STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA
|
|
- Ingemar Leif Lindgren
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik och Maskininlärning Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 38
2 MOMENTETS INNEHÅLL Introduktion till spatiala data Geostatistiska data: Interpolation, Variogram och Kriging Arealdata: Spatiala autoregressionsmodeller. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 2 / 38
3 TRE TYPER AV SPATIALA DATA Spatiala data: position och avstånd har betydelse. Tre typer av spatiala data: Geostatistiska data (Mätstationer) Arealdata (Bildpixlar) Punktmönsterdata (Fågelskådning) Tempo-spatiala data. Spatiala mätningar över tid. Ex: Meteorologiska mätningar. Inom delmomentet: Geostatistiska och lite areal data. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 3 / 38
4 GEOSTATISTISKA DATA Y (s) är en slumpmässig vektor observerad vid positionen s D. Positionerna s 1, s 2,..., s n är fixa. Mätningarna vid positionerna Y (s 1 ), Y (s 2 ),..., Y (s n ) är slumpmässiga. D är ofta en delmängd av R 2. Longitud och latitud. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 4 / 38
5 GEOSTATISTISKA DATA Y (s) är en slumpmässig vektor observerad vid positionen s D. Positionerna s 1, s 2,..., s n är fixa. Mätningarna vid positionerna Y (s 1 ), Y (s 2 ),..., Y (s n ) är slumpmässiga. D är ofta en delmängd av R 2. Longitud och latitud. Exempel 1: Temperatur och nederbörd i min trädgård igår. Exempel 2: Mängd olja vid olika borrningsstationer. Exempel 3: Huspriser. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 4 / 38
6 MEUSE RIVER DATA - ZINC CONCENTRATION MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 5 / 38
7 AREAL DATA D är fortfarande en fix delmängd, men partitionerad i arealenheter. En mätning i varje area. Exempel 1: Jordbruksexperiment. Exempel 2: Bildanalys. Röntgen/Magnetkamera. Exempel 3: Huspriser på kommunnivå. Areal data kallas också lattice data. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 6 / 38
8 KOMMUNALSKATT 2012 MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 7 / 38
9 FMRI BILDER AV HJÄRNAKTIVITET MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 8 / 38
10 FMRI BILDER AV HJÄRNAKTIVITET MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 9 / 38
11 PUNKTMÖNSTERDATA Positionerna s 1, s 2,..., s n är slumpmässiga. Punktprocesser. Y (s 1 ), Y (s 2 ),..., Y (s n ) är fixa som indikerar att en viss händelse inträffat vid s i. Exempel 1: Positioner av viss trädsort. Exempel 2: Sjukdomsutbrott. Exempel 3: Brottsplatser. Klustring ofta viktigt. Tenderar vissa djurarter att befinna sig inom samma område? Olika områden (revir)? Attraction/repulsion. Kovariatinformation vid de slumpmässiga positionerna: marked point pattern. Ex: brottsstyp, fågelstorlek, trädomkrets. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 10 / 38
12 SPATIALA DATA I R Paketet sp är baspaketet med spatiala datatyper. Objekt för att rita upp spatiala data: punkt, linje, polygon, grid och pixel. coordinates(datamatris) <- dinakoordinater [dinakoordinater är en matris med två kolumner innehållande longitud och latitud] datamatris blir ett objekt av typen SpatialPointsDataFrame. Alternativ: funktionen SpatialPointsDataFrame(). llcrs <- CRS("+proj=longlat +ellps=wgs84") definerar det traditionella longitud-latitude koordinatsystemet. library(maps); map( world, sweden ) ritar upp en Sverigekarta. gridobjekt <- as(spatialdatamatris, "SpatialPixels") Gör om matrisen SpatialDataMatris med punkter till en grid/pixlar. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 11 / 38
13 INTERPOLATION AV SPATIALA DATA Vi har observerat Z (s 1 ), Z (s 2 ),..., Z (s n ) vid n fixa positioner. Vi vill beräkna anpassningen Ẑ (s 0 ) i en ny punkt s 0. Interpolation viktat med inversa avståndet: Ẑ (s 0 ) = n i=1 w(s i, s 0 )Z (s i ) n i=1 w(s i, s 0 ) där w(s i, s 0 ) = s i s 0 p library(gstat); idwout <- idw(zinc ~ 1, meuse, meuse.grid, idp = 2) image(idwout) ritar upp den interpolerade ytan. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 12 / 38
14 INTERPOLATION MED INVERSA AVSTÅND MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 13 / 38
15 MEUSE RIVER DATA - ZINC CONCENTRATION MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 14 / 38
16 TIDSERIER Tidserier: data observerat över tid. x 1, x 2,..., x T. Autoregressiv model av ordning ett: x t = φx t 1 + ε t där ε t ~N(0,σ 2 ) är oberoende slumpfel. Beroende över tid. Värdet idag beror på gårdagens värde. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 15 / 38
17 AUTOKORRELATION Stationär tidsserie: Konstant väntevärde över tiden Konstant varians över tiden Autokorrelationen mellan X t och X t+h beror bara på h. Autokorrelationsfunktionen visar beroendet över tid: C (h) = Corr(X t, X t+h ) Variogrammet innehåller samma info som C (h): E [(X t X t+h ) 2] MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 16 / 38
18 VARIOGRAM Spatiala data är som tidserier där tiden t byts ut mot rumsliga koordinater s = (s 1, s 2 ). Process Z (s) = m + e(s) där m är väntevärdet och e(s) är spatialt brus. Alternativt Z (s) = X β + e(s) Semivariogram γ(h) = 1 E [Z (s) Z (s + h)]2 2 där h är en vektor. Variogram = 2γ(h). Relation till kovariansfunktionen C (h)=cov[y (s + h), Y (s)]: γ(h)=2[c (0) C (h)] MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 17 / 38
19 VARIOGRAM, FORTS Stationäritet över rummet. Spatial korrelation beror endast på avståndsvektorn h = s i s j mellan två punkter och inte på punkternas positioner. Isotropisk korrelation: vektorn h kan ersättas med dess längd h = h. γ( h) = γ(h) och γ(0) = 0. Nugget: ofta antas att γ(0 + ) = lim h 0 + γ(h) = τ 2 > 0. Går dock inte att skatta utan upprepade observationer vid samma position. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 18 / 38
20 SAMPELVARIOGRAMMET Problematiskt att skatta variogrammet eftersom vi kan ha inga eller få datapunkter som just har avståndet h. Jfr ACF i tidsserieanalys. Låt I 1 = [0, h 1 ), I 2 = [h 1, h 2 ),..., I m = [h m 1, h m ) vara en partitionering av intervallet [0, h m ) där h m är en övre gräns. Momentskattning av (semi)variogrammet: för alla h I j. ˆγ(I j ) = 1 N h 2N h [Z (s i ) Z (s i + h)] 2 i=1 library(gstat); plot(variogram(log(zinc) ~ 1, meuse)) library(gstat); plot(variogram(log(zinc) ~ sqrt(dist), meuse)) library(gstat); plot(variogram(log(zinc) ~ 1, meuse, alpha = c(0,45,90,135))) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 19 / 38
21 MODELLER FÖR ISOTROPISKA VARIOGRAM Linjär Sfärisk γ(h; θ) = γ(h; θ) = { { τ 2 + σ 2 h om h > 0 0 om h = 0 { τ 2 + σ 2 } om h 1/φ τ 2 + σ 2 3φh φ3 h 3 om 0 h 1/φ Powered exponential 0 < p 2 (Exponential p = 1, Gaussisk p = 2) { τ γ(h; θ) = 2 + σ 2 [1 exp( φh p )] om h > 0 0 om h = 0 Matérn γ(h; θ) = { [ τ 2 + σ 2 1 (2 νhφ) ν 2 ν 1 Γ(ν) K ν(2 ] νhφ) om h > 0 0 om h = 0 MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 20 / 38
22 NUGGET, SILL OCH RANGE Exempel: sfäriskt variogram { τ 2 + σ 2 om h 1/φ γ(h; θ) = { } τ 2 + σ 2 3φh φ3 h 3 om 0 h 1/φ Nugget: γ(0 + ) = lim h 0 + γ(h) = τ 2 > 0 Sill: lim h γ(h) = τ 2 + σ 2 Partial sill: Sill - Nugget =σ 2 Range: h-värdet där γ(h) först når sitt maximum: 1/φ. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 21 / 38
23 SKATTNING AV PARAMETRISKA VARIOGRAM Ickelinjär viktad minsta kvadrat (startvärden viktiga) p w j [γ(h) ˆγ(h)] 2 j=1 Variogrammodeller i R: vgm(psill, model, range, nugget) Exempel: v <- vgm(1, Sph, 800, 1) library(gstat); samplevariogram <- variogram(log(zinc) ~ sqrt(dist), meuse) vfit <- fit.variogram(samplevariogram, v); plot(samplevariogram, vfit) attributes(vfit) ger SSE. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 22 / 38
24 SKATTNING AV PARAMETRISKA VARIOGRAM - EYEBALLING Eyeball statistics: Prova olika parametervärdet tills dess parametriskt variogram anpassar sampelvariogrammet. library(geor); varioeye <- eyefit(variog(as.geodata(meuse["zinc"]), max.dist = 1500)); variofit <- as.vgm.variomodel(varioeye[[1]]) Fungerar inte i RStudio. Kör vanlig R. Datamaterialet meuse finns i paketet sp. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 23 / 38
25 SPATIAL PREDIKTION - KRIGING Vi har observationer Z (s 1 ),..., Z (s n ) och vill prediktera Z (s 0 ), Z-värdet vid en ny position s 0. Vi har kovariater vid varje position: X = (x(s 1 ),..., x(s n )) och x(s 0 ). Rimlig prediktor: Ẑ (s 0 ) är ett viktat medelvärde av värdena vid närliggande positioner. Bästa linjära väntevärdesriktiga prediktorn Ẑ (s 0 ) = x(s 0 ) ˆβ + v V 1 ( Z (s) X ˆβ ) där Z (s) = (Z (s 1 ),..., Z (s n )), V är kovariansmatrisen för Z (s) och v är kovariansvektorn innehållande kovarianserna mellan Z (s 0 ) och Z (s), och ˆβ = ( X V 1 X ) 1 X V 1 Z (s) är den vanliga GLS-skattningen. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 24 / 38
26 SPATIAL PREDIKTION - KRIGING, FORTS. Prediktionsvarians Var ( Ẑ (s 0 ) ) = Var (Z (s 0 )) v V 1 v Universal kriging. + ( x(s 0 ) v V 1 X ) ( X V 1 X ) 1 ( x(s0 ) v V 1 X ) Ordinary kriging: endast intercept i regressionsytan. krige(log(zinc) ~ sqrt(dist), meuse, meuse.grid, fittedsphvariogram) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 25 / 38
27 KRIGING - MEUSE DATA MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 26 / 38
28 AREAL DATA Datapunkter är definierade över arealenheter (kommuner, pixlar) Arealernas närhet till varandra äv viktig. Motsvarar avstånd för geostatistiska data. Spatiala grannskap (neighbourhoods): Vilka regioner gränsar till region i? Vilka länder handlar med varandra? Hur mycket? Vilka delar av hjärnan är sammankopplade med fibrer? Vem är du vän med på Facebook? MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 27 / 38
29 SPATIALA GRANNSKAP - ETT EXEMPEL W = W = MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 28 / 38
30 SPATIALA GRANNSKAP - ETT EXEMPEL W = W = MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 29 / 38
31 SPATIALA GRANNSKAP - ETT EXEMPEL W = W = MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 30 / 38
32 US CENSUS TRACT DATA - NEW YORK COUNTIES MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 31 / 38
33 US CENSUS TRACT DATA - NEW YORK COUNTIES MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 32 / 38
34 MORAN S I Näthetsmatris W = (w ij )[objekt av klassen nb i R] Test för spatialt beroende, Moran s I I = Moran s I i vektorform 1 I 1 och E (I ) = 1 n 1 Globalt vs Lokalt beroende. n n i=1 n j=1 w ij (y i ȳ)(y j ȳ) n i=1 n i=1 w ij n i=1(y i ȳ) 2 I = (y ȳ) W(y ȳ) (y ȳ) (y ȳ) vid spatiellt oberoende. Geary s C mer lokalt alternativ till Moran s I. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 33 / 38
35 R KOMMANDON FÖR AREALDATA Mål: vikter för varje arealenhet som beskriver dess beroende av enhetens grannar. Två steg: 1. Definera närhetsmatris (vem är granne med vem?). nb objekt i R [neighbourhood]. 2. Bestäm vikter mellan alla par av grannar. nb2listw [neighbourhood to list of weights] MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 34 / 38
36 R KOMMANDON FÖR AREALDATA, FORTS. Närhetsvikter: listw objekt. NYlistw[[2]] är en lista där det i:te listelementet innehåller information om vilka grannar den i:te arealenheten har. NYlistw[[3]] är en lista där det i:te listelementet innehåller information om vilka vikter den i:te arealenhetens grannar har. Exempel: NYlistw <- nb2listw(ny_nb, style = "B") [Binärt definierade grannar. Granne eller ej.] NYlistw[[2]][[3]] returnerar c(2,13,35), vilket säger att enheterna 2, 13 och 35 är grannar med enhet 3. NYlistw[[3]][[3]] returnerar c(1,1,1), vilket säger att enheterna 2, 13 och 35 har alla vikt 1 för enhet 3 (binär grannrelation). Exempel: NYlistw <- nb2listw(ny_nb, style = "W") [Binärt definierade grannar. Granne eller ej.] MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 35 / 38
37 SIMULTAN AUTOREGRESSIV MODELL (SAR) Tidsserieanalys: regression med AR(1) feltermer där ε t iid N(0, σ 2 ). y t = β 0 + β 1 x t + e t e t = ρe t 1 + ε t Simultan autoregressiv modell (SAR) där ε i iid N(0, σ 2 ). y i = β 0 + β 1 x i + e i m e i = b ij e j + ε i j=1 b ij representerar spatiala beroenden mellan regioner. b ii = 0 för alla i. Regionen beror inte på sig själv. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 36 / 38
38 SIMULTAN AUTOREGRESSIV MODELL (SAR), FORTS Modellen kan skrivas som E (y) = Xβ Var(y) = (I B) 1 Σ ε ( I B ) 1 där B = (b ij ) och ε är en diagonal matris, ofta Σ ε = σ 2 I. Vanligt val: B = λw. Spatial autokorrelationsparameter: λ. R funktionen: nysar <- spautolm(z ~ PEXPOSURE + PCTAGE65P + PCTOWNHOME, data = NY8, listw = NYlistw) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 37 / 38
39 CONDITIONAL AUTOREGRESSIVE MODEL (CAR) Beroendet för residualerna modelleras betingat på omgivningen (neighbourhood) ( ) c ij e j σe e i e j i N 2, i j i j i c ij j i c ij Om t ex C = λw och Σ ε = σ 2 I så gäller för CAR att där C = (c ij ). E (y) = Xβ Var(y) = σ 2 (I λw) 1 R: nycar <- spautolm(z ~ PEXPOSURE + PCTAGE65P + PCTOWNHOME, + data = NY8, family = "CAR", listw = NYlistw) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 38 / 38
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 28 MOMENTETS INNEHÅLL
Läs merTRE TYPER AV SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 21 TRE TYPER AV SPATIALA
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 36 MOMENTETS INNEHÅLL
Läs merTRE TYPER AV SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 28 TRE TYPER AV SPATIALA
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 12 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 12 December 1 / 12 Explorativ Faktoranalys
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merStokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Läs merFinansiell statistik. Multipel regression. 4 maj 2011
Finansiell statistik Föreläsning 4 Multipel regression Jörgen Säve-Söderbergh 4 maj 2011 Samband mellan variabler Vi människor misstänker ofta att det finns många variabler som påverkar den variabel vi
Läs merAutokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012
Föreläsning 6 Autokorrelation och Durbin-Watson testet Patrik Zetterberg 17 december 2012 1 / 14 Korrelation och autokorrelation På tidigare föreläsningar har vi analyserat korrelationer för stickprov
Läs merPrediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merTAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 13 januari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 13 januari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merBayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp
Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 2 - Linjär regressionsanalys Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 1 / 29 Översikt moment 2: linjär
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 1 / 44 MOMENTETS
Läs mer3 Maximum Likelihoodestimering
Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merTAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys
TAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Problem 1 PS29 Vid ett test av bromsarna på en bil bromsades bilen upprepade gånger från en hastighet
Läs merPreliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet
Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 27 oktober
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 27 oktober 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs mer2.1 Mikromodul: stokastiska processer
2. Mikromodul: stokastiska processer 9 2. Mikromodul: stokastiska processer 2.. Stokastiska variabler En stokastiskt variabel X beskrivs av dess täthetsfunktion p X (x), vars viktigaste egenskaper sammanfattas
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merFöreläsning 15: Faktorförsök
Föreläsning 15: Faktorförsök Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 17, 2016 Ensidig variansanalys Vi vill studera om en faktor A påverkar en responsvariabel. Vi gör totalt N =
Läs merSkriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, HT2012
Statistiska Institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, HT2012 2013-01-18 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 1, kap Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20
732G71 Statistik B Föreläsning 1, kap. 3.1-3.7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20 Exempel, enkel linjär regressionsanalys Ett företag vill veta
Läs merStockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, VT2012 2012-05-31 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merNågot om val mellan olika metoder
Något om val mellan olika metoder Givet är en observerad tidsserie: y 1 y 2 y n Säsonger? Ja Nej Trend? Tidsserieregression Nej ARMA-modeller Enkel exponentiell utjämning Tidsserieregression ARIMA-modeller
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 11 & 12 Johan Lindström 2 & 9 oktober 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MSB2 F11 1/32 Repetition Multipel linjär regression
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merStatistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1
Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 9. Bertil Wegmann. December 1, IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 9 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet December 1, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B December 1, 2016 1 / 20 Metoder för att analysera tidsserier Tidsserieregression
Läs merTillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2 Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-23 Faktum är att vi i praktiken nästan alltid har en blandning
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z
Läs merExaminationsuppgifter del 2
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för Matematik och Matematisk statistisk Statistik för ingenjörer, poäng, Anders Lundquist 7-- Examinationsuppgifter del Redovisas muntligt den / (Ö-vik) samt / (Lycksele).
Läs merResidualanalys. Finansiell statistik, vt-05. Normalfördelade? Normalfördelade? För modellen
Residualanalys För modellen Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F7 regressionsanalys antog vi att ε, ε,..., ε är oberoende likafördelade N(,σ Då
Läs merFöreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad
Läs merLösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller. 14 januari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller 14 januari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se
Läs merGör uppgift 6.10 i arbetsmaterialet (ingår på övningen 16 maj). För 10 torskar har vi värden på variablerna Längd (cm) och Ålder (år).
Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 4, 21 MAJ 2018 REGRESSION OCH FORTSÄTTNING PÅ MINIPROJEKT II Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska bekanta
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 7. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29
732G71 Statistik B Föreläsning 7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29 Detaljhandelns försäljning (fasta priser, kalenderkorrigerat) Bertil Wegmann
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 10 Johan Lindström 27 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F10 1/26 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-05-31 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merTAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval
TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen
Läs meroberoende av varandra så observationerna är
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 1, 1-5-7 REGRESSION (repetition) Vi har mätningarna ( 1, 1 ),..., ( n, n
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION.
MATEMATISKA INSTITUTIONEN Tillämpad statistisk analys, GN STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB 2011-04-13 DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION. Under Instruktioner och data på
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 februari
STOCKHOLMS UIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 februari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merTidsserier och Prognoser
Tidsserier och Prognoser Mattias Villani Sveriges Riksbank och Stockholms Universitet Stockholm, Oktober 2008 Mattias Villani () Tidsserier och Prognoser Stockholm, Oktober 2008 1 / 16 Översikt Tidsserier,
Läs merFöreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer
Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer Stas Volkov 2017-09-26 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k)
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 9 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 9 December 1 / 43 Longitudinella data
Läs merKorrelation och autokorrelation
Korrelation och autokorrelation Låt oss begrunda uttrycket r = i=1 (x i x) (y i y) n i=1 (x i x) 2 n. i=1 (y i y) 2 De kvadratsummor kring de aritmetiska medelvärdena som står i nämnaren är alltid positiva.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merUpprepade mätningar och tidsberoende analyser. Stefan Franzén Statistiker Registercentrum Västra Götaland
Upprepade mätningar och tidsberoende analyser Stefan Franzén Statistiker Registercentrum Västra Götaland Innehåll Stort område Simpsons paradox En mätning per individ Flera mätningar per individ Flera
Läs merPreliminärt lösningsförslag - omtentamen i Finansiell statistik,
Preliminärt lösningsförslag - omtentamen i Finansiell statistik, 2012-08-22 Uppgift 1a) y x -1 0 1 P(Y = y) -1 1/16 3/16 1/16 5/16 0 3/16 0 3/16 6/16 1 1/16 3/16 1/16 5/16 P(X = y) 5/16 6/16 5/16 1 E[X]
Läs merTentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.
Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller
Läs merFöreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression
Föreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression Stas Volkov 2017-11-28 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F15 1/23 Linjär regression Vi har n st par av mätvärden (x i, y i ), i = 1,..., n
Läs merMatematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys)
Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10 Laboration Regressionsanalys (Sambandsanalys) Grupp A: 2010-11-24, 13.15 15.00 Grupp B: 2010-11-24, 15.15 17.00 Grupp C: 2010-11-25,
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet November 4, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F1 November 4, 2013 1 / 25 Statistik B, 8 hp
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA HIERARKISKA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 25 November Wänström (Linköpings universitet) HIERARKISKA DATA 25 November 1 / 53 Regressionsmodell för icke-hierarkiska
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2015-10-23 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Jesper Martinsson,
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2013-08-27 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson och
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-08-15 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merLycka till!
VK Matematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B1555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN 24 MAJ 2006 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7907416. Email: gunnare@math.kth.se
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013
Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F8
Regressions- och Tidsserieanalys - F8 Klassisk komponentuppdelning, kap 7.1.-7.2. Linda Wänström Linköpings universitet November 26 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 1 / 23 Klassisk komponentuppdelning
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs merMatematisk statistik kompletterande projekt, FMSF25 Övning om regression
Lunds tekniska högskola, Matematikcentrum, Matematisk statistik Matematisk statistik kompletterande projekt, FMSF Övning om regression Denna övningslapp behandlar regression och är tänkt som förberedelse
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA321 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik TMA Tid: den augusti, 7 Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare, egenhändigt skriven formelsamling om två A4 fram och
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-10-12 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merGMM och Estimationsfunktioner
Lunds Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 GMM och Estimationsfunktioner I laborationen möter du två besläktade metoder för att estimera
Läs mer