für Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig
|
|
|
- Olof Berglund
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ÅܹÈÐÒ¹ÁÒ ØØÙØ für Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig Tensor decomposition in electronic structure calculations on 3D Cartesian grids (revised version: November 27) by Sambasiva Rao Chinnamsetty, Heinz-Jürgen Flad, Venera Khoromskaia, and Boris N. Khoromskij Preprint no.: 65 27
2
3 ÌÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ ÓÒ ÖØ Ò Ö Ëº ʺ ÒÒÑ ØØÝ Àº¹Âº Рκ ÃÓÖÓÑ Ò ºÆº ÃÓÖÓÑ ÅܹÈÐÒ¹ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ Ò Ø ËÒ ÁÒ Ð ØÖº ¾¾¹¾ ¹¼½¼ ÄÔÞ ÖÑÒݺ Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÞÙ ÃÐ Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÈÐØÞ ¾¼ ÃÐ ÖÑÒݺ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÙØÓÖ ÚÑ ºÑÔº κ ÃÓÖÓÑ µ ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÔÖÓÔÓ ÒÓÚÐ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÓÑÒØÓÒ Ó ÌÙÖ¹ØÝÔ Ò ÒÓÒÐ ØÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ ØÒÕÙ ÓÖ Ø ÆÒØ ÒÙÑÖÐ ÔÔÖÓÜѹ ØÓÒ Ó ÙÒØÓÒ Ò ÓÔÖØÓÖ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ º ÁÒ ÔÖØÙÐÖ Û ØÙÝ ÔÓØÒØÐ ÔÔÐØÓÒ Ó ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ Ø ÒÙÑÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ó ÀÖØÖ¹Ó Ò ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙØÓÒ ÓÒ ÖØ Ò Ö º ÄÓÛ¹ÖÒ ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ¹ØÝÔ ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ö ÒÚ ØØ ÓÖ Ð¹ ØÖÓÒ Ò Ø Ò ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ó ÑÔÐ ÑÓÐÙÐ ÛÖ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒÚÖ¹ Ò ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ó ÖÚº Ì ÒÐ Ò ÆÒØ ØÒ ÓÖ¹ ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ù Ò ÓÐÐÓØÓÒ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ú ÔÛ ÓÒ ØÒØ ÙÒØÓÒ ÓÒ ÙÒÓÖÑ Ò Ò Ò Öº ÓÑÒ ÛØ ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÓÙÖ ÔÔÖÓ ÜØ Ç µ ÓÒÚÖÒ ÛØ Ç Ò ½ µ Ò ÖÕÙÖ Ç ÖÒ Ö µ ØÓÖ ÛÖ Ö ÒÓØ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÛØ Ö Ò ÐÑÓ Ø ÙÒÓÖÑÐÝ Ò Ò Ô ÐÐÝ Ö Ç ÐÓ Òµµº ÓÖ ÜÑÔÐ ÀÖØÖ¹Ó ÐÙÐØÓÒ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ ÛØ Ô ÙÓÔÓØÒØÐ ÓÒ Ø ØÓÑ Ú ÙÖ Ó Ø ÓÖÖ Ó ½¼ ÖØÖ ÛØ Ö¹ Þ Ò Ó ÚÖÐ ÙÒÖ º ÓÖ ÐÖ Ö Ò ½¾µ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ ÑÖÐÝ ÓÙØÔÖÓÖÑ Ø Ì Ò ÓØ Ø ÓÑÔÙØÒ ØÑ Ò ØÓÖ ÖÕÙÖÑÒØ º ÅË ËÙØ Ð ØÓÒ ¼ ¼ Æ ¼ ÃÝ ÛÓÖ ÌÙÖ¹ØÝÔ ØÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÀÖØÖ¹Ó ÕÙØÓÒ ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÖØÓÓÒÐ ÔØÚ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ º ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ù ÙÐ ØÖØÝ ØÓ ÖÙ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÓÑÔÐÜØÝ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙ¹ ÐØÓÒ ÓÒ Ö Ó ÐÓÛ¹ÖÒ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÖÒÒ ÖÓÑ ÑÒݹ ½
4 ÐØÖÓÒ ÛÚÙÒØÓÒ Ò ÖÐØ ÕÙÒØØ Ð ÐØÖÓÒ Ò Ø ÙÔ ØÓ ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒ¹ ØÐ ÖÔÖ ÒØÒ ÒØÖ¹ÐØÖÓÒ ÒØÖØÓÒ Ò ÜØÖÒÐ ÔÓØÒØÐ Ù ØÓ ØÓÑ ÒÙк ÄØ Ù Ù Ø ÑÒØÓÒ ÐÒÖ ÓÑÒØÓÒ Ó ËÐØÖ ØÖÑÒÒØ Ù Ò¹ØÝÔ ÓÖØÐ Ìǵ Ø Ò Ø ÓÑÑÓÒÐÝ ÑÔÐÓÝ Ù Ò¹ØÖÒ ÓÖÑ Ó Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ ÓÖ Ø ÚÐÙØÓÒ Ó ÒØÖÐ ÒÚÓÐÚÒ ÌÇ ÙÒØÓÒ º Ï ÖÖ ØÓ Ø ÑÓÒÓÖÔ ¾¼ ÓÖ ØÐ ÜÔÓ ØÓÒ Ó Ø ÙØ º ÙÖØÖÑÓÖ ÔÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÒÖÝ ÒÓÑÒØÓÖ ÓÐÐÓÛÒ Ø ÔÓÒÖÒ ÛÓÖ Ó ÐÑÐĐÓ Ò ÀĐ Ö ½ ½ Ñ ÔÓÔÙÐÖ ÔÔÖÓ ØÓ ÖÙ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ «ÓÖØ Ò ÑÒݹÓÝ ÔÖØÙÖØÓÒ ØÓÖݺ ÊÒØÐÝ ÐØÖÒØÚ ÔÔÖÓ ÓÒ ÓÔØÑÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ Ö ÔØ ØÓ ÖØÒ ÒÓÖÑ µ Ú Ò Ù Ò Ø ÐØÖØÙÖº ÀÖ Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ Û ÖÖ ØÓ ÓÔØÑÐ Ò Ø Ò Ó Ø Ø ÔÓ Ð ÔÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÙÒØÓÒ Ê Üµ ½ ܽµ¾ ܾµ Ü µ Ü ¾ Ê ½º½µ ÓÖ ÚÒ ÖÒ Ê ÛØÓÙØ ÒÝ ÓÒ ØÖÒØ ÑÔÓ ÓÒ Ø ÙÒÚÖØ ÓÑÔÓÒÒØ ÛØ ½ º Ì ÓÖÑØ Ò ÖÕÙÒØÐÝ ÒÓØ ÒÓÒÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò Ø Ðع ÖØÙÖº ÁÒØØ Ý Ø ÛÓÖ Ó ÝÐÒ Ò ÅÓÐÑÑÔ ÓÔØÑÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÚÖÓÙ ÔÓØÒØÐ Ò ÑÓÖ ÒÖÐ ÒØÖÐ ÓÔÖØÓÖ ÛØ ÔÓ Ð Ô¹ ÔÐØÓÒ Ò ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖÝ Ú Ò Ù Ò Ø ÐØÖØÙÖ º Ê º ½ ½¾ ½ ½ Ò ÖÖÒ ØÖÒº Ï ÓÙ ÓÒ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÐØÖÓÒ Ò Ø Ò Ø ÓÑÔÙع ØÓÒ Ó ÀÖØÖ¹ÔÓØÒØÐ Û ÖÔÖ ÒØ ÑÓÖ ÓØØÐÒ ÓÖ Ø ÒÙÑÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ó ÀÖØÖ¹Ó Ò ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙØÓÒ º ÌÖØÓÒÐÐÝ ÌÇ Ø Ú Ò ÜØÒ¹ ÚÐÝ Ù ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ Ò ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖݺ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ò Ó¹ÐÐ ÙÜÐÖÝ ÌÇ Ò Ù ÕÙÒØ ÒÐÝØ ÚÐÙØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ¹ÔÓØÒØÐ Ñ ÒÓÛÒ Ò Øݹ ØØÒ ÓÖ Ö ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÒØØÝ ÑØÓ º Ê º ½½ ¾ Ò ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ò ÒØÐ ÑÔÖÓÚÑÒØ ÓÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÆÒݺ ÐØÓÙ Ù Ò Ó ÔÔÖÓ ÙØÐÞ Ø ÔÖÐØÝ Ó ÌÇ Ø Ø Ñ ØØ ÔÓ Ð ÒÖÐÞØÓÒ ÓÒÖÒÒ Ø Ù Ö ÖÖÐÝ Ù Ò Ø ÐØÖØÙÖº Ò ÒØÖ ØÒ ÜÔØÓÒ ÔÔÖ Ý ÐÑÐĐÓ ¾ ÛÓ ÓÒ Ö ÔÓ Ð ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÓÒÔØ ÓÖ Ò ÆÒØ ÚÐÙØÓÒ Ó Ø Ó ÑØÖܺ ÊÒØÐÝ Ò ØÝ ØØÒ Ñ ÓÒ ÓÔع ÑÐ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ½º½µ Ò ØÙ Ò Êº º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ ØØ Ò ÒØ ÑÔÖÓÚÑÒØ ÝÓÒ ÌÇ Ø Ò Ú ÓÛÚÖ Ø ÙÒÓÒ ØÖÒØ ÓÔØÑÞØÓÒ Ó ÙÒÚÖØ ÓÑÔÓÒÒØ ÖÔÖ ÒØ ÒÖÐÐÝ ÐйÔÓ ÔÖÓÐÑ Ò ÖØÖ ÓÔ ØØ ÓÔØÑÞØÓÒ ØÒÕÙ Ö Ò ÖÝ Ò ÓÖÖ ØÓ Ú Ø ÖÕÙÖ ÙÖ º ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÔÖÓÔÓ ÒÓÚÐ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÓÑÒØÓÒ Ó ÌÙÖ¹ØÝÔ Ò ÒÓÒÐ ØÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ ØÒÕÙ ÓÖ Ø ÆÒØ ÒÙÑÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÙÒØÓÒ Ò ÓÔÖØÓÖ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ º Ì ÌÙÖ ÓÖÑØ ÔÓ ÓÖØÓÓÒÐØÝ ÓÒ ØÖÒØ ÓÒ Ø ÙÒÚÖØ ÓÑÔÓÒÒØ Û ØÙÖÒ Ø ÓÔØÑÞØÓÒ ÒØÓ ÛÐйÔÓ ÔÖÓÐѺ ÈÖÑÖÐÝ Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ Û ÔÔÐ Ò ÑÓÑØÖ Ò ÒÔÒÒØ ÓÑÔÓÒÒØ ÒÐÝ Ò Ø Û ÒÖÐÐÝ ØÖØ ÑØÓ ÓÖ ØØ ØÐ Ø ÔÖÓ Ò ¾ ÛØ ÑÓÖØ ÙÖÝ ÖÕÙÖÑÒØ º ÈÓØÒØÐ ÔÔÐØÓÒ ÓÖ ÐÖ Ð ÔÖÓÐÑ Ò ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖÝ Ú Ò ÐÖÝ ÓÛÒ ÖÒØÐÝ Ò Êº ¾ ÛÖ ÓÒ Ò Ò ØÓÖÓÙ ÖÔØÓÒ Ó ØÒ ÓÖ ÓÔÖØÓÒ Ò Ø ÌÙÖ ÓÖÑغ ¾
5 Ì ÑÒ Ö ÙÐØ Ó Ø ÔÔÖ Ø ÆÒØ Ò ÙÖØ ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÙÐÐÝ ÖØ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ØÓ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÓÒ Ø ÖØ Ò Ò Ò Ò Ö ÙÖØÖ ÒÓØ Ý Ò Å µ Ú Ø Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ¾ ¾ Ø Ø Ó Ø Ó Ç Ê ½ Ê ¾ Òµ ÓÔÖØÓÒ º ÀÖ Ê ½ Ê ¾ ÒÓØ Ø ÔÖØÓÒ ÖÒ Ó Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ö¹ ÔØÚÐݺ ÓÖ ÔÖ ÒØÓÒ Ó Ø ÖÒ Û ÖÖ ØÓ ËØÓÒ º Ï ÛÒØ ØÓ ÑÒØÓÒ ØØ Ê ½ Ê ¾ ÓÒÐÝ ÛÐÝ ÔÒ ÓÒ Ø Ö ÔÒ Ò Ò ÓÒ Ö ÐÑÓ Ø ÙÒ¹ ÓÖÑÐÝ ÓÙÒ Ò Ø ÙÒÚÖØ ÔÖÓÐÑ Þ Ò º ÓÙÖ Ù ÓÒ Ò ËØÓÒ ¾º ÁØ ÓÙÐ Ð Ó ÒÓØ ØØ Ø ÒÔÙØ Ø ÓÖ Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÙØ Ö Ù ÙÐÐÝ ÚÒ ÛØ Ò ÒØÐ ÖÒ Ê Ê ½ º ÔÔÐÝÒ Ø ØÛÓ¹ÐÚÐ Ñ ¾ Û Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÖÒ¹Ö ÌÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò ØÒ ÖÓÑÔÖ Ø ÑÐÐ Þ ÓÖ ØÒ ÓÖ Ý Ø ÖÒ¹Ê ½ ÒÓÒÐ ÓÑÔÓ ØÓÒº Ò ÒØÐ ÒÛ ØÙÖ Ó Ø Ñ ØØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÖÕÙÖ ÓÒÐÝ ½ Ì Ò Ø Ó Ì Ò ØÖØÓÒÐ ÔÔÖÓ ÓÖ ÜÑÔÐ ÐÖ ÚÖØÝ Ó ÔÐÒ ÛÚ Ò ÛÚÐØ ÑØÓ ÜØÒ ÐÒÖ ÐÒ Ò Ø ÒÙÑÖ Æ Ò Ó Ö ÔÓÒØ ºº Ø Ì ÔÖÓÖÑ ¾½ ¾¾ ºµ ÌÖÓÖ Ø ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓÖÑ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÒÚÓÐÚÒ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ ÑÙ ÐÓÛÖ ÓÑÔÐÜØÝ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø Ö Þ Æ ÊÑÖ ¾º½µº ÙÖØÖÑÓÖ ØÓÖ Ó Ø ÙÐÐ Ö ÒÓ ÐÓÒÖ ÖÕÙÖ Û ÔÖÓÚ ÒÓØÖ ÔÓØÒØÐÐÝ Ò ÒØ ÚÒØ ÛØ Ö ÔØ ØÓ ÓÒÚÒØÓÒÐ ÑØÓ Ó Ç Æ µ ÓÑÔÐÜØݺ Ì ÐØØÖ ÑØ ÓÑ ÓÑÔÙØØÓÒÐÐÝ Ò Ð Ù Ø Ù Ó ØÓÖ ÐÑØØÓÒ ÓÖ ÚÖÝ ÐÖ Ý ØÑ ÓÖ Ö Ö ÓÐÙØÓÒ º ÓÖ ÑÔÐØÝ Û Ö ØÖØ ÓÙÖ ÐÚ ØÓ Ø ÀÖØÖ¹Ó ÑØÓº Ï ÛÒØ ØÓ ÑÒØÓÒ ÓÛÚÖ ØØ Ø ØÒÕÙ ØÓ Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ Ò ÛÐÐ ÔÔÐ ØÓ ÃÓÒ¹ ËÑ ÕÙØÓÒ Ò Ìº Ì ÀÖØÖ¹Ó ÑØÓ ÔÖÓÚ ÑÒ¹ Ð ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ Ø ÖÓÙÒ ØØ Ó ÑÒݹÐØÖÓÒ Ý ØÑ º ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ ½ ¾ Î ÒÙ Î À Ì ÑÔÐ Ø ÓÐÙØÓÒ Ó ÒÓÒÐÒÖ Î Ü Üµ ܵ ½º¾µ ÓÖ Ø Æ¾ ÐÓÛ Ø ÒÚÐÙ Ò ÔØÐ ÒÙÒØÓÒ ½ ƾµ Ò Ø Ó ÐÓ ¹ ÐÐ Æ ÐØÖÓÒ Ý ØѺ Ì ÀÖØÖ¹Ó ÕÙØÓÒ ½º¾µ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÒÓÒÐÒÖ ÒйÔÖØÐ ËÖĐÓÒÖ ÕÙØÓÒ Ò Ê ÛÖ Ø ÔÓØÒØÐ Î À Ò Î Ü ÖÔÖ ÒØ ÑÒ¹ Ð ØÒ ÓÒ ÒÐ ÐØÖÓÒ Û ÒÖØ Ý Ø ÖÑÒÒ Æ ½ ÐØÖÓÒ Ò Ø Ý ØѺ ÙÖØÖÑÓÖ Ò ÜØÖÒÐ ÔÓØÒØÐ Î ÒÙ ÓÒØÒ Ø Ö ÓÙÐÓѹ ÓÖ Ô ÙÓÔÓØÒØÐ Ó Ø ÒÙк ÏØÒ Ø ÔÖ ÒØ ÛÓÖ Û ÓÙ ÓÒ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØРݵ Î À ܵ Ý ½º µ Ü Ý Ê Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ ÛØ Ø ØÓØÐ ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Æ¾ ݵ ¾ ݵ ݵ Ì ÖÑÒÒ ØÖÑ Ø ÒÓÒÐÓÐ ÜÒ ÓÔÖØÓÖ Î Ü µ ܵ ƾ ݵ ݵ Ê Ü Ý Üµ Ý ½ºµ ½ºµ
6 Û ØÓ ÖÔÐ Ý ÐÓÐ ÜÒ¹ÓÖÖÐØÓÒ ÔÓØÒØÐ Ò Ø ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙ¹ ØÓÒ º Ì ÔÔÖ ÓÖÒÞ ÓÐÐÓÛ º ÁÒ ËØÓÒ ¾ Û ÒØÖÓÙ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ØÙÝ ÌÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÐйÐØÖÓÒ Ò Ø Ó ÚÖÐ ÑÔÐ ÑÓÐÙÐ Ò ÓÖÖ ØÓ ÑÓÒ ØÖØ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒÚÖÒ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ØÒ ÓÖ ÖÒº ÁÒ ËØÓÒ Ù Ò Ò ÕÙÖØÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ ½ ½ ¾ Û ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÛØÒ ÙÐÐÝ ÖØ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÐÐÓØÓÒ Ñ º ¾ µ ÓÒ ÖØ Ò Öº ÒÙÑÖÐ ÜÑÔÐ ÔÖÓÚ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ Ù Ò Ô ÙÓÔÓØÒØÐ Ø Ø ØÓѺ ÒÐÐÝ Ò ËØÓÒ Û ÖÓÚÖ Ø ÐÖÒ ÑØÖÜ Ó Ø ÔÔÖÓÜÑØ ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ò ÌÇ Ò ÐÙÐØ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÀÖØÖ¹Ó ÒÖݺ ¾ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÐØÖÓÒ Ò Ø Ï ÒØÖÓÙ Ø ÐÒÖ Ô Ó ÖйÚÐÙ ¹Ø ÓÖÖ ØÒ ÓÖ ½ ¾ ÊÁ Á Á½ Á Á ½ Ò ½ ÛØ Ø ÐÖ ÔÖÓÙØ Ò ½ ½ ÓÖ ¾ Ê Á ¾º½µ ½µ¾Á Ô Ì ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÙÐÒ ÒÓÖÑ ÚÒ Ý ÓÖ ÚÒ ÚØÓÖ Í µ ¾ Ê Á ÛØ ÓÑÔÓÒÒØ Í µ Ù µ ¾Á Û Ù Ø ÒÓØÓÒ Ó Ø ÓÙØÖ ÔÖÓÙØ Å Ó ÚØÓÖ Û ÓÖÑ Ø ÒÓÒÐ ÖÒ¹½ ØÒ ÓÖ Ò Ý ÒØÖ Í Í ½µ Å Å Í µ ¾ Ê Á Ù ½ Ù ½µ ½ Ù µ ÁÒ Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ Û ÔÔÖÓÜÑØ ÒÝ ØÒ ÓÖ ¾ Ê Á ÙÖÝ ¼ Ý ØÒ ÓÖ Öµ ÛØ Ö Ö½ Ö µ Ò Ý Öµ Ö½ ½½ Ö ½ Î ½µ ½ Å Å Î µ ½ ÙÔ ØÓ ÚÒ ¾ Ê ¾º¾µ ÛÖ Î µ ¾ Ê Á ½ µ Ò ¾ Ê Ö ½ Ö ÐÐ Ø ÓÖ ØÒ ÓÖº ÀÖ Î µ ½ Ö Ö ÐÒÖ ÒÔÒÒØ ÚØÓÖ ÓÖ Ü Ò ÛØÓÙØ ÐÓ Ó ÒÖÐØÝ Û ÙÑ ØØ ØÝ Ö ÑÙØÙÐÐÝ ÓÖØÓÓÒÐ ºº Î µ Î ½ µ Î ¾ µ Î µ Ö ¾ Ê Ò Ö Ö ÓÖØÓÓÒÐ ÑØÖ º Ì ÖÔÖ ÒØØÓÒ ¾º¾µ ÑÒ ØØ ÓÖ ÚÒ Ø Ó ÖÒ ÔÖÑØÖ Ö Ò ½ µ ÒÝ ØÒ ÓÖ Ò ÓÑÔÓ ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÒØÓ Ö½Ö¾ Ö ÓÙØÖ ÔÖÓÙØ Ö ÔØÚÐÝ Ö
7 Ö½ Ö Öµ Û ÖÕÙÖ ÓÒÐÝ Ö½ Ö ÒÓÒÐ ÓÑÔÓÒÒØ Î µ Ò Ö ÓÆÒØ ÓÖ Ø ÖÔÖ ÒØØÓÒº Ì ÑÔÓÖØÒØ ÔÖÑØÖ Ö ÑÜÖ Ó Þ Ò ÐÐ Ø ÌÙÖ ÖÒº ÌÓ Ñ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÒÙÑÖÐÐÝ ÆÒØ Û Ú ØÓ Ø Ý Ø ÓÒØÓÒ Ö Ò ½ µ Û Ù ÙÐÐÝ Ø Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ º Ì ÒÓÒÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÆÇÅȵ ÓÖ ÔÖÐÐÐ ØÓÖ Èʵ ÑÓÐ ÓÖØÐÝ È ÑÓе ÖÔÖ ÒØ ØÒ ÓÖ Ý ÙÑ Ó ÖÒ¹½ ÒÓÒ¹ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÐÐÓÛ Ê Êµ Í ½µ Å Å Í µ ¾ Ê ¾º µ ÛØ ÒÓÖÑÐ ÓÑÔÓÒÒØ Í µ ¾ Ê Á ½ µº Ì ÑÒÑÐ ÔÖÑØÖ Ê Ò Ø ÓÚ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÐÐ Ø ÖÒ ÓÖ ÒÓÒÐ ÖÒµ Ó ØÒ ÓÖº ÐÓÛ Û ÓÒ Ö ÔÔÖÓÜÑØÒ ÔÖÓÔÖØ Ó Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÖÔÖ Òع ØÓÒ ¾º¾µ Ò Ê ÓÖ ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó ÓÑ ÑÔÐ ÑÓÐÙÐ º Ï ÔÔÐÝ Ø ÐØÖÒØÒ Ð Ø¹ ÕÙÖ Ä˵ ØÖØÚ Ñ Ö Ò ¾ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÐÓÛ¹ÖÒ ØÖ¹ÐÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø À ØÓÑ ÄÀ À ¾ À Ò À ¾ Ç ÑÓÐÙÐ º ÊÑÖ ¾º½ Ì ÌÙÖ ÑÓÐ ÔÔÐ ØÓ ÙÐÐÝ ÔÓÔÙÐØ ØÒ ÓÖ Ó Þ Ò Å Ø Óѹ ÔÐÜØÝ Ó ÓÖÖ Ç Ò µ ØÓÖ Ò ÓÑÔÙØØÓÒÐ Øѵº Á Ø ÒÔÙØ ØÒ ÓÖ ÐÖÝ ÔÖ ÒØ Ò Ø ÖÒ¹Ê È ÓÖÑØ ØÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÒÓÒйØÓ¹ÌÙÖ ÄË ÑØÓ ÛØ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ö Ø ÓÑÔÐÜØÝ Ò Ø ÖÒ Ç ÖÊÒµ Ç Ö ¾ ÊÒµ ÔÒÒ ÓÒ Ø ÔÖÓÐÑ ØØÒ Ü¾ºº¾ Ò ¾ µº ÆÓØ ØØ Ø Ó¹ÐÐ ÔØÚ ÖÓ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÑØÓ Ó ÓÑÔÐÜØÝ Ç Ö Òµ Û ÖÒØÐÝ ÔÖÓÔÓ Ò ¾ º ÁÒ ËØÓÒ Ò ÓØ Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ Ò È ÓÑÔÓ ØÓÒ Ö Ù Ò Ø Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÙØ Ò Ê ÔÔÖÒ Ø ÑÒ ÒÖÒØ Ò Ø Ó ÓÔÖØÓÖº Ø Ö Ø ØÔ Ø ÔÔÖÓÜÑØ ÖÖÒ ÓÖØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø ÑÒ¹ ØÓÒ ÑÓÐÙÐ Ö ÓÑÔÙØ Ý Ø ØÒÖ ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖÝ Ô ÅÇÄÈÊÇ ¼ Ò Ø ÓÖÑ Ó Ò ÜÔÒ ÓÒ Ý ÖØ Ò Ù Ò ÙÒØÓÒ ºº ÛØ Ê ¼ ܵ ܽ µ ܾ µ Ñ Ü µ Ò ÜÔ «µ ¾ ¾ ܽ µ ¾ ܾ µ ¾ Ü µ ¾ Ü Ü½ ܾ Ü µ Ì ¾ Ê ¾ºµ ÛÖ Ø ÜÔÓÒÒØ «Ú Ò ØÒ ÖÓÑ ØÒÖ Î Ø ½¼ º Ï ÙÑ ØØ ÒÝ ÔÖØÙÐÖ ÑÓÐÙÐ Ñ Ò ÖØÒ Ü ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÓÜ ÛØ ÙØÐ ¼º ÄØ ÙÒÓÖÑ Ò Ò Ò ØÒ ÓÖ¹ ÔÖÓÙØ Ö ÓÖØÐÝ Ò Å µ ÒÜ Ý Á Á½ Á¾ Á º ÓÖ ÚÒ ÓÒØÒÙÓÙ ÙÒØÓÒ Ê Û ÒØÖÓÙ Ø ÓÐÐÓØÓÒ¹ØÝÔ ÙÒØÓÒ ÖÐØ ØÒ ÓÖ Ó ÓÖÖ Ý
8 1 1 1 n=65 n=129 n=193 error Tucker rank ÙÖ ¾º½ ÓÒÚÖÒ Ó Ø ÌÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ó ÄÀ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø Æ ÒÓÖÑ ÓÖ «ÖÒØ Ö Þ Ò ½¾ Ò ½ Ò Ü ÓÜ Þ ÓÖº ÛÖ Ü ½µ ½ ¼ µ ½ ¾ ½ ¾ µ¾á ¾ Ê Ò Ò Ò ÛØ ½ ¾ Ü ½µ ½ Ü ¾µ ¾ Ü ¾µ ¾ Ü µ µ Ü µ µ ¾ Ö Ø Ö ÓÐÐÓØÓÒ ÔÓÒØ º ÁÒ ÓÙÖ ÔÔÐØÓÒ Ø ÙÒ¹ ØÓÒ Ò Ý ¾ºµ Ù Ò Ø Ø Ó ÔÖÐ ÖØ Ò Ù Ò ÙÒØÓÒ º Ì ÖÓÒ ØÖÙØ ¹Ö ÓÖÖ ØÒ ÓÖ ¼ ÔÔÖÓÜÑØ Ý ÖÒ Ö Ö Ö Öµ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÖÔ¹ Ö ÒØØÓÒ ÓÖ ÕÙÒ Ó ÖÒ¹ÔÖÑØÖ Ö ½ ¾ Ö¼º Ì ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÓÒÒØ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÓÖ ØÒ ÓÖ Ó Ø Þ Ö Å Ö ØÒ Ù ÓÖ Ø ÖÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÔÔÖÓÜÑØÒ ØÒ ÓÖ Öµ ¼º ÐÐ ÒÙÑÖÐ ÑÙÐعÐÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ö ÔÖÓÖÑ Ò ÅÌÄ ÖÐ º º ÓÖ ÚÖÝ ÖÒ¹Ö ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Û ÓÑÔÙØ Ø ÖÐØÚ ÖÖÓÖ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÙÐÒ ÒÓÖÑ ÛÐÐ Ø ÖÐØÚ ÑÜÑÙÑ ÖÖÓÖ Öµ Æ ¼ Öµ ¼ Öµ ÑÜ ¾Á ¼ Ö ÑÜ ¾Á ¼ ¾ºµ Ì ÖÐØÚ «ÖÒ Ó Ø ÒÓÖÑ ÒÓØ Ý Öµ ¼ Öµ ¼ Öµ ¾ ¼ ¼ ¾ Ò Ù ØÓÔÔÒ ÖØÖº Ì ÄË ØÖØÓÒ ØÖÑÒØ Ø ÚÐÙ Ó Öµ Ö Ø ÑÒ ÔÖ ÓÒº Ì ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø ÓÒ Ö ÑÓÐÙÐ Ö Ö Ø ÓÑÔÙØ Ò Ø ÓÖÑ Ã Ã Üµ ܵ ¾ ʼ ¾ ¾ È Üµ Ü Ü µ ¾ºµ ÛÖ Ã Ø ÒÙÑÖ Ó ÐØÖÓÒ ÔÖ Ò Ê¼ Ø ÒÙÑÖ Ó ÌÇ ÙÒØÓÒ ÚÒ Ý ÜÔÒ ÓÒ ¾ºµ ÓÖ ÓÖØРܵº ÓÖ ÔÖØÙÐÖ ÑÓÐÙÐ Û Ù Ø ÓÐÐÓÛÒ
9 1 a) E FN 1 b) E FN 1 c) E FN E C E C E C rank rank rank ÙÖ ¾º¾ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Æ Ò ÒÓÖÑ ÚÖ Ù ÌÙÖ ÖÒ ÓÖ Ø ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó µ À µ ¾ À Ò µ À ¾ Ç ÛØ Ò º ÔÝ ÐÐÝ ÖÐÚÒØ ÔÖÑØÖ ½¼ ÓÖ Ê ¼ ½¼ ÓÖ À ØÓÑ ÓÖ Ê ¼ ÓÖ ÄÀ ÓÖ Ê ¼ ÓÖ À ÓÖ Ê ¼ ÓÖ ¾ À Ò ½¼ ÓÖ Ê ¼ ½ ÓÖ À ¾ Ǻ ÊÐÐ ØØ Ò Ø Ó Ø À ØÓÑ Ø ÓÖØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ö ÚÒ ÜÔÐØÐÝ Ý Üµ «ÜÔ «Üµ ÛØ Ü ¾ Ê ÛØ «½ ÓÖ Ø ÓÖØÐ Ò «¾ ÓÖ Ø ÐØÖÓÒ Ò Øݺ.5 a) Hydrogen V (1) 1 V (1) 2 V (1) 3 V (1) atomic units b) LiH V (1) 1 V (1) 2 V (1) 3 V (1) atomic units ÙÖ ¾º ÇÖØÓÓÒÐ ÚØÓÖ Î ½µ ½ ÓÖ Ø ÖÒ¹½¼ ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÓÖ µ Ø À ØÓÑ Ò µ ÓÖ Ø ÄÀ ÑÓÐÙк Ï ÔÔÖÓÜÑØ Ø ÙÒØÓÒ ¾ºµ Ù Ò Ø ÌÙÖ ÑÓк ÙÖ ¾º½ Ú Ø ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ ÖÖÓÖ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ö ÓÖ Ø ÄÀ ÐØÖÓÒ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ý ½ºµ Ò ¾ºµ ÓÖ «ÖÒØ Ö Þ Ò Å º Ï ØØ ÓÖ Ü ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ø ÌÙÖ ÖÒ ÖÑÒ ØÓ ÐÑÓ Ø ÒÔÒÒØ ÓÒ Ø ÙÒÚÖØ ÔÖÓÐÑ Þ Òº Ì ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º¾ ÚÖÝ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒÚÖÒ Ó Ø ÓÖØÓÓÒÐ
10 C2H6, core tensor 1.1e+2 1.6e+1 5.3e+ 3.1e+ 1.2e+ 6.e V (3) 1 V (3) 2 V (3) 3 V (3) 4 V (3) 5 V (3) 6 C 2 H atomic units ÙÖ ¾º ÒØÖ Ó Ø ÓÖ ØÒ ÓÖ Å Ò Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÚØÓÖ Î µ ½ Ó Ø ÖÒ¹ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÓÖ Ø ¾ À ÑÓÐÙк ÆÙÑÖ ÚÒ ÓÖ ÚÖÝ Ð Ó ÓÖ¹ØÒ ÓÖ ÒØÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÑÜÑÙÑ Ó ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ðº ÌÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò Ø ÖÒ¹ÔÖÑØÖ Öµ Ó ÐØÖÓÒ Ò Ø ÖÒ Ø ÖÐØÚ ÙÖÝ ½¼ ÓÖ À À ¾ Ç Ò ¾ À ÛØ Ö ½º Ì ÜÑÔÐ Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÚØÓÖ Î µ ½ ½ µ Ó Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÓÖ Ø À ØÓÑ ÄÀ Ò ¾ À ÑÓÐÙÐ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º Ò ¾º Ö ÑÐ Ø Ô Ó Ø ÓÑÔÓ ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÐÓÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔØÐ Ü º Ù ØÓ ÓÖØÓÓÒÐØÝ Ó Ø ÓÑÔÓ ØÓÒ Ø ÌÙÖ ÑÓÐ ÔÔÖ ØÓ ÙØÐ ÓÖ ÓÒ ØÖÙØÒ ÐÓÛ ÑÒ ÓÒÐ ÔÖÓÐѹÔÒÒØ ÓÖØÓÓÒÐ º ÒØÖ Ó Ø ÓÖ ØÒ ÓÖ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ¾º Ö Ø ÛØ ½ ¾ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÓÙØÖ ÔÖÓÙØ Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÚØÓÖ Î ½µ Å Î ¾µ Å Î µ Û ÓÑÔÓ Ø ÙÑÑÒ Ó ½ ¾ Öµ Ò ¾º¾µ ÓÖ º ÆÙÑÖÐ ÜÔÖÑÒØ ÑÓÒ ØÖØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÔÓÛÖ Ó Ø ÔÖÓÐѹÔÒÒØ ÓÖØÓÓÒÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ º ÓÖ ÜÑÔÐ ÐØ ½¼ Ø ÓÖ ØÒ ÓÖ Ó Ø ÖÒ Ö ½¼ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ ÛÐ Ô ÖÔÖ ÒØ Ø ÔÖÒÔÐ Ô Ô Ô ÙØÒ ÓÖ Ó ½¼ º Ï Ó ÖÚ ØØ Ø ÓÒØÖÙØÓÒ Ó Ø Ù Ô ÔÒÎ µ Ô ½ ¾ µ ØÓ Ø ÖÐØÚ ÙÐÒ ÒÓÖÑ ½¼ Ô ½¼ Ò ÒØ ÚÒ ÓÖ ÑÐÐ Ôº ÁÒ Ø ÐÖÝ ÛØ Ô Ø ÓÒØÖÙØÓÒ ÖÓÑ Ø Ö Ø ØÖ ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÓ¹ ÒÒØ ºº ÓÖ ½ ÖÔÖ ÒØ Ø ÖÐØÚ ¾ ¹ÖÖÓÖ ÛØ Ò ÙÖÝ Ó ÓÙØ ¼¼½±º Ì ÑÒ ØØ Ø ÔØÚ ÓÖØÓÓÒÐ ÓØÒ Ú Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ ÑÓÖØ ÖÒ ÐÖÝ ÖÔÖ ÒØ Ø ÑÔÓÖØÒØ ÔÝ Ð ÕÙÒØØ ÛØ Ø ØÓÖÝ ÙÖݺ Ì ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó À Ò ¾ À Ö ÓÒ Ö Ò Ø Ù Ò ÓÖÖ ÔÓÒÒÐÝ ÓÒ ÙÒÓÖÑ Ò Å Ö Ó Þ Ò º ÙÖ ¾º µ Ò µ Ú ÙÐ Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ó À Ò ÔÐÒ ÓÒØÒÒ Ø ØÓÑ Ò Ó ¾ À Ò ÔÐÒ ÔÐÒ ÓÒØÒÒ ØÛÓ Ò ØÛÓ À ØÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒÒÐݺ ÙÖ ¾º µ Ò µ Ú ÙÐ Ø ÓÐÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ ÓÖ Ø ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø ÑÓÐÙÐ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÐÒ ÓÖ Ö ½º ÁÒ ÔØ Ó ÐÖ ÚÐÙ Ó Ø Ø Ù Ô ÖÓÒ ¼ ÙÒØ µ Û Ó ÖÚ ÖØÖ ÙÒÓÖÑ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÓÐÙØ ÚÐÙ Ó Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ó Ø ÓÖÖ ½¼ ½¼ ºÙº Ò Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÓÑÒº Ì ØÝÔÐ ØÙÖ
11 5 a) CH x 1 5 b) CH 4, abs. error, r= c) C 2 H x 1 4 d) C 2 H 6, abs.error, r= ÙÖ ¾º ÐØÖÓÒ Ò Ø Ò ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ó ÖÒ Ö ½ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ À Ò ¾ À ÑÓÐÙÐ º Ó Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ ÓÑÔÓ ØÓÒº ÓÖ À ¾ Ç ÛØ ÚÒ ÐÖÖ Ù Ô ½ ÙÒØ µ Ø Ø ÓÖÒ Û Ò ÙÖ ¾º¾ µ ØØ Ø ÓÒÚÖÒ Ó ÓÖ Ø ÑÓÐÙÐ ÔÔÖÓÜÑØ Ò Ø ÚÓÐÙÑ ½¼ ½¼ Ú Ø ÖÐØÚ ÙÖÝ ½¼ ÛØ Ø ÖÒ Ö ½º ÒÐÐÝ Û 1 a) Hartree Potential,CH 4 1 b) Hartree Potential, C 2 H 6 1 c) Hartree Potential, H 2 O E FN E C error error E FN E FN E C E C Tucker rank Tucker rank Tucker rank ÙÖ ¾º ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Æ Ò ÒÓÖÑ ÚÖ Ù ÌÙÖ ÖÒ ÓÖ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ó µ À µ ¾ À Ò µ À ¾ Ǻ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒÚÖÒ ÚÓÙÖ Ó Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÔÔÐ ØÓ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ó À ¾ À Ò À ¾ Ç ÑÓÐÙÐ ÙÖ ¾ºµ Û ÒØ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒÚÖÒ Ò Ø ÌÙÖ ÖÒ Öº ÇÙÖ ÒÙÑÖÐ Ö ÙÐØ ÑÓÒ ØÖØ Ø ÆÒÝ Ó ÐÓÛ¹ÖÒ ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ ØÓ Ø ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø ÓÒ Ö ÑÓÐÙÐ º ÌÝ ÓÛ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒ¹ ÚÖÒ ÙÔÓÒ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ö ÛØ ÓÒÚÖÒ ÖØ Û ÐÑÓ Ø ÒÔÒÒØ Ó
12 Ø Ö ÓÐÙØÓÒ ÐÚÐ ÔÒÒ ÓÒ Ø Ö Þ Ò ØÓÖØÐ Ö ÙÐØ ÒØ Ö Ç ÐÓ Òµµº Ì ÐÓÛ ÖÒ ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÓÖØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò Ø Ò ÙÖØÖ ÙØÐ ÓÖ ÐÓÛ¹ÓÑÔÐÜØÝ ÐÙÐØÓÒ Ó ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÔÖØÓÖ Ó ÔÝ Ð ÖÐÚÒ ºº Ø ÐØÖÓÒ¹ÐØÖÓÒ Ò ÐØÖÓÒ¹ÓÒ ÓÒØÖÙØÓÒ ØÓ Ø ØÓØÐ ÒÖÝ Ø ÀÖØÖ Ò ÜÒ ÔÓØÒØÐ ÛÐÐ ØÓ ÐÓÐ ÜÒ¹ÓÖÖÐØÓÒ ÔÓØÒØÐ Ò Ø ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙØÓÒº Ò ÜÑÔÐ Ò Ø ÒÜØ ØÓÒ Û ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÐÓÛ¹ÖÒ ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ù Ò ØÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ó ÐÐ ÙÒØÓÒ Ò ÓÔÖØÓÖ ÒÚÓÐÚº ÓÑÔÙØÒ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ý ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ï ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î À ܵ Ê Ýµ Ü Ý Ý Ü ¾ Ê º½µ Ý Ø ÖØ ÑÙÐعÑÒ ÓÒÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÒ ÙÒÓÖÑ Ö Ò Ê ¹ Ö Ò Êº ¾ º Ì ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÙØ Ò Ý Û Üµ µ ܵ Ê Ýµ Ü ÝµÝ ¾ Ä ¾ Ê µ ÇÙÖ ÔÖØÙÐÖ Ó Üµ ½ Ü Üµ ܵ Ü ¾ Ê º Ù ØÓ Ø ÔÝ Ð ÔÖÖÕÙ Ø ÓÖØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ú ÜÔÓÒÒØРݵ Ø ÙÒØÓÒ ÓÑÔÙØ Ò ÓÑ Ü ÓÜ Å Ò Ø ÙÔÔÓÖØ Ò Åº Ï ÔÔÐÝ Ø ØÒÖ ÓÐÐÓØÓÒ Ñ ØÓ ÖØ Ø ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÙغ Ö Ø Û ÒØÖÓÙ Ø ÕÙ ØÒØ ØÒ ÓÖ Ö Ò ½ ¾ Ó ÓÐÐÓØÓÒ ÔÓÒØ Ü Ñ Ò Å Ñ ¾ Å ½ Ò ½ º ÀÖ Ñ ½µ Ñ ½ Ò ½ ½ µ ÛØ Ñ ¹ Þ ¾Òº ÓÖ ÚÒ ÔÛ ÓÒ ØÒØ ÙÒØÓÒ ¾ Á ½ Ò ÓØ ÛØ Ò ÐØ Ý µ Ø ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÓÆÒØ Ó Ò Ýµ ¾Á ݵ ÛÖ Ý Ø ÑÔÓÒØ Ó Ø Ö¹ÐÐ ÒÙÑÖ Ý ¾ Áº ÆÓÛ Ø ÓÐÐÓØÓÒ Ñ Ö Û Ñ Ñ¾Å Û Ñ ¾Á Ê Ýµ Ü Ñ ÝµÝ Ü Ñ ¾ Ö Ø ØÔ Û ÔÖÓÑÔÙØ Ø ÓÆÒØ Ýµ Ý Ê Ý ¾ Á ½¼
13 Ì ÓÆÒØ ØÒ ÓÖ ¾ Ê Á ÓÖ Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ ½ Ü Ý ÔÔÖÓÜÑØ Ò Ø ÖÒ¹Ê È ØÒ ÓÖ ÓÖÑØ ËØÓÒ ¾µ Ù Ò ÓÔØÑ Ò¹ÕÙÖØÙÖ ½ ½ ¾ ÛÖ Ø ÖÒ ÔÖÑØÖ Ê Ç ÐÓ ÐÓ Òµ ÔÒ ÐÓÖØÑÐÐÝ ÓÒ ÓØ Ø ÖÕÙÖ ÙÖÝ Ò Ø ÔÖÓÐѹ Þ Òº ÁÒ ÐÐ ÓÑÔÙØØÓÒ ÔÖ ÒØ ÐÓÛ Ø Û ÒÓÙ ØÓ ÓÓ Ø ØÒ ÓÖ ÖÒ Ò Ø ÖÒ Ê ¾ ½¼ ¾¼ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ö ÙÖݺ Ì ¹Ø ÓÖÖ ØÒ ÓÖ ¾ Ê Á ÔÔÖÓÜÑØ ØÖ Ò Ø ÖÒ Ö Ö Ö Öµ ÌÙÖ ÓÖÑØ ÓÖ Ú Ø È ÑÓÐ ÛØ ØÒ ÓÖ ÖÒ Ê ¾ º ÓÐÐÓÛÒ ¾ ¾ Û ÓÑÔÙØ Û Ñ Ý ÓÔÝÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÓÖØÓÒ Ó Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ò Ê Þ ÒØÖ Ø Òº Þ ¾Á ½ ¾  ½ ¾Ò ½ º¾µ ÄØ ÖÔÖ ÒØ Ò Ø ÌÙÖ ÓÖÑØ ¾º¾µº ÌÒ º¾µ ÖÔÖ ÒØ Ò Ø ØÒ ÓÖ¹ ÔÖÓÙØ ÓÖÑ Ê Ö Ñ½ ѽ Ñ Í ½µ Î ½µ Ñ ½ Å Å Í µ Î µ Ñ x 1 3 abs. error for V H in subinterval x 1 5 abs. Richardson error for V H 2 n=448 n=224 n= abs. error Richardson error X: 5.551e 16 Y: 5.531e atomic units atomic units ÙÖ º½ ÓÐÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î À ÓÖ Ø Ô ÙÓ¹Ò ØÝ Ó À Ò Ø ÙÒØÖÚÐ Å ¼ ¼ Ðص Ò Ø ÖÙ ÖÖÓÖ Ý ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÒÚÓÐÚÒ ØÛÓ Ö Öصº Î µ Ñ ¾ Ê ¾Ò ½ Ò ÓÑÔÙØ ÓÒ Ò ÕÙ ØÒØ Ö Ý Ì Ò Ì ½ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Í µ Ç Ò ÐÓ Òµ ÓÔÖØÓÒ º Ì Ð ØÓ Ø ÓÚÖÐÐ ÓÑÔÐÜØÝ Æ Ì Ç ÖÊÒ ÐÓ Ò ÊÖ µ º µ ½½
14 ÄÛ ÔÔÖÓÜÑØÒ Ò Ø Öҹʽ È ÓÖÑØ ¾º µµ ÒÐ Ù ØÓ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÓÖÑ Û Ð ØÓ Ø Ó Ø Ê Ê ½ ѽ Ñ Í ½µ Î ½µ Ñ Æ Ç ÊÊ½Ò ÐÓ Òµ Í µ Å Å Î µ Ñ Ò ÜÑÔÐ Û ÓÒ Ö Ø À ÑÓÐÙк ÁÒ ÓÖÖ ØÓ Ø Ø Ø ÔÖÓÖÑÒ Ó ÓÙÖ ÔÔÖÓ ÓÖ Ø ÙÖÝ ÑÒ Ó ÕÙÒØÙÑ ÑÐ ÐÙÐØÓÒ Ø ÓÑ Ò ÖÝ ØÓ Ù Ô ÙÓÔÓØÒØÐ ÓÒ Ø ØÓѺ Ï Ú Ù ÑÐÓÐ ÒÖÝ¹Ù Ø Ô ÙÓÔÓØÒØÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ø Ó ÓÐ Ø Ðº º Ì ÒÐ Ù ØÓ Ú Ø Ö ÙÖ ÓÒ Ö Ò ÐÖÝ ÓÖ ÚÐÙ Ó Ò ØØ Ò ÐÝ ÒÐ Ý ÓÙÖ ÅÌÄ Óº ÌÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÙÐÐ ÔÓØÒØÐ ÛÐÐ ÖÕÙÖ Ø Ø ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ ÔÔÐÐ ØÓ ÐÓÐÐÝ Ö Ò Ö ºº Ê º ½ ½ ¾ ¾ º Ì Ô ÙÓ¹Ò ØÝ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ ÓØÒ ÖÓÑ ÀÖØÖ¹Ó ÐÙÐØÓÒ ÚÒ Ý ¾ºµ ÛÖ Ã Ø ÒÙÑÖ Ó Ô ÙÓ¹ÓÖØРʼ ¼ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ö È µ ¾º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ Û ÖÔÖ ÒØ Ø ÓÒÚÓÐÚÒ ØÒ ÓÖ Üµ Ò Ø ÒÓÒÐ ÓÖÑغ ÁÒ Ø ÛÝ Ø ÔÖÓÙØ Ó ØÛÓ Ù Ò Ò ÛÖØØÒ Ò Ø ÓÖÑ Ó ÒÐ Ù Ò Ý Ü µ¾ Ü µ¾ Ü µ¾ µ¾ Û Ð ØÓ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÙÒ ÓÒ Ø ÒØÐ ÖÒ Ó Ø ÒÔÙØ ØÒ ÓÖ Ê¾ Ê ¼ ʼ ½µ ¾ ½¾ ºµ Ï ÔÔÖÓÜÑØ Î À ܵ Ü ¾ Ò Ò º½µ Ú ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÐÐÓØÓÒ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ Ý Î Òµ ÓÒ Ø À ÒÅ ØÒ ÓÖ¹Ö Ò Ò Ø ÖÖÒ Ù ½¼ ÓÖº Ì ÐØ ÔÖØ Ó ÙÖ º½ Ú Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Î À Î Òµ À ÓÖ Ø ÕÙÒ Ó Ö ÛØ Ò ½½¾ ¾¾ º ÁØ ÒØ ØØ Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ò ÙÖÝ Ó ÓÖÖ Ç ¾ µ Ò Ø ÖÐÚÒØ ÔÝ Ð ÓÑÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÓ Ø ÒØÐ ÙÔÔÓÖØ Ó Üµ ¾ ÓÖ ØÐ ÖÖÓÖ ØÑØ µº ÓÐÐÓÛÒ ¾ Û ØÒ ÔÔÐÝ Ø ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ØÒÕÙ ØÓ ÓØÒ Ö ÙÖÝ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÓÖÖ Ç µ ÛØÓÙØ ÜØÖ ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ó Øº Ì ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐÒØ Î Òµ ÔÔÖÓÜÑØÒ ÀÊ Î À ܵ ÓÚÖ ÔÖ Ó Ò Ø Ö Ò Ò ¾Ò Ò Ò ÓÒ Ø ÓÖ Ò Å ¹Ö ÚÒ Ý Î Òµ ¾Òµ ÀÊ Î À Î Òµ µ Ò Ø Ö¹ÔÓÒØ ÓÒ À Ò Ì ÖØ ÔÖØ Ó ÙÖ º½ ÓÛ Ø «Ø Ó Ø ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÓÒ ÕÙÒ Ó Ö Ò ÛØ Ò ½½¾ ¾¾ º ÆÜØ Û ÑÓÒ ØÖØ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÆÒÝ Ó ÙÐÐÝ ÖØ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓ¹ ÐÙØÓÒ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÔÔÖÓÜÑØ ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î Òµ ÓÒ ÕÙÒ Ó Ö À Ò ÛØ Ò ¾ ½¾ ½¾º Ï Ù Ø Ñ ÒÔÙØ Ø ÓÚ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÓ Ø À ÑÓÐÙе ÛØ ÒØÐ ÖÒ Ê¾ ½¾º ÌÓ ÖÙ Ø ÒÓÒÐ ÖÒ Û ÔÔÐÝ Ø ØÛÓ¹ÐÚÐ ½¾
15 ÌÐ º½ ÐÐÔ ÈÍ ØÑ ºµ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÒ Ò Å Ö ÓÖ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ñ ÓÒÚ Ò Ì ÓÒ ËÙÒ Ö ¼¼ ÓÑÔÙØÖ ÛØ ¾ ÀÞ ÔÖÓ ÓÖº Ò ¾ ½¾ ¾ ½¾ Ì ¼¼ ¼ ¾ ÓÒÚ ¼ ¼ ½¾ ¼ ½¼¼½ Ñ Ö Ò ¾ Ö Ø Û ÓÑÔÙØ Ø ÖÒ¹Ö ÌÙÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ó Ø ÒÔÙØ ØÒ ÓÖ Ò ÙÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÖÒ¹Ö ¾ È ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÛØ Ö ½µ ÓÒ Û ÖÓÑÔÖ Ø ØÓ Ø ÖÙ ÖÒ Ê ¼ ¾ ½¾¼ Ö ¾ Ù Ò Ø ÐÛ ËÎ Ó ÑÐÐ Ö Ö Ñ¹ ØÖ º ÌÐ º½ ÓÑÔÖ Ø ÐÐÔ ØÑ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÒ Ò Å Ö Ý Ù Ò Ø Ì ÝÑÔØÓØ ÓÑÔÐÜØÝ Ç Ò ÐÓ Òµµ Ò Ø Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ñ Ó ÓÑÔÐÜØÝ Æ Ç Ê ¼ ¾ Ê ½Ò ÐÓ Òµ Ö ÓÚº Ï ÖÐÐ ØØ Ê ½ ¾ ½¼ ¾¼ ÒÓØ Ø ØÒ ÓÖ ÖÒ Ó Ø ÓÐÓÙÑ ÓÆÒØ ØÒ ÓÖ Ò Ê º ÆÓØ ØØ Ò ÓØ Ì Ò ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ ÓÒ Ø Ò Å Ö ÓÒ ÖÕÙÖ Ø ÓÙй Þ Ì ÛØ Ö¹ Þ ¾Ò ½º ËÒ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒ¹ ÚÓÐÙØÓÒ ÖÕÙÖ ÓÒÐÝ ½ Ì ÒÐÐ Ó Ø Ò Ø ÖÒ Ò ½¼ µ Ø ÓÙÐ ÔÖÓÐÑ Þ ¾Ò ½ Ó ÒÓØ Ð ØÓ ÚÖ Ö ØÖØÓÒ ÓÒ È͹ØÑ Ò ÓÒ Ø ØÓÖ Ô Ò Ø Ó Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ñº ÇÙÖ Ö ÙÐØ ÒØ ØØ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÙØÔÖÓÖÑ Ø ÓÒÚÒØÓÒÐ Ì ÓÖ ÐÖ ÔÖÓÐÑ Ò ½¾µº ÙØ ÚÒ ÑÓÖ ÑÔÓÖØÒØ Ø ÑÙ Ð Ö ØÖØÚ ÑÑÓÖÝ ÓÒ ÙÑÔØÓÒ Ó ÓÖÖ Ç ÊÊ ½ Ò ÐÓ Òµ ÓÑÔÖ ÛØ Ç Ò ÐÓ Òµº ÁÒ ÔÖØÙÐÖ Ø Ì ÐÖÝ ÖÙÒ ÓÙØ Ó ÑÑÓÖÝ ÓÒ Ø Ö ¾ Ò Ò Ø ØÐ ÓÚ Û Ú Ø ÜØÖÔÓÐØ È͹ØÑ ¼¼¼ Ò Ø º ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ Ò ÀÖØÖ¹Ó ÒÖÝ ÓÑÔÙع ØÓÒ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ Û ÔÔÐÝ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ñ ¾ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ Ò ÌÇ Øº Ì ÖÑÒÒ ÔÖØ Ó Ø Ó ÓÔÖØÓÖ Ö ÓÑÔÙØ Ý Ø ÅÇÄÈÊÇ Ô Ò ÓÒÚÒØÓÒÐ Ûݺ Ì ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÓÖ Î À ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø Ø Ó ÒÓÖÑÐÞ ÖØ Ò Ù Ò ÚÒ Ý Â Ñ Üµ Ñ ÜµÎ À ÜµÜ Ñ ½ Ê ¼ º½µ ÙÖ º½ µ Ú ÙÐ Ø ÜØ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÐÑÒØ Â Ñ º Ì ÖÖÓÖ Ò ØÛÒ Â Ñ Ò Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓØÒ Ý Ø ÖØ ÓÐÐÓØÓÒ Ñ ÓÖ ÐÙÐØÒ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î À ÚÒ Ò ÙÖ º½ µº Ê ÙÐØ ÓÒ ÙÖÝ ÐÙÐØÓÒ ÓÒ ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ Ö ÐÐÙ ØÖØ Ò ÙÖ º¾º ÄØ Ñ Ñ µ Ä ¾ Ø ÐÖÒ ÑØÖÜ Ó Ø Ó ÓÔÖØÓÖ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÒÓÖÑÐ Ù Ò Ò Å Å Ñ Ñ µ Ä ¾ Ñ ½ Ê ¼ µ ½
16 ÙÖ º½ µ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ Â Ñ ÓÖ À ÓÑÔÙØ ÓÖ Ø ÌÇ Ø Ñ ½ ʼº µ ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ó Ø ÖØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ù Ò ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÒÚÓÐÚÒ Ø Ö ÛØ Ò ¼¼ Ò ¼¼º Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÓÚÖÐÔ ÑØÖܺ Ï Ù ØØÙØ Ø ÐÖÒ ÑØÖÜ Â Â Ñ Ê ¼ ѽ ÖÓÑ º½µ Û ÖÔÖ ÒØ Ø ÔÔÖÓÜÑØ ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î Òµ À Ø Ó ÑØÖÜ ÐÒ Â Ã ÛÖ ÐÒ ¾ ½ ΠƵ Ñ µ Ä ¾ Ê ¼ ѽ Ò Ã Î Ü Ñ µ Ä ¾ Ê ¼ ѽ Ò Ø ÒØÓ ÖÔÖ ÒØ Ø ÐÒÖ ÔÖØ Ó Ø Ó ÓÔÖØÓÖ Ò Ø ÜÒ ÔÓØÒØÐ Ö ÔØÚÐݺ ÆÓÛ Ø ØÓØÐ ÒÖÝ Ó Ø Ý ØÑ ÓÑÔÙØ Ý ÓÐÚÒ Ø ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ Å ½ à ÓÖ Ø Ö Ø Ã Æ¾ ÑÐÐ Ø ÒÚÐÙ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ ÛØ Ô ÙÓÔÓØÒ¹ ØÐ Ã µº ÓÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Û ÔÔÐÝ Ø ÅÇÄÈÊÇ Ôº Ì ØÓØÐ ÒÖÝ ÐÙÐØ Ý Ã À ¾ à  à ÛØ Â Î À µ Ä ¾ Ò Ã Î Ü µ Ä ¾ ½ ƾµ Ò Ø Ó¹ÐÐ ÓÙÐÓÑ Ò ÜÒ ÒØÖÐ Ö ÔØÚÐÝ ÓÑÔÙØ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÓÖØÐ ½ ƾµ ÓÑÔÖ ÛØ º½µµº Ì ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÀÖØÖ¹Ó ÒÖÝ À Ò Ó ÒÚÙÐ ÒÚÐÙ ÓÖ «ÖÒØ Ö Ö ÚÒ Ò ÌÐ º½º ÄØ Ò ¾ Ê Ê ¼ Ê ¼ Ø ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ Â Ñ º ÆÓØ ØØ ÓØ ÑØÖ Â Ñ Ò Ò Ö ÝÑÑØÖ ÙÔ ØÓ ÖÓÙÒ¹Ó«ÖÖÓÖ º Ï ÓÒ Ö Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÒÚÐÙ ½ ú ÁÒ Ø ÛÝ Û ÒØÖÓÙ Ø ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ½ Ò µ ØÓ Ø ÒÖÝ ÖÖÓÖ ÓÒ Ø ½ ¹ÚÐÙØÓÒ Ó Ø ÖÖÓÖ ÑØÖÜ Ò ÐÙÐØ Ý ½ Ò µ ÑÜ Ê ¼ Ê ¼ Ò µ ÇÙÖ ÒÙÑÖÐ Ö ÙÐØ ÔÖ ÒØ Ò ÌÐ º¾ ÒØ ØØ Ø ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ½ Ò µ Ú ÕÙØ ÙÖØ ÙÔÔÖ ÓÙÒ ØÓ Ø ÔÔÖÓÜÑØ ØÓØÐ ÒÖݺ Ì ÓÒ ÖÓÛ Ó ÌÐ ½
17 a) b) x c) x (4,8) (224,448) diagonal elements ÙÖ º¾ ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÒÐ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÐÑÒØ ÓÖ µ Ò ½½¾ ¾¾ Ò µ Ò ¾¾ º µ ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÒÐ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÐÑÒØ ÓÑÔÙØ Ý ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÓÒ Ø ÔÖ Ó Ö ¾¾ µ Ò ¼¼ ¼¼µº ÌÐ º½ ÖÖÓÖ Ó Ø ÀÖØÖ¹Ó ÒÖÝ À ÖØÖµ Ò Ó ÒÚÙÐ ÒÚÐÙ ÓÑÔÙØ ÓÒ «ÖÒØ Ö ÒÓØ Ý Æ Ò ÓÖ Ø À ÑÓÐÙк Ì ÚÐÙ ÓÖ Æ Ò¾Òµ ÖÔÖ ÒØ Ø ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÖÖÓÖ ÓÖ ÔÖ Ó Ö Ó Þ Ò Ò ¾Ò ÛÖ Ò ½½¾ ¾¾ Ò Ò ¾¾ Ö ÔØÚÐݺ ÜØ ÚÐÙ Æ ½½¾ Æ ¾¾ Æ Æ ½½¾¾¾µ Æ ¾¾µ ½ ¼¼¾½ ¼¼½ ½¼ ½¼ ½ ½¼ ¼ ½¼ ¾ ¼ ¼¼½¾½ ¼ ½¼ ¾ ½¼ ½ ½¼ ¾½ ½¼ À ¹º¾¾ ¼¼½½ ¾ ½¼ ¾ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ º¾ ÐÐÙ ØÖØ Ø ÚÐØÝ Ó Ø ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ¾ Ò µ ÓÒ Ø ÖØ ¾ ¹ÒÓÖÑ ÚÐÙØÓÒ ¾ Ò µ Ò ¾ ÒÐÝ Ó ÓØ ØÑØÓÖ Ò ÓÙÒ ÓÖ ÜÑÔÐ Ò ¾ º ÒÚÙÐ ÒÚÐÙ Û Ú ÁÒ ÔÖØÙÐÖ ÓÖ Òµ ¾ Ò µ Òµ ÓÒ È µ ½ Ò µ ÛÖ Ø ÑØÖÜ È Ò ÖÓÑ Ø ÓÒÐ ØÓÒ ÔÖÓÙÖ Å ½¾ Å ½¾ È È Ì ÛØ Ø ÓÒÐ ÑØÖÜ º ÁÒ ÓÙÖ Û Ú ÓÒ È µ º ÁÒ ÌÐ º½ Û ÔÖ ÒØ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Æ Ò Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÜØÖÔÓÐØ ÖÖÓÖ Æ Ò¾Òµ ÓÖ Ø ÒÐ ÒÚÐÙ ½ Ò Ø ØÖ ÒÖØ ÒÚÐÙ ¾ º ÖÓÑ ÌÐ º¾ Û Ó ÖÚ ØØ Ø ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ¾ Ò µ Ò ½ Ò µ Ò ÙØÐ ÓÖ Ò ÔÖÓÖ ÖÖÓÖ ØÑØÓÒ ØÓ Ø ØÓØÐ ÒÖÝ ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÖÓÑÔÙØ ÖÖÓÖ ÓÙÒ ØÓ Ø Ó ÑØÖܺ ½
18 ÌÐ º¾ ÓÑÔÖ ÓÒ Ó ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ½ Ò ¾ ÓÖ ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÐÑÒØ º Ò ½½¾ ¾¾µ ¾¾ µ ½ Ò µ ½½¾½¾ ½¼ ¾ ½¼ ¾ Ò µ ½¼ ¾¼ ½¼ ÓÒÐÙ ÓÒ Ï Ú ÒÚ ØØ ÔØÚ ÓÖØÓÓÒÐ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÓÑ ÕÙÒØØ Ó ÒØÖ Ø Ò ÀÖØÖ¹Ó Ò Ò ØÝ ÙÒØÓÒÐ ØÓÖݺ ÁÒ ÔÖØÙÐÖ Û ØÙ Ø ÓÒÚÖÒ ÖØ ÙÔÓÒ Ø ØÒ ÓÖ ÖÒ ÓÖ ÐØÖÓÒ Ò Ø ÓÙÐÓÑ Ò ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÛÐÐ ÓÖ Ø ÀÖØÖ¹Ó ÒÖÝ ÓÖ ÒÙÑÖ Ó ÑÔÐ ÑÓÐÙÐ º ÓÖ Ø ÓÒ Ö ÑÓÐÙÐ Ø ÄË ØÖØÚ Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÑÓÒ ØÖØ ÖÓÙ Ø ÚÓÙÖ ÔÖÓÚÒ ÜÔÓÒÒØÐÐÝ Ø ÓÒÚÖÒ Ò Ø ØÒ ÓÖ ÖÒ Öº ÁØ ÖÑÖÐ Ø ØØ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ò ØÞ ØÝÔÐÐÝ ÔÖÓÚ ÖØÖ ÙÒÓÖÑÐÝ ØÖÙØ ÑܹÒÓÖÑ ÖÖÓÖ Ó ØØ Ø ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑÒ Ø Ø ÒØÐ ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÕÙÐÐÝ ÛÐÐ Ø Ø ÒÖ¹ Ò Ö¹ Ð ÖÓÒ Ó Ø ÒÙÐÖ Ù Ô ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾ºº ÓÒØÖÖÝ ØÓ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ø ÙÖÝ Ó Ø ÒÓÒÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ù ÙÐÐÝ ÒÓØÐÝ ØÖÓÖØ ÒÖ Ø ÒÙÐÖ Ù Ô º Ì ÓÖØÓÓÒÐ ÙÒÚÖØ ÓÑÔÓÒÒØ Ó Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ö Ñ¹ Ð Ø Ô Ó Ø ÓÑÔÓ ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÐÓÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ü Ò ÔÔÖ ØÓ ÙØÐ ÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó ÐÓÛ¹ÑÒ ÓÒÐ ÔÖÓÐѹÔØ Ø Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÙÒØÓÒ º Ï Ó ÖÚ ØØ Ù ØÓ Ø Ø Ý Ò Ø ÒØÖ Ó Ø ÓÖ ØÒ ÓÖ Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ ÑÓÖØ ÖÒ ÐÖÝ ÖÔÖ ÒØ Ø ÔÝ Ð ÕÙÒØØÝ ÛØ Ø ØÓÖÝ ÙÖݺ Ì ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÒØÖÐ ÖÔÖ ÒØÒ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÓÑÔÙØ Ý Ø ÙÐÐÝ ÖØ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÐÐÓØÓÒ Ñ ÓÑÒ ÛØ Ø ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÓÒ ÕÙÒ Ó Ö º ÇÙÖ ÔÔÖÓ ÜØ Ç µ ÓÒÚÖÒ ÛØ Ç Ò ½ µ Ò ÖÕÙÖ Ç ÖÒ Ö µ ØÓÖ ÛÖ Ö ÒÓØ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÛØ Ö Ò ÐÑÓ Ø ÙÒÓÖÑÐÝ Ò Ò Ô ÐÐÝ Ö Ç ÐÓ Òµµº Ì ÑØÓ Ò ÙÖ Ò ÔÖØÙÐÖ ÓÖ Ø À ¹ÑÓÐÙÐ Ø ÖÐØÚ ÙÖÝ Ó Ø ÓÖÖ Ó ½¼ ÓÒ Ø Ò Ò Å Ö ÛØ Ò ¼¼º ÁØ ÖÕÙÖ ÐÓÛ ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ö ÓÙÖ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÖ¹ÑÒ ÓÒÐ ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ØÖÒ ÓÖÑ ÔÖÓÖÑ Ú ½ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ìº Ì Ð ØÓ ÙÐÒÖ ÓÑÔÐÜØÝ Ç Ò ÐÓ Òµ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ó Ø ÓÒÚÒØÓÒÐ ¹Ì Ç Ò ÐÓ Òµº ÁÒ Ø ÛÝ Ø ÔÖ ÒØ ÔÔÖÓ Ó«Ö ÔÖÒÔÐ ØÔ ØÓÛÖ Ø ÒÙÑÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ¹Ó»ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙØÓÒ Ò Ø ÙÐÐÝ ÖØ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÖÑØ ÛØ ÐÒÖ ÐÒ Ò Ø ÙÒÚÖØ Ö¹ Þ Ò Ó ÖØ Ò Öº ÒÓÛÐÑÒØ º Ì ÙØÓÖ ÖØÙÐÐÝ ÒÓÛÐ ÈÖÓº Ϻ ÀÙ ÄÔÞµ Ò ÈÖÓº ʺ ËÒÖ ÖÐÒµ ÓÖ Ù ÙÐ Ù ÓÒ Ò ÚÐÙÐ ÓÑÑÒØ º Ì ÛÓÖ Û ÔÖØÐÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ý Ø ËÈÈ ½½µº ½
19 ÊÖÒ ½ º ÐÑÐĐÓ ÐÑÒØÓÒ Ó ÒÖÝ ÒÓÑÒØÓÖ Ò ÅÐÐÖ¹ÈÐ Ø ÔÖØÙÖØÓÒ ØÓÖÝ Ý ÄÔÐ ØÖÒ ÓÖÑ ÔÔÖÓº Ѻ ÈÝ º ÄØغ ½½ ½µ ½ß ¾¼º ¾ º ÐÑÐĐÓ ÖØ ÑØÓ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ØÓÖݺ ÁÒ º ʺ ÖÓÒÝ º ÅÓÖÒ ÐØÖÓÒ ËØÖÙØÙÖ ÌÓÖÝ ÎÓк ÁÁ ÏÓÖÐ ËÒØ ËÒÔÓÖ ½µ ÔÔº ½½¼ß½½º º ÖÒÖ Åº ÓРϺ ÃĐÙÐ Àº ËØÓÐÐ Ò Àº ÈÖÙ ÒØÓ ÒÖÝ¹Ù Ø Ô ÙÓÔÓØÒØÐ ÓÖ ÐÑÒØ Ó ÖÓÙÔ ½ ¹½º ÅÓк ÈÝ º ¼ ½ µ ½ ½¹½º º ÝÐÒ Ò ÅºÂº ÅÓÐÒÑÔ ÆÙÑÖÐ ÓÔÖØÓÖ ÐÙÐÙ Ò Ö ÑÒ ÓÒ º ÈÖÓº ÆØк º ˺ ÍË ¾¼¼¾µ ½¼¾ß½¼¾½º º ÝÐÒ Ò ÅºÂº ÅÓÐÒÑÔ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ÑÒ ÓÒº ËÁŠº ˺ ÓÑÔÙغ ¾ µ ¾¼¼µ ¾½ ¹¾½º ˺ʺ ÒÒÑ ØØÝ Åº Ô Ïº ÀÙ ºÆº ÃÓÖÓÑ Ò Àº¹Âº Ð ÌÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ ÓÔØÑÐ ÖÒ Ò ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖݺ º Ѻ ÈÝ º ½¾ ¼½¼ ¾¼¼µº Ⱥº ÖÐØ Ò º Ä Ö º ÀÒÓÓ Ó ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÎÓк ÓÑÔÙع ØÓÒÐ Ñ ØÖݺ Ð ÚÖ Ñ ØÖÑ ¾¼¼ º ĺ ÄØÙÛÖ º ÅÓÓÖ Ò Âº ÎÒÛÐÐ ÇÒ Ø Ø ÖÒ¹½ Ò ÖÒ¹ Ê ½ Ê Æ µ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ö¹ÓÖÖ ØÒ ÓÖ º ËÁŠº ÅØÖÜ Òк ÔÔк ¾½ ¾¼¼¼µ ½ ¾¹½ ¾º ºÁº ÙÒÐÔ ÊÓÙ Ø Ò ÚÖØÓÒÐ ØØÒº ÈÝ º Ѻ Ѻ ÈÝ º ¾ ¾¼¼¼µ ¾½½ ¹ ¾½½ º ½¼ ̺Àº ÙÒÒÒ ÂÖº Ù Ò Ø ÓÖ Ù Ò ÓÖÖÐØ ÑÓÐÙÐÖ ÐÙÐØÓÒ º Áº Ì ØÓÑ ÓÖÓÒ ØÖÓÙ ÒÓÒ Ò ÝÖÓÒº º Ѻ ÈÝ º ¼ ½µ ½¼¼¹½¼¾ º ½½ ú ÓÖÒ Çº ÌÖÙØÐÖ Àº ĐÇÑ Åº ÀĐ Ö Ò Êº ÐÖ ÙÜÐÖÝ Ø ØÓ ÔÔÖÓÜÑØ ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ º Ѻ ÈÝ º ÄØغ ¾¼ ½µ ¾ ¹¾¼º ½¾ Àº¹Âº РϺ ÀÙ ºÆº ÃÓÖÓÑ Ò Êº ËÒÖ ÓÒÔØ Ó Ø¹ ÔÖ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò ÑÒݹÔÖØÐ ÑÓÐ º ÃÐ ¾¼¼ Ò ÔÖÔÖØÓÒµº ½ Ϻ ÀÙ Ò ºÆº ÃÓÖÓÑ ÄÓÛ¹ÖÒ ÃÖÓÒÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ ÑÙÐعÑÒ ÓÒÐ ÒÓÒÐÓÐ ÓÔÖØÓÖ º ÈÖØ Áº ËÔÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÑÙÐعÚÖØ ÙÒØÓÒ º ÓÑÔÙØÒ ¾¼¼µ ½¹¾¼¾º ½ Ϻ ÀÙ ºÆº ÃÓÖÓÑ Ò ºº ÌÝÖØÝ ÒÓÚ ÀÖÖÐ ÃÖÓÒÖ ØÒ ÓÖ¹ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ º º ÆÙÑÖº Åغ ½ ¾¼¼µ ½½ß½º ½ ź ÀĐ Ö Ò Âº ÐÑÐĐÓ ÄÔÐ ØÖÒ ÓÖÑ ØÒÕÙ Ò ÅÐÐÖ¹ÈÐ Ø ÔÖØÙÖØÓÒ ØÓÖݺ º Ѻ ÈÝ º ½¾µ ߺ ½
20 ½ Ϻ ÀÙ Ø Ò ÜØ ÔÖÓØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÖ ÒÓÒ¹ÕÙ ØÒØ Ö º ÓÑÔÙع Ò ¼ ¾¼¼µ ½ ¹½º ½ Ϻ ÀÙ Ø Ò ÜØ ÈÖÓØ ÅÙÐعÑÒ ÓÒÐ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÖ ÙÒØÓÒ Ò Ò ÄÓÐÐÝ Ê Ò Ö º ÅÈÁ ÅÁË ÄÔÞ ¾¼¼ Ò ÔÖÓÖ º ½ Ϻ ÀÙ Ò ºÆº ÃÓÖÓÑ ÌÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ ÇÔÖ¹ ØÓÖ Ò ÙÒØÓÒ Ò À ÑÒ ÓÒº ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÑÔÐÜØÝ ¾¼¼µ Ó ½¼º½¼½»ºÓº¾¼¼º¼ º¼¼º ½ ʺº ÀÖÖ ÓÒ ºÁº ÒÒ Ìº Ò º Ò Ò º ÝÐÒ ÅÙÐØÖ ÓÐÙØÓÒ ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖÝ ØÓÖÝ Ò ÒØÐ ÔÔÐØÓÒ º º Ѻ ÈÝ º ½¾½ ½½ß½½ ¾¼¼º ¾¼ ̺ ÀÐÖ Èº ÂÖÒ Ò Ò Âº ÇÐ Ò ÅÓÐÙÐÖ ÐØÖÓÒ¹ËØÖÙØÙÖ ÌÓÖݺ ÏÐÝ ÆÛ ÓÖ ½º ¾½ ĺ ÒÓÚ Ìº ÙØ º ÆÐÓÚ Ëº ÓÖ Ò º ÝÐÒ ÆÒØ ÓÐÙØÓÒ Ó ÈÓ ÓÒ³ ÕÙØÓÒ ÛØ Ö ÓÙÒÖÝ ÓÒØÓÒ º ÈÖÔÖÒØ ÖÚÓÒ¹ÑØ»¼¼ ½ Ú½ ½ ÅÝ ¾¼¼º ¾¾ ˺º Ñ º ÆÐÓÚ Ò Ëº ÓÖ ÈÖØйÈÖØÐ ÈÖØÐ¹Ò ØÝ È µ ÐÓÖØÑ ÓÖ Ø ÐÙÐØÓÒ Ó ÐØÖÓ ØØ ÒØÖØÓÒ Ó ÔÖØÐ ÛØ Ð¹Ð Óѹ ØÖݺ ÈÖÔÖÒØ ÖÚ¼¼º¾Ú½ ½ ÂÙÐÝ ¾¼¼º ¾ ºÆº ÃÓÖÓÑ ËØÖÙØÙÖ ÊÒ¹ Ö ½ Ö µ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ó ÙÒØÓÒ¹ÖÐØ ÌÒ¹ ÓÖ Ò Ê º ÓÑÔº Åغ Ò ÔÔÐ Åغ ¾µ ¾¼¼µ ½¹¾¾¼º ¾ ºÆº ÃÓÖÓÑ ÅÙÐعÐÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ö¹ÑÒ ÓÒÐ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ò ÐÒ¹ Ö Ó Øº ÅÈÁ ÅÁË ÄÔÞ ¾¼¼ Ò ÔÖÓÖ º ¾ ºÆº ÃÓÖÓÑ Ò Îº ÃÓÖÓÑ ÄÓÛ ÊÒ ÌÙÖ ÌÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ Ø Ð Ð ÈÓØÒØÐ º ÒØÖÐ ÙÖÓÔÒ Âº Ó Åغ µ ¾¼¼µ ½¹¾º ¾ ºÊº ÅÒÝ ÈºÂº ÃÒÓÛÐ Ò ºÏº ÄÐÓÝ Ì ÈÓ ÓÒ ÕÙØÓÒ Ò Ò ØÝ ØØÒ ÓÖ Ø ÃÓÒ¹ËÑ ÓÙÐÓÑ ÔÖÓÐѺ º Ѻ ÈÝ º ½½ ¾¼¼½µ ½¹½º ¾ Áº κ Ç ÐØ º κ ËÚÓ ØÒÓÚ º º ÌÝÖØÝ ÒÓÚ ÌÙÖ ÑÒ ÓÒÐØÝ ÖÙØÓÒ Ó ØÖ¹ÑÒ ÓÒÐ ÖÖÝ Ò ÐÒÖ ØѺ ËÁŠº ÅØÖÜ Òк ÔÔк ¾¼¼ ØÓ ÔÔÖº ¾ º ËØÓÖ Ò Êº ÙÐÖ ÆÙÑÖ ÅØÑØ ¾ ËÔÖÒÖ ÖÐÒ ½¼º ¾ ĺʺ ÌÙÖ ËÓÑ ÑØÑØÐ ÒÓØ ÓÒ ØÖ¹ÑÓ ØÓÖ ÒÐÝ º È ÝÓÑØÖ ½ ½µ ¾¹ ½½º ¼ Àº¹Âº ÏÖÒÖ ÈºÂº ÃÒÓÛÐ Ø Ðº ÅÇÄÈÊÇ ÚÖ ÓÒ ¾¼¼¾º½¼ Ô Ó ÒØÓ ÔÖÓÖÑ ÓÖ ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ º ½
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
Ö Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
Ê Ò ÓÑ Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ó Ö Å Ð ÃÖ Ú Ð Ú ÒÒÝ ËÙ ÓÚ Ý Î Ò Àº ÎÙ Þ Æ ÓÐ º ÏÓÖÑ Ð Ü ØÖ Ø Ê Ò ÓÑ ¹Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ú Ò Û ÐÐ ØÙ Û Ò Ü Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ó ØÓ Ò Ò Øݺ Ï Ó
ÊÓÑ ÖÙÐÖ ÖÔ Ó Ö ÅÐ ÃÖÚÐÚ Ý ËÙÓÚ Ý Î Àº ÎÙ Þ ÆÓÐ º ÏÓÖÑÐ Ü ØÖØ ÊÓÑ ¹ÖÙÐÖ ÖÔ Ú ÛÐÐ ØÙ Û Ü Ø ÙÑÖ Ó ÚÖØ Ó ØÓ Øݺ Ï ÓØ Ö ÙÐØ Ó ÑÝ Ó Ø ÔÖÓÔÖØ Ó ÖÓÑ ¹ÖÙÐÖ ÖÔ Û µ ÖÓÛ ÑÓÖ ÕÙÐÝ Ø Ô º Ì ÔÖÓÔÖØ ÐÙ ÓØÚØÝ ÑÐØÓØÝ ÔØ
Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Article available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
On Probabilistic Proof Systems and Hardness of Approximation
On Probabilistic Proof Systems and Hardness of Approximation Jonas Holmerin Stockholm 2002 Doctoral Dissertation Stockholm University Department of Numerical Analysis and Computer Science Ñ ÚÒÐÒ ÓÑ Ñ ØÐÐ
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
Multivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008
![arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008](/thumbs/103/160116641.jpg "arxiv: v1 [nucl-th] 28 May 2008")
Å ÖÓ ÓÔ Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ö È Ö Þ¹Å ÖØ Ò Ò ÄºÅº ÊÓ Ð Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ì Ö ¹ Á ÙÐØ Ò ÍÒ Ú Ö ÙØ ÒÓÑ Å Ö ¾ ¼ Å Ö ËÔ Ò Ì ÕÙ Ð ÐÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Û ÐÝ Ù Ò Ñ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ø ÝÒ Ñ
Självorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Errata. by Afif Osseiran. August 17, 2006
Ú Ò ÒØ ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó¹ÐÓ Ø ² ØÖ ÙØ Á ÇËË ÁÊ Æ ÓØÓÖ Ð Ì ËØÓ ÓÐÑ ËÛ Ò ¾¼¼ ÌÊÁÌ ¹Á ̹ Ç˹¼ ¼¾ ÁËËÆ ½ ¹ ÁËÊÆ ÃÌÀ»ÊË̻ʹ¹¼»¼¾¹¹Ë ÃÌÀ Á Ì Ë ¹½ ¼ ËØÓ ÓÐÑ ËÏ Æ Ñ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ñ Ø ÐÐ ØÒ Ú ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS
TKK Dissertations 195 Espoo 2009 PREDICTIVE MODELLING OF EDGE TRANSPORT PHENOMENA IN ELMy H-MODE TOKAMAK FUSION PLASMAS Doctoral Dissertation Johnny-Stefan Lönnroth Helsinki University of Technology Faculty
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007](/thumbs/95/124973666.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007")
Ð Ñ ÒØ Ó Ê Ó Ï Ú arxiv:0712.4029v1 [physics.gen-ph] 24 Dec 2007 Ö Ò ÓÖ Á ÑÓ À Ð ÂÙ ÅØØÐ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Å ÜÛ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008](/thumbs/57/41044285.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008")
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
t
ÝÒÑ ËÝ ØÑ À̼ ÃÓÑÔÐØØÖÒ ÖÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÓÑÔÒØ ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º Á Ø ÒÔÙØ ØÓ ÖØÒ Ý ØÑ ÙÒØ ØÔ ØÒ Ø ÓÙØÔÙØ ÛÐÐ ÓÖÒ ØÓ ÙÖ º Ý Øµ ¼ ¼ Ø ÙÖ ËØÔ Ö ÔÓÒ ÓÖ º ÙÑ ØØ Ø ÒÔÙØ Ò Ø Ò ÑÔÙÐ º ÏØ ÛÐÐ Ø ÓÙØÔÙØ Ø ØÑ Ø º ÂÙ
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
Från det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
a = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
15 = f(3) = 9a + 3b + c 9 = f( 3) = 9a 3b + c
½ ÁÌÇÊÁ Ä Î Ð Ú Ä Ò ÁØ ÓÑ ØÓ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ö Ò Ò ÊÍ Û Ø Å À Å Ú Ò Ù Ñ ØØ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ÊÍ Û Ø Å À Å ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¹ ÓÐÚ Ò Û Ø º Ï Ð Ø ØÖ Ò Ó ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼½¾ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ Ó ÌÓÑ ÖÒ ØÑ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÓÖØ ØØ ØÙÖ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ Ó ÓÒÐ ÖÒ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÖÐ ÖØ ØØÓÒÖ Ð ÒÒÖ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ
ÍØÚÖ Ö Ò Ú ËË ¹ Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ö Ö Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ö Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ú Ö Ñ Ø Å ØØ Ë Ð Ò Ö Ñ ¾¼¼ Å Ø Ö³ Ì Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ¾¼ Ö Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ë¹ÍÑÍ Â ÖÖÝ Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö È Ö Ä Ò ØÖ Ñ ÍÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò Ë
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
ha[k] = h[k] + ha[k 1]
![ha[k] = h[k] + ha[k 1]](/thumbs/100/147467920.jpg "ha[k] = h[k] + ha[k 1]")
ÙÙ Ø ½ a ËÐØÚ ÁÒØÖÒ ¾¼½¼»½ ËÚÓÖ Ç ØØÔ»»½¾º½º¼º¾½¼¼½ Ó ÒØÖÒÓµ ØØÔ»»¾¼¼º½º½¼º½¼¼½ Ó ÜØÖÒÓµ ÇÖÒÞÓÖ ÐÜÒÖ ÓÒÐÚ ËÐÚ ÊÓÖØÓ ËÐÚÓ ÍÖØÒÓ ÊÓ Ó ÂÖº ÐÙÓ Ö Ë ßÐÜÒÖ ÖÓ Ó ÐÙÓÐ Ø ÓÒÚÐÐ ÓØ Ù ÓØ Ö ÄÑÖØ ÔÖÑØÓ ÓÒ ÙÐØÖ ÐÚÖÓ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 november 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm ICM 2010 - Hyderabad: Ulf Persson The Good, the Bad and the Ugly: Bill Casselman Platons
1 k j = 1 (N m ) jk =
ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ
È Ò ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ú Ö ØÝ ÊÓ ÖØ ÒÑ Ö ÖÓ ¼ ËØ Ò È ØØ Ö ÓÒ ØÔ Ó Ò Ò Ü Þ ½ ½¾ Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖÓ Ø Ö Ø Ö ÙÖ Ò ÒÚÒ Ö ÒØÖ Ö Ý Ø Ñ Ò Ú ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓ
ÈÒ ÓÒ ÔÐÒÖÒ ÚÖØÝ ÊÓÖØ ÒÑÖ ÖÓ¼ ËØÒ ÈØØÖ ÓÒ ØÔ ÓÒ Ò ÜÞ ½ ½¾ ÑÖ ¾¼¼ ÈÖÓØÖØ Ö ÙÖ Ò ÒÚÒÖÒØÖÖ Ý ØÑ Ò Ú ÁÒ ØØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒÚÖ ØØ ÁÒÒÐÐ ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ½º½ ÍÔÔØ ÖÚÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º