Experimentell metodik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Experimentell metodik"

Transkript

1 1. Experimentell metodik Institutionen för fysik och astronomi Olof Charlie Karis Svante Svensson Jan Hedman Uppsala universitet

2 2. Innehållsförteckning 1. OM SAMSPELET MELLAN EXPERIMENT OCH TEORI I FYSIKEN 3 2. LABORATIONER 3 3. KURVRITNING 4 Om handritade diagram 6 4. "MINSTA KVADRATMETODEN" Anpassning av rät linje (Linjär anpassning) Anpassning av komplicerad funktion (Icke linjär anpassning) METODEN MED ÅTERKOMMANDE INTERVALL EXPERIMENTELL PROBLEMLÖSNING ÖVNINGSUPPGIFTER SVAR TILL VISSA AV ÖVNINGSUPPGIFTERNA 18

3 3. 1. ALLMÄNT OM FYSIKEN OCH OM SAMSPELET MELLAN EXPERIMENT OCH TEORI Den kunskap vi idag äger inom naturvetenskap och teknik har förvärvats genom nära samarbete mellan experimentalister och teoretiker. Det som brukar kallas den experimentella metoden, skisserades av Galilei och har därefter varit grunden för naturvetenskapens utveckling. Det intressanta med denna metod är, som nobelpristagaren Ilya Prigogine brukar påpeka, att människan kan komma i en "dialog med naturen". Ett experiment är ju ett sätt att formulera en fråga till naturen och det är därvid möjligt att få ett svar i form av ett utfall av experimentet. Vetenskapliga teoribildningar är ett synnerligen effektivt sätt att systematisera våra frågor av denna typ. I modern fysik växelverkar teoribildning med experimenterande synnerligen intensivt. Man kan säga att man i ett experiment bestämmer samband som beskriver hur en variabel beror av ett antal andra variabler. Resultaten dokumenteras i form av tabeller eller diagram. I elementärundervisningen i fysik syftar experimenten enbart till att verifiera samband som redan är kända från någon teori, exempelvis Ohms lag som ger en relation mellan spänning och ström genom en resistor. I fysikaliskt arbete händer det emellertid ofta att man inte från början känner det teoretiska sambandet innan experimentet. Teorin kan vara för komplex för att kunna utredas i detalj, störande faktorer kan påverka experimentet etc. Det är emellertid ofta möjligt att ändå få fram det väsentliga i experimentet. Om man saknar teori kan man försöka att ur tabeller och diagram finna ett matematiskt funktionssamband, ett samband som innehåller ett antal variabler och konstanter. Observera att detta funktionssamband inte alltså inte behöver grundas på en fullständig teoretisk förståelse innan experimentet görs. Vid studium av en viss fysikalisk effekt har man kanske funnit följande enkla linjära samband mellan variablerna y och x: y= a + b x (1) där a är en materialkonstant och b är en konstant som är oberoende av vilket material som studerats. I avsaknad av en teori ger sambandet inte någon djupare förståelse. Utvecklingen av en teori kan tydliggöra innebörden av de experimentella resultaten - t ex att få oss att se skäl till att a men inte b är materialberoende. Teorin kan kanske också förutsäga utfallet av nya experiment av annat slag, och med sådana experiment testar man då teorin. Experimentalisten skall ha god kontroll över de olika variablerna, kunna eliminera (eller minimera inverkan av) olika felkällor, samt kunna ange mätosäkerheten i sina mätdata 2. LABORATIONER Laborationer i fysikundervisningen är dels en introduktion i den experimentella metoden, dels en övning på olika kursmoment. Laborationen ger färdighet att använda fysikalisk apparatur och övning i att upptäcka samband mellan teori och experiment. Ofta syftar laborationen till att illustrera något kursmoment och man utför mätningar som ger samband mellan variabler för att verifiera en teori. Det är då viktigt att ha insikter i hur man lämpligen illustrerar sambanden i diagram. I detta kompendium kommer vi att beskriva hur samband bör illustreras i diagram för att förståelsen av underliggande teori skall underlättas. Vi kommer också i fysikkurserna att träna den rakt motsatta situationen, nämligen att söka ett okänt funktionssamband, utan någon som helst kännedom om teorin. Ett sådant arbetssätt är förstås mycket grundläggande i forskningen. Många formler har varit experimentellt etablera-

4 4. de långt innan de kunde beskrivas av en teori. Ett berömt exempel är när Janne Rydberg på 1880 talet formulerade lagen som beskriver våglängderna i väteatomens spektrum med hjälp av heltal. Han hade ingen som helst teoretisk motivering, den kom först trettio år senare med den av Bohr formulerade kvantteorin. 3. KURVRITNING Antag att ett antal värdepar ( x 1,y 1 ), ( x 2, y 2 ), ( x 3, y 3 ), ( x i, y i ), skall representeras grafiskt. Ett enkelt (och något primitivt) sätt är att pricka in värdeparen på ett millimeterpapper sedan man bestämt sig för vilken storhet som skall avsättas längs den vertikala axeln och valt skalor. Diagrammet kan dock med fördel ritas med hjälp av något datorprogram, t ex MATLAB, EXCEL eller IGOR. Diagramritning på denna nivå, där värdeparen helt enkelt förs in utan förbearbetning har de flesta stött på tidigare. Emellertid måste man ofta gå ett par steg vidare för att underlätta förståelsen av experimentet. Ovanstående enkla diagramriting är nämligen bäst lämpad i den situationen att en teoretisk modell förutsäger ett enkelt linjärt samband,. Genom anpassning av en rät linje till datapunkterna kan man då bestämma värden på parametrarna k och l, antingen grafiskt eller numeriskt, t ex med den s.k. minsta kvadratmetoden.

5 5. Man kan naturligtvis lägga in en linje för hand i diagrammet (du har säkert gjort detta många gånger tidigare). En sådan linje skall man då lägga in så att lika många punkter hamnar ovanför som under den dragna linjen. Genom uppmätning direkt på pappret kan konstanterna k och l bestämmas. En grov uppskattning av mätosäkerheten i k och l kan man erhålla i ett handritat diagram genom att variera linjens lutning inom det intervall som ges av de enskilda värdenas mätosäkerhet. Emellertid har vi oftast att hantera mer komplicerade situationer där parametersambanden är givna av icke-linjära funktioner. För att på enklast möjliga sätt få ut de relevanta parametrarna ur experimentet bör man i dessa fall inte mekaniskt rita variablerna direkt mot varandra, utan se om de komplicerade funktioner som beskriver variabelsambandet på något sätt kan göras om till linjära uttryck.vi ger några exempel: Ex. a I fallen eller y = k x 2 y = A + B/ 2 = A + B 12 kan man uppenbarligen erhålla parametern k ur lutningen för den räta linje som fås om man avsätter y som funktion av, i första fallet x², i andra fallet av 1/λ².

6 6. Ex. b I fallet y = 1 ax + b fås a och b om 1/y avsätts som funktion av x, o.s.v. Ex. c Misstänker man att ens mätvärden representeras av funktionen y = a x b, där a och b är okända parametrar som skall bestämmas, kan man avsätt logaritmen för y som funktion av logaritmen för x : lny = b lnx + lna. Exponenten fås ur linjens lutning och parametern a ges av a = y(1). Med en räknedosa lägger man således till kolumner i tabellen och plottar relevanta kolumnvärden mot varandra. I program som MATLAB, EXCEL eller IGOR är dessa operationer mycket lätta att utföra. Om handritade diagram Diagram skall vara stora och rejäla, normalt A4- eller A5-format. Avpassa indelningen av axlarna så att modulen blir 1 mm, 2 mm, 5 mm eller 1 cm. Då så är möjligt, bör skalorna väljas så att en kurva som anpassas till mätpunkterna lutar avsevärt i förhållande till båda axelriktningarna. Det ger god avläsningsnoggrannhet. Mätpunkter skall markeras tydligt. Deras lägen skall framgå klart, även sedan man dragit en kurva, anpassad till mätpunkterna. y = A + B / λ 2 = B ( ) + A Varje fysikalisk storhet kan skrivas som en produkt av ett mätetal och en enhet. Mätetalet kan följaktligen skrivas mätetal = storhet enhet. På diagramaxlar (och i tabellhuvuden) skriver man därför storheten/enheten. Skalstrecken anger mätetalets storlek, t ex: 1 λ 2

7 7. Eventuella tiopotenser i mätvärden kan inkluderas i enheten. Om man t ex har bestämt! =3, rad s 1 ; 4, rad s 1 kan man på en axel eller i ett tabellhuvud skriva!/1013 rad s 1 : Mätpunkterna, (eller åtminstone en del av dem) förses lämpligen med staplar, som anger mätosäkerheten för den variabel som har störst mätosäkerhet. Exempel:

8 8. Ett vanligt fel vid kurvritning (av mindre erfarna kurvritare samt av åtskilliga datorprogram) är att dra kurvan alltför nära samtliga mätpunkter (eller rentav genom alla mätpunkter), så att kurvan får strukturer som inte motsvaras av fysikaliska realiteter. Exempel:

9 9. 4. "MINSTA KVADRATMETODEN" Anpassning av rät linje (Linjär anpassning) Det finns ett standardiserat matematiskt sätt att finna den(i viss mening) "bästa" lösningen på problemet att anpassa en funktion y(x) så bra som möjligt till värdeparen ( x 1,y 1 ), ( x 2, y 2 ), ( x i, y i ). Vi illustrerar det för det fall att funktionen är en linjär funktion y = kx + l. I minsta kvadratmetodens enklaste form använder man summan av de kvadratiska avvikelserna mellan mätpunkterna och den anpassade räta linjen som ett mått på anpassningens kvalitet (Observera att måttet är valt av oss. Det finns andra mått man kan använda sig av, tex är det vanligt att vikta punkterna enligt olika scheman om inte alla mätvärden ha samma onoggrannhet). Måttet på avvikelsen blir då en funktion S(k,l) : S = S(k, l) = nx (y i (k x i + l)) 2 i=1 Vi söker så värden på parametrarna k och l som ger minimum av summan S(k,l). För att finna minimum för en flerdimensionell funktion behövs kunskaper från s.k. flerdimensionell analys. Den matematiska lösningen på problemet motsvarar den enkla grafiska proceduren att justera en linje i ett diagram så att summan av de vertikala avstånden mellan linjen och samtliga punkter blir minimal:

10 =0 ger följande recept för beräkning av k och l : k = P (xi hxi) y i P (xi hxi) 2 = 0; l = hyi k hxi där x anger medelvärdena av samtliga x-värden, x = 1 x n i, och y anger medelvärdet av y-värdena. Minsta kvadratformeln finns oftast programmerad i en teknisk räknedosa. Titta i din manual hur du gör. Den finns också i samtliga program för diagramritning och tabellskrivning, exempelvis EXCEL (Där utför du kommandot "Sätt in trendlinje" när du låtit programmet göra diagrammet. Ordet trendlinje är vanligt i icke naturvetenskapliga kretsar. Programmet är ursprungligen skrivet för ekonomer). I MATLAB, IGOR och andra liknande dataprogram som är skrivna för naturvetare (och som därmed kanske kräver lite mer av användaren) finns ett antal olika minstakvadratanpassningsrutiner att tillgå, inte enbart den enkla linjära anpassningen som vi beskrivit. Man kan där anpassa polynom, exponentialfunktioner, sinusfunktioner mm. n i = Anpassning av komplicerad funktion (Icke linjär anpassning) I många sammanhang i fysiken kan vi möta situationen att vi faktiskt inte kan linearisera det funktionssamband vi förväntar oss mellan variablerna. Ett vanligt exempel kan man hämta från spektroskopin där spektrum förväntas bestå av en summa av en rät linje(bakgrunden) samt flera Gausskurvor, dvs funktioner av typen : Ae a( x x 0 ) 2 A är här spektrallinjens maxhöjd, ur a kan man få linjens bredd och x0 talar om var linjen är centrerad. I sådana fall vill man bestämma värden på parametrarna A,a och x0 genom att minimera ett mått på avvikelserna. Man använder oftast just den kvadratiska medelavvikelsen. Emellertid kan man inte ge ett enkelt analytiskt uttryck av samma typ som minstakvadratformeln för den räta linjen. Man får använda numeriska iterativa processer, som med moderna datorer utförs snabbt och enkelt. I mer komplicerade naturvetenskapliga programpaket, exempelvis MATLAB eller IGOR, finns sådana anpassningsrutiner att tillgå. Vi kommer emellertid i denna första kurs inte att använda icke linjär anpassning. 5. METODEN MED ÅTERKOMMANDE INTERVALL Ofta vill vi bestämma periodiska fenomen av olika slag. Antag t.ex. att vi vill bestämma periodtiden T för en pendel. Det uppenbara sättet att göra detta är att göra en tidsavläsning för varje gång pendeln passerar sitt ena jämviktsläge. Vi kommer då att få en serie tidsavläsningar (Det är här lämpligt att göra ett jämnt antal avläsningar 2n av skäl som vi inser nedan): t 1, t 2, t 3, t 4, t 5,, t 2n Den som inte tänker sig för skulle då kunna resonera på följande sätt. Vi kan ur serien få n värden på periodtiden genom att bestämma den på följande sätt:

11 11. T 1 = t 2 t 1 T 2 = t 3 t 2 T 2n 1 = t 2n t 2n 1 Därefter vore det frestande att sätta T som medelvärdet av alla dessa mätningar: T = T 1 + T 2 + T 3 + T T 2n 1 2n 1 men detta är synnerligen olämpligt ty om vi skriver ut termerna får vi: T = (t 2 t 1 ) + (t 3 t 2 ) + (t 4 t 3 ) (t 2n t 2n 1 ) 2n 1 = t 2n t 1 2n 1 Detta innebär att vi bara utnyttjat två av våra mätningar. Ett sätt att undvika detta är att i stället para ihop mätningarna på följande sätt : T 1 = t n+1 t 1 n T 2 = t n+ 2 t 2 n etc. Man tar sedan T som medelvärdet av alla värden T 1, T 2, T 3, T 4,, T n [Standardfelet s T för T kan nu bestämmas på följande sätt. Om standardfelet i en av de enskilda mätningarna av t i är s t i så gäller att: s T = 2n n 2 s t ]

12 EXPERIMENTELL PROBLEMLÖSNING I detta avsnitt kommer vi att beskriva hur man går till väga om man vill finna funktionssamband mellan variabler när man inte i förhand vet något om den teoretiska bakgrunden. Denna situation är förstås vanlig i forskningssammanhang då man söker ny kunskap, men den uppstår även i andra situationer när den teoretiska beskrivningen kan vara för komplex för att uttrycka på ett enkelt sätt med analytiska formler, eller när störande faktorer inverkar allt för mycket på experimenten. Utgångspunkten är att man först försöker definiera de variabler som är intressanta för att beskriva den fysikaliska situationen. Denna utredning kräver eftertanke och det är förstås lätt att råka ta med en variabel som inte har något med försöket att göra. Betrakta följande mycket enkla exempel som du redan känner från gymnasiekurserna, nämligen den matematiska pendeln: Vi söker uttrycket för periodtiden T 0. Om vi ser på figuren kan följande variabler vara möjliga att betrakta: Pendelns massa m Pendellängden l Maximala utslagsvinkeln θ 0 Tyngdaccelerationen g Om du är oerfaren i fysik skulle du kanske även gissa att stödets höjd H hade betydelse.

13 13. Nästa steg är att gissa vilken form som funktionssambandet kan tänkas ha. Det finns förstås en uppsjö av olika möjligheter. I denna första beskrivning begränsar vi oss till det enklaste fallet, som är mycket vanligt, nämligen att sambandet mellan variablerna är en produktformel av typen: F(x, y, z) = x a y b z c [Man kan invända att en sådan ansats täcker enbart specialfall. Detta är förstås sant, men det finns metodik (s.k dimensionslösa grupper) som gör det möjligt att få fram formler av typen: F(x, y) = x + 1 y 3 I detta kompendium behandlar vi emellertid inte denna metodik.] Man skulle nu kunna tro att vi nu skall sätta igång och mäta. Dvs hålla alla övriga variabler konstanta och mäta hur T0 beror av enbart l. Göra samma sak för beroendet av m etc. Vid en sådan mätning skulle man ju t.ex. direkt finna att T0 inte beror av H, utan är konstant vid variation av H. Vid ett sådant förfarande skulle vi emellertid ha gjort alldeles för mycket arbete. Vi hade nämligen inte tagit hänsyn till att fysikaliska storheter har dimension. Detta faktum kopplar variablerna till varandra och vi behöver utföra mycket färre mätningar.

14 14. Dimensionsanalys Alla storheter som uppmäts i fysiken har dimension. I mekaniken har vi att göra med tre grunddimensioner nämligen: Längd Massa (L) (M) Tid (T) Dimensionen hos alla andra mekaniska storheter är sammansatt av dessa grunddimensioner exempelvis: Area L 2 Hastighet LT -1 Kraft M LT -2 Du kan själv kontrollera dimensionsuttrycken och även försöka finna ut uttrycken för andra sammansatta storheter som energi, effekt, densitet mm. Inom andra delar av fysiken behöver vi ytterligare dimensioner som elektrisk ström, absolut temperatur, ljusstyrka mm. SI-enheterna för de nu nämnda grunddimensionerna är som bekant 1 m, 1 kg, 1 s, 1 A, 1 K, 1 cd. Dimensionsanalysen som verktyg för att finna funktionssamband mellan variabler grundar sig på det mycket enkla faktum att i en ekvation som uttrycker ett sådant samband måste båda leden ha samma dimension. Vi skall nu visa hur detta används i praktiken genom att fortsätta att analysera exemplet med den matematiska pendeln. Vi ansätter en gissad formel således är av typen: T = C l a m b g c H d θ 0 e där a, b, c, d, e är okända exponenter. Vi har i formeln även inkluderat en dimensionslös konstant C. (Vi skall senare visa att i vårt exempel är denna konstant 6.28 dvs 2π.) H och l har dimensionen längd (L) m har dimensionen T har dimensionen massa (M) tid (T) g (sammansatt) acceleration (LT -2 ) θ 0 och C är dimensionslösa. Detta innebär att vi ur dimensionsanalysen inte får någon information om konstanten e. Den måste bestämmas ur experiment.

15 15. Om vi sätter in dimensioner i stället för variabler i vår gissade ekvation har vi således följande samband mellan de ingående dimensionerna (Kontrollera detta själv!): T = L a M b (LT 2 ) c L d Vi kan nu hyfsa högerledet i ekvationen och får: T = L a+ c +d M b T 2c Eftersom dimensionerna på HL och VL måste vara desamma gäller således: Vilket slutligen ger a + b + d = 0 b = 0 c = 1/2 a + d = 1/ 2 b = 0 c = 1/ 2 Genom att utföra dimensionsanalysen har vi således reducerat det antal mätningar vi måste utföra för att fastställa funktionssambandet. I stället för att konstanthålla övriga variabler och mäta periodtiden som funktion av l, konstanthålla övriga variabler och mäta periodtiden som funktion av m etc (5 st mätningar), behöver vi bara utföra två mätningar! Vi kan konstanthålla övriga variabler och mäta perioden som funktion av H(Alternativt l) samt göra samma sak för θ 0. Som du redan vet är i detta fall utfallet av mätning med H som variabel ett trivialt experiment, periodtiden beror förstås inte av stödets längd och du kommer således att finna att d=0 vilket ger a=1/2. Konstanten e är mycket mer intrikat. Den förste som genomförde detta slags experiment var Galileo Galilei som observerade en pendel i form av en ljuskrona i katedralen i Pisa. Han har mycket vackert skildrat utfallet av detta experiment: Den andra saken som är verkligt häpnadsväckande är att samma pendel gör sina svängningar med samma frekvens, eller med ytterst liten och nästan omärklig skillnad, antingen de görs i större eller mindre bågar på samma omkrets. Jag menar att om vi flyttar pendel med bara en, två eller tre grader från lodlinjen eller i stället med 70, 80 eller med en hel kvadrantbåge görs den i båda fallen sina svängingar lika ofta, såväl de förra när den rör sig längs en båge på fyra eller sex grader som de senare när den måste fara över bågar på 160 grader eller mer. Galileo Galilei: Dialoger om de två världssystemen En uppmätning av periodtiden som funktion av θ 0 ger alltså resultatet att e=0 så länge utslagsvinkeln är liten. För stora utslag är sambandet mycket mer komplicerat och då räcker inte vårt enkla utgångsantagande. Vi kan nu sammanfatta vårt resultat:

16 16. T 0 = C l g Vilket är den bekanta formeln för periodtiden för en matematisk pendel. Konstanten C återstår förstås att bestämma, den kan erhållas genom en mätning (Tänk igenom hur du skulle vilja göra en sådan och fundera hur diagrammet bör se ut!). Du kommer då att finna att C=6.28, vilket du förstås kände till från gymnasiekursen.

17 ÖVNINGSUPPGIFTER 1. Brytningsindex för en glassort har experimentellt bestämts för ett antal våglängder enligt tabellen nedan. Enligt Cauchy beror brytningsindex av våglängden enligt följande: Vi väntar oss uttryck av formen n = A + B 1 λ 2 Det är då lämpligt att plotta n mot 1 λ 2 Se nedanstående tabell Bestäm grafiskt värden på parametrarna A och B för ifrågavarande glassort. λ (Å) n 1,6077 1,6117 1,6202 1, Det teoretiska sambandet mellan storheterna x och y är y = x A + Bx där A och B är konstanter. y har uppmätts för sju olika värden på x: x y (SI-enheter) 0,10 0,0307 0,16 0,0413 0,25 0,0518 0,32 0,0577 0,40 0,0622 0,50 0,0671 0,70 0,0737 Bestäm A och B grafiskt 3. Betapartiklar från en okänd radioaktiv isotop registreras i en räknare. Man förväntar sig därvid att antalet registrerade partiklar per tidsenhet skall avta exponentiellt enligt följande: A = A o e λt Logaritmera där Ao är antalet registrerade partiklar per tidsenhet vid tiden t = 0 och λ är isotopens sk sönderfallskonstant. Följande mätserie erhölls: t (min)

18 18. A (s -1 ) a) Bestäm grafiskt ett värde på λ. b) A minskar till hälften av ursprungsvärdet på den sk halveringstiden t 1/ 2 = ln 2 λ. Beräkna t1/2 ur värdet på λ, och jämför sedan med det värde på t1/2 som mera direkt kan avläsas ur diagrammet. 4. Antag att man vill undersöka en accelererad rörelse, t ex en fallrörelse. Man mäter den tid t det tar för en kropp att röra sig sträckan s från stillastående. Antag vidare att man har en teori om att sambandet mellan s och t bör vara av typen s = At B. Bestäm A och B ur följande mätning: s (m) 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 t (s) 0,20 0,24 0,29 0,32 0,35 0,38 0,40 0,43 0,45 5. En astronomisk tabell ger följande uppgifter om planeterna: Omloppstid Medelavstånd från solen (år) (AE) Merkurius Venus Jorden Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus Pluto (1 AE = halva storaxeln hos jordbanan 1, m.) Undersök sambandet mellan omloppstid och medelavstånd. 6. I laborationen Ultraljud mäter man avståndet x från den plana ytan av en aluminiumkloss till en hålighet i klossen genom att sända en kort ultraljudspuls från ytan mot håligheten och mäta den tid det tar för pulsen att gå från ytan till håligheten och (efter reflexion där) tillbaka till ytan. Pulsen kan också studsa mellan ytan och håligheten flera gånger. Vid ett försök uppmättes följande: Sträcka 2x 4x 6x 8x 10x 12x Tid (µs)

19 19. Ljudhastigheten i aluminium är 6, m/s. Bestäm avståndet x. (Använd metoden för återkommande intervall.) 7. Strömmen genom en viss resistor uppmättes för olika spänningar över resistorn, med följande resultat. U (V) 1,00 2,50 4,00 5,00 6,50 8,00 I (A) 0,80 1,60 2,14 2,70 3,58 4,20 a) Rita diagram och bestäm resistansen grafiskt. b) Bestäm resistansen med minsta kvadratmetoden. 8. Uppgiften i ett experiment var att undersöka hur z beror av variablerna x, y, u och v. En dimensionsanalys gav resultatet zy x = f vx 2 2 u Vid experimentet erhölls följande samhörande värden på z och de oberoende variablerna: z x y u v Bestäm funktionssambandet. 8. SVAR TILL VISSA AV ÖVNINGSUPPGIFTERNA 1. A = 1,5872 B = 8, Å 2 2. A = 2,21 B = 10,5 (SI-enheter) 3. a) 2, min -1 b) 26 min 4. Diagram ger B = 1,98 ( 2), A = 4,9 enheter 8. z = 3x2 y + vx4 uy

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer

Läs mer

Var försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.

Var försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna. Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL Institutionen för fysik 2012-05-21 Umeå universitet SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL SAMMANFATTNING Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk pendel. Vi har mätt

Läs mer

Övningsuppgifter till Originintroduktion

Övningsuppgifter till Originintroduktion UMEÅ UNIVERSITET 05-08-01 Institutionen för fysik Ylva Lindgren Övningsuppgifter till Originintroduktion Uppgift 1. I ett experiment vill man bestämma fjäderkonstanten k för en viss fjäder. Med olika kraft

Läs mer

Övningar till datorintroduktion

Övningar till datorintroduktion Institutionen för Fysik Umeå Universitet Ylva Lindgren Sammanfattning En samling uppgifter att göra i MATLAB, vilka ska utföras enskilt eller i grupp om två. Datorintroduktion Handledare: (it@tekniskfysik.se)

Läs mer

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser.

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser. TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER Kurskod F0004T Kursnamn Fysik 1 Datum LP2 10-11 Material Laboration Balkböjning Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning Denna

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Experimentell metodik

Experimentell metodik Experimentell metodik Storheter, mätetal och enheter En fysikalisk storhet är en egenskap som kan mätas eller beräknas. En storhet är produkten av mätetal och enhet. Exempel 1: Elektronens massa är m =

Läs mer

Något om Dimensionsanalys och Mathematica. Assume period T Cm Α g Β L Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 1 kg Α m Β. Identify exponents VL HL kg 0 Α m 0 Β Γ s 1 2 Β

Något om Dimensionsanalys och Mathematica. Assume period T Cm Α g Β L Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 1 kg Α m Β. Identify exponents VL HL kg 0 Α m 0 Β Γ s 1 2 Β HH/ITE/BN Dimensionsanalys och Mathematica 1 Något om Dimensionsanalys och Mathematica Bertil Nilsson 2016-08-15 Assume period T Cm Α g Β Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 2 s 1 kg Α m Β s 2Β m Γ Identify exponents

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Lösningar 15 december 2004

Lösningar 15 december 2004 Lösningar 15 december 004 Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 5p, för Fy1100 Onsdagen den 15 december 004 kl. 9-13(14). B.S. 1. En behållare för förvaring av bensin har formen av en liggande cylinder

Läs mer

Statistiska samband: regression och korrelation

Statistiska samband: regression och korrelation Statistiska samband: regression och korrelation Vi ska nu gå igenom något som kallas regressionsanalys och som innebär att man identifierar sambandet mellan en beroende variabel (x) och en oberoende variabel

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

En pendels svängningstid

En pendels svängningstid Använd denna exempelrapport som mall för din rapport. Mer detaljer hittar du i Lathund för rapportskrivning av Merkel, Andersson, Lundquist och Önnegren. Notera att denna exempelrapport beskriver ett mycket

Läs mer

Appendix i instruktionen

Appendix i instruktionen Appendix i instruktionen Läs även Appendix A och Appendix B i instruktionerna till laboration 2 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 1 1 Linearisering genom logaritmering Ofta förekommer samband av typen:

Läs mer

1 Dimensionsanalys och π-satsen.

1 Dimensionsanalys och π-satsen. Dimensionsanalys och π-satsen. Då man örsöker ställa upp en matematisk modell ör något ysikaliskt enomen skall man alltid göra dimensionsanalys. Dimensionsanalys handlar om att undersöka hur givna ysikaliska

Läs mer

Experimentell metodik

Experimentell metodik Experimentell metodik Storheter, mätetal och enheter En fysikalisk storhet är en egenskap som kan mätas eller beräknas. En storhet är produkten av mätetal och enhet. Exempel 1: Elektronens massa är m =

Läs mer

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Problem 1: Fem studenter mätte längden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m, 2,90 m, 3,70 m, 3,50 m, och 3,10 m. Inga uppgifter om mätnoggrannheten är kända.

Läs mer

Kundts rör - ljudhastigheten i luft

Kundts rör - ljudhastigheten i luft Kundts rör - ljudhastigheten i luft Laboration 4, FyL VT00 Sten Hellman FyL 3 00-03-1 Laborationen utförd 00-03-0 i par med Sune Svensson Assisten: Jörgen Sjölin 1. Inledning Syftet med försöket är att

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

1.1 MATLABs kommandon för matriser

1.1 MATLABs kommandon för matriser MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion

Läs mer

Introduktion till Word och Excel

Introduktion till Word och Excel Introduktion till Word och Excel HT 2006 Detta dokument baseras på Introduktion till datoranvändning för ingenjörsprogrammen skrivet av Stefan Pålsson 2005. Omarbetningen av detta dokument är gjord av

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 28 Lekt 3 Om f (x) = 2 x 2 och g(x) = x + 2, bestäm nedanstående funktion och dess definitionsmängd.

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

Solar cells. 2.0 Inledning. Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1.

Solar cells. 2.0 Inledning. Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1. Solar cells 2.0 Inledning Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1. Figure 2.1 Utrustning som används i experiment E2. Utrustningslista (se Fig. 2.1): A, B: Två solceller C: Svart plastlåda

Läs mer

EXPERIMENTELLA METODER LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN

EXPERIMENTELLA METODER LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN FYSIKUM Fysikum 21 mars 2005 Stockholms universitet EXPERIMENTELLA METODER LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN FYSIKLINJEN ÅK1 Vårterminen 2005 Mål I den här laborationen skall du börja med att ställa

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

Datum: , , , ,

Datum: , , , , RR:1 Instruktion till laborationen ROTERANDE REFERENSSYSTEM Författare: Lennart Selander, Svante Svensson Datum: 2000-02-21, 2004-12-02, 2006-12-01, 2012-02-03, 2013-01-22 Mål Att få erfarenhet av de fenomen

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Stockholms Tekniska Gymnasium Prov Fysik 2 Mekanik

Stockholms Tekniska Gymnasium Prov Fysik 2 Mekanik Prov Fysik 2 Mekanik För samtliga uppgifter krävs om inte annat står antingen en tydlig och klar motivering eller fullständig lösning och att det går att följa lösningsgången. Fråga 1: Keplers tredje lag

Läs mer

Laboration 2 Mekanik baskurs

Laboration 2 Mekanik baskurs Laboration 2 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Friktionskraft är en förutsättning för att våra liv ska fungera på ett mindre omständigt sätt. Om friktionskraften

Läs mer

MEKANIK LABORATION 1 REVERSIONSPENDELN. FY2010 ÅK2 vårterminen 2007

MEKANIK LABORATION 1 REVERSIONSPENDELN. FY2010 ÅK2 vårterminen 2007 I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 23 april 2007 MEKANIK LABORATION 1 REVERSIONSPENDELN FY2010 ÅK2 vårterminen 2007 Mål En viktig applikation av en enkel

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11 Ingenjörsmetodik IT & ME 011 Föreläsning 11 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1 Läsanvisningar

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/9 2009 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

LABKOMPENDIUM. TFYA76 Mekanik

LABKOMPENDIUM. TFYA76 Mekanik Linköpings universitet IFM, Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Rev. 2014-08-27 LABKOMPENDIUM TFYA76 Mekanik INNEHÅLL: LAB 1: RÖRELSE. 3 Uppgift 1 3 Uppgift 2 5 LAB 2: STÖT 6 2 LAB 1: RÖRELSE Målsättning

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Laboration Photovoltic Effect Diode IV -Characteristics Solide State Physics. 16 maj 2005

Laboration Photovoltic Effect Diode IV -Characteristics Solide State Physics. 16 maj 2005 Laboration Photovoltic Effect Diode I -Characteristics Solide State Physics Farid Bonawiede Michael Litton Johan Mörtberg fabo2@kth.se litton@kth.se jmor2@kth.se 16 maj 25 1 I denna laboration ska vi förklara

Läs mer

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT Matematik HEM KURSER SKRIV UT MA200 - Matematik A 110 poäng inrättad 1994-07 SKOLFS: 1994:9 et för kursen är att ge de matematiska kunskaper som krävs för att ta ställning i vardagliga situationer i privatliv

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik

Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Ht2015 Program: Naturvetenskapligt basår Kurs: Fysik Bas 1 delkurs 1 Laborationsinstruktion 1 Densitet Namn:... Lärare sign. :. Syfte: Träna

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER I detta experiment ska du mäta graden av dubbelbrytning hos glimmer (en kristall som ofta används i polariserande optiska komponenter). UTRUSTNING Förutom

Läs mer

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Spridningsdiagrammen nedan representerar samma korrelationskoefficient, r = 0,8. 80 80 60 60 40 40 20 20 0 0 20 40 0 0 20 40 Det finns dock två

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

9-2 Grafer och kurvor Namn:.

9-2 Grafer och kurvor Namn:. 9-2 Grafer och kurvor Namn:. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad som menas med koordinatsystem och hur man kan visa hur matematiska funktioner kan visas i ett koordinatsystem. Det är i och

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Laboration: Roterande Referenssystem

Laboration: Roterande Referenssystem INSTITUTIONEN FöR FYSIK OCH ASTRONOMI Laboration: Roterande Referenssystem Laborationsinstruktionen innehåller teori, diskussioner och beskrivningar av de experiment som ska göras. Mål: Att få erfarenhet

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 4

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 4 Experimentella metoder, Räkneövning Problem : På polisstationen i Slottshult är man missnöjd med att polisdistriktet utvidgats till att också omfatta grankommunen Järvsprånget Innan utvidningen hade man

Läs mer

Laboration 2 Mekanik baskurs

Laboration 2 Mekanik baskurs Laboration 2 Mekanik baskurs Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2014 12 11 1 Introduktion När man placerar ett föremål på ett lutande plan så kommer föremålet att börja glida längs med

Läs mer

Gunga med Galileo matematik för hela kroppen

Gunga med Galileo matematik för hela kroppen Ann-Marie Pendrill Gunga med Galileo matematik för hela kroppen På en lekplats eller i en nöjespark finns möjlighet att påtagligt uppleva begrepp från fysik och matematik med den egna kroppen. Med hjälp

Läs mer

Laboration 1 Mekanik baskurs

Laboration 1 Mekanik baskurs Laboration 1 Mekanik baskurs Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2014 11 27 Introduktion När man placerar ett föremål på ett lutande plan så kommer föremålet att börja glida längs med planet,

Läs mer

Prov Fysik 2 Mekanik

Prov Fysik 2 Mekanik Prov Fysik 2 Mekanik Instruktion för elevbedömning: Efter varje fråga finns tre rutor. Rutan till vänster ska ha en lösning på E-nivå. Om det går att göra en lösning som är klart bättre - på C-nivå - då

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

EXPERIMENTELLT PROV ONSDAG Provet omfattar en uppgift som redovisas enligt anvisningarna. Provtid: 180 minuter. Hjälpmedel: Miniräknare.

EXPERIMENTELLT PROV ONSDAG Provet omfattar en uppgift som redovisas enligt anvisningarna. Provtid: 180 minuter. Hjälpmedel: Miniräknare. EXPERIMENTELLT PROV ONSDAG 2011-03-16 Provet omfattar en uppgift som redovisas enligt anvisningarna. Provtid: 180 minuter. Hjälpmedel: Miniräknare. OBS! Tabell- och formelsamling får EJ användas. Skriv

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall. F orfattare Institutionen f or teknikvetenskap och matematik

Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall. F orfattare Institutionen f or teknikvetenskap och matematik Lathund fo r rapportskrivning: LATEX-mall F orfattare forfattare@student.ltu.se Institutionen f or teknikvetenskap och matematik 31 maj 2017 1 Sammanfattning Sammanfattningen är fristående från rapporten

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Introduktion. Torsionspendel

Introduktion. Torsionspendel Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet November 00 Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson och Maj Hanson (Anpassat för I1 av Göran Niklasson) Svängningar Introduktion I mekanikkursen

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 17 december 2008 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

Svar: Inbromsningssträckan ökar med 10 m eller som Sören Törnkvist formulerar svaret på s 88 i sin bok Fysik per vers :

Svar: Inbromsningssträckan ökar med 10 m eller som Sören Törnkvist formulerar svaret på s 88 i sin bok Fysik per vers : FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 1 februari 001 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFNDET 1. Enligt energiprincipen är det rörelseenergin som bromsas bort i friktionsarbetet. Detta ger mv sambandet

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1 Experimentella metoder 04, Räkneövning Problem : Tio mätningar av en resistans gav följande resultat: Mätning no. Resistans (Ω) Mätning no Resistans (Ω) 0.3 6 0.0 00.5 7 99.98 3 00.0 8 99.80 4 99.95 9

Läs mer

De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder

De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder Teknisk Fysik, Chalmers tekniska högskola, Sverige Robin Andersson Email: robiand@student.chalmers.se Alexander Grabowski Email: alegra@student.chalmers.se

Läs mer

Laboration 1 Nedslagskratrar

Laboration 1 Nedslagskratrar Laboration 1 Nedslagskratrar Den här laborationen är uppdelad i två försök, där man i båda försöken ska släppa stålkulor på en sandbädd, vilket kan ses som en mycket enkel simulering av ett meteoritnedslag.

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

Var försiktig med elektricitet, laserstrålning, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.

Var försiktig med elektricitet, laserstrålning, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna. 1 Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Uppdrag för LEGO projektet Hitta en vattensamling på Mars

Uppdrag för LEGO projektet Hitta en vattensamling på Mars LEGO projekt Projektets mål är att ni gruppvis skall öva på att genomföra ett projekt. Vi använder programmet LabVIEW för att ni redan nu skall bli bekant med dess grunder till hjälp i kommande kurser.

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00

Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00 Institutionen för teknik, fysik och matematik Nils Olander och Herje Westman Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00 Max: 30 p A-uppgifterna 1-8 besvaras genom att ange det korrekta

Läs mer

Tentamen Fysikaliska principer

Tentamen Fysikaliska principer Institutionen för fysik, kemi och biologi (IFM) Marcus Ekholm NFYA02/TEN1: Fysikaliska principer och nanovetenskaplig introduktion Tentamen Fysikaliska principer 15 januari 2016 8:00 12:00 Tentamen består

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

MEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007

MEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007 I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 3 april 007 MEKANIK LABORATION KOPPLADE SVÄNGNINGAR FY010 ÅK Vårterminen 007 Mål Laborationen avser att ge allmän insikt

Läs mer

Fysikalisk kemi KEM040. Clausius-Clapeyronekvationen Bestämning av ångtryck och ångbildningsentalpi för en ren vätska (Lab2)

Fysikalisk kemi KEM040. Clausius-Clapeyronekvationen Bestämning av ångtryck och ångbildningsentalpi för en ren vätska (Lab2) GÖTEBORGS UNIVERSITET INSTITUTIONEN FÖR KEMI Fysikalisk kemi KEM040 Laboration i fysikalisk kemi Clausius-Clapeyronekvationen Bestämning av ångtryck och ångbildningsentalpi för en ren vätska (Lab2) ifylls

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

4 Halveringstiden för 214 Pb

4 Halveringstiden för 214 Pb 4 Halveringstiden för Pb 4.1 Laborationens syfte Att bestämma halveringstiden för det radioaktiva sönderfallet av Pb. 4.2 Materiel NaI-detektor med tillbehör, dator, högspänningsaggregat (cirka 5 kv),

Läs mer

Laboration i Tunneltransport. Fredrik Olsen

Laboration i Tunneltransport. Fredrik Olsen Laboration i Tunneltransport Fredrik Olsen 9 maj 28 Syfte och Teori I den här laborationen fick vi möjlighet att studera elektrontunnling över enkla och dubbla barriärer. Teorin bakom är den som vi har

Läs mer

att båda rör sig ett varv runt masscentrum på samma tid. Planet

att båda rör sig ett varv runt masscentrum på samma tid. Planet Tema: Exoplaneter (Del III, banhastighet och massa) Det vi hittills tittat på är hur man beräknar radien och avståndet till stjärnan för en exoplanet. Omloppstiden kunde vi exempelvis få fram genom att

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

FRÅN MASSA TILL TYNGD

FRÅN MASSA TILL TYNGD FRÅN MASSA TILL TYNGD Inledning När vi till vardags pratar om vad något väger använder vi orden vikt och tyngd på likartat sätt. Tyngd associerar vi med tung och söker vi på ordet tyngd i en synonymordbok

Läs mer

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Uppgifter ur Nationella prov Kurs A Ur del II utan räknare: När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för

Läs mer

Laboration Svängningar

Laboration Svängningar Laboration Svängningar Laboranter: Fredrik Olsen Roger Persson Utförande datum: 2007-11-22 Inlämningsdatum: 2007-11-29 Fjäder Högtalarmembran Stativ Fjäder Ultraljudssensor Försökets avsikt Syftet med

Läs mer

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 5

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 5 Ingenjörsmetodik IT & ME 010 Föreläsning 5 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1 Frågor från

Läs mer

Lösa ekvationer på olika sätt

Lösa ekvationer på olika sätt Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.

Läs mer