totl trckkrften på luckn. 9. En tunn pppskiv i form v en rätvinklig tringel medmssn m är uppriggd enligt figur. Sök tröghets momentet m r m då den roterr kring eln. b. På strnden sitter ett brn och bgger ett sndslott i form v en rk cirkulär kon v snd med densiteten kg m. Vilket rbete hr brnet uträttt då sist sndkornet plcerts på toppen v konen om dess bsrdie då är R m och höjd H m? Ledning: Att lft mssn m höjden h kräver rbetet mgh. Betrkt sedn det uträttde rbetet som tt lft mång tunn cirkulär skivor på plts.. En rottionssmmetrisk tnk 9, 8som är helt flld v en vätsk med densiteten sk tömms med hjälp v en pump på tket. Vilket rbete kommer pumpen tt uträtt?. I en std nser mn tt befolkningstätheten r invånre per kvdrtkilometer vrierr enligt r r, r, där r km är vståndet från centrum. Hur mång personer bor det i stden som hr melln och 5 km till centrum? Ledning: Använd lökringr. Härled volmen BH för en prmid med kvdrtisk bst B och H den vinkelrät höjden mot denn. H. Härled volmen BH för en prmid med tringulär bst B och H den vinkelrät höjden mot denn. H
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 7 5. Från en ost formd som ett rätblock bortskäres med tråd en kil så tt den kvrvrnde ostbiten bildr en kropp där vrje snitt vinkelrät mot eln är en prllelltrpets; urrtd till en rektngel vid och en tringel vid. Sök ostbitens volm.,,,,,,,,,,,, 6. Bestäm med hjälp v dubbelintegrl och polär koordinter volmen v läppstiftet som begränss v, och 8. 5 Etruppgifter i ndr hnd i mån v tid 7. Låt f vr den stckvis konstnt funktionen i figuren och beräkn f 5 och cos f. f 8. Integrer b c t t d e sin f cos g 5 t t i u j u u k c u u c t h 9. Bestäm volmen v den kropp som uppkommer då området som innesluts v eln och grfen till sin, roterr ett vrv kring eln...5..5...5..5. 5. Bestäm den volm som innesluts då området som innesluts melln sin, cos,,. roterr ett vrv kring eln..8.6...5..5
8 Tillämpd Mtemtik I, Övning HH/ITE/BN 5. En tringulär dmmluck enligt figur sk bär trcket från vttnet som vrierr enligt p gn m,där är djupet under vttentn. Sök totl trckkrften på luckn smt det moment som trcket orskr kring luckns upphängningsel vid vttentn. 5. På ett reningsverk finns en bssäng för smutsigt vtten. Denn hr höjden m och cirkulärt tvärsnitt med rdien r,. Den är helt flld med smutsigt vtten som beroende på prtiklr hr densiteten h h kg m,därhär djupet under tn. Bestäm vttnets totl mss. 5. En tunn tråd med densiteten böjs till en spirl med rdien r k,. Bestäm spirlens msströghetsmoment kring origo. I figuren till höger är spirlen uppritd med k.5..5..5.5..5.5..5 k.5.5..5. 5. Bestäm volmen v den kropp som uppkommer då området som innesluts v eln, linjen smt grfen till, roterr ett vrv kring linjen..5..5. 55. Mn vet tt f ' och tt f. Bestäm f...5..5..5..5..5..5. Fördjupningsuppgifter i tredje hnd eller inte lls 56. Integrer b s s c ln d s ln e f g h sin i j rctn k tn 57. Integrer cos b sin c d ln e tn f sin g cos h i j sin k 58. Genom centrum på ett klot borrs ett hål som visr sig få längden. Bestäm volmen v det mteril som återstår.
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 9 59. Bestäm den volm som innesluts då området som innesluts melln sin, cos,, roterr ett vrv kring eln...8.6...5..5 6. Bestäm längden v Pscls snäck r cos,. Kurvn är uppklld efter den berömde Blise Pscls fr Etienne Pscl...5.5. r.5..5. 6. Härled volmen BH för en prmid med godtcklig bst B och H den vinkelrät höjden mot denn. H