Ett Sammelsurium av Matematiskt Nonsens. Geometri. Professor Ivar

Transkript

1 Ett Sammelsurium av Matematiskt Nonsens. Geometri. Professor Ivar December 11, 2016

2 ii

3 Contents Företal v 1 Isometrier i Planet Övningsuppgifter Klassikation av Isometrier av Planet Övningsuppgifter Isometrier och Grupper Övningsuppgifter En Saga Euklidiska Mångfalder Övningsuppgifter Kvotytor Bevis av Sats 6.2 när H innehåller glidreektioner Övningsuppgifter Täckningsytor Klassikation av bågvis sammanhängande och kompletta euklidiska mångfalder Övningsuppgifter A Appendix: Lite punktmängdstopologi. 79 iii

4 iv CONTENTS

5 Företal v

6 vi FÖRETAL

7 Chapter 1 Isometrier i Planet. Vi är vana att tänka på talplanet som alla punkter (x, y) så att x, y R. Kortare uttryckt (x, y) R 2. Vi kommer att kalla det reella talplanet för R 2. Vi kommer ibland att använda notationen x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) et.c. för att beskriva punkter in talplanet. Men vi kommer att kalla koordinataxlarna för x axeln och y axeln som vanligt. Det som gör talplanet matematiskt intressant är att det har mycket mer struktur än en samling osammanhängande punkter. Med struktur menas olika matematiska relationer mellan punkter (x, y) i talplanet. Vi kommer att lämna ordet struktur lite odenierat men i den övergripande betydelsen att en struktur är något vi kan göra med talplanet eller punkter i talplanet. En av de viktigaste strukturerna i talplanet är att vi kan mäta avstånd 1 mellan punkter. Denition 1.1. Vi kommer att säga att avståndet mellan två punkter x = (x 1, x 2 ) och y = (y 1, y 2 ) är det reella talet (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. (1.1) Talplanet har mer struktur än så. Vi kan till exempel addera två punkter, säg (x 1, x 2 ) och (y 1, y 2 ), med varandra (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ). Vi kan också deniera funktioner f(x, y) från R 2 till R 2. Oftast så kommer vi att beteckna funktioner med T eftersom vi, i det här kapitlet, kommer att tänka på funktioner som transformationer av talplanet. Vi har total frihet att deniera vilken struktur vi vill på talplanet så länge vi inte inför några motsägelser. Matematiken är oftast problemdriven och en viss struktur införs för att lösa ett visst problem. 1 Ordet geometri γɛωµɛτρια består av delarna jord och mäta - så att mäta avstånd, areor et.c. är kärnan i geometri. 1

8 2 CHAPTER 1. ISOMETRIER I PLANET. I det här kapitlet så skall vi ställa oss en fråga som har haft stor betydelse för matematiken och utifrån den frågan gestalta begreppet matematisk struktur. Frågan kan tyckas vara lite godtycklig, vilken den också är, men den leder till n matematik så vi kommer att hålla fast vid den frågan. Vi frågar oss vilka funktioner T : R 2 R 2 bevarar avstånd, vi kommer att kalla avståndsbevarande funktioner för isometrier. När vi är intresserade av någonting i matematiken, till exempel isometrier, så är det viktigt att vi beskriver exakt vad vi menar med detta begrepp. I matematiken så är vi extremt noga med denitioner. Det är viktigt att denitionen exakt beskriver, helst med hjälp av matematiska formler, det begrepp vi denierar. Låt oss formellt deniera begreppet isometri. Denition 1.2. Vi säger att en funktion T : R 2 R 2 är en isometri 2 om (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = T (x 1, x 2 ) T (y 1, y 2 ) (1.2) för alla punkter (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) R 2. Observera att den här denitionen ger ett villkor på vad det betyder att vara en isometri: en given funktion T : R 2 R 2 är en isometri om och endast om (1.2) är uppfylld för alla punkter (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) R 2. Med hjälp av den denitionen så kan vi ställa oss kapitlets första huvudproblem. Huvudproblem 1: Klassicera alla isometrier av R 2. För att riktigt förstå vad huvudproblem betyder så måste vi förstå vad det betyder att klassicera något i matematiken. Vi kommer inte att använda ordet klassicera som ett matematiskt begrepp och därför inte deniera det med en matematisk denition. Detta innebär att vi inte kan använda ordet i några formler eller i en precis betydelse i satser. Vi kan dock uppfatta ordet intuitivt. Kort sagt så är inte Huvudproblem 1 matematiskt väldenierat. Det hindrar oss inte från att använda huvudproblem 1 som en vägledning i våra studier. I det här sammanhanget så kommer klassicera att betyda mer eller mindre hitta en tydlig beskrivning av alla. Just nu kan problemet förefalla väldigt abstrakt och kanske rent utav konstigt. Men ofta när man börjar studera högre matematik så behöver man se svaret på frågan, vilket vi kommer att göra snart, innan man kan förstå den. Vårt huvudproblem handlar om funktioner som är isometrier. För att frågan skall vara meningsfull så måste det nnas några isometrier - annars har vi inget att klassicera! I matematiken så formulerar vi varje viktigt resultat som en Sats. Vissa mindre viktiga sater kallas propositioner, delresultat brukar kallas för hjälpsatser och resultat som direkt följer av en sats brukar kallas följdsatser. Logiskt är satser, propositioner, hjälpsatser och följdsatser ekvivalenta; men det underlättar vid läsningen av matematisk text att författaren understryker vilka 2 Iso betyder lika och metrik mått. Så en isometri är en funktion som bevarar måttet, eller snarare avståndet, mellan två punkter.

9 3 resultat som är viktigast och vilka som bara är delresultat genom att tillskriva olika namn till resultat av olika betydelse. Satser och denitioner fyller helt olika funktion i matematiken. Denitioner talar bara om hur vi använder begrepp, men satser är påståenden om sanna relationer mellan begrepp. För att kunna vara säker på att en sats är sann så måste därför alla begrepp som används i satsen vara väldenierade. Vi måste också kunna visa att satsen är sann, d.v.s. vi måste bevisa satsen. Vi vill nu hitta någon isometri T : R 2 R 2. För att göra det så måste vi använda vår intuition tillsammans med matematiken, vi måste också lyckas bevisa att den funktion vi hittar är en isometri. Enligt denitionen för isometri, se ekvation (1.2), så betyder detta att vi måste bevisa att (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = T (x 1, x 2 ) T (y 1, y 2 ). (1.3) Uttrycket (1.3) är allt för abstrakt för att hjälpa oss att gissa oss till vad T måste vara. Men om vi använder oss av denitionen av, d.v.s. denition 1.1, så ser vi att (1.3) är exakt samma sak som (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = (1.4) = (T 1 (x 1, x 2 ) T 1 (y 1, y 2 )) 2 + (T 2 (x 1, x 2 ) T 2 (y 1, y 2 )) 2, där vi har använt notationen T (x, y) = (T 1 (x, y), T 2 (x, y)) eftersom T (x, y) är ett tal i R 2. Observera att det enda vi gjorde var att använda denitionen (1.1) i (1.3) och kvadrera båda sidor för att komma fram till (1.4). Genom att stirra på (1.4) en stund så ser man att om för alla x, y R 2 T 1 (x 1, x 2 ) T 1 (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 och T 2 (x 1, x 2 ) T 2 (y 1, y 2 ) = x 2 y 2 (1.5) så kommer ( ) 2 ( ) 2 T1 (x 1, x 2 ) T 1 (y 1, y 2 ) + T2 (x 1, x 2 ) T 2 (y 1, y 2 ) = (x1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2. }{{}}{{} =x 1 y 1 =x 2 y 2 Detta medför att (1.5) är ett tillräckligt villkor för att T skall vara en isometri. Men (1.5) kommer att gälla om det nns någon punkt z = (z 1, z 2 ) R 2 så att T 1 (x, y) = x + z 1 och T 2 (x, y) = y + z 2. Vi har nu hittat, inte bara en, utan oändligt många isometrier av R 2. Eftersom vi är intresserade av isometrier, och kommer att behöva prata om dem i framtiden så är det naturligt att införa en denition för att beskriva den klass av isometrier som vi just hittade. Denition 1.3. Vi säger att en funktion T : R 2 R 2 är en translation (med z) om det nns ett z = (z 1, z 2 ) R 2 så att, för alla x R 2, T (x, y) = (x + z 1, y + z 2 ). (1.6) Om T är en translation med z så kommer vi att skriva T z istället för T.

10 4 CHAPTER 1. ISOMETRIER I PLANET. Vi har valt att kalla funktioner T z för translationer. Vi skulle lika gärna ha kunnat deniera: Vi säger att en funktion T : R 2 R 2 är en grön mögelost om den uppfyller (1.6). Detta är tillåtet då vi är fria att använda orden hur vi vill i matematiken. Dock så skulle en sådan denition vara väldigt förvirrande. 3 Med det vore inte logiskt fel. Är det då riktigt att kalla T z för en translation? Svaret är: Ja. För T z kan tolkas som en translation på ett naturligt sätt enligt bilden nedan. x x+z y+z y Figur 1: Vi kan geometriskt tolka T z som en translation i planet. Om vi har en gur D så kan vi skapa en ny gur som består av alla punkter T z (x) för x D. Den nya guren skulle ha exakt samma form men ha translaterats i planet. Nu har vi två koncept, isometri och translation, som har en stark koppling. Vi kan därför formulera en sats som uttrycker den kopplingen. Eftersom kopplingen inte är speciellt djup och eftersom vi senare kommer att bevisa djupare satser om isometrier så kallar vi den här satsen en hjälpsats. Hjälpsats 1.1. Alla translationer är isometrier. Bevis: För att kunna bevisa den här satsen, eller vilken sats som helst, så måste vi först veta vad ett bevis är och vad vi förväntas att göra när vi bevisar satsen. Varje sats består av ett påstående (ibland era påståenden) och ett bevis av satsen är ett väldigt strukturerat argument för satsens påstående. Den satsen vi vill visa nu säger någonting om alla translationer; nämligen att om någonting är en translation så är den också en isometri. För att visa detta så gör vi antagandet att T är en translation. Enligt Denition 1.3 så är T en translation endast om T är en funktion från R 2 till R 2 (1.7) och det existerar ett z R 2 så att T (x) = x + z för alla x R 2. (1.8) 3 Till exempel så skulle vi kunna formulera en sats Låt T z1 och T z2 vara två gröna mögelostar. Då kommer T z1 T z2, där står för sammansättningen av funktioner, att vara en grön mögelost.

11 5 Satsen hävdar att om (1.7) och (1.8) är sanna för T så är T en isometri. Och enligt Denition 1.2 så är T en isometri om T är en funktion från R 2 till R 2 (1.9) och (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = T (x 1, x 2 ) T (y 1, y 2 ) (1.10) för alla punkter (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) R 2. Observera att (1.9) och (1.10) preciserar vad det betyder att vara en isometri. Eftersom (1.7) är exakt samma sak som (1.9) så är det uppenbart att varje translation, d.v.s. något som uppfyller (1.7) och (1.8), också uppfyller (1.9). Vi behöver därför bara bevisa att om T uppfyller (1.7) och (1.8) så uppfyller T även (1.10). Vi vill hitta ett argument som absolut utan tvivel visar detta. För att vara säkra på vårt argument så måste vi bara använda sådant vi är absolut säkra på att är sant. Eftersom vi antar att T är en translation så vet vi, enligt (1.8), att det nns något z R 2 så att det för varje x R 2 T (x) = x + z. (1.11) Specikt så innebär detta att, för varje x, y R 2 så kommer T (x) T (y) = {enl. (1.11)} = (x + z) (y + z) = }{{}}{{} =T (x) =T (y) = { } eftersom = = x + z (z + y) = (1.12) y + z = z + y } enligt regler för parenteser = x + z z y = { förkorta bort z z = x y. Eftersom vi bara har använt denitionen av translation och enkla räkneregler, såsom (y+z) = y z, så kan vi vara helt säkra på att likheten (1.12) är sann. Men (1.12) är exakt samma som (1.10), om man tar bort alla mellansteg. Vi har därför bevisat att (1.10) gäller för alla translationer. Vårt bevis är därmed avslutat. I ovanstående bevis så har vi varit otroligt noga, rent utav pedantiska. Oftast så struntar man i att nämna när man använder enkla räkneregler, t.ex. så brukar man inte nämna att y + z = z + y. Men det är väldigt viktigt att förstå att i ett bevis så skall man i princip kunna ge ett argument för varje steg i beviset - även om man oftast hoppar över enkla steg som man förväntar sig att läsaren själv kan fylla i (förhoppningsvis så var ni lite frustrerade över alla detaljer när ni läste beviset ovan och kan därför förlåta mig om jag ibland inte tar med exakt alla detaljer i alla bevis). Vidare så tillåter vi endast argument som baserar sig på

12 6 CHAPTER 1. ISOMETRIER I PLANET. Denitioner: Eftersom denitionen endast anger vad orden betyder så får man istället för ett begrepp använda dess denition. Enkla beräkningar och enkel logik: Eftersom vi är helt säkra på att enkla beräkningar är sanna så kan vi använda enkla räkneregler. Tidigare bevisade satser: Om en sats är bevisad enligt dessa kriterier så kan vi vara säkra på att den är sann och vi kan därför alltid använda den i framtida bevis. Till exempel så kan vi när vi vill i ett framtida bevis använda att varje translation är en isometri. För den här kursen, och all framtida matematik vi stöter på, så är det väldigt viktigt att vi förstår oss på vad ett bevis är, lär oss känna igen korrekta bevis samt vänjer oss för att argumentera stringent. Låt oss återgå till vårt huvudproblem: att klassicera alla isometrier. Vi vet nu att det nns många isometrier, minst lika många som det nns translationer. Men nns det er isometrier? D.v.s. nns det isometrier som är av en annan typ än translationer? Om man leker lite med sin intuition så inser man snart att även rotationer bevarar avstånd. y φ x Figur 2: Vi ser lätt att avstånd bevaras, t.ex. en triangels form, om vi vrider koordinatsystemet φ radianer kring origo. För att kunna jobba med rotationer i vårt system 4 så måste vi deniera en rotation som en funktion som verkar på talpar (x, y) R 2. Vi gör detta med hjälp av lite linjär algebra. Denition 1.4. Vi säger att en funktion T : R 2 R 2 är en rotation med φ radianer (kring origo) om för varje x = (x, y) R 2 [ ] [ ] cos(φ) sin(φ) x T (x) =. sin(φ) cos(φ) y Ibland så kommer vi att skriva T φ för en rotation med φ radianer. 4 Kom ihåg att vi har denierat talplanet R 2 som en mängd av talpar (x, y) R 2 så alltid när vi talar om talplanet så menar vi dessa talpar och vår intuitiva bild av planet nns inte i vårt formella system.

13 7 Det återstår att faktiskt bevisa att alla rotationer är isometrier. Hjälpsats 1.2. För alla φ R så är rotationen kring origo med φ radianer en isometri. Bevis: Vi måste visa att T φ (x) T φ (y) = x y för alla φ R och alla x, y R 2. Vi kan nu beräkna T φ (x) T φ (y) = [ ] [ ] [ ] [ ] = cos(φ) sin(φ) x1 cos(φ) sin(φ) y1 = sin(φ) cos(φ) x 2 sin(φ) cos(φ) y 2 [ ] = (x1 y 1 ) cos(φ) (x 2 y 2 ) sin(φ) = (x 1 y 1 ) sin(φ) + (x 2 y 2 ) cos(φ) = ( ((x 1 y 1 ) cos(φ) (x 2 y 2 ) sin(φ)) 2 + +((x 1 y 1 ) sin(φ) + (x 2 y 2 ) cos(φ)) 2) 1/2 = = ( (x 1 y 1 ) 2 (cos 2 (φ) + sin 2 (φ)) +(x 2 y 2 ) 2 (cos 2 (φ) + sin 2 ) 1/2 (φ)) = }{{}}{{} =1 =1 = ( (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2) 1/2 = x y, där vi använde denitionen av rotationen T φ i den första likheten, enkla matrisberäkningar i den andra, denitionen av avstånd (Denition 1.1) i den tredje och femte likheten samt den trigonometriska ettan. Eftersom den långa uträkningen är, enligt bevisets första rad, exakt det vi vill bevisa så är beviset slutfört. Kommentar: Observera att i ovanstående argument så använder vi bara denitioner, enkla beräkningar (t.ex. matrisberäkningar), samt en känd sats (trigonometriska ettan). Det torde därför vara omöjligt för en rationell individ att hysa något tvivel om satsens sanning. Någon kanske inte förstår det här beviset, kanske för att man inte är bekant med matrismultiplikationer. Men en rationell individ som kan alla satser det hänvisas till måste hålla med om att slutsatsen att alla rotationer kring origo är isometrier. Det är naturligtvis väldigt godtyckligt att vi har valt att prata om rotationer kring origo. Varför inte rotera R 2 kring punkten (1, 1) eller kring en godtycklig punkt x R 2? Vårt nästa mål blir att rotera planet kring en godtycklig punkt x. Det intressanta med detta är att vi kan använda att, inte bara talplanet R 2, utan att även alla isometrier har en viss struktur. Kom ihåg att vi (väldigt informellt) kallade alla relationer och saker vi kan göra med en mängd för en struktur. Specikt så kan vi, precis som vi kan göra med alla funktioner, betrakta sammansättningar av isometrier. Om S och T är två isometrier så kommer vi att skriva ST x för sammansättningen 5 av S och T : d.v.s. ST (x) = S(T (x)). Vi kommer att behöva följande hjälpsats för att kunna motivera vår kommande denition av rotation kring en godtycklig punkt. 5 Ofta i analysen så skriver man f g för sammansättningen av två funktioner f och g. Här struntar vi i den lilla cirkeln och, precis som i den linjära algebran, skriver ST för sammansättningen.

14 8 CHAPTER 1. ISOMETRIER I PLANET. Hjälpsats 1.3. Mängden av alla isometrier är sluten under sammansättning; med detta menar vi att om S och T är två isometrier så är även ST en isometri. Bevis: Även det här beviset är ett beräkningsbevis. Vi börjar dock med att konstatera att ST kommer att vara en funktion från R 2 till R 2. Mer specikt så kommer T x R 2, för varje x R 2, eftersom T : R 2 R 2 (då T är en isometri och detta gäller för alla isometrier enligt Denition 1.2). Om T x = y så kommer y R 2 och därför så kommer ST x = Sy för något y R 2 men detta innebär, eftersom S är en isometri, att Sy R 2, d.v.s. ST x R 2 för alla x R 2. Det följer att ST : R 2 R 2. Eftersom ST x är sammansättningen av S och T så kommer, per denition, ST x = S(T x). Vi vet också, eftersom T är en isometri, att x z = T x T z. (1.13) Låt oss kalla punkten T x = y och T z = w. (1.14) Eftersom S är en isometri så kommer Vi kan därför beräkna y w = Sy Sz. (1.15) ST x ST z = S(T x) S(T z) = {(1.14)} = Sy Sw = {(1.15)} = = y w = {(1.14)} = T x T z = {(1.13)} = x z. Men ovanstående ekvation är exakt samma sak som denitionen av en isometri. Ack, detta pedanteri! Föregående hjälpsats visar att sammansättningen av en translation och en rotation, T φ T z, är en isometri. Följdsats 1.1. Varje funktion T : R 2 R 2 som är på formen T (x) = T 1 T 2 T n x, där varje T j, j = 1, 2,..., n är antingen en translation eller en rotation kring origo, är en isometri. Bevis: Vi kommer att använda ett induktionsargument för att bevisa den här följdsatsen. Induktionen kommer att ske över n. Vi börjar med basfallet när n = 1, d.v.s. om T = T 1 där T 1 antingen är en translation eller en rotation kring origo. Eftersom alla translationer är isometrier, enligt Hjälpsats 1.1, och alla rotationer kring origo är isometrier, enligt Hjälpsats 1.2, så kommer T = T 1 att vara en isometri. Antag nu att, för ett givet n, så kommer alla S = T 1 T 2 T n att vara isometrier. Vi måste visa att varje funktion på formen T = T 1 T 2 T n T n+1

15 9 också är en isometri. 6 Vi skriver T = T 1 T 2 T }{{ n T } n+1 = ST n+1. =S Då kommer S = T 1 T 2 T n att vara en isometri enligt vårt induktionsantagande och T n+1 är en isometri (eftersom T n+1 är en translation eller rotation kring origo). Det följer därför, från Hjälpsats 1.3, att ST n+1 = T är en isomteri. Följdsatsen följer från matematisk induktion. Vi kan använda sammansättningen av translationer och en rotation för att deniera rotationen kring en godtycklig punkt. Låt oss vara lite mer specika. Om vi vill göra en rotation med φ radianer kring punkten z så kan vi först göra en translation med z så att punkten z translateras till origo, T z (z) = z z = 0, sen göra en rotation med φ radianer kring origo, d.v.s. betrakta T φ T z, om vi sedan translaterar tillbaka origo till z, d.v.s. betraktar T z T φ T z, så åstadkommer vi en rotation med φ radianer kring z. Geometrin är lite knepig att se i text, men nedanstående bild borde ge en intuitiv bild om varför T z T φ T z motsvarar en rotation kring z. A B T ( 1, 1) T π 2 C D T (1,1) Figur 3: Ovanstående bild visar varför det är naturligt att betrakta T (1,1) T π/2 T ( 1, 1) som en rotation med π/2 radianer kring punkten (1, 1). I bild A (ovan) så har vi markerat en triangel med ena hörnet i (1, 1). Om vi gör en translation med ( 1, 1) (enl. pilen i bild A) så kommer hörnet att translateras till origo såsom i bild B. En rotation med π/2 resulterar i bild C. Om vi 6 Vi antar naturligtvis att alla T j är translationer eller rotationer kring origo genom hela beviset.

16 10 CHAPTER 1. ISOMETRIER I PLANET. sedan translaterar tillbaka med (1, 1), d.v.s. totalt så genomför vi operationen T (1,1) T π/2 T ( 1, 1), då får vi bild D vilket har roterat ursprungstriangeln med π/2 kring (1, 1). När vi intuitivt, i vardagsspråk, talar om en rotation med φ radianerkring en punkt z så förefaller vi mena samma sak som T z T φ T z. Vi använder därför uttrycket T z T φ T z för att deniera en rotation med φ radianer kring z. Detta är lite subtilt. Vi använder vår intuition för att hitta ett rimligt matematiskt uttryck för vad rotation kring en punkt betyder. När vi har hittat ett rimligt matematiskt uttryck så använder vi det för att deniera en rotation med φ radianer kring z. När vi har denierat begreppet med hjälp av matematiska formler så xerar vi betydelsen på ett sätt som blir oberoende av vår geometriska intuition - och i framtiden så får vi bara använda begreppet såsom det är denierat och vår intuitiva bild får inte längre användas i bevis. 7 Denition 1.5. Vi säger att en funktion T : R 2 R 2 är en rotation med φ radianer kring z om, för alla x R 2, T x = T z T φ T z. Om T är en rotation med φ radianer kring z så kommer vi ibland att använda notationen T φ,z. Hjälpsats 1.4. Om T är en rotation med φ radianer kring z då är T en isometri. Bevis: Vi lämnar beviset som en övning (Övning 2). Vi har nu hittat tre typer av isometrier: Translationer T z såsom i Denition 1.6. Rotationer T φ,z såsom i 1.5. Vi vet också, enligt Följdsats 1.1, att vi kan skapa en hel mängd isomtrier på formen T = T 1 T 2 T n där T j är antingen en translation eller en rotation. Finns det ännu er isometrier? För att försöka besvara den frågan så måste vi igen använda vår intuition. En isometri är en funktion, eller en avbildning, från R 2 till R 2 som bevarar avstånd. Detta innebär att gurer, såsom trianglar, inte ändrar form under isometrier. Ett enkelt sätt att tänka sig en isometri är att tänka på en gur ritad på en overheadlm, vi kan ytta (eller translatera) overheadlmen utan att rotera den utan att ändra gurens form. Vi kan också rotera lmen utan att ändra guren målad därpås form. Vi kan naturligtvis också ytta, rotera och sen ytta lmen et.c. utan att guren målad därpå ändrar form. Vi kan därför tänka oss en isometri som ett sätt att ytta och 7 Det är lite mer subtilt än så. Ofta så använder vi vår intuition för att komma på ideén med ett bevis. Ibland så kommer vi även att resonera utifrån en bild och inte direkt utifrån denitionen. Men man måste komma ihåg att varje gång vi resonerar utifrån en bild så gör vi det av pedagogiska skäl, för att det (ibland) är enklare att tänka i bilder. Men när vi resonerar utifrån en bild så måste vi alltid försäkra oss om att vi skulle kunna genomföra beviset direkt utifrån denitionen.

17 11 vrida en overheadlm; utan att sträcka den, skrynkla den eller klippa sönder den. Om vi tänker på det sättet så inser vi snart att vi också kan vända overheadlmen utan att några avstånd ändras. Figur 4: Om vi har en gur ritad på en overheadlm och vänder lmen upp och ner så kommer guren bli spegelvänd men inga avstånd kommer att ändras. Vi måste hitta ett matematiskt sätt att beskriva vad att vända overheadlmen. Vi skulle kunna reektera i vilken linje som helst i planet. Men så räcker det räcker med att införa reektioner i en linje, precis som det räckte med att införa rotationer kring en punkt. Vi kommer att säga att T är en reektion i x axeln om T (x, y) = ( x, y). Vi kommer att kalla en reektion i en linje L för T L, specikt så kommer reektionen i x axeln att benämnas T {y=0}. A B C D E F Figur 5: För att göra en reektion i en godtycklig linje L, såsom den sträckade linjen i A, så translaterar man linjen så att den går igenom origo med reanslationen T z för någon punkt z på linjen. Detta leder till situationen i gur B. En rotation, T φ, kring origo med φ radianer ger bild C. Reekterar vi i x axeln, med T {y=0}, så får vi Situationen i bild D. Sen transformerar vi tillbaka koordinaterna med T φ och slutligen med T z. Vi ser att en reektion i linjen L ges av T L = T z T φ T {y=0} T φ T z.

18 12 CHAPTER 1. ISOMETRIER I PLANET. Denition 1.6. Vi säger att T : R 2 R 2 är en reektion i linjen L = {(x, y); ax + by = c} om T är på formen T = T z T φ T {x=0} T φ T z, Titta gärna på Övning 3 när du läst den här denitionen. för någon punkt z L och om φ är vinkeln mellan x axeln och L. Vi kommer att skriva T L för reektionen i linjen L. Vi kan nu utöka 1.1 till följande proposition. Proposition 1.1. Låt T φ vara en rotation kring origo och T z vara en translation. Då kommer T φ T z och T z T φ att vara isometrier. Mer allmänt så kommer varje funktion T : R 2 R 2 som är på formen T (x) = T 1 T 2 T n x, (1.16) där varje T j, j = 1, 2,..., n är antingen en translation, en rotation kring någon punkt eller en reektion i någon linje, att vara en isometri. Bevis:: Beviset för den här propositionen är rad för rad det samma som för Följdsats Övningsuppgifter. 1. Beräkna (a) T π/2 T {x=1} (2, 2) (b) T π,z (1, 2) då z = (1, 1) (c) T π/2 T z T π/2 (2, 0) då z = (1, 0) (d) Hitta på ett eget tal och beräkna det (förr eller senare så måste ni börja göra egna tal i vilket fall som helst). 2. Bevisa Hjälpsats 1.4. Ledtråd: Detta är jätteenkelt. Se Följdsats Visa att Denition 1.6 är väldenierad. För att visa att något är väldenierat så måste man visa att denitionen ger ett objekt. I det här fallet så förefaller denitionen att bero på valet av en punkt z L vi måste visa att vi får samma operator oavsett vilket val av z L vi gör. Ledtråd: Låt z 1, z 2 L. Vi måste då visa att T z1 T φ T {x=0} T φ T z1 = T z2 T φ T {x=0} T φ T z2, där φ är vinkeln mellan L och x axeln. Ett sätt att visa detta är att först visa att z 1 z 2 = (t cos(φ), t sin(φ)) och använda detta för att visa att T z1 T φ T {x=0} T φ T z1 v = T z2 T φ T {x=0} T φ T z2 v

19 1.1. ÖVNINGSUPPGIFTER. 13 för alla punkter v = (v 1, v 2 ) i planet. Att visa det sista borde bara vara en enkel beräkning där man använder denitionen för T z, T {x=0} och T φ. 4. Om vi denierar vinkeln mellan två vektorer v 1, v 2 0 i planet enligt ( ) v1 v v 1, v 2 2 = arccos. v 1 v 2 Visa att om T är en isometri så kommer T v 1, T v 2. (1.17)

20 14 CHAPTER 1. ISOMETRIER I PLANET.

21 Chapter 2 Klassikation av Isometrier av Planet. I det här kapitlet så skall vi försöka klassicera alla isometrier. Proposition 1.1 ger oss ett sätt att generera nya isometrier från de tre typer av isometrier vi känner till. Men Man kan fråga sig om alla produkter T 1 T 2 T n ger upphov till olika isometrier? Uppenbarligen så är det inte fallet då t.ex. T z T z x = T z (x + z) = x + z z = x. Detta medför att vissa termer i (1.16) kan ta ut varandra såsom T z T z = I, där I är identitets isometrin som lämnar alla punkter xa. Låt oss beräkna ett par exempel på något mer intressanta sätt att uttrycka en isometri med hjälp av en produkt av andra isometrier. Exempel 1: Vi har likheten T {y=b} T {y=a} = T (0,2(b a)), d.v.s. att först reektera i linjen {y = a} och sen reektera i linjen {y = b} ger samma resultat som att translatera med vektorn (0, 2(b a)). För att se detta så väljer vi en godtycklig punkt (x, y) och beräknar T {y=b} T {y=a} (x, y) = T {y=b} ( T{y=a} (x, y) ) = { enl. def. av T{y=a} Denition 1.6 } = ( = T {y=b} T(0,a) T {x=0} T (0, a) (x, y) ) ( = T {y=b} T(0,a) T {x=0} (x, y a) ) = ( = T {y=b} T(0,a) (x, a y) ) { } enl. def. av T{y=b} = T {y=b} (x, 2a y) = = Denition 1.6 = T (0,b) T {x=0} T (0, b) (x, 2a y) = T (0,b) T {x=0} (x, 2a b y) = = T (0,b) (x, y + b 2a) = (x, y + 2(b a)) = T (0,2(b a)) (x, y), där vi direkt förkortade bort T φ och T φ vid användandet av Denition 1.6 eftersom φ = 0 i det här exemplet. Observera att ovanstående beräkning visar 15

22 16 CHAPTER 2. KLASSIFIKATION AV ISOMETRIER AV PLANET. att T {y=b} T {y=a} (x 1, y 1 ) = T (0,2(b a)) (x 1, y 1 ) för alla (x 1, y 1 ) R 2 vilket vi ville bevisa. I allmänhet så kommer två reektioner, i linjerna L och M, att resultera i en translation om linjerna är parallella (se Övning 1). Detta visar i någon mening att reektion i linjer är en mer fundamental operation än translationen. Om linjerna L och M inte är parallella så kommer T L T M att resultera i en rotation som följande exempel visar. Exempel 2: Om vi gör två reektioner i linjerna L och M, som inte är parallella, så kommer resultatet att bli en rotation kring skärningspunkten mellan linjerna. Mer specikt så kommer, om z L M och om vinkeln mellan L och x axeln är φ radianer och vinkeln mellan M och x axeln är θ radianer, T L T M = T 2(θ φ),z. Att bevisa detta kräver lite beräkningar så vi börjar med det enklaste fallet för att få en känsla för problemet (vi kommer också att kunna använda det enklaste fallet för att kunna visa det generella fallet). Steg 1: Vi hävdar att om M = {x n = 0} och L är linjen som går genom origo och skär x axeln med vinkeln ϕ så kommer T L T M = T 2ϕ. (2.1) Eftersom M = {x n = 0} så kommer T M = T {x=0} och enligt Denition 1.6, med z = (0, 0), så kommer T L = T ϕ T {x=0} T ϕ. Vi kan därför skriva (2.1) som T {x=0} T ϕ T {x=0} T ϕ = T 2ϕ. (2.2) Vi behöver nu bara förenkla högerled i (2.2) och se att det sammanfaller med vänsterled. För att göra detta så är det naturligt att skriva om transformationen T {x=0} på matrisform. Enligt denitionen av T {x=0} x så är (om vi skriver x = (x, y) på kolumnform) [ ] [ ] x x T {x=0} = = y y [ ] [ x y där den sista likheten följer av vanlig [ matrisalgebra. ] Vi kan därför identiera 1 0 reektionen T {x=0} med matrisen. 0 1 Med hjälp av detta, och denitionen av T ϕ (Denition 1.4), så kan vi skriva högerled i (2.2) som T {x=0} T ϕ T {x=0} T ϕ = [ ] [ ] [ ] [ ] cos(ϕ) sin(ϕ) 1 0 cos( ϕ) sin( ϕ) 1 0 = = sin(ϕ) cos(ϕ) 0 1 sin( ϕ) cos( ϕ) 0 1 [ cos = 2 (ϕ) sin 2 ] [ ] (ϕ) 2 cos(ϕ) sin(ϕ) cos(2ϕ) sin(2ϕ) 2 cos(ϕ) sin(ϕ) cos 2 (ϕ) sin 2 = = T (ϕ) sin(2ϕ) cos(2ϕ) 2ϕ, ],

23 17 där vi använde dubbla vinkelreglerna för sin och cos och denitionen för T 2ϕ i de sista två olikheterna. Likheten i (2.1) är därmed bevisad. Steg 2: Vi hävdar att den generella likheten T L T M = T 2(θ φ),z, där L och M är såsom beskrivs i början av exemplet, gäller. Precis som alltid så måste vi gå till denitionen för att lösa uppgiften, utan att använda vad T L och T M betyder så skulle vi aldrig kunna säga något om dem. Enligt denition så är T L = T z T φ T {x=0} T φ T z och T M = T z T θ T {x=0} T θ T z. Vi ska alltså visa att T z T φ T {x=0} T φ T z T z T θ T {x=0} T θ T z = T 2(θ φ),z = T z T 2(θ φ) T z. (2.3) För att göra detta så observerar vi att för alla vinklar φ och θ så [ ] [ ] cos(φ) sin(φ) cos(θ) sin(θ) T φ T θ = = (2.4) sin(φ) cos(φ) sin(θ) cos(θ) = [ cos(θ + φ) sin(θ + φ) sin(θ + φ) cos(θ + φ) ] = T φ+θ, enligt additionsformlerna för sin och cos. Specikt så kommer, för alla vinklar φ, T φ T φ = I, där I är identiteten. 1 Vi kommer att använda detta för att visa (2.3). Låt oss försöka visa (2.3) genom att skriva om högerled på samma form som vänsterled enligt följande T z T φ T {x=0} T φ T z T z }{{} =T z+z=i T θ T {x=0} T θ T z = = T z T φ T {x=0} T φ T θ }{{} T {x=0} T θ T z = =T θ φ enl. (2.4) = T z T φ T {x=0} T θ φ T {x=0} T θ T φ T φ }{{} T z = =I enl. (AddF orm1) = T z T φ T {x=0} T θ φ T {x=0} T θ T φ }{{} =T (θ φ) T φt z = = T z T φ T {x=0} T θ φ T {x=0} T (θ φ) T φ T z = }{{} =T 2(θ φ) enl. 2.2 = T z T φ T 2(θ φ) T φ T z = T z T 2(θ φ) T z = T 2(θ φ),z. Detta bevisar vårt exempel. 1 Detta är, naturligtvis, helt i överensstämmelse med vår intuition. Om vi roterar med vinkeln φ och sen med vinkeln φ så kommer vi tillbaka till där vi började.

24 18 CHAPTER 2. KLASSIFIKATION AV ISOMETRIER AV PLANET. Kommentar: Observera att när vi räknar ett exempel så använder vi samma formella metod som när vi gör ett bevis. Vi refererar till denitioner, enkla räkneregler och till redan bevisade påståenden. Vi är intresserade av sanning och bara för att vi kallar något för exempel gör inte att vi kan aceptera felaktigheter. Senare så kommer vi att referera till dessa exempel när vi genomför bevis, det är därför viktigt att vi även bevisar våra exempel. Annars kanske en felaktighet skulle kunna smyga sig in i ett bevis via ett dåligt genomfört exempel. Hittills så har vi gissat oss till olika isometrier, och också kommit på att vi kan använda sammansättningen av funktioner för att skapa nya isometrier. Exempel 1 och 2 ovan tycks också visa att reektioner är mer fundamentala än translationer och rotationer; eftersom alla translationer och rotationer kan skrivas som produkten av två reektioner. Men vår huvudfråga är att på något sätt klassicera, eller beskriva, alla isometrier. Och för att kunna göra det så kan vi inte bara sitta och hitta på nya isometrier i hopp om att vi någon gång ska ha en lista med alla - vi skulle aldrig kunna vara säkra på att listan är komplett. Vi måste komma på en idée som hjälper oss att beskriva vad en isometri är, eller snarare att hitta en beskrivning av isometrier som är så pass enkel att vi kan använda den för att beskriva alla isometrier. Som alltid när vi talar om ett begrepp så måste vi återgå till denitionen, d.v.s. att isometrier bevarar avstånd. Vi skall dock, såsom vi brukar, tolka denitionen intuitivt innan vi formulerar en sats som vi sen bevisar. En isometri bevarar avstånd: x y = T x T y. Detta betyder att om vi vet värdet av T x och x y så vet vi att T y måste ligga på cirkeln S x y (T y), där vi använder notationen S r (x) = {z R 2 ; z x = r} för cirkeln med radie r och center i punkten x. y T Ty??? x Tx Figur 6: Om vi känner till T x och avståndet y x så kommer vi direkt att kunna säga vilken cirkel, den röda cirkeln i bilden ovan, som T y kommer att ligga på. Vi kan dock inte säga vart på cirkeln T y kommer att vara. Det intressanta med ovanstående är att om vi bara vet värdet av T x för ett x så kommer vi direkt att kunna säga ganska mycket om T y för en godtycklig

25 19 punkt y R 2. Observera att detta innebär att isometrier är otroligt speciella funktioner. Om vi skulle ta någon godtycklig funktion f : R 2 R 2 och det var givet att, säg, f(x) = (0, 1) så skulle vi inte kunna säga någonting om värdet av f(y) för någon annan punkt. 2 Låt oss se om vi skulle få ut mycket mer information om vi känner värdena T x och T y för två givna punkter x, y R 2. I bilden nedan så argumenterar vi för att om vi vet värdet av T x och T y så nns det, för varje godtyckligt z R 2, endast två möjliga värden som T z kan antaga. Så kännedom om en isometris värden i två punkter bestämmer nästan isometrin. y x z Ty Tx Tz?? Tz?? Figur 7: Om vi känner till värdet av T x och T y för två givna punkter x, y R 2 och låter z R 2 vara en godtycklig punkt. Vi tänker oss att x, y och z är givna punkter såsom x = (2, 3), y = (3, 7) et.c. Då kan vi rita ut cirklarna S z x (x) (röd) och S z y (y) (blå), observera att z S z x (x) S z y (y). Eftersom T z måste ha samma avstånd till T x och T y som z till x respektive y så måste T z ligga på skärningen mellan den röda och blå cirkeln den högra grafen. Det följer att det bara nns två möjliga värden som T z kan antaga. Räcker det då att veta värdet av tre punkter T x, T y och T w för att helt bestämma en isometri? Låt oss försöka att resonera kring detta. Vi börjar med att se vad som kan gå fel. Om vi, såsom i ovanstående bild, vet värdet av T x och T y så vet vi att, för ett godtyckligt och givet z, så kan T z bara antaga två olika värden. Vi frågar oss om vi skulle kunna precisera exakt vad T z antar för värde om vi också skulle veta värdet av T w, detta innebär att T w måste ha olika avstånd till de två möjliga värdena av T z. Och om man ritar en gur så ser det ut som om att detta endast sker om både x, y och w och T x, T y och T z inte ligger på en linje. 2 Med x = (0, 0) så skulle vi t.ex. kunna ha f(x, y) = ( sin(x y 7 )e x arctan(y), x 3 y + 1 ) eller f(x, y) = ( ln(x 2 )(1 cos(y)), 1 ) eller vad annat knepigt som helst.

26 20 CHAPTER 2. KLASSIFIKATION AV ISOMETRIER AV PLANET. Tz? x y Tw Tx Ty w z Tz? Figur 8: Om man vet T x och T y så måste värdet av en godtycklig punkt z ligga i skärningen mellan cirklarna S z x (x) och S z y (y), d.v.s. i skärningspunkten mellan den röda och blå cirkeln i den högra grafen. Om vi skulle veta avståndet mellan T z och en tredje punkt T w så skulle det inte nödvändigtvis bestämma det exakta värdet av T z. För om punkten T w har samma avstånd till båda möjligheterna till T z värden så ger detta ingen ny information. Men det förefaller som om att de enda värderna T w som har samma avstånd till båda möjliga T z värden ligger på en rät linje (sträckad). Från ovanstående beräkning så ser vi två saker. För det första så ser vi, eller i alla fall så verkar det otroligt rimligt, att för att värdet av tre punkter x, y och w skall bestämma alla värden för en isometri T så får inte x, y och w ligga på en linje. Detta vore, om vi kan bevisa det, en väldigt enkelt sätt att karakterisera en isometri. Det andra vi kan se, men det är mycket svårare, är att det förefaller rimligt att en linje består av alla punkter som har samma avstånd till två givna punkter. Speciellt om man tittar i den högra grafen så ser man att alla punkter som har samma avstånd till de två möjliga värdena av T z ligger på den streckade linjen. Vårt nästa steg kommer att vara att visa att en linje kan karakteriseras på det sättet. Hjälpsats 2.1. Givet två punkter x, y R så att x y så kommer alla punkter z R 2 som uppfyller z x = z y (2.5) att utgöra en linje med ekvation där az 1 + bz 2 = c (2.6) a = 2(y 1 x 1 ), b = 2(y 2 x 2 ) och c = y y 2 2 x 2 1 x 2 2 (2.7) Vidare så kommer alla punkter z = (z 1, z 2 ) som uppfyller (2.6) att uppfylla (2.5). Bevis: Eftersom punkterna z speciceras av (2.5) så är det den ekvationen vi måste reda ut. Låt oss specicera x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), då kommer

27 21 z = (z 1, z 2 ) att uppfylla 3 (z 1 x 1 ) 2 + (z 2 x 2 ) 2 = (z 1 y 1 ) 2 + (z 2 y 2 ) 2. (2.8) Om vi utvecklar parenteserna i (2.8) och yttar runt termer så får vi 2 (y 1 x 1 ) z (y 2 x 2 ) z 2 = y1 2 + y2 2 x 2 1 x 2 2. }{{}}{{}}{{} =a =b =c Vi ser direkt att z 1 och z 2 uppfyller den räta linjens ekvation az 1 + bz 2 = c med a, b och c såsom indikeras i formeln ovan. Vi har därför bevisat att alla punkter (z 1, z 2 ) R 2 som uppfyller (2.8) ligger på en rät linje med den angivna formeln. För att visa att alla punkter z = (z 1, z 2 ) som uppfyller (2.6) också uppfyller (2.5) så går vi igenom ovanstående beräkning i omvänd ordning. Detaljerna lämnas till läsaren. Vi kommer att behöva följande hjälpsats för att kunna bevisa att alla isometrier kan formuleras som produkten av tre reektioner. Hjälpsats 2.2. Låt x y och L vara linjen som ges av alla punkter z så att z x = z y. Då kommer T L x = y och T L y = x. Sketch av ett bevis: 4 Låt w = 1 2 (x + y) vara punkten mellan x och y. Då kommer w x = 1 2 y x = w y, d.v.s. w har samma avstånd till x som till y, vilket implicerar (enligt Hjälpsats 2.1) att w L. Vi kan därför använda isometrin T w för att translatera linjen L till en linje genom origo. Linjen T w L kommer att gå genom origo och karakteriseras av att alla punkter z T w L har samma avstånd till T w x = 1 2 (x y) som till T wy = 1 2 (x y) = T wx. Eftersom T w L går genom origo så kommer T φ T w L, där φ är vinkeln mellan x axeln och T w L, att ges av linjen {y = 0}. Linjen T φ T w L = {y = 0} karakteriseras av att alla punkter på T φ T w L = {y = 0} har samma avstånd till T φ T w x som till T φ T w y = T φ ( T w x) = T φ T w x. Efter en del besvärliga beräkningar 5 så ser vi att T φ T w x = (0, t) och T φ T w y = (0, t) och därför så kommer T {y=0} T φ T w x = T {y=0} (0, t) = (0, t) = T φ T w y. (2.9) }{{} =(0,t) Om vi multiplicerar båda led i (2.9) med T w T φ så får vi T w T φ T {y=0} T φ T w x = T w T φ T φ T w y = y. }{{}}{{} =T L enl. Def. 1.6 =I Det följer att T L x = y. Eftersom x och y är utbytbara så följer det att även T L y = x och första delen av hjälpsatsen är bevisad. 3 Har har vi bara satt in x, y och z i (2.5) och kvaderat. 4 Vi kommer inte att försöka förklara det här beviset i alla detaljer då det skulle leda till en massa relativt ointressanta beräkningar. 5 Det är här vi skippar lite i beviset. Gör gärna Uppgift 2 när du har läst det här beviset.

28 22 CHAPTER 2. KLASSIFIKATION AV ISOMETRIER AV PLANET. Följdsats 2.1. För varje linje L och punkt w R 2 så kommer T L w = w om och endast om w L. Bevis: Den här satsen är en om och endast om sats. Ibland kallas en sådan sats för en ekvivalens för den säger att två saker är ekvivalenta. Den här satsen säger till exempel att det är ekvivalent, eller samma sak, för w L som att T L w = w. För att visa en sats som innehållet ett om och endast om så måste man visa två delar. Dels så måste man visa om delen: i det här fallet så innebär det att visa att Om w L då kommer T L w = w.. Dels så måste man visa endast om delen: d.v.s. att w L endast om T L w = w. Att visa w L endast om T L w = w är logiskt samma sak som att visa att Om T L w = w då kommer w L. För att bevisa satsen A om och endast om B. så måste man alltså bevisa att A implicerar B och att B implicerar A. Vi börjar med att vi visa om delen: om w L så kommer T L w = w. Detta är enkelt eftersom om w L så kommer, per denition, T L = T w T φ T {y=0} T φ T w. Därför T L w = T w T φ T {y=0} T φ T w w }{{} =w w=(0,0) = T w T φ T {y=0} T φ (0, 0) = w. }{{} =(0,0) Vi behöver också visa endast om delen: om T L w = w så kommer w L. Idéen är följande: om w / L så kan vi skapa en punkt v w så att linjen L karakteriseras av att alla punkter på L har samma avstånd till w som till v. Då kommer, enligt Hjälpsats 2.2, T L w = v vilket motsäger antagandet att T L w = w. Vi vet att om linjen L's ekvation är ax+by = c, och om linjen karakteriseras av att den består av alla punkter som har samma avstånd till w = (w 1, w 2 ) som till v = (v 1, v 2 ), då kommer, enligt Hjälpsats 2.1 med w i rollen av x och v i rollen av y, v 1 = w 1 + a och v 2 = w 2 + b (2.10) 2 2 vidare så måste ( c = w 1 + a ) ( 2 + w 2 + b ) 2 w1 2 w2 2 = aw 1 + bw 2 + a2 + b 2, (2.11) där vi använde (2.10) för att förkorta bort v 1 och v 2 i (2.11). Här springer vi in i ett litet problem, i följdsatsen som vi försöker bevisa så är L samt w = (w 1, w 2 ) givna och det är inte alls säkert att (2.11) håller för w 1 och w 2. Vi löser lätt det här problemet genom att observera att för alla λ 0 så kommer även λax+λby = λc att vara en ekvation för linjen L. Om vi skriver om (2.10) och (2.11) med λa, λb och λc istället för a, b och c så får vi och v 1 = w 1 + λa 2 och v 2 = w 2 + λb 2 (2.12) λc = λaw 1 + λbw 2 + λ 2 a2 + b 2. (2.13) 4

29 23 Vi kan lösa ut λ ur (2.13): λ = 4(c aw 1 bw 2 ) a 2 + b 2. (2.14) Observera att detta λ 0 eftersom w / L vilket innebär att aw 1 + bw 2 c. 6 Det kan vara värt att påpeka att a 2 + b 2 0 (d.v.s. vi delar inte med noll) eftersom om både a = 0 och b = 0 så skulle ax + by = c inte vara någon linjes ekvation. Använder vi värdet på λ i ekvation (2.12) så får vi v = w + 2(c aw 1 bw 2 ) a 2 + b 2 (a, b) w, och enligt Hjälpsats 2.1 så karakteriseras L av samma avstånd till w som till v. Enligt Hjälpsats 2.2 så kommer därför T L w = v w. Vi har därför bevisat att om w / L så kommer T L w w. Det följer därför att om T L w = w så måste w L. Följdsats 2.2. Låt T : R 2 R 2 vara en isometri. Då kommer T att avbilda linjer på linjer. D.v.s. T x, T y och T z kommer att ligga på en linje om och endast om x, y och z ligger på en linje. Bevis: Vi har igen ett om och endast om bevis. Det innebär att vi måste bevisa följande två saker: 1. Om - delen av beviset: Om x, y och z ligger på en linje så kommer T x, T y och T z att ligga på en linje. 2. Endast om - delen av beviset: Om T x, T y och T z ligger på en linje så kommer x, y och z att ligga på en linje. Vi börjar med att visa om delen. För att göra detta så antar vi att x, y och z ligger på en linje L. Låt w vara en punkt som inte ligger på L, d.v.s. w / L. Om T L är reektionen i linjen L så kommer, enligt Följdsats 2.1, T L w / L. Eftersom x, y och z ligger på linjen L så kommer, återigen enligt Följdsats 2.1, T L x = x, T L y = y och T L z = z. Vidare, eftersom T L är en isometri, så kommer x w = T L x T L w = {eftersom T L x = x} = x T L w (2.15) och på samma sätt med y och z. Vi kan därför, såsom i Hjälpsats 2.1, identiera linjen L som alla punkter som har samma avstånd till w som till T L w. 6 Detta är en väldigt viktig observation. Vi vet, från följdsatsens första del, att om w L så kommer T L w = w. När vi nu försöker att bevisa att om w / L så kommer T L w w så måste vi använda vårt antagande att w / L någonstans. Logiken i ett bevis kräver att vi använder alla antaganden någonstans, annars så skulle vi kunna formulera samma sats utan de antaganden vi inte använder.

30 24 CHAPTER 2. KLASSIFIKATION AV ISOMETRIER AV PLANET. Vi vill använda den karakteriseringen av linjen L för att visa att T x, T y och T z också ligger på en linje. Eftersom T är en isometri så kommer { } T är en T x T w = = x w = {enl. ekv. (2.15)} = isometri = x T L w = { T är en isometri } = T x T T L w. Vi ser att T x har samma avstånd till T w som till T T L w, på samma sätt med T y och T z. Vi har därför visat att T x, T y och T z ligger på den, enligt Hjälpsats 2.1, räta linjen som karakteriseras av alla punkter som har samma avstånd till T w och T T L w. Därmed så har vi bevisat om delen i hjälpsatsen. Härnäst så måste vi visa endast om delen av satsen. För att göra detta så antar vi att T x, T y och T z ligger på en linje. Vi vill därifrån härleda att x, y och z ligger på en linje. Eftersom satsen uppenbarligen sann om x = y = z så kan vi antaga att två av punkterna är skilda, säg att x y. Låt oss betrakta linjen L som går genom x och y, vi vill visa att även z L. Om z / L, och om T L är reektionen i L, så kommer inte heller T L z att ligga på linjen L (enligt Följdsats 2.1). Linjen L kommer därför, enligt Hjälpsats 2.1, att bestämmas av alla punkter som har samma avstånd till z som till T L z. Enligt satsens om del så kommer L att avbildas på en linje, låt oss använda notationen T L för den linjen, 7 och den linjen karakteriseras av alla punkter som har samma avstånd till T z som till T T L z. Enligt vårt antagande så ligger T x, T y och T z på en linje, och eftersom T x, T y T L så måste T L vara den gemensamma linjen som T x, T y och T z ligger på. Men T L är linjen av alla punkter som har samma avstånd till T z som till T T L z, specikt så kommer T z (som ligger på T L) att ha samma avstånd till T T L z som till T z, vi kan dra slutsatsen att T z T T L z = T z T z = 0, d.v.s. T z = T T L z. Men eftersom T är en isometri så kommer 0 = T z T T L z = z T L z och därför så är z = T L z. Men om z = T L z så måste z L, d.v.s. x, y och z ligger alla på linjen L vilket var det vi skulle bevisa. Vi är nu redo att bevisa att en isometri karakteriseras av värdet av tre punkter som inte ligger på en linje. Proposition 2.1. Varje isometri bestäms unikt av dess värde i tre punkter som inte ligger på en linje. D.v.s. om x, y, z R 2 så att x, y och z inte ligger på en linje och om T 1 och T 2 är två isometrier sådana att T 1 x = T 2 x, T 1 y = T 2 y och T 1 z = T 2 z då är T 1 w = T 2 w för alla w R 2. Bevis: Vi kommer att använda ett motsägelsebevis. I propositionen så antar vi att 7 Detta är en ganska naturlig notation eftersom linjen består av alla punkter T v för v L.

31 25 1. vi har tre punkter x, y och z som inte ligger på någon linje och 2. två isometrier T 1 och T 2 sådana att T 1 x = T 2 x, T 1 y = T 2 y och T 1 z = T 2 z. Om dessa antaganden är sanna så hävdar vi att det följer att T 1 w = T 2 w för alla w R 2. För att bevisa satsen så antar vi att vi kan hitta två isometrier T 1 och T 2 som uppfyller båda våra antaganden men att det inte gäller att T 1 w = T 2 w för alla w R 2 - d.v.s. det nns (minst) ett w så att T 1 w T 2 w. Vi kommer att visa att detta medför att x, y och z måste ligga på en linje vilket vi från början försäkrade oss om att det inte var fallet. Det följer då att det inte nns något w R 2 så att T 1 w T 2 w. Om det skulle nnas T 1 och T 2 såsom i satsen och w R 2 så att T 1 w T 2 w då kommer, eftersom både T 1 och T 2 är isometrier och T 1 x = T 2 x, T 1 y = T 2 y och T 1 z = T 2 z T 1 x T 1 w = x w = T 2 x T 2 w T 1 x T 1 w = T 1 x T 2 w (2.16) T 1 y T 1 w = y w = T 2 y T 2 w T 1 y T 1 w = T 1 y T 2 w (2.17) T 1 z T 1 w = z w = T 2 z T 2 w T 1 z T 1 w = T 1 z T 2 w. (2.18) Observera att (2.16)-(2.18) säger att punkterna T 1 x, T 1 y samt T 1 z alla har samma avstånd till punkterna T 1 w och T 2 w, där T 1 w T 2 w, så enligt Hjälpsats 2.1 så kommer T 1 x, T 1 y samt T 1 z att ligga på en rät linje. Men enligt Följdsats 2.2 så kommer då x, y och z att ligga på en linje vilket motsäger våra antaganden. Detta slutför vårt bevis. Att en isometri karakteriseras på ett unikt sätt av dess värde i tre punkter är ett väldigt starkt kriterium. Vi kommer att använda det för att beskriva alla isometrier på ett enkelt sätt. Sats 2.1. Varje isometri T : R 2 R 2 kan skrivas som produkten av tre eller färre reektioner. Bevis: Låt T vara en godtycklig isometri och x, y, z R 2 vara tre punkter som inte ligger på en linje. Vi kommer att visa satsen under antagandet att tre, två, en eller ingen av T x = x, T y = y och T z = z gäller. Fall 1: Om T x = x, T y = y och T z = z. Observera att enligt Proposition 2.1. om T x = x, T y = y och T z = z så måste T = I (2.19) Fall 2: Om två av T x = x, T y = y och T z = z gäller. Om T x = x och T y = y men T z z så hävdar vi att T = T L där L är linjen som går genom x och y. För att förenkla notationen så denierar vi w = T z. Eftersom T är en isometri så kommer z x = T z T x = w x och z y = T z T y = w y. (2.20)

32 26 CHAPTER 2. KLASSIFIKATION AV ISOMETRIER AV PLANET. Men detta innebär att linjen av alla punkter som har samma avstånd till z som till w går igenom x och y. D.v.s. z och w karakteriserar linjen L. Enligt Hjälpsats 2.2 så kommer T L z = w och enligt Följdsats 2.1 så kommer T L x = x och T L y = y eftersom x, y L. Vi har därmed visat att det nns tre punkter x, y, z så att T L x = T x, T L y = T y och T L z = T z. Det följer av Proposition 2.1 att T = T L, d.v.s. att om T har två xpunkter så kommer T att vara en reektion i linjen genom dessa xpunkter. Om T x x eller T y y så är beviset analogt. Fall 3: Om en av T x = x, T y = y och T z = z gäller. I fallet då T har en xpunkt T x = x och T y y samt T z z så kommer vi att kunna skriva T som produkten av två reektioner. Idéen är att om vi betraktar linjen L som går igenom x och 1(y 2 + T y) så kommer T LT x = x och T L T y = y. Detta eftersom linjen L kommer att karakteriseras av y och T y eftersom alla punkter på linjen har samma avstånd till y som till T y. z y L x Ty Tz Figur 9: Om T x = x så kommer reektionen i (den röda) linjen genom x och 1 2 (y + T y) att uppfylla T LT x = T L x = x och T L T y = y, d.v.s. isometrin T L T xerar två punkter. Men om isometrin T L T xerar två punkter så kommer, enligt tidigare resonemang (Fall 2) i det här beviset, T L T = T M för någon linje M. Men eftersom T L T L = I så innebär detta att T = IT = (T L T L )T = T L (T L T ) = T L T M. Det vill säga, vi kan skriva T som sammansättningen av två reektioner, T L och T M. Fall 4: Om T inte har någon xpunkt T x x för alla x. Då kommer, såsom i argumentet i Fall 3 då T hade en x punkt, T L T x = x om L är linjen som karakteriseras av att alla dess punkter har samma avstånd till x som till T x. Men det innebär att vi kan skriva T L T, eftersom T L T har en