Formelsamling Elektriska kretsar

Transkript

1 Formelsamlig Elektriska kretsar Iehållsförteckig sida Symbolsamlig Formelsamlig. Ström, späig, effekt, eergi, potetial 4. Ohms lag, resistas, koduktas 4 3. Kirchhoffs lagar, späigs- och strömdelig 4 4. Mask- och odaalys, Cramers regel 5 5. Ekvivaleta tvåpoler 5 6. Ideal operatiosförstärkare 5 7. Kapacitas och iduktas 6 8. Trasieter, tidskostater 6 9. Komplexa späigar och strömmar, impedas mm 7 0. Effekt, komplex effekt, effektivvärde, apassig 7. Resoaskretsar 8. Ideal trasformator 9 3. Överförigsfuktio, Bodediagram Sheila Galt, Eva Palmberg Istitutioe för Elektromagetik Chalmers tekiska högskola

2 Symbolsamlig Späig u och ström i: u - ; i Aktiva ideala kretselemet: Likspäigskälla - U 0 Oberoede späigskälla - u 0 Oberoede strömkälla i 0 Beroede späigskälla - αu Beroede strömkälla gu E beroede källa styrs av e späig eller ström ågostas i kretse - t.ex. e späig u för figurera ova. Alterativa beteckigar förekommer: Oberoede späigskälla U Oberoede strömkälla I Beroede späigskälla U Beroede ström källa I

3 Passiva elemet: 3 Allmät kretselemet Ideala kretselemet R, C och L: R Resistas /\/\/\/\/\ eller R C ( Kapacitas - eller C Iduktas L Aslutigspukt Kotaktpukt Korsig uta kotakt eller ) Aslutig till jord Istrumet Ideal voltmeter V Ideal amperemeter A Alterativ för ideala digitala volt- och amperemetrar (Dorf/Svoboda) a b Digital voltmeter Visar späig u med vid a - u Motsvarade för digital amperemeter: Visar ström i med referesriktig i vid a.

4 Formelsamlig 4. Ström, späig, effekt, eergi ström i = dq/dt; q = laddig späig u = dw/dq; effekt p = u. i = dw/dt; w = eergi späig u = v A - v B = potetialskillad; v = potetial. Ohms lag, resistas (lijära kretsar) u = R i i = G u Resistas R Koduktas G = /R i R u - Resistas för e homoge rak ledare med lägde L, tvärsittsyta A och resistivitete ρ: R = ρl/a. Effekt i resistas p = Ri = u /R 3. Kirchhoffs lagar, späigs-/strömdelig Kirchoffs strömlag (KCL): i k = 0 i od; Kirchhoffs späigslag (KVL): u k = 0 i sliga; Seriekopplade resistaser R s = R Parallellkopplade resistaser G p eller med R: = R p R R Specialfall (=): R p = R R R = G Späigsdelig u = R u R R R 0 u R Strömdelig i = R i 0 i i i R R 0 R R u

5 4. Mask- och odaalys. Cramers regel 5 Maskaalys: matrisekvatio R m i = u 0 R m = maskresistasmatris, i = maskströmvektor, u 0 = späigskällevektor Elemet i resistasmatrise: R = R i maska ; R = R = - R gemesamma för maska och ; o.s.v. Nodaalys: matrisekvatio G v = i o G odkoduktasmatris, v = odpotetialvektor, i o strömkällevektor Elemet i koduktasmatrise: G = G i grear asluta till od ; G = G = - G asluta direkt mella od och od ; o.s.v. Cramers regel: Ax = b; med lösig x k = k /, där = determiate av A och k = determiate av A med kolum k utbytt mot b. Determiat av x-matris: = a a -a a 3x3-matris: = a a a 33 a a 3 a 3 a 3 a 3 a -(a 3 a a 3 a 3 a 3 a a 33 a a ) 5. Ekvivaleta tvåpoler R 0 u t - i k R 0 R 0 = u t /i k Théveis respektive Nortos ekvivaleta tvåpoler u t = tomgågsspäig, i k = kortslutigsström Apassig: R L = R 0 (ret resistiva kretsar) 6. Ideal operatiosförstärkare v i - v o v v = v ; i = i = 0 i

6 7. Kapacitas och iduktas 6 Kapacitas: ström-späigsberoede i(t) = C du/dt lagrad eergi w C = Cu Parallell- respektive seriekopplade kapacitaser uta begyelseeergi(=begyelsespäigar): C p = C ; = C s C Iduktas: ström-späigsberoede u(t) = L di/dt lagrad eergi w L = Li Parallell- respektive seriekopplade iduktaser uta begyelseeergi(=begyelsesströmmar): = L p ; Ls = L L 8. Trasieter, tidskostater (första ordiges kretsar med tidskostata källor) KVL, KCL leder till ihomogea differetialekvatioer för u eller i av forme du(t) U dt τ u(t) = 0 τ med U 0 = kost och τ = e tidskostat Asätt lösige u(t) = k k e -t/τ k och k är kostater som bestäms ur diff.ekv. och begyelsevillkor. [ k = partikulär lösig (statioär lösig) k e-t/τ = lösig till homogea diff.ekv. (trasiet lösig)] Specialfall: RC-kretse: τ = RC; RL-kretse: τ = L/R

7 Additio av siustermer si si, 9. Komplexa späigar och strömmar, impedas si : Amplitud, : vikelfrekves, : fas där de komplexa späige: Komplex impedas / a) Resistor b) Kodesator / c) Spole Komplexa tal Rektagulär form: Polär form: ; j där, och arcta 0: Effekt, komplex effekt, effektivvärde, apassig Ögoblicksvärde(mometavärde) av effekt: Medeleffekt: ; T: periodtide

8 ) DC Effekt P = / ) AC(siusformad växelström) Effekt P cos :Späiges amplitud, : Strömmes amplitud, : späiges fasvikel, : strömmes fasvikel iduktiv last kapacitiv last 0 0

9 Effektivvärde 8 I eff = I rms = T T [i(t)] dt 0 (rms = root mea square) I eff = _ I m för siusformad växelström Apassig U t - Z 0 Z L Maximal effekt P L i belastige Z L för / Z L = Z 0 * om Z L = R L jx L ka väljas fritt; *=komplexkojugat / Z L = Z 0 om ebart Z L ka varieras Adra fall av apasssig: Tecka P L och kolla villkore för P Lmax!. Resoaskretsar Resoas för tvåpol för ω=ω 0, är Im{Z(ω)}=0; Im{Y(ω)}=0 resoasvikelfrekves ω 0 Q-värde, godhetstal; beräkas vid ω 0 : Q = π medelvärde av lagrad eergi (i kapacitaser och iduktaser) per period förlorad eergi (i resistaser) Specialfall: Seriekrets R L C Parallellkrets R L C ω 0 = LC ω 0 = LC Q = s ω 0 L = R ω0 RC R Q = p ω0 L = ω 0 RC forts. på ästa sida

10 9 badbredd BW = ω -ω ; BW = ; ω Q ω = ω 0 där ω och ω är vikelfrekveser vid halveffektpuktera. Gäller för både seriekretse och parallellkretse ova. Adra tvåpoler: Aväd Im{Z(ω)}=0 för att bestämma ω 0 och de allmäa defiitioe av Q-värde ova för Q. ω 0. Ideal trasformator primärsida I I U - - ideal N N U sekudärsida U N U = ; N I N N I = 0 omsättigstal = N /N (defiieras iblad som N /N ) N impedastrasformerig till primärsida Z = ( N ) Z

11 3. Överförigsfuktio, Bodediagram 0 Överförigsfuktio Y(jω) H(jω) = X(jω) där X(jω) = komplex isigal och Y(jω) = komplex utsigal, d.v.s. X och Y represeterar komplexa späigar eller strömmar. förstärkig H(ω) = H(jω) fasskift ϕ(ω) = H(jω) frekvessvar: Att beräka och /eller skissa H(ω) och ϕ(ω) som fuktio av ω eller f. Logaritmisk förstärkig 0. 0 log H(jω) (db) Bodediagram: Att skissa H(jω) db och ω med logaritmisk skala på ω-axel. H(jω) som fuktio av [Stegsvar: Lägg ett ehetssteg u(t), t.ex. v i (t) =. u(t) V, på igåge vid t=0 och bestäm utsigale, t.ex. v ut (t). - Att studera trasietera på utgåge med e späigskälla på V på igåge ikopplad vid t=0. ] 0405 EP