TRE TYPER AV SPATIALA DATA
|
|
- Anders Blomqvist
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 28 TRE TYPER AV SPATIALA DATA Spatiala data: position och avstånd har betydelse. Tre typer av spatiala data: Geostatistiska data (Mätstationer) Areal data (Bildpixlar) Punktmönsterdata (Fågelskådning) Mer generellt: spatiala mätningar över tid: tempo-spatiala data. Ex: Meteorologiska mätningar. Inom delmomentet: Geostatistiska och lite areal data. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 3 / 28 MOMENTETS INNEHÅLL Introduktion till spatiala data Visualisering av spatiala data Geostatistiska data: Interpolation, Variogram och Kriging Areal data: Spatiala autoregressionsmodeller. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 2 / 28 GEOSTATISTISKA DATA Y (s) är en slumpmässig vektor observerad vid positionen s D. Positionerna s1, s2,..., sn är fixa. Mätningarna vid positionerna Y (s1), Y (s2),..., Y (sn) är slumpmässiga. D är ofta en delmängd av R 2. Longitud och latitud. Exempel 1: Temperatur och nederbörd i min trädgård vid en given tidpunkt. Exempel 2: Mängd olja vid olika borrningsstationer. Exempel 3: Huspriser. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 4 / 28
2 MEUSE RIVER DATA - ZINC CONCENTRATION MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 5 / 28 KOMMUNALSKATT 2012 MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 7 / 28 AREAL DATA D är fortfarande en fix delmängd, men partitionerad i arealenheter. En mätning i varje area. Exempel 1: Jordbruksexperiment. Exempel 2: Bildanalys. Röntgen. Exempel 3: Huspriser på kommunnivå. Areal data kallas också lattice data. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 6 / 28 FMRI BILDER AV HJÄRNAKTIVITET MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 8 / 28
3 PUNKTMÖNSTERDATA Positionerna s1, s2,..., sn är slumpmässiga. Punktprocesser. Y (s1), Y (s2),..., Y (sn) är fixa som indikerar att en viss händelse inträffat vid si. Exempel 1: Positioner av viss trädsort. Exempel 2: Sjukdomsutbrott. Exempel 3: Brottsplatser. Klustring ofta viktigt. Tenderar vissa djurarter att befinna sig inom samma område? Olika områden (revir)? Attraction/repulsion. Kovariatinformation vid de slumpmässiga positionerna: marked point pattern. Ex: brottsstyp, fågelstorlek, trädomkrets. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 9 / 28 INTERPOLATION AV SPATIALA DATA Vi har observerat Z (s1), Z (s2),..., Z (sn) vid n fixa positioner. Vi vill beräkna anpassningen Ẑ (s0) i en ny punkt s0. Interpolation viktat med inversa avståndet: Ẑ (s0) = n i=1 w(si, s0)z (si ) n i=1 w(si, s0) där w(si, s0) = si s0 p library(gstat); idwout <- idw(zinc ~ 1, meuse, meuse.grid, idp = 2) image(idwout) ritar upp den interpolerade ytan. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 11 / 28 SPATIALA DATA I R Paketet sp är baspaketet med spatiala datatyper. Objekt för att rita upp spatiala data: punkt, linje, polygon, grid och pixel. coordinates(datamatris) <- dinakoordinater [dinakoordinater är en matris med två kolumner innehållande longitud och latitud] datamatris blir ett objekt av typen SpatialPointsDataFrame. Alternativ: funktionen SpatialPointsDataFrame(). llcrs <- CRS("+proj=longlat +ellps=wgs84") definerar det traditionella longitud-latitude koordinatsystemet. library(maps); maps( world, sweden ) ritar upp en Sverigekarta. gridobjekt <- as(spatialdatamatris, "SpatialPixels") Gör om matrisen SpatialDataMatris med punkter till en grid/pixlar. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 10 / 28 INTERPOLATION MED INVERSA AVSTÅND - MEUSE DATA MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 12 / 28
4 VARIOGRAM Spatial utökning av tidsserieanalysens autokorrelationsfunktion. Stationäritet. Process Z (s) = m + e(s) där m är väntevärdet och e(s) är spatialt brus. Alternativt Z (s) = X β + e(s) Semivariogram γ(h) = 1 2 E [Z (s) Z (s + h)]2 där h är en vektor. Variogram = 2γ(h). Relation till kovariansfunktionen C (h)=cov[y (s + h), Y (s)]: γ(h)=2[c (0) C (h)] MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 13 / 28 SAMPELVARIOGRAMMET Problematiskt att skatta variogrammet eftersom vi kan ha inga eller få datapunkter som just har avståndet h. Låt I1 = [0, h1), I2 = [h1, h2),..., Im = [hm 1, hm) vara en partitionering av intervallet [0, hm) där hm är en övre gräns. Momentskattning av variogrammet: ˆγ(Ij) = 1 2Nh N h [Z (si ) Z (si + h)] i=1 för alla h Ij. library(gstat); plot(variogram(log(zinc) ~ 1, meuse)) library(gstat); plot(variogram(log(zinc) ~ sqrt(dist), meuse)) library(gstat); plot(variogram(log(zinc) ~ 1, meuse, alpha = c(0,45,90,135))) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 15 / 28 VARIOGRAM, FORTS Spatial korrelation beror endast på avståndsvektorn h = si sj mellan två punkter och inte på punkternas positioner. Isotropisk korrelation: vektorn h kan ersättas med dess längd h = h. γ( h) = γ(h) och γ(0) = 0. Nugget: ofta antas att γ(0 + ) = lim h 0 + γ(h) = τ 2 > 0. Går dock inte att skatta utan upprepade observationer vid samma position. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 14 / 28 MODELLER FÖR ISOTROPISKA VARIOGRAM Linjär Sfärisk { τ 2 + σ 2 h om h > 0 0 om h = 0 { τ 2 + σ 2 } om h 1/φ τ 2 + σ 2 3φh φ3 h 3 om 0 h 1/φ 0 Powered exponential 0 < p 2 (Exponential p = 1, Gaussisk p = 2) { τ 2 + σ 2 [1 exp( φh p )] om h > 0 0 om h = 0 Matérn { τ 2 + σ 2 [ 1 (2 νhφ) ν 2 ν 1 Γ(ν) K ν(2 νhφ) ] om h > 0 0 om h = 0 MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 16 / 28
5 NUGGET, SILL OCH RANGE Exempel: sfäriskt variogram } { τ 2 + σ 2 om h 1/φ τ 2 + σ 2 3φh φ3 h 3 om 0 h 1/φ 0 Nugget: γ(0 + ) = lim h 0 + γ(h) = τ 2 > 0 Sill: limh γ(h) = τ 2 + σ 2 Partial sill: Sill - Nugget =σ 2 Range: h-värdet där γ(h) först når sitt maximum: 1/φ. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 17 / 28 SPATIAL PREDIKTION - KRIGING Vi har observationer Z (s1),..., Z (sn) och vill prediktera Z (s0), Z-värdet vid en ny position s0. Vi har kovariater vid varje position: X = (x(s1),..., x(sn)) och x(s0). Rimlig prediktor: Ẑ (s0) är ett viktat medelvärde av värdena vid närliggande positioner. Bästa linjära väntevärdesriktiga prediktorn Ẑ (s0) = x(s0) ˆβ + v V 1 ( Z (s) X ˆβ ) där Z (s) = (Z (s1),..., Z (sn)), V är kovariansmatrisen för Z (s) och v är kovariansvektorn innehållande kovarianserna mellan Z (s0) och Z (s), och ˆβ = ( X V 1 X ) 1 X V 1 Z (s) är den vanliga GLS-skattningen. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 19 / 28 SKATTNING AV PARAMETRISKA VARIOGRAM Ickelinjär viktad minsta kvadrat (startvärden viktiga) p wj [γ(h) ˆγ(h)] 2 j=1 Variogrammodeller i R: vgm(psill, model, range, nugget) Exempel: vgm(1, Sph, 300, 1) library(gstat); samplevariogram <- variogram(log(zinc) ~ sqrt(dist), meuse) fit.variogram(samplevariogram, vgm(1, "Sph", 800, 1)) Alternativt: eyeball statistics. Prova olika parametervärdet tills dess parametriskt variogram anpassar sampelvariogrammet. library(geor); varioeye <- eyefit(variog(as.geodata(meuse["zinc"]), max.dist = 1500)); variofit <- as.vgm.variomodel(varioeye[[1]]) Fungerar inte i RStudio. Kör vanlig R. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 18 / 28 SPATIAL PREDIKTION - KRIGING, FORTS. Prediktionsvarians Var ( Ẑ (s0) ) = Var (Z (s0)) v V 1 v + ( x(s0) v V 1 X ) ( X V 1 X ) 1 ( x(s 0) v V 1 X ) Universal kriging. Ordinary kriging: endast intercept i regressionsytan. krige(log(zinc) ~ sqrt(dist), meuse, meuse.grid, fittedsphvariogram) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 20 / 28
6 KRIGING - MEUSE DATA MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 21 / 28 US CENSUS TRACT DATA - NEW YORK COUNTIES MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 23 / 28 AREAL DATA Datapunkter är definierade över arealenheter (kommuner, pixlar) Arealernas närhet till varandra äv viktig. Motsvarar avstånd för geostatistiska data. Spatiala grannskap (neighbourhoods): Vilka regioner gränsar till region i? Vilka länder handlar med varandra? Hur mycket? Vilka delar av hjärnan är sammankopplade med fibrer? Vem är du vän med på Facebook? MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 22 / 28 US CENSUS TRACT DATA - NEW YORK COUNTIES MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 24 / 28
7 MORAN I Näthetsmatris W = (wij)[objekt av klassen nb i R] Test för spatialt beroende, Moran I n I = n i=1 n i=1 wij n i=1 n j=1 wij(yi ȳ)(yj ȳ) n i=1(yi ȳ) 2 MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 25 / 28 SIMULTAN AUTOREGRESSIV MODELL (SAR), FORTS Modellen kan skrivas som E (y) = X β Var(y) = (I B) 1 Σε ( I B ) 1 där B = (bij) och Σε är en diagonal matris, ofta Σε = σ 2 I. Vanligt val: B = λw. Spatial autokorrelationsparameter: λ. R funktionen: nysar <- spautolm(z ~ PEXPOSURE + PCTAGE65P + PCTOWNHOME, data = NY8, listw = NYlistw) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 27 / 28 SIMULTAN AUTOREGRESSIV MODELL (SAR) Tidsserieanalys: regression med AR(1) feltermer yt = β0 + β1xt + et et = ρet 1 + εt där εt iid N(0, σ 2 ). Simultan autoregressiv modell (SAR) yi = β0 + β1xi + ei ei = m bijej + εi j=1 iid där εi N(0, σ 2 ). bij representerar spatiala beroenden mellan regioner. bii = 0 för alla i. Regionen beror inte på sig själv. MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 26 / 28 CONDITIONAL AUTOREGRESSIVE MODEL (CAR) Beroendet för residualerna modelleras betingat på omgivningen (neighbourhood) ei ej i N ( cijej j i j i cij, σ 2 ei j i cij ) R: nycar <- spautolm(z ~ PEXPOSURE + PCTAGE65P + PCTOWNHOME, + data = NY8, family = "CAR", listw = NYlistw) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 28 / 28
TRE TYPER AV SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 21 TRE TYPER AV SPATIALA
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 28 MOMENTETS INNEHÅLL
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 36 MOMENTETS INNEHÅLL
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 12 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 12 December 1 / 12 Explorativ Faktoranalys
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merPrediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval
Läs merBayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp
Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 2 - Linjär regressionsanalys Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 1 / 29 Översikt moment 2: linjär
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 1 / 44 MOMENTETS
Läs merStokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Läs merAutokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012
Föreläsning 6 Autokorrelation och Durbin-Watson testet Patrik Zetterberg 17 december 2012 1 / 14 Korrelation och autokorrelation På tidigare föreläsningar har vi analyserat korrelationer för stickprov
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 13 januari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 13 januari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F8
Regressions- och Tidsserieanalys - F8 Klassisk komponentuppdelning, kap 7.1.-7.2. Linda Wänström Linköpings universitet November 26 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 1 / 23 Klassisk komponentuppdelning
Läs merFöreläsning 15: Faktorförsök
Föreläsning 15: Faktorförsök Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 17, 2016 Ensidig variansanalys Vi vill studera om en faktor A påverkar en responsvariabel. Vi gör totalt N =
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 8. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 23
732G71 Statistik B Föreläsning 8 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 23 Klassisk komponentuppdelning Klassisk komponentuppdelning bygger på en intuitiv
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 7. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29
732G71 Statistik B Föreläsning 7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29 Detaljhandelns försäljning (fasta priser, kalenderkorrigerat) Bertil Wegmann
Läs merLösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller. 14 januari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller 14 januari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 9 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 9 December 1 / 43 Longitudinella data
Läs merFöreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 27 oktober
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 27 oktober 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merExaminationsuppgifter del 2
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för Matematik och Matematisk statistisk Statistik för ingenjörer, poäng, Anders Lundquist 7-- Examinationsuppgifter del Redovisas muntligt den / (Ö-vik) samt / (Lycksele).
Läs merTAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys
TAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Problem 1 PS29 Vid ett test av bromsarna på en bil bromsades bilen upprepade gånger från en hastighet
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merTAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merPreliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet
Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden
Läs mer2.1 Mikromodul: stokastiska processer
2. Mikromodul: stokastiska processer 9 2. Mikromodul: stokastiska processer 2.. Stokastiska variabler En stokastiskt variabel X beskrivs av dess täthetsfunktion p X (x), vars viktigaste egenskaper sammanfattas
Läs merUpprepade mätningar och tidsberoende analyser. Stefan Franzén Statistiker Registercentrum Västra Götaland
Upprepade mätningar och tidsberoende analyser Stefan Franzén Statistiker Registercentrum Västra Götaland Innehåll Stort område Simpsons paradox En mätning per individ Flera mätningar per individ Flera
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,
Läs merStatistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1
Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs
Läs merLinjär prediktion. Prediktiv kodning. Linjär prediktion. Prediktiv kodare och avkodare
Prediktiv kodning Linjär prediktion Närliggande sampel i en signal är oftast starkt korrelerade med varandra, det kan därför vara en bra ide att försöka utnyttja denna korrelation (minnet) innan kvantiseringen
Läs merEn generell prediktiv kodare utnyttjar signalens utseende N steg tillbaka i tiden för kodningen, dvs vi kodar efter den betingade fördelningen
Prediktiv kodning Närliggande sampel i en signal är oftast starkt korrelerade med varandra, det kan därför vara en bra ide att försöka utnyttja denna korrelation (minnet) innan kvantiseringen för att få
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merParameterskattning i linjära dynamiska modeller. Kap 12
Parameterskattning i linjära dynamiska modeller Kap 12 Grundläggande ansats Antag (samplade) mätdata (y och u)från ett system har insamlats. Givet en modell M(t, θ) och mätdata, hitta det θ som ger en
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs merFinansiell statistik. Multipel regression. 4 maj 2011
Finansiell statistik Föreläsning 4 Multipel regression Jörgen Säve-Söderbergh 4 maj 2011 Samband mellan variabler Vi människor misstänker ofta att det finns många variabler som påverkar den variabel vi
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION.
MATEMATISKA INSTITUTIONEN Tillämpad statistisk analys, GN STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB 2011-04-13 DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION. Under Instruktioner och data på
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 11 & 12 Johan Lindström 2 & 9 oktober 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MSB2 F11 1/32 Repetition Multipel linjär regression
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F7
Regressions- och Tidsserieanalys - F7 Tidsserieregression, kap 6.1-6.4 Linda Wänström Linköpings universitet November 25 Wänström (Linköpings universitet) F7 November 25 1 / 28 Tidsserieregressionsanalys
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 16 augusti 2007 9 14
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 16 augusti 2007 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 26 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 6 Minsta kvadrat problem. Polynom. Interpolation. Rötter. Tillämpningar:
Läs mer3 Maximum Likelihoodestimering
Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merTSRT62 Modellbygge & Simulering
TSRT62 Modellbygge & Simulering Föreläsning 4 Christian Lyzell Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 1
Läs meroberoende av varandra så observationerna är
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 1, 1-5-7 REGRESSION (repetition) Vi har mätningarna ( 1, 1 ),..., ( n, n
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merKovarians och kriging
Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)
Läs merInnehåll: 3.4 Parametriskt eller ej 3.5 Life Table 3.6 Kaplan Meier 4. Cox Regression 4.1 Hazard Function 4.2 Estimering (PL)
Innehåll: 1. Risk & Odds 1.1 Risk Ratio 1.2 Odds Ratio 2. Logistisk Regression 2.1 Ln Odds 2.2 SPSS Output 2.3 Estimering (ML) 2.4 Multipel 3. Survival Analys 3.1 vs. Logistisk 3.2 Censurerade data 3.3
Läs merTillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 16 december 2015 är en prognosmetod vi kan använda för serier med en
Läs merTillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2 Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-23 Faktum är att vi i praktiken nästan alltid har en blandning
Läs merDiskussionsproblem för Statistik för ingenjörer
Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.
Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 2: Beskrivning av linjära system Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 februari
STOCKHOLMS UIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 februari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merResidualanalys. Finansiell statistik, vt-05. Normalfördelade? Normalfördelade? För modellen
Residualanalys För modellen Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F7 regressionsanalys antog vi att ε, ε,..., ε är oberoende likafördelade N(,σ Då
Läs merReglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 3 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 2 Det mesta av teorin för envariabla linjära system generaliseras lätt till ervariabla (era
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merTillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 15 december 2015 Data kan generellt sett delas in i tre kategorier: 1 Tvärsnittsdata:
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merDataanalys kopplat till undersökningar
Dataanalys kopplat till undersökningar Seminarium om undersökningsmetoder för förorenade områden, Malmö 6-7 maj Jenny Norrman, SGI, Chalmers FRIST På säker grund för hållbar utveckling Innehåll Inledning
Läs merTVÄRSNITTSDATA (CROSS-SECTIONAL DATA)
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 1 / 44 TVÄRSNITTSDATA
Läs merStatistisk försöksplanering
Statistisk försöksplanering Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Skriftlig tentamen 3 hp 51SF01 Textilingenjörsutbildningen Tentamensdatum: 2 November Tid: 09:00-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs mer1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 29 7 kl 8 3 Matematikcentrum FMSF45 Matematisk statistik AK för D,I,Pi,F, 9 h Lunds universitet MASB3 Matematisk statistik AK för fysiker, 9 h. För tiden mellan
Läs merStatistisk analys av komplexa data
Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 1, kap Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20
732G71 Statistik B Föreläsning 1, kap. 3.1-3.7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20 Exempel, enkel linjär regressionsanalys Ett företag vill veta
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merLycka till!
VK Matematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B1555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN 24 MAJ 2006 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7907416. Email: gunnare@math.kth.se
Läs merMultipel linjär regression
Multipel linjär regression Motiverande exempel: effekt av sjukhusstorlek Multipel kausalitet En aktuell fråga: Svårare fall av urinblåsecancer behandlas ofta med cystektomi, det vill säga att man opererar
Läs merLaboration 3: Icke-parametrisk korrelations- och regressionsanalys
STOCKHOLMS UNIVERSITET 7 oktober 2004 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Laboration 3: Icke-parametrisk korrelations- och regressionsanalys I den här laborationen
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA HIERARKISKA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 25 November Wänström (Linköpings universitet) HIERARKISKA DATA 25 November 1 / 53 Regressionsmodell för icke-hierarkiska
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merTentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.
Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller
Läs merPreliminärt lösningsförslag - omtentamen i Finansiell statistik,
Preliminärt lösningsförslag - omtentamen i Finansiell statistik, 2012-08-22 Uppgift 1a) y x -1 0 1 P(Y = y) -1 1/16 3/16 1/16 5/16 0 3/16 0 3/16 6/16 1 1/16 3/16 1/16 5/16 P(X = y) 5/16 6/16 5/16 1 E[X]
Läs merRegressionsanalys av NHL-statistik
Regressionsanalys av NHL-statistik Av Gustav Hedén gheden@kth.se Examensarbete inom teknisk fysik, grundnivå SA104x KTH Matematisk statistik Handledare Fredrik Armerin 1 Innehållsförteckning Sammanfattning:...
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 10 Johan Lindström 27 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F10 1/26 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merTillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Broman, Jesper Rydén TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Sannolikhet och statistik 1MS5 214-1-11 Skrivtid: 8.-13.. För betygen 3, 4 resp. 5 krävs 18, 25 resp.
Läs merF12 Regression. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 28/ /24
1/24 F12 Regression Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 28/2 2013 2/24 Dagens föreläsning Linjära regressionsmodeller Stokastisk modell Linjeanpassning och skattningar
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA321 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik TMA Tid: den augusti, 7 Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare, egenhändigt skriven formelsamling om två A4 fram och
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 3 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Samband mellan två kvantitativa variabler Matematiska samband Statistiska samband o Korrelation Svaga och starka samband När beräkna korrelation?
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merLycka till!
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR K OCH B MÅNDAGEN DEN 25 AUGUSTI 2003 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 790 7416. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merSkriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, HT2012
Statistiska Institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, HT2012 2013-01-18 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merStockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, VT2012 2012-05-31 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F6: Betingade fördelningar Exempel: Tillförlitlighet Styrkan hos en lina (wire) kan modelleras enligt en stokastisk variabel Y. En tänkbar modell för styrkan är Weibullfördelning. Den last som linan utsätts
Läs merPrognosmodell för medlemstal i Svenska kyrkan. Av Thomas Holgersson
Prognosmodell för medlemstal i Svenska kyrkan. Av Thomas Holgersson Det framtida medlemsantalet i svenska kyrkan tycks vara intressant för många, då det regelbundet diskuteras i olika sammanhang. Att kyrkans
Läs mer