2. Fria elektronmodellen. 2.1 Introduktion I. 2.2 Drudemodellen I. 2.1 Introduktion II. 2.1 Introduktion 2.2 Drudeteorin

Transkript

1 . Fria elektronodellen..1 Rörelseekvation ino Drude-odellen.. Hall-effekten...1 Allännt... Drude-teorin och Hall-effekten..3 Frekvensberoende konduktivitet..4 Värekonduktivitet i etaller..4.1 Seebeck-effekten.3.1 Degenererade (T=0) elektrongaser.3. Elektrongaser vid ändlig teperatur.3.3 Elektrongasens transportkoefficienter Ledningsegenskaperna.3.3. Värekonduktivitet Seebeck-effekten I [AM 1, EI 10 (Kittel 5), Nordlund/Riskas anteckningar] Fasta änen består av elektroner och joner. Geno att jonernas assa är flera tusen gånger större än elektronernas (jfr. p 1840 e ) är elektronernas och jonernas dynaik i ånga avseenden svagt kopplade till varandra, så att de elektroniska och de joniska egenskaperna i en första approxiation kan beskrivas oberoende av varandra. I kvantfysiken kallas denna approxiation Born-Oppenheier approxiationen, och uttrycks lite er exakt i foren atoernas rörelse är så långsa att för vilken so helst given konfiguration av atopositioner hinner elektronsysteet koa i jävikt före atoerna har rört sig väsentligt. Elektronernas lätta assa gör deras obilitet ånga storleksordningar större än jonernas, och därigeno bestäs t. ex. fasta änens elektriska ledningsföråga huvudsakligen av elektronsysteets egenskaper. II Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 1 So redan flera gånger antytts bygger den enklasta beskrivningen av elektronerna på en bild av en gas av fria elektroner so rör sig i en bakgrund av statiska positivt laddade joner.. Drudeodellen I Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Den klassiska beskrivningen av elektrogasen i fasta änen kallas Drudeteorin. Denna är enkel, och ger rätt storleksordning för de flesta storheter vid rusteperatur en kan inte beskriva transportkoefficienternas teperaturberoende. En realistisk beskrivning av elektrongasen i fasta änen förutsätter att elektrongasen beskrivs so en degenererad Feri-Dirac idealgas. Men för att Drude-teorin ger en kvalitativt enkel en ändå inte helt felaktig bild, so dessuto är grunden för ånga approxiativa odeller av etaller so fortfarande används, går vi ändå igeno den. Utgångspunkten för den klassiska elektrongasteorin är att elektronerna i ett fast äne (i allänhet avses i detta saanhang en etall) kan betraktas so en gas av klassiska partiklar ed assan e och laddningen e. O änets atoer har Z valenselektroner, bidrar varje ato ed Z elektroner till elektrontätheten. O själva atokärnan har laddningen Z a, blir bilden av aterialet nu följande: Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 3 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 4

2 . Drudeodellen II. Drudeodellen III De fria valenselektronerna kallas ledningselektroner. I ånga fall i aterialfysiken är endast dessa betydelsefulla för ett änes egenskaper, så ofta pratar an bara o änets elektroner då an enar ledningselektronerna eller de keiskt aktiva valenselektronerna. Antalet atoer per ol anges av Avogadros tal N A = O atoassan är A och änets densitet (täthet) är ρ, blir antalet ol per voly-enhet ρ /A. Antalet elektroner per volyenhet blir då Figure: a) Scheatisk bild av en isolerad ato. b) I etallen behåller jonen och core-elektronerna sin konfiguration edan valenselektronerna bildar den fria elektrongasen. n = N A Zρ A. (1) En annan ofta använd kvantitet är en-elektron-radien r s, so är radien på en sfär vars voly är lika ed volyen per ledningselektron. Den definieras alltså 1 n = 4πr s 3 3 = r s = ( ) 1/3 3 () 4πn Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 5. Drudeodellen IV Epiriskt gäller att elektrontätheten n är ellan 1 10 /c 3 och 5 10 /c 3, so syns i tabellen.. Drudeodellen V Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 6 Grundantagandet i Drudeteorin är att elektronerna rör sig fritt utan att påverkas av andra elektroner eller joner bortsett från diskreta kollisioner ed de stationära jonerna. Figure: Trajektorien för en från joner spridd elektron enlig Drudeteorin. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 7 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 8

3 . Drudeodellen VI Antagandet att kollisioner ellan elektroner är sällsynta stäer i själva verket ycket bra. Däreot är bilden o en fri elektronrörelse ellan kollisionerna ed joner i själva verket ganska så orealistisk, en Drude-teorin ignorerar alltså detta. En grundstorhet i teorin är det genosnittliga tidsintervallet τ ellan kollisionerna. Denna kallas relaxationstiden. Därtill antas att en elektrons hastighet efter en kollision är statistiskt fördelad och oberoende av hastigheten före kollisionen - dvs. hastigheten efter kollisionen beror enbart av etallens teperatur. Elektrongasens - och därigeno etallens - elektriska konduktivitet kan beräknas på följande sätt i Drudes teori. Mellan kollisionerna ed joner accelereras elektronerna av ett yttre elfält E. Efter en tid t efter en kollision, och före nästa kollision, inträffar är då en elektrons hastighet v = v 0 + F e t = v 0 ee e t (3). Drudeodellen VII Då v 0 är en slupässigt fördelad vektor, för vilken alla riktningar är lika sannolika, är < v 0 >= 0 och den genosnittliga elektronhastigheten blir < v >= ee e < t >. (4) Den genosnittliga tiden ellan kollisioner är τ, och därigeno blir och < t >= τ (5) < v >= ee e τ (6) Proportionalitetskonstanten ellan E och v är känd so elektronernas obilitet µ e, och blir alltså µ e = eτ e (7) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 9. Drudeodellen VIII Strötätheten är nu j = ne < v >= ne τ e E (8). Drudeodellen IX Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 10 Geno att uppäta σ (eller resistiviteten ρ = 1/σ) fås en etod att bestäa relaxationstiden τ epiriskt. För etaller är denna av storleksordningen s. Den elektriska konduktiviteten σ i ett äne definieras so proportionalitetskonstanten ellan det elektriska fältet och strötäthetsvektorn: j = σe. (9) För elektrongasen blir σ σ = ne τ e (10) I.o.. att storheterna i σ i Drude s teori inte beror på det yttre elfältet, utan bara på naturkonstanterna e och e sat de aterialberoende paraetrarna n och τ, förutspår teorin alltså att strötätheten är linjärt beroende på ett yttre elfält, vilket ju bara är Ohs lag, so ju stäer ytterst väl i de flesta etaller i ett ycket brett oråde i E. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 11 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 1

4 . Drudeodellen X. Drudeodellen XI Nu kan vi också lätt uppskatta elektronernas fria väglängd l = v 0 τ (11) där v 0 kan klassiskt uppskattas från ekvipartitionsteoreet: so vid rusteperatur skulle ge 10 5 /s. Detta skulle vidare ge ed τ = ev0 = 3 kt (1) l 10 Å (13) Men i själva verket visar det sig att denna klassiska uppskattning på v 0 är en storleksordning för liten vid rusteperatur, och att v 0 saknar teperaturberoende, så vid låga teperaturer kan l vara flera storleksordningar större än resultatet här. Men resultat so är oberoende av τ kan fortfarande vara av betydelse, och det visar sig att det går att härleda en hel del sådana storheter, så vi fortsätter ännu en stund ed Drude-teorin. so verkar ganska riligt, några atoavstånd. Men för de indre värdena på τ i tabellen ovan skulle vi få l < 1 Å, vilket redan visar att odellen har proble... Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Rörelseekvationen i Drudeodellen I För att kunna behandla tidsberoende storheter härleder vi en effektiv rörelseekvation ino Drude-odellen. Vi betraktar elektroner so rör sig under inflytande av någon yttre kraft f(t). Antag att rörelseängden per elektron vid tidpunkten t är p(t). Sannolikheten för att en godtycklig elektron so vid tidpunkten t har rörelseängden p(t) undergår en kollision ino tidsintervallet dt är dt/τ. Sannolikheten för att dess rörelseängd förändras enbart p.g.a. de drivande yttre krafterna är då 1 dt/τ. Alla sådana elektroners bidrag till den genosnittliga rörelseängden vid t + dt blir då p(t + dt) = (1 dt dt ) [p(t) + f(t)dt] = p(t) τ τ p(t) + f(t)dt + O(dt ) (14) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Rörelseekvationen i Drudeodellen II Elektronerna so kolliderar ino intervallet t och t + dt bidrar en korrektion O(dt ) so vi ignorerar, och därför blir p(t + dt) p(t) ( dt )p(t) + f(t)dt (15) τ Geno division ed dt och derivatans definition dy dx = li y(t + dt) y(t) dt 0 dt får vi i gränsen dt 0 rörelse-ekvationen för p(t) dp(t) dt = p(t) τ (16) + f(t) (17) Denna har en enkel tolkning: den första teren är en friktionster so beskriver den genosnittliga effekten av elektronkollisioner på deras rörelse. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 15 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 16

5 .. Hall-effekten I Hall-effekten används för att bestäa ett änes agnetoresistivitet och förtecknet på laddningarna so rör sig i det. Med agnetoresistans enas att agnetis ändrar på ett änes elektriska resistans. Ursprungligen försökte Hall 1879 söka en agnetoresistans, en detta lyckades inte då. Detta beror på att i de allra flesta änen är agnetoresistans så litet att den är svår att detektera ((undantag har hittats på senare år: stor agnetoresistans (några %) kallades först giant agnetoresistance, sedan när an hittade ännu större effekter kallades det huge agnetoresistance, och nu när an hittat aterial ed en agnetoresistans på flera hundra procent pratas det o colossal agnetoresistance )). Men tecknet på laddningsbärarna lyckades Hall bestäa, och vi beskriver nu denna effekt i er detalj för att denna effekt också är ycket viktig i halvledare. Betrakta följande syste:.. Hall-effekten II Figure: Scheatisk bild av Hall s experient Vi har ett elfält E x över ett prov, so leder till en laddningsdensitet j x längs ed provet. Satidigt finns ett agnetfält H i z-riktningen, alltså vinkelrätt ot E. So ett resultat verkar en kraft F y = ev H (18) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 17.. Hall-effekten III på laddningsbärarna so har hastigheten v. Kraften är negativ helt enkelt för att för elektroner är q = e. Detta koer att leda till ett elfält E y ino provet. Efter en tid är värdet på E y statiskt i.o.. att detta elfält tenderar att skuffa fria elektroner åt otsatt håll i provet ed en kraft F y,e = E y q, so koer att balansera kraften F y. Nu kan an definiera två storheter av intresse. Ett är resistansens beroende på agnetfältet, ρ(h) = E x j x (19) so alltså i de flesta fall visar sig vara bara en ycket svag funktion av H. En annan storhet är fältet E y, so ju är lätt att äta. Man kunde lätt tänka sig att E y är proportionell ot H, så det är naturligt att definiera en koefficient R H = E y (0) j x H Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 19.. Hall-effekten IV Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 18 so ju borde vara konstant o E y är proportionell ot H. Detta är Hall-koefficienten. Vi noterar att o laddningsbärarna skulle vara positiva, skulle deras hastighet vara i otsatt håll än för negativa elektroner, och Lorentz-kraften på laddningarna skulle vara oförändrad i.o.. att också tecknet på laddningen byts. Detta skulle leda till att i stället för negativa skulle positiva laddningar salas på den negativa y-sidan på provet. Alltså skulle det inducerade fältet E y byta tecken, och däred R H bli negativt. Detta betyder att an ed Hall-effekten kan äta laddningsbärares tecken. Det kan verka vansinnigt att ens tänka på denna fråga, då elektroner ju alltid är negativa. Men uppätningar visar att det finns änen där R H är negativt, och alltså laddningsbärarna positiva. Fri-elektron-odeller kan helt klart aldrig förklara sådant beteende, en vi koer senare på kursen att finna en förklaring till detta. Allt so sades i förra kapitlet o Hall-effekten var helt allänt. Nu ser vi vad Drude-teorin kan säga o Hall-effekten. För att Drude-teorin bara Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 0

6 .. Hall-effekten V talar o elektroner antar vi nu hela tiden att laddningsbärarna är elektroner. Vi betecknar elektronernas assa ed bara. Kraften på en elektron blir enligt Lorenz lag f = e(e + v H) (1).. Hall-effekten VI eller o vi inför beteckningen ω c = eh (5) och då p = v får rörelse-ekvationen (17) foren dp dt = p τ e(e + p H) () Då jävikt har nåtts är elektronrörelsens tidsberoende 0 och vi får för x- och y-koordinaterna ekvationerna 0 = p x τ ee eh x p y 0 = p y τ ee eh y + p x (3) (4) 0 = p x τ ee x ω c p y (6) 0 = p y τ ee y + ω c p x (7) Här kallas storheten ω c cyklotronfrekvensen p.g.a att den också ger den vinkelfrekvensen för partiklar i en cyklotron. Här använder vi storheten av bekvälighetsskäl, trots att det nu givetvis inte är fråga o någon cyklotron... Hall-effekten VII Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 1 O vi nu ultiplicerar både leden ed neτ/ får vi 0 = nep x 0 = nep y ne τ E x ω c neτ p y (8) ne τ E y + ω c neτ p x (9) och geno att använda strötäthetens definition j = nev = nep/ och Drude-odellens definition för konduktivitet σ = ne τ/ kan vi skriva o detta till σ 0 E x = j x + ω c τj y (30) σ 0 E y = j y ω c τj x (31) Vi betecknar konduktiviteten ed σ 0 för att betona att det är fråga o konduktiviteten då det yttre agnetfältet är 0... Hall-effekten VIII Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida I jävikt i Hall-experientet gäller nu dessuto j y = 0. Då ger den senare ekvationen E y = ω cτ σ 0 j x = H ne j x (3) och vi får för Hall-koefficienten R H = E y j x H = 1 ne (33) Detta resultat säger alltså att Hall-effekten inte beror på några andra egenskaper på ett aterial föruto laddningsbärarnas täthet n. I.o.. att denna täthet redan beräknades tidigare i Drude-odellen, kan vi nu testa Drude-odellens kvalitet direkt ed att jäföra värdet på R H ed experient. I verkligheten visar sig Hall-effekten bero på både agnetfält, teperatur och aterialets kvalitet, vilket strider ed härledning ovan. Men vid låga teperaturer, starka agnetfält och i rena prover är det öjligt att få ett Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 3 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 4

7 .. Hall-effekten IX konstant värde. I följande tabell visas värden på 1/R H ne i några etaller. Enligt Drude-odellen borde alltså 1/R H ne = 1... Hall-effekten X (Aschroft-Merin använder CGS-enheter, varav faktorn c) Vi ser alltså att i ånga etaller (Li, Na,... Au) stäer Drude-odellens förutsägelse någorlunda bra. Men i en del etaller ger den t.o.. fel förtecken, vilket tyder på allvarliga proble. Ännu värre blir situationen o vi ser på 1/R H ne i t.ex. Al so funktion av H: Figure: Kvantiteten n 0 /n so funktion av ω c τ för aluiniu. Den fria elektrondensiteten är beräknad ed valensen 3. Märk att för höga fält så verkar det so o vi har endast en positiv laddning per enhetscell... Hall-effekten XI Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 5 Drude-odellen isslyckas helt i att beskriva detta H-beroende. Så kontentan är att Drude-odellen kan i vissa begränsade fall förklara Hall-effekten, en isslyckas i ånga väsentliga drag. En ordentlig kvantekanisk teori, so koer senare på kursen, behövs för att förklara dessa egenskaper. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 6..3 Frekvensberoende konduktivitet I Vi härleder nu ströen so induceras i en etall av ett tidsberoende elfält av typen E(t) = Re ( E(ω)e iωt) (34) Då nu f(t) = ee(t), får vi nu rörelseekvationen för elektronerna ino Drude-teorin dp(t) = p(t) ee(ω)e iωt (35) dt τ En stationär lösning till denna ekvation är p(t) = p(ω)e iωt, (36) så vi får ed insättning: iωp(ω) = 1 p(ω) ee(ω), (37) τ Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 7 p(ω) = 1 τ e E(ω). (38) iω Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 8

8 ..3 Frekvensberoende konduktivitet II Strötäthetsvektorn är och alltså j(ω) = + j = nev = ne p ( 1 τ ne Den frekvensberoende konduktiviteten σ(ω) är alltså σ(ω) = j E = där σ 0 är den statiska konduktiviteten (39) iω)e(ω) = σ(ω)e(ω) (40) ne τ (1 iωτ) = σ 0 1 iωτ (41) σ 0 = ne τ. (4)..3 Frekvensberoende konduktivitet III Resultatet reduceras alltså uppenbart till Drude-teorins resultat för likströsfält då ω = 0, so sig bör. Detta resultat har sin viktigaste tilläpning då an betraktar elektroagnetiska vågors frafart i aterialet. Uttrycket för σ(ω) gäller förutsatt att det oskillerande fältets våglängd är ycket större än elektronernas genosnittliga fria väg λ. Detta villkor är väl uppfyllt för vanligt synligt ljus, då λ Å, vilket är ånga storleksordningar större än elektronernas genosnittliga fria väg. Den dielektriska perittiviteten kan beräknas ed hjälp av Maxwells ekvationer: E = 1 c E = 0 H = 0 (43) H t, H = 4π c j + 1 E c t (44) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 9..3 Frekvensberoende konduktivitet IV Här har CGS systeet använts, och den relativa pereabiliteten µ och den statiska perittiviteten har antagits vara 1. För haroniskt tidsberoende (e iωt ) fås ed Maxwells ekvationer och j = σe ( E) = E = iω c H = iω c eller ( 4π c j + 1 c ) E = + iω t c ( 4πσ iω c c (45) E + ω ɛ(ω)e = 0, (46) c so är den vanliga vågekvationen, där den dynaiska perittiviteten ɛ(ω) definierats so ɛ(ω) = 1 + 4πiσ ω. (47) ) E, Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Frekvensberoende konduktivitet V Med att sätta in den ovan härledda ekvationen (41) för frekvensberoende konduktivitet σ(ω) = σ 0 (48) 1 iωτ blir För höga frekvenser ωτ >> 1, blir ɛ(ω) = 1 + 4πiσ 0 ω(1 iωτ) där ω p är den s.k. plasafrekvensen (49) ɛ(ω) 1 ω p ω, (50) ω p = 4πne. (51) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 31 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 3

9 ..3 Frekvensberoende konduktivitet VI Karaktären på lösningarna till vågekvationen E + ω ɛ(ω)e = 0 (5) c avhänger av förtecknet på ɛ(ω). För ɛ < 0 är lösningarna däpade, och strålningen kan inte genotränga etallen. Detta inträffar då ω < ω p. För ω > ω p blir ɛ(ω) > 0 och lösningarna får positiv frekvens så att strålningen kan genotränga etallen, dvs. etallen blir genoskinlig (transparent) för strålningen. Alkalietallerna (Na, K,...) blir faktiskt transparenta då ω > ω p. Tröskelvåglängden är λ p = c ν p = πc ω p. (53) Följande tabell jäför teori och experient för dessa storheter: Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Frekvensberoende konduktivitet VIII och ifall laddningstätheten oskillerar enligt..3 Frekvensberoende konduktivitet VII λ p (10 3 å) λ obs (10 3 å) Li Na.0.1 K Rb Cs Värdena stäer egentligen ycket bra överens o an tänker på hur enkel odellen är. En noggrannare analys visar dock att perittiviteten är er koplicerad än vad so härletts här, och den goda överensstäelsen är i någon ån bara god tur. En annan intressant konsekvens av denna härledning är att en elektrongas kan upprätthålla laddningsdensitetsoskillationer. Med dessa enas en oskillation ed tidsberoendet e iωt. O vi näligen betraktar kontinuitetsekvationen för strötäthetsvektorn j + ρ t Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Frekvensberoende konduktivitet IX = 0. (54) ρ(t) = ρ(ω)e iωt (55) får vi j(ω) iωρ(ω) = 0. (56) Enligt Gauss lag gäller E(ω) = 4πρ(ω) (57) så ed j(ω) = σ(ω)e(ω) (58) får vi följande egenvärdesekvation för laddningstätheten: (4πσ(ω) iω)]ρ(ω) = 0. (59) vilket är ekvivalent ed ω = ω p, (61) dvs. tröskelvärdet för genoskinlighet. I detta saanhang ger ω p alltså villkoret för att laddningsdensitetsoskillationer kan ske i aterialet. Dessa oskillationers natur kan förstås kvalitativt på ett enkelt sätt. Tänk dig ett block av ett aterial, och att elektrongasen i den so helhet förflyttas ett avstånd d ed avseende på atobakgrunden so hålls stilla. Nu koer vi att få ett elfält ed agnituden 4πσ, där σ är laddningen per area i ändorna av blocket: Lösningen till denna är 1 + 4πiσ(ω) ω = 0 (60) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 35 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 36

10 ..3 Frekvensberoende konduktivitet X..3 Frekvensberoende konduktivitet XI Figure: Enkel odell för plasaoskillationer. Nu ed en laddningsdensitet av n, N elektroner och N/Z atoerna i hela blocket blir σ = nde och elektrongasen koer so en helhet att uppfylla rörelseekvationen Dessa oskillationer är plasoner, so ju redan nändes tidigare under kursen. De används bl.a. ino elektronikroskopi för att kalibrera ikroskopets energi, och observeras också i studier av högenergetiska joners spridning vid ytor och frafart inne i aterial. N d = NqE = Ne 4πσ = Ne(4πnde) = 4πne d (6) vars lösningar i d(t) ger just oskillationer vid plasafrekvensen. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Värekonduktivitet I Det faktu att etallens väreledningsföråga är ycket större än väreledningsförågan hos andra fasta änen gör det naturligt att antaga att väreledningsförågan härrör sig från etallelektronernas stora obilitet. Väreledningsförågan κ definieras so proportionalitetskonstanten i Fouriers epiriska lag för väreströtätheten j, so i en diension kan skrivas : jx q = κ dt (63) dx O ε(t ) anger den genosnittliga teriska energin per elektron, gäller att den genosnittliga energin hos en elektron efter en kollision vid x är ε[t (x )]. De elektroner so anländer till x från det håll där teperaturen är högre har i genosnitt senast kolliderat vid x vτ, och har den teriska energin ε[t (x vτ)]. Deras antal per enhetsvoly är n/, ty hälften av elektronerna i x koer från ett håll. Bidraget till den teriska Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Värekonduktivitet II strötätheten av dessa elektroner är då antalet gånger hastigheten v, dvs. v( n )ε[t (x vτ)] (64) Elektronerna so koer från lågteperaturhållet bidrar på otsvarande sätt v( n )ε[t (x + vτ)] (65) Hela teriska strötätheten blir alltså jx q = 1 nv{ε[t (x vτ)] ε[t (x + vτ)]} (66) Nu då x beskriver systeets akroskopiska ått edan vτ är en ikroskopisk storlek, är v τ << x. Då kan vi göra Taylorapproxiationen kring punkten x T (x vτ) T (x) vτ dt (67) dx Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 39 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 40

11 ..4 Värekonduktivitet III Nu är säkert också (dt/dx) litet över avståndet vτ och vi kan göra ytterligare en Taylor-approxiation i ε kring punkten T (x), [ ε[t (x vτ)] = ε T (x) vτ dt ] ε[t (x)] vτ dt dx dx På saa sätt får vi ε[t (x + vτ)] ε[t (x)] + vτ dt dx Insättning av dessa i ekvation (66) ger j q x 1 nv {[ ε[t (x)] vτ dt dx dε dt dε dt ] [ dε ε[t (x)] + vτ dt dt dx (68) (69) ]} dε (70) dt = nv τ dε dt ( dt dx ) (71)..4 Värekonduktivitet IV Då < v x >= 1 3 < v > är det naturligt att generalisera detta resultat till j q n 1 3 v τ( dε )( T ). (7) dt Vidare är N V ( dε dε ) = n( dt dt ) = c v (73) elektronernas bidrag till det specifika väret så att j q 1 3 v c v τ( T ). (74) Jäförelse ed väreledningens definition, ekv. (63), ger ett uttryck för väreledningsförågan κ: κ 1 3 v τc v. (75) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Värekonduktivitet V Förhållandet ellan den teriska och den elektriska konduktiviteten ino Drude-odellen blir 1 κ σ = 3 c v v ne (76) Ifall elektrongasen är en klassisk gas i terodynaisk jävikt gäller enligt idealgasekvationerna c v = 3 nk B (77) 1 v = 3 k BT (78) så insättningen av dessa två ekvationer i ekv. (76) ger Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 4..4 Värekonduktivitet VI vilket är oberoende av etallens detaljerade egenskaper. Denna härledning förutspår alltså att κ σt = konstant = WΩ/K (80) vilket är också en epirisk lag so heter Wiedeann-Franz-lagen. Drude-odellen förutspår alltså detta beroende kvalitativt rätt. O an ser på kvantitativa värden ser an däreot att det ser inte lika bra ut: 1 κ σ = 3 3 nk B 3k B T ne = 3 (k B e ) T, (79) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 43 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 44

12 ..4 Värekonduktivitet VII..4 Värekonduktivitet VIII De flesta kvantitativa värden är alltså ungefär en faktor för stora. Då Drude själv härledde teorin gjorde han ett fel på en faktor på två, och fick då fenoenalt bra överensstäelse ed experient... Men i själva verket finns det ett allvarligt proble ed härledningen, näligen antagandet c v = 3 nk B, (81) vilket har aldrig observerats. Epiriskt är det elektroniska bidraget till det specifika väret vid rusteperatur ycket litet. Orsaken till att felet i Drude-teorins förklaring av Wiedeann-Franz-lagen upptäcktes sent, var att felet i uppskattningen av det specifika väret till ycket stor del kopenseras av ett otsvarande fel i uppskattningen vilket inte heller gäller för en elektrongas. 1 v 3 k BT, (8) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Värekonduktivitet IX I själva verket är dessa två fel båda av storleksordningen 100, en åt olika håll så att de kancellerar nästan perfekt. Så Drude hade fenoenal tur då han härledde sin lag... Men i alla fall når an inte denna kancellations-effekt. Vi ger här ett exepel då så inte sker. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Seebeck-effekten I Då an gör en ätning av värekonduktiviteten gör an det typiskt i en stav där ändorna är elektriskt isolerade, dvs. elektriskt sett en öppen krets. I början av ätningen koer elektronsysteet att söka sig i terisk balans, och det koer att flöda en strö i staven. Då an uppnått jävikt, är ströen noll, en det koer att finnas olika elektrontätheter i de två ändorna av staven. Däred koer det också att existera ett elektriskt fält so är riktat ot teperaturgradienten. Denna tero-elektriska effekt är känd so Seebeck-effekten. Den kan uttryckas so E = Q T, (83) där Q är en negativ koefficient so kallas den teriska effekten. Denna kan uppskattas på följande sätt ino Drude-teorin. Den genosnittliga elektronhastigheten vid x so uppstår av teperaturgradienten är v Q = 1 dv [v(x vτ) v(x + vτ)] τv dx = τ d dx (v ). (84) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 47 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 48

13 ..4.1 Seebeck-effekten II O vi nu igen generaliserar till 3D får vi v v x 1 3 < v >, fås v Q = τ 6 dv ( T ) (85) dt Den genosnittliga drifthastigheten, so uppstår pga det elektriska fältet, är v E = eeτ = eq T τ (86) I jävikt bör v Q = v E, så vi får:..4.1 Seebeck-effekten III Experientella värden på Q är av ordningen 10 6 V /K, så detta värde är ungefär två storleksordningar för ycket!. Orsaken är att vi igen gjorde Drudes antagande 1 v 3 k BT so ju var fel. Men i.o.. att vi inte gjorde det andra felaktiga antagandet c v = 3nk B /, kancellerar inte felen nu. τ 6 ur vilket vi kan lösa Q till dv eq T τ ( T ) = dt (87) Q = 1 d v 3e dt = 1 3e d 3 dt k BT = k B e = V /K. (88) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 49 I [AM, Kittel 6, Nordlund/Riskas anteckningar Se också Mandl] Vi såg just att trots att Drude-teorin har vissa bra fragångar, har den också ycket allvarliga brister. Detta betyder dock inte att vi genast behöver kasta fri-elektron-odellen över bord. Med en enkel korrektion, dvs. att använda Feri-Dirac-statistik istället för den klassiska Boltzann-statistiken, visar det sig att an kan korrigera ånga av teorins brister Denna odell är känd so Soerfelds etallteori. Den kan uttryckas so pseudo-ekvationen Soerfeld-odellen = Drude-odellen + Feri-Dirac-distributionen Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 51 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 50 II Drudes elektrongasteori baserades ju på antagandet att elektrongasen kan beskrivas so en klassisk idealgas, för vilken de olika energitillstånden ockuperas i enlighet ed Boltzanndistributionen ρ(e) = Ce E k /k B T (89) Under antagandet att elektronernas potentialenergi är liten i jäförelse ed deras kinetiska energi är hastighetsdistributionen Maxwell-Boltzann- distributionen f B (v) = n( πk B T )3/ e v /k B T (90) Vid norala teperaturer (T < 1000 K) är detta antagande helt felaktigt! Elektrongasen åste beskrivas so en Feri-Dirac (ideal)gas, för vilken energitillståndens ockupationsannolikhet är ρ(e) = c e (E µ)/k B T + 1 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 5 (91)

14 III Motsvarande hastighetsfördelning är IV f (v) = 1 4 ( π )3 1 e ( 1 v k B T F )/k B T + 1 (9) Här är T F den s.k. Feri-teperaturen, och k B T F = E F den s.k. Feri-energin. Denna bestäs av noraliseringsvillkoret n = d 3 vf (v) (93) För elektrontätheterna i etaller är T F av storleksordningen 10 4 K. Detta innebär att elektrongasen är vid lägre teperaturer terodynaiskt kall, dvs. att nästan alla elektroner är i det terodynaiska grundtillståndet. I detta teperatur-oråde är Feri-Dirac och Maxwell-Boltzann-distributionerna fenoenalt olika: (bilden är för T = T F /100) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Degenererade (T=0) elektrongaser I Vi tar först och betraktat degenererade Feri-gaser, dvs. sådana so ligger vid T = 0, och har alltså alla elektroner i grundtillståndet. Vi ser från bilden ovan att i själva verket är elektrongaser vid norala teperaturer ofta ycket nära ett degenererat syste, så detta är en naturlig startpunkt. I degenererade Ferisyste är alla tillstånd vars energi är indre än Ferienergin ɛ F, so otsvarar Feri-teperaturen T F, upptagna av två elektroner, edan inga elektroner finns i högre energitillstånd. Ferienergin kan beräknas på följande sätt från partikeltätheten. Vi betraktar ett elektronsyste so rör sig fritt ino en kubisk voly V = L 3 under periodiska gränsvillkor. Detta val kan verka ganska godtyckligt, en då an är intresserad av egenskaper innanför ett stort aterialblock, där ytan inte påverkar egenskaperna, kan an väl otiverat välja en sådan for so är ateatiskt öjligt enkel att betrakta. De periodiska gränsvillkoren kan otiveras ed att tänka sig att det är ycket sannolikt att i en kristall Figure: Maxwell-Boltzann och Feri-Dirac distributionen för typiska etalltätheter vid rusteperatur. Elektronerna är i verkligheten nästan jänt fördelade upp till Feri-energin ε F so otsvarar T F, en Maxwell-Boltzann-distributionen förutspår något totalt annat. Detta är grundorsaken till ånga av Drude-odellens brister. Vig höga teperaturer T >> T F närar sig Feri-Dirac naturligtvis Boltzanndistributionens for. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Degenererade (T=0) elektrongaser II har alla bestående plana vågor saa periodicitet so gittret. Med att välja L = na kan an alltså få saa periodicitet so gittret för ens lösningar. Elektronsysteets vågfunktioner bör uppfylla den tidsoberoende Schrödingerekvationen ψ = εψ (94) Schrödinger-ekvationens lösningar blir plana vågor för varje elektron ψ = 1 V e ik r = 1 V e ik x x e ik y y e ik z z (95) där noraliseringskonstanten 1/ V har valts så att sannolikheten att hitta elektronen nånstans i volyen I = dr ψ(r) (96) kuben Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 55 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 56

15 .3.1 Degenererade (T=0) elektrongaser III.3.1 Degenererade (T=0) elektrongaser IV är = 1. O vi nu inför de periodiska randvillkoren får vi villkoren ψ(x) = ψ(x + L), (97) e ik x x = e ik x (x+l), e ik y y = e ik y (y+l), e ik z z = e ik z (z+l) (98) varar följer att där nx, ny, nz är heltal. k x = πn x L, k y = πn y L, k z = πn z L, (99) Figure: Punkter i en -diensionell k-ryd i foren k x = πn x /L, k y = πn y /L. Notera att arean per punkt är (π/l). I d-diensioner är volyen per punkt (π/l) d Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Degenererade (T=0) elektrongaser V Detta innebär att tätheten av tillstånd på k x -axeln är ( π L ) 1 (100) Tillståndstätheten i den 3-diensionella reciproka (K)-ryden blir då ρ = π L 3 Vågfunktionerna koer att ha energin och rörelseängden = V 8π 3. (101) ε = k = (k x + k y + k z ) (10) p = k = (k x, k y, k z ) (103) Tillståndstätheten, dvs. antalet nivåer i 3D ellan k och k + dk, får vi då so följer. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 59 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Degenererade (T=0) elektrongaser VI Ett tunt skal ellan k och k + dk har volyen 4πk dk (104) och antalet punkter i det, tillståndstätheten g(k)dk, blir g(k)dk = 4πk dk ρ = Vk π (105) För att få denna so en funktion av energi åste vi nu dock koa ihåg att ett visst kvanttillstånd i k-ryden kan ha två elektroner, en ed spin up, och en annan ed spin ner. Alltså fås energi-tillståndstätheten: g(ε)dε = g(k)dk (106) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 60

16 .3.1 Degenererade (T=0) elektrongaser VII so kan räknas ut geno g(ε) = g(k) dk ( Vk dε = π ( V ε = π ) ( 1 ε ) ( ) ( ) ( ) d ε Vk 1 = dε π (107) ε ) = V π 3 ()3/ ε (108) Nu vet vi alltså vägfunktionernas täthet och energier, en inte vilka av de oändligt ånga vågfunktionerna so är fyllda och vilka inte. Men den senare kunskapen kan vi få lätt. I en fullständigt degenerarad (T=0) Ferigas gällde ju att bara energinivåer under ε F är fyllda. Däred gäller alltså att endast vågfunktioner so har en energi indre än ε F koer att vara fyllda. Nu koer det alltså att existera en sfär i reciproka k-ryden, innanför vilken alla fyllda vågfunktioner har sitt k-värde. Denna sfär kallas Feri-sfären. Sfärens yta kalla Feri-ytan, dess radie k F.3.1 Degenererade (T=0) elektrongaser VIII Feri-vågtalet, rörelseängden p F = k F Feri-rörelseängden, och v F = p F / = k F / Ferihastigheten. Figure: Grundtillståndet för ett syste ed N frielektrontillstånd fyller de ockuperade orbitalerna en sfär ed radien k F, där ε F = k F / är energin för en elektron ed vågvektorn k F. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Degenererade (T=0) elektrongaser IX Orsaken att an skiljer ellan sfären och dess yta är att sedan då an tar kristallstrukturen i beaktande, visar det sig att de fyllda vågfunktionerna ligger inte era innanför en sfär, utan ino något er koplicerat objekt. Detta objekts yta kallas Feri-ytan oberoende av objektets for. För att beräkna Feri-energin kan vi helt enkelt integrera över tillståndstätheten g(ε) och kräva att hela antalet elektroner ino sfären är det korrekta värdet N (N/V kan ju trivialt räknas o vi känner antalet valenselektroner). Alltså får vi N = εf 0 varur fås g(ε)dε = εf 0 V π 3 ()3/ εdε = ε F = V 3π 3 (ε F ) 3/ (109) ( 3π ) /3 N (110) V Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Degenererade (T=0) elektrongaser X k F kan beräknas ur ε F = k F / till ( ) k F = /3 ( 3π N 3π ) 1/3 N =, (111) V V Feri-hastigheten till v F = p F = k F = ( 3π ) 1/3 N = och Feri-teperaturen T F trivialt ed ε = k B T : V εf, (11) ( T F = 3π ) /3 N (113) k B V För att uppskatta hurdana värden det rör sig o kan vi t.ex. använda oss av kaliu so ett exepel. Den har en yttre elektron per ato och Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 63 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 64

17 .3.1 Degenererade (T=0) elektrongaser XI.3.1 Degenererade (T=0) elektrongaser XII BCC-struktur ed gitterkonstanten a = 5.3 å. Alltså blir N/V = el/å 3 = el/ 3 och vi får ed insättning sat ε F =.1 ev, (114) k F = Å 1 (115) T F = K (116) Vi ser alltså att Feri-teperaturen faktiskt är extret hög, så elektrongasen koer att vara ycket nära en fullständigt degenererad gas vid norala teperaturer. I.o.. att de flesta etaller har gitterkonstanter och antal av valens-elektroner so är av saa storleksordning so i kaliu, koer inte detta att kvalitativt ändra ycket från äne till äne. Här är ett antal exepelvärden: Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Degenererade (T=0) elektrongaser XIII Elektrongasens totala (inre) energi kan nu beräknas (se heupgift) och resultatet för energin per elektron blir då: E N = 3 kf 10 = 3 5 ε F = 3 5 k BT F (117) Notera per kontrast att i en klassisk Boltzann-elektrongas är ju E/N = /3k B T så det skulle krävas teperaturer av storleksordningen av Feri-teperaturen 10 4 K för att nå den elektron-energi, so i verkligheten förekoer redan vid 0 K!! So funktion av volyen får vi energin geno att lösa k F so funktion av N och får ( ) /3 3 3π N V E = N (118) 10 Tillståndsekvationen för en kall elektrongas beräknas enligt ( ) E P = (119) V Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 67 N Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Degenererade (T=0) elektrongaser XIV och i.o.. att vi ser från ekv. (118) att får vi det enkla resultatet E V /3 (10) P = 3 E V so ger ed insättning och notationen n = N/V P = 3 E V = 1 5 (3π ) /3 (11) ( ) 5/3 N = 1 V 5 (3π ) /3 n 5/3 (1) Nu kan vi också beräkna bulkodulen B för elektrongasen B = V ( P V ) (13) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 68

18 .3.1 Degenererade (T=0) elektrongaser XV och i.o.. att vi från ekvation (11) ovan ser lätt att P V 5/3 får vi B = 5 3 P = 10 9 E V = 3 nɛ F (14) Trots att elektrongasens bidrag till kopressibiliteten bara är en del av en etalls totala kopressibilitet, ger elektrongasodellen en uppskattning so har rätt storleksordning: Vi kan alltså redan härleda oss till en del resultat bara ed antagandet av en elektrongas vid 0 K! Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur II O denna ekvation löses för fugaciteten z = e µ/k B T, och denna insättes i uttrycket för U fås U so en funktion av N, V och T, vilket gör det öjligt att konstruera alla de terodynaiska potentialerna och att bestäa de terodynaiska responsfunktionerna so specifika vären etc. Integralerna över k kan ersättas ed integraler över ɛ, då ɛ = k ; dɛ = k dk; (19).3. Elektrongaser vid ändlig teperatur I Feri-Dirac-distributionen för sannolikheten att en energinivå är upptagen är ju f (ɛ) = e (ɛ µ)/k B T + 1 I denna forel är µ en paraeter so kallas den keiska potentialen. Vid T = 0 är µ = ɛ F. Elektrongasens inre energi är U = k ɛ K f (ɛ k ) = d 3 k (π) 3 V ɛ(k) e (ɛ(k) µ)/k B T + 1 (15) (16) ɛ = k (17) Det totala elektronantalet är d 3 k N = (π) 3 V 1 e (ɛ(k) µ)/k B T + 1. (18) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur III och vi får d 3 k (π) 3 f (ɛ) = (π) 3 4π dkk f (ɛ) (130) = 1 π k dɛ f (ɛ) (131) = 1 ɛ π dɛ f (ɛ) (13) = dɛ g(ɛ)f (ɛ). (133) Här är g(ɛ) energinivåtätheten i ekv. (108), vars uttryck nu skrivits ed en stegfunktion g(ɛ) = ɛ π θ(ɛ). (134) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 71 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 7

19 .3. Elektrongaser vid ändlig teperatur IV Här representerar θ(ɛ) stegfunktionen { +1 ɛ > 0 θ(ɛ) = 0 ɛ < 0. Ett bekvät uttryck för g(ɛ) är g(ɛ) = 3 Tillståndstätheten vid Feri-energin blir då (135) n ( ɛ ) 1/ θ(ɛ) (136) ɛ F ɛ F g(ɛ F ) = 3 Den inre energin per volyenhet kan nu skrivas o so n ɛ F. (137).3. Elektrongaser vid ändlig teperatur V och partikeltätheten so ed n = N V = dεg(ε)f (ε), (139) f (ε) = e (ε µ)/k B T + 1. (140) För teperaturer, so är så i jäförelse ed Feriteperaturen ( 10 4 K), är Feri-Dirac -distributionen f (ε) ycket lik en stegfunktion. Orådet kring µ där distributionen avviker från en stegfunktion har bredden k B T : u = U V = dεg(ε)εf (ε), (138) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur VI Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur VII Här är också ännu en bild av distributionen vid olika teperaturer: Figure: Densiteten för en fri elektrongas i 3D. Den fyllda regionen representerar T = 0K edan den streckade kurvan beskriver f (ɛ)d(ɛ) för ändligt T, (kt indre än ɛ F ). Medelenergin ökar när vi går från 0 till T då elektronerna exciteras från oråde 1 till. Figure: Feri-Dirac distribution vid olika teperaturer för T F ɛ F /k = 50000K. Resultatet gäller för en 3D gas. Totala partikelantalet är Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 75 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 76

20 .3. Elektrongaser vid ändlig teperatur VIII konstant oberoende av teperaturen. Den keiska potentialen kan avläsas ur grafen vid energin där f = 0.5. Integraler av typen I = dεh(ε)f (ε) (141) kan beräknas ed hjälp av den s.k. Soerfeld-utvecklingen. Låt Då är K(ε) ε dɛ H(ε ); (14) H(ε) = dk(ε) dε ; (143) dεh(ε)f (ε) = Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur X dε dk(ε) f (ε) (144) dɛ I serieutvecklingen uppträder enbart jäna potenser av (ε µ): I = µ Definiera dεh(ε) I = µ ( d n 1 dε n 1 H(ε)) 1 µ (n)! n=1 Här har a n definierats so dε(ε µ) n f (ε) (149) x ɛ µ k B T ; dx = 1 dε k B T (150) dεh(ε) + a n (k B T ) n ( d n 1 dε n 1 H(ε)) µ (151) n=1 a n = dx x n d (n)! dx ( 1 e x + 1 ) (15).3. Elektrongaser vid ändlig teperatur IX = K(ε)f (ε) dεk(ε)f (ε) (145) Ifall H() = 0, och H(ε) inte växer snabbare än ε N, N < då ε är stort blir substitutionsteren 0. Funktionen f (ε) avviker från 0 blott i ett snävt oråde kring µ vars bredd är k B T. Detta gör det naturligt att utnyttja en Taylorserie-utveckling för K(ε) kring µ: K(ε) = K(µ) + = K(µ) dεf (ε) }{{} f (ε) }{{} 1 I = n=1 (ε µ) n n=1 n! ( d n K(ε) dε n ) µ. (146) dεf (ε)k(ε) (147) 1 n n! (d K(ε) dε n ) µ Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur XI Koefficienterna a n kan uttryckas so serier: dεf (ε)(ɛ µ) n (148) a n = (1 1 n n 1 4 4n ) (153) 55n Dessa kan uttryckas i kopakt for ed hjälp av Rieanns ζ-funktion: så att För ζ(n) gäller där B n är Bernoullis tal: ζ(n) n n (154) 4n a n = ( 1 )ζ(n). (155) (n 1) n 1 πn ζ(n) = (n)! B n, (156) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 79 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 80

21 .3. Elektrongaser vid ändlig teperatur XII Notera att B 1 = 1 6, B = 1 30, B 3 = 1 4, B 4 = 1 30, B 5 = (157) ζ() = π π4, ζ(4) = (158) De explicita uttrycken för de lägsta tererna i Soerfeldutvecklingen är dεh(ε)f (ε) = µ dεh(ε) (159) + π 6 (k BT ) H (µ) + 7π4 360 (k BT ) 4 H (µ) + O(T 6 ). (160) För den inre energin fås på detta sätt serieutvecklingen u = Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 81 dεεg(ε)f (ε) (161).3. Elektrongaser vid ändlig teperatur XIV = n ɛ 3/ F 1 = µ3/ ɛ 3/ F µ 3/ + nπ 8 (k BT ) 1 µ 1/ ɛ 3/ F + π 8 (k BT ) 1 µ 1/ ɛ 3/ F Denna ekvation kan lösas ed serieutvecklingsansatsen: (168) (169) µ = ɛ F + δt + O(T 4 ); (170) µ 3/ = [ɛ F + δt ] 3/ = ɛ 3/ F [1 + δ T ] 3/ (171) ɛ F ɛ 3/ F [1 + 3 δ T ] (17) ɛ F µ 1/ ɛ 1/ F [1 1 δ T ] (173) ɛ F Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur XIII = µ För partikeltätheten gäller Däred dεεg(ε) + π 6 (k BT ) [g(µ) + µg (µ)] + O(T 4 ) (16) n = µ µ dεg(ε) + π 6 (k BT ) g (µ) + O(T 4 ) (163) g(ε) = 3 g (µ) = 1 dεg(ε) = n ( ɛ ) 1/ θ(ɛ) (164) ɛ F ɛ F µ 0 g(µ) µ n = π g(µ)µ (k BT ) 1 g(µ) µ Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 8 (165) dεg(ε) = g(µ)µ (166) 3.3. Elektrongaser vid ändlig teperatur XV 1 = δ ɛ F T + π 8 (k BT ) 1 ɛ F 3δT = π δ = π 4 k B 1 k B (167) (174) 1 T ; (175) ɛ F 1 ; (176) ɛ F Den keiska potentialens teperatur beroende blir (till andra ordningen i T ): µ = ɛ F {1 1 3 (πk BT ɛ F ) }. (177) Detta uttryck kan utnyttjas för att härleda en explicit forel för den inre energin: u = 5 g(µ)µ + π 6 (k BT ) [g(µ) + 1 g(µ) ] + O(T 4 ) (178) }{{} 3 g(µ) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 84

22 .3. Elektrongaser vid ändlig teperatur XVI g(µ) = 3 u 3 n ɛ 3/ F g(µ){ 5 µ + π 4 (k BT ) } (179) µ 1/ 3 = 3 n ɛ 3/ F ɛ 1/ F {1 1 6 (πk BT ) } (180) ɛ F n [1 1 ɛ F 6 (πk BT ) ] (181) ɛ F n [1 1 ɛ F 6 (πk BT ) ]{ ɛ F 5 ɛ F (1 3 (πk BT ) ) (18) ɛ F π 4 (k BT ) } (183) u = 3 n [1 1 ɛ F 6 (πk BT ) ]{ ɛ F 5 ɛ F π kbt } }{{} (184) 5 ɛ 11 F {1+ 4 π k B T Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur XVIII eller u = u 0 + π 6 (k BT ) g(ɛ F ) (190) Detta uttryck kan direkt användas för att beräkna elektrongasens specifika väre: ɛ F }.3. Elektrongaser vid ändlig teperatur XVII = 3 5 nɛ F { (πk BT ɛ F ) } (185) = u 0 + nɛ F ( πk BT ɛ F ) (186) u = u 0 + π 6 (k BT ) g(ɛ F ) (187) För att saanfatta de förra 4 sidornas härledningar, ko vi alltså fra till att den keiska potentialens µ teperaturberoende blir till andra ordningen i T : [ µ = ɛ F 1 1 ] 3 (πk BT ). (188) ɛ F och den inre energin per volyenhet u kan skrivas [ u = 3 5 nɛ F ( ) ] πkb T 3 ɛ F Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongaser vid ändlig teperatur XIX (189) c v T = γ + AT, γ(10 4 cal/ol K ) (194) Konstanterna kan bestäas geno att rita C/T so en funktion av T. Här är en sådan plot för kaliu: c v = u T = π 3 k BTg(ɛ F ) (191) = π (k BT ɛ F )nk B (19) Elektrongasens bidrag till det specifika väret är ycket obetydligt vid rusteperatur ( 10 ). Då jonernas bidrag vid låga teperatur är proportionellt ot T 3, edan elektrongasens är proportionellt ot T, koer elektrongasens bidrag dock att vara det doinerande vid ycket låga teperaturer: c v = γt + AT 3 ; (193) Figure: Experientella värekapaciteter för kaliu, ritad so C/T so funktion av T. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 87 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 88

23 .3. Elektrongaser vid ändlig teperatur XX och här är en tabell av experientella resultat, och resultat so fåtts ed foreln (19).3.3 Elektrongasens transportkoefficienter I Elektrongasens transportkoefficienter kan beräknas på saa sätt so i den klassiska Drudeteorin förutsatt att de terodynaiska storheterna beräknas ed hjälp av Feri-Dirac fördelningen i stället för Boltzann-fördelningen. En del storheter är oförändrade från Drude-teorin, näligen alla de där elektronernas hastighetsdistribution inte hade en roll. Alltså gäller våra beräkningar för växelströs- och likströs-konduktivitet och Hall-effekten fortfarande. Andra storheter kan nu lätt beräknas geno att ersätta elektronernas klassiska hastighet ed Feri-hastigheten. Den genosnittliga fria vägen dvs. det avstånd en elektron i genosnitt tillryggalägger ellan kollisionerna är l v F τ, (195) I de allra flesta fall stäer teorin alltså redan bra överens ed resultaten, en i några (Nb, Fe, Mn, Bi, Sb) isslyckas den fenoenalt. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongasens transportkoefficienter II Relaxationstiden är so förr τ = där ρ är resistiviteten, so alltså är ρ = ρne. (196) τne (197) Vid rusteperatur visar sig l vara av storleksordningen å. I praktiken finns det alltid något antal orenheter i en kristall, och elektronerna koer också att kollidera ed dessa ed någon kollisionsrat 1/τ 0 so är i god approxiation teperaturoberoende. Då T 0, koer denna alltså alltid för eller senare att doinera kollisionerna. Suan av kollisionsraterna blir nu 1 τ = 1 τ τ ph (T ) (198) där τ är relaxationstiden. Ferihastigheten v F = k F / är nu ycket större än Drude-teorins uppskattning av den genosnittliga hastigheten. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongasens transportkoefficienter III och resistiviteten koer att kunna skrivas ρ = ne τ = ne τ 0 + ne τ ph (T ) = ρ I (T ) + ρ 0 (199) ρ I kallas den ideala resistiviteten och ρ 0 den residuala resistiviteten (för att den finns kvar vid 0 K). Detta förklarar Mattheisens regel, so säger att olika prover (ed olika kristallkvalitet) av saa aterial koer att ha resistiviteter so avviker bara ed en teperaturoberoende konstant. Denna konstant koer alltså att vara ρ 0 = ne (00) τ 0 och satidigt ge resistiviteten vid 0 K. Väreledningskoefficienten är fortfarande κ = 1 3 v τc v. (01) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 91 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 9

24 .3.3 Elektrongasens transportkoefficienter IV I Drudeteorin uppskattades < v > ed hjälp av Maxwell-Boltzann-distributionen so 1 v 3 k BT, och c v so 3 nk B. Bägge uppskattningarna var ju ycket issvisanden en felen kopenserade i hög grad varandra. Ino Soerfeld-teorin fick vi för den kalla kvantekaniska elektrongasen εf v v F = (0) och och för konduktiviteten σ gällde ju c v π (k BT ɛ F )nk B, (03).3.3 Elektrongasens transportkoefficienter V så vi får eller κ = 1 3 ε F σ π ne (k BT )nk B (05) ɛ F κ σt = π 3 (k B e ) = WΩ/K (06) Den kvantekaniska uppskattningen ligger ycket nära de flesta epiriska värdena för etaller, so ju var: σ = ne τ (04) Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongasens transportkoefficienter VI Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida Elektrongasens transportkoefficienter VII Det allänna uttrycket för den teriska effekten (Seebeck-effekten) är Q = c v 3ne. (07) Insättning av c v ger nu Soerfeld-odellens värde för Seebeck-effekten Q = π 6 k B e (k BT ɛ F ) 1.4( k BT ɛ F ) 10 4 V K. (08) so är av rätt storleksordning. Motsvarande klassiska uttryck var ju vid rusteperatur ca. 100 gånger för stort. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 95 Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 96

25 .4 Misslyckande för fria elektronodellen I Med Soerfeld-odellen lyckades vi alltså lösa ånga av Drude-odellens brister. Är allt nu frid och fröjd i vår beskrivning av elektroniska effekter i aterial? Nej! Det finns ännu en assa saker so fri-elektronodellen inte kan beskriva ordentligt. Vi listar här kort några av de, fler finns i Ashcroft-Merin kap. 3. Hall-koefficienten är i verkligheten inte oberoende av teperatur- och agnet-fält, och kan to. ha negativa förtecken. Magnetoresistansen är inte oberoende av agnetfältets styrka Resistiviteten är inte teperaturoberoende. Vad bestäer antalet ledningselektroner? Fri-elektronodellen bara antog att de finns där... Varför är inte alla grundänen etaller? Vad är en halvledare egentligen? För att besvara (eller ens försöka besvara) dylika frågor åste vi beakta kristallstrukturens inverkan på de elektriska egenskaperna, so är änet för nästa kapitel. Ronald Österbacka Materialfysik 008, sida 97