TSRT19 Reglerteknik: Välkomna!

Transkript

1 TSRT19 Reglerteknik: Välkomna! Föreläsning 5 Inger Erlander Klein

2 Dagens föreläsning 1 / 21 Föreläsning 4: PID-återkopplong Stabilitet & Specikationer Samband polernas läge kvalitativa egenskaper Idag: Rotort Bakhjulsstyrd cykel Nollställen Vad har vi gjort hittills i kursen?

3 Exempel: farthållare i en bil (från Fö 1-4) 2 / 21 ẏ(t) + α m y(t) = 1 m u(t) 1 m v(t) där y(t) = bilens hastighet [m/s] u(t) = drivande kraft genererad av motorn [N] v(t) = störning som beror på vägens lutning [N] Antag att m = 1000 kg, α = 200 Ns/m, ϕ = 0 dvs v = 0 (plan mark) och välj PI-återkoppling dvs u(t) = K P (r(t) y(t)) + K I (r(τ) y(τ))dτ där r(t) är önskad hastighet

4 Exempel: farthållare i en bil (från Fö 1-4)forts 3 / 21 Återkopplade systemets överföringsfunktion (Y (s) = G c (s)r(s)) G c (s) = sk P + K I ms 2 + (α + K P )s + K I Karakteristisk ekvation: ms 2 + (α + K P )s + K I = 0 dvs 1000s 2 + (200 + K P )s + K I = 0 s K P 1000 s K I = 0

5 Farthållare: PI-återkoppling - plan mark (K P = 600, K I = 0) 4 / Farthållare, PI-reglering, r=25,?=0,,=200 K P =588,K I = Ki= Hastighet (m/s) Tid (s)

6 Farthållare: PI-återkoppling - plan mark K P = 600, K I = 0, K I = / Farthållare, PI-reglering, r=25,?=0,,=200 K P =588,K I =0 K P =588,K I = Ki=0 Ki= Hastighet (m/s) Tid (s)

7 Farthållare: PI-återkoppling - plan mark K P = 600, K I = 0, K I = 100, K I = / Ki=0 Ki=100 Ki= Hastighet (m/s) Farthållare, PI-reglering, r=25,?=0,,=200 K P =588,K I =0 K P =588,K I =100 K P =588,K I = Tid (s)

8 Rotort m a p K I för farthållare (K P = 600) 7 / 21 Root Locus Imaginary Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds -1 )

9 Rotort m a p K I för farthållare (K P = 600) 8 / 21 Root Locus 0.6 Ki=0 Ki=100 Ki= Imaginary Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds -1 )

10 Rotort: P (s) + KQ(s) = 0 9 / 21 P (s) polynom av grad n, Q(s) polynom av grad m 1. Startpunkter: K = 0 P (s) = 0 (n st.) 2. Slutpunkter: K = Q(s) = 0 (m st.) 3. Asymptoter: antal: n m riktningar: 1 n m (π + 2kπ), k = 0, 1,..., n m 1 4. Kvalitativa egenskaper: Stabilt? (För vilka K > 0 nns poler i höger halvplan eller på imaginära axeln?) Snabbt? (Avstånd till origo för dominerande pol) Oscillativt? (Vinkel mot reella axeln för komplexa poler)

11 Whitt & Wilson, Bicycling science 10 / 21 Many people have seen theoretical advantages in the fact that frontdrive, rear-steered recumbent bicycles would have simpler transmisions than rear-driven recumbents and could have the center of mass nearer the front wheel than the rear. The U.S. Department of Transportation commissioned the construction of a safe motorcycle with this conguration. It turned out to be safe in an unexpected way: No one could ride it.

12 Bakhjulsstyrd motorcykel 11 / 21 Teoretisk studie med en matematisk model: instabil människan inte tillräckligt snabb för att stabilisera NHSA krävde att en prototyp byggdes ändå! Problemet är att statiskt uppvisar systemet många önskvärda egenskaper, men det är praktiskt oanvändbart p.g.a. dynamiken! (NSHA = U.S. National Highway Safety Administration)

13 Cykeldynamik 12 / 21 Bevarande av vinkelrörelsemoment ger följande överföringsfunktion från styrvinkel δ till vältvinkel ϕ där G δϕ (s) = av bh V är hastigheten på bakhjulet s + V a s 2 g h a, b, h > 0 är konstanter som beror på cykelns design (a, h masscentrum, b avståndet mellan hjulen) Poler: ± g h Nollställe: V a

14 Cykel+cyklist 13 / 21 Om cyklisten fungerar som en P-återkoppling så fås det återkopplade systemet G c (s) = K av bh δ(t) = K(r(t) ϕ(t)) s + V a s 2 + K av bh s + K V 2 bh g h Stabilt dvs poler i vänster halvplan om K > bg V 2 OK om V stor!

15 Bakhjulsstyrd cykel 14 / 21 Byt tecken på hastigheten! G δϕ (s) = av bh s V a s 2 g h Poler: ± g h Nollställe: V a Går ej att stabilisera med P-återkoppling! Annan återkoppling? Fundamental svårighet: nollställe i höger halvplan dvs icke-minfas

16 Är modellen ovan realistisk? 15 / 21 Nej, framgaelns design har stor betydelse. (Tack vare den går det att cykla utan att hålla i styret.) Nej, pålagt moment är insignal snarare än styrvinkeln. Nej, era styrsignaler. MEN även för en mer avancerad modell gäller hastighetsberoende icke-minfas

17 Nollställen 16 / 21 Svåra att analysera! Kan inte introducera instabilitet (nollställen svarar mot en derivering av insignalen) Nollställen representerar fysikaliska egenskaper hos systemet som vi inte kan ta bort genom återkoppling! Nollställen i höger halvplan: Kallas instabila nollställen System med instabila nollställen kallas icke-minfas system Stegsvaret går åt fel håll först (cykeln!) Nollställen i vänster halvplan Kan ge översläng även om polerna reella

18 Nollställen & Stegsvar (Poler i -3 och -5) 17 / 21 2 Step Response Amplitude Inget nollställe Nollställe i -1 Nollställe i -6 Nollställe i Time (sec)

19 Instabila nollställen: Praktiska exempel 18 / 21 Bakhjulsstyrd cykel: Extremt svår att styra. Systemet har ett instabilt nollställe som i kombination med en instabil pol, gör det så gott som omöjligt för en människa att reglera cykeln. Parkering: Dynamiken vid ckparkering baklänges indikerar på ett instabilt nollställe. För att kunna komma in i luckan måste vi initial tvinga bilen att gå i fel riktning, dvs framhjulen svänger initialt i en sådan riktning att fronten och föraren rör sig ut från trottoaren Motstyrning: På en cykel, vid tillräckligt hög hastighet, måste man initial styra åt fel håll när man skall svänga, i syfte att få cykeln att välta in i kurvriktningen (Film: motorcykel)

20 Sammanfattning 19 / 21 Det går inte alltid att tänka statiskt. Dynamiken spelar roll! Designen ger vissa fundamentala begränsningar Reglerteknikern arbetar utifrån given design (och därmed utifrån givna begränsningar)

21 Vad har vi gjort hittills (1)? 20 / 21 Vi har ett system som kan beskrivas av linjära dierentialekvationer. u G y Egenskaper hos systemet stabilt/instabilt oscillativt/dämpat snabbhet icke-minfas Egenskaperna kan vi studera och analysera t.ex. genom Välj insignal u(t). Vad blir y(t)? Insignal u(t) steg utsignal y(t) stegsvar Laplacetransformera di.ekv. överföringsfunktion Studera poler, nollställen m.m.

22 Vad har vi gjort hittills (2)? 21 / 21 Givet önskad utsignal (referenssignal) r(t) hur får vi utsignalen y att vara nära referenssignalen r? Återkoppla! Använd en regulator t.ex. PID. Vi får ett nytt system G c (s) (återkopplade systemet) som ger överföringsfunktionen från r till y. G c (s) kan studeras och analyseras enligt (1).

23 Inger Erlander Klein Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Tel: Kontor: B-huset ingång