Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel

Transkript

1 Lösningsförslag till deltentamen i IM601 Fasta tillståndets fysik Heisenbergmodellen Måndagen den 0 augusti, 01 Teoridel 1. a) Heisenbergmodellen beskriver växelverkan mellan elektronernas spinn på närliggande atomer i och j. Det rör sig således om elektroner vars vågfunktioner delas mellan närliggande atomer och där detta utbyte av elektroner mellan atomerna leder till en växelverkansenergi mellan elektronernas spinn. I formeln är U = utbytesenergin, J = utbytesintegralen av vågfunktionerna och S i samt S j är totala spinnkvanttalet hos atom i respektive atom j. De totala spinnkvanttalen hos atomerna motsvarar fysikaliskt av hur stort överskott av elektroner med spinn upp i ofyllda skal som det finns hos vardera atomen fyllda skal ger alltid S=0). Utbytesintegralen J kan vara både positiv och negativ och beskriver på vilket som dessa elektroners vågfunktioner överlappar mellan de olika atomerna. När J > 0, minskas energin U när närliggande atomers spinn ligger åt samma håll, dvs. vi har ett ferromagnetiskt tillstånd. När J < 0 minskar energin när närliggande atomers spinn ligger åt olika håll. Beroende på hur de magnetiska atomerna sitter i enhetscellen, kan detta leda antingen till antiferromagnetism alla närliggande atomer har olikriktade spinn) eller till olika slag av frustrerade magnetiska system geometriskt omöjligt för alla närliggande atomer att ha motriktade spinn samtidigt). b) Enligt ovanstående krävs att materialet är ferromagnetiskt eller antiferromagnetisk för att Heisenbergmodellen ska vara dominerande. Av materialen i listan är det endast kobolt som är ferromagnetiskt. NaCl och Ar har fyllda skal och ger endast diamagnetiska bidrag, Si har kovalenta bindningar och är en halvledare, dvs. ofyllda elektronnivåer utgörs endast av ledningsbandet och valensbandet. Ger således i huvudsak ett diamagnetiskt bidrag. K är en alkalimetall och ofyllda elektronnivåer beskrivs bra med hjälp av fria elektongasmodellen, varför vi får ett paramagnetiskt bidrag från elektrongasen. Co är en 3d-metall med ofyllda d- elektronnivået som ligger ytligt i atomen, varför överlapp av elektronernas vågfunktioner mellan atomer sker. Eftersom vidare S " 0 för de 7 d-elektronerna, kommer Heisenbergmodellen att vara betydelsefull för beskrivningen Co är ferromagnetiskt).. a) Grupphastigheten är enligt den givna formeln proportionell mot derivatan av kurvan E k) och den effektiva massan är omvänt proportionell mot andraderivatan krökningen) av kurvan E k). Detta ger följande principiella utseende hos de båda kurvorna: v g k) m*k) 0 k BZ k 0 k BZ k

2 Vid låga k förväntar vi oss att energinivåerna ska vara frielektronlika, vilket betyder att E " k och således att v g " k och att m*"konst. Vi förväntar oss även att vid BZ-gränsen ska v g " 0, eftersom elektronerna i ett helt fullt band inte bidrar till ledningsförmågan. Därav följer att det finns ett maximum i v g någonstans i intervallet [ 0, k BZ ], vilket även inses genom att dra riktningskoefficienten i den givna figuren för olika k. Eftersom E k) har en ändring i krökning i intervallet vilket ger ett maximum hos v g k), kommer derivatan d E dk att vara noll i denna punkt och således går den effektiva massan m* ". Dessutom ändrar d E dk tecken i intervallet, vilket betyder att även m * ändrar tecken. Detta motiverar kurvornas utseende. b) Fysikaliskt beror detta på att när antalet elektroner i bandet börjar närma sig det maximalt tillåtna antalet i detta band, kommer det att bli allt trängre för elektronerna att röra sig. Detta saktar ned elektronernas rörelser och en liten ökning av k proportionell mot rörelsemängden) medför således bara att elektronernas rörelser saktas ned ännu mer så länge som de inte kan gå över till ett annat band). Detta är således precis tvärt emot vad som händer med en fri elektron eller en elektron längre ned i bandet. Att den effektiva massan ändrar tecken och blir negativ motsvaras av att man kan beskriva de lediga elektrontillstånden nära BZ-gränsen som hål, vilka rör sig i en elektrongas som är nästan fylld. 3. a) I en typ-i supraledare har vi Meissnertillståndet ända upp till det kritiska fältet B c. Detta betyder att vi kan sätta M = "H a = "B a µ 0 då B = B a + µ 0 M = 0 inuti supraledaren. Vid konstant temperatur är arbetet den enda termen som bidrar till den fria energin hos supraledearen och vi får att df s = V µ 0 B a " db a. Den fria energin fortsätter att öka fram till dess att vi når det kritiska fältet B c, vilket vid integrering av uttrycket för df s ger att: F s B c ) " F s 0) = B c V µ 0 Slutligen kan vi konstatera att när supraledaren når det kritiska fältet, så är den fria energin i det supraledande tillståndet lika stor som den fria energin i det normalledande tillståndet. Eftersom den fria energin i det normalledande tillståndet inte beror av det pålagda fältet, får vi att F s B c ) = F n B c ) = F n 0), vilket ger att: F s B c ) " F s 0) = B c V $ F n 0) " F s 0) = B c V vilket skulle visas) µ 0 µ 0 b) Enligt den ledning som ges i uppgiften får vi fram följande samband för skillnaden i entropi och värmekapacitet i det normalledande respektive i det supraledande tillståndet. S n " S s = " d F n " F s) = " V B c dt µ T ) dbc T) 0 dt C n " C s = T d S n " S s) dt = " VT ) + B c T µ 0 + * ) d B c T) dt + db c T),. $ dt. - Vid T = T c, är det kritiska fältet B c T) = 0, vilket medför att

3 C n T c ) " C s T c ) = " VT db c T µ 0 dt $ ) T =Tc Eftersom derivatan är negativ om vi närmar oss T c från lägre temperaturer och noll ifall vi närmar oss T c från högre temperaturer, kommer det att bli en diskontinuitet i värmekapaciteten vid T c och det kommer att gälla att C s T c ) > C n T c ). c) Det kritiska fältet vid T = 0 hos en typ-i supraledare är maximalt i storleksordningen 0,1 T, vilket ger en kondensationsenergi på "F V = B c 0,1 J µ 0 $ 4 $10 7 m J m 3 Galliumantimonid, GaSb Beräkningsdel 1. a) I en intrinsisk halvledare finns lika många hål som elektroner, dvs. n = p och vi har att: n = p = k B T $ "h 3 * * m e mh ) 3 4 exp ) E g $ k B T Numeriskt ger detta att laddningsbärarkoncentrationen vid 300 K är: n i = 1,3807 "103 " 300 " 9,10953"10 31 * $ " 1,05459 "10 34 ) * * ) 0,68 "1,6019 "1019 "exp "1,3807 "10 3 * " 300 m3 =1,13"10 18 m 3 ) b) Resistiviteten ges ur konduktiviteten: " = neµ e + peµ h = n i e µ e + µ h Numeriskt blir detta att: 3 0,047 " 0,14) 3 4 " ) $ = 1 " = 1 ) 1 " = 1, , $ ) n i e µ e + µ h cm = 90 cm c) Koncentrationen av elektroner i ledningsbandet ges ur massverkans lag n " p = n i och vi får att: n = n i p " n = 1, ) cm $3 =1,310 8 cm $3

4 . a) Curies lag härleds från antagandet att tanh x " x och avvikelser från Curies lag kommer således att uppträda när även andra termer i serieutvecklingen av tanh x börjar ge ett väsenligt bidrag. Med antagandet om att avvikelserna ska vara mindre än 1 måste effekten av andra termen i serieutvecklingen således vara mindre än 1 av den första termen, vilket ger följande jämförelser för de två första termerna: 0,01" x > x3 3 x < 0,03 x < 0,173 0,01" x > x3 15 x 4 < 0,05 x < 0,473 Första termen ger således det striktaste kravet på s. Eftersom x = µ B B, får vi villkoret: k B T µ T > B B T > 9,741"10$4 "10 $ K = 39 mk 0,173" k $3 B 0,173"1,3807 "10 b) Enligt tabell 1, sid 306 i Kittel har Ho ett effektivt magnetiskt moment på 10,60 Bohrmagnetoner den som inte hittar tabellen kan beräkna detta med hjälp av Hunds regler). Enligt Curies lag tecknas susceptibiliteten i SI-enheter) " = C T = N µ 0 p µ B 3k B T För att beräkna volymsusceptibiliteten behöver vi veta atomtätheten av Ho i materialet. Eftersom vi har dopat in Ho i Pd, så har materialet samma gitterstuktur som rent Pd, dvs. materialet är fcc med gitterparametern 3,89 Å tabell 3, sid 0 i Kittel). En uppskattning av förändringen av gitterparameterns förändring på grund av Ho-atomerna fås ur atomradierna där Pd har radien 1.38 Å och Ho har radien 1.77 Å. Detta ger enligt hårdsfärsapproximationen en ökning av gitterparametern hos det dopade materialet betrakta diagonalen på kubens sida i fcc): a = 4r " a = r " a $ r " a $ ,77 1,38) Å $ 0,01 Å Pd 0,99 Hp 0.01 har således gitterparametern 3,90 Å. För fcc med 4 atomer i basen ges atomtätheten av N = 4 4 a 3 " N = 3,9010 $10 ) 3 m -3 = 6, m -3 Insättning i Curies lag ger nu att volymsusceptibiliteten vid rumstemperatur blir: " = 0,01 6, $ ,60 9, ) = 6, ,

5 Lågvinkelkorngräns 3. De båda dislokationerna identifieras av att antalet rader av atomer ändras. En gneomgång av bilden ger följande positioner hos de båda kantdislokationerna. Linjerna markerar kristallstrukturen i de två olika kornen. Notera att antalet enhetsceller mellan linjerna ändras när en dislokation passeras från 7 enhetsceller överst, via 8 enhetsceller i mitten till 9 enhetsceller längst ner. Räknar vi antalet enhetsceller mellan de båda dislokationerna i bilden, får vi detta till 3 enhetsceller. Bredden ändras då med en enhetscell. Enkel trigonometri ger då att vinkeln mellan kornen är: tan" = 1 3 " =1,8