Algebraiska och geometriska lösningar av kubiska ekvationer
|
|
- Lisa Persson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Algebraiska och geometriska lösningar av kubiska ekvationer Ihab Megbil Juni 2018 Examensarbete matematik C, 15 hp Examinator: Johan Björklund Handledare: Rolf Källström
2 Sammanfattning Syftet med det här arbetet är att lösa kubiska ekvationer utifrån både algebraiska och geometriska perspektiv. Läsaren kommer att möta olika metoder att finna rötter av kubiska ekvationer med fokus på Cardanos metod. Kapitel 3 introducerar Khayyams metod för att hitta en positiv reell rot med hjälp av geometrisk algebra. Kapitel 4 presenterar Cardanos metod för att hitta en positiv reell rot med geometrisk och algebraisk metod. Kapitel 5 visar bisektionsmetoden och Newton-Raphsons metod för att hitta en reell rot med numeriska beräkningar. För att underlätta metoder (för moderna ögon) använde jag mig av spel, tabeller och moderna matematikprogram. Förståelsen av dessa metoder med faktorsatsen visas i kapitel 6 hur vi kan hitta alla reella rötter när vi har en rot. Dessutom innehåller kapitlet Cardanos formel för tre rötter av den allmänna kubiska ekvationen. Kapitel 7 presenterar Eulers metod för att lösa den allmänna bikvadratiska ekvationen med hjälp av Cardanos metod. Dessutom beskrivs Descartes metod för att lösa bikvadratiska ekvationer med användningen av geometrisk algebra. Läsaren får även en inblick i kvintiska ekvationer. 1
3 Förord Jag vill tacka professorn Rolf Källström vid akademin för teknik och miljö- Högskolan i Gävle för konstruktiv kritik och förslag till förbättringar av examensarbetet och stöd genom skrivandeprocessen. Jag vill även tacka Rolf Källström, Johan Björklund, Mikael Forsberg, Sören Hector, Mirko Radic, Yury Shestopalov, Pär Hemström, Helena Lindström, Xiaoqin Wang, Hang Zettervall och många andra lärare vid högskolan i Gävle som utvecklade mig i matematik. 2
4 Innehåll 1 Inledning 4 2 Historia av kubiska ekvationer 5 3 Khayyams metod att hitta en positiv reell rot till en kubisk ekvation Khayyams konstruktion Khayyams bevis Cardanos metod att hitta en positiv reell rot till en kubisk ekvation Den geometriska betydelsen av att reducera en ekvation Den algebraiska betydelsen av att reducera en ekvation Numeriska metoder att hitta en reell rot till en ekvation Bisektionsmetoden Newton-Raphsons metod Den allmänna lösningen av den kubiska ekvationen 40 7 En inblick i bikvadratiska och kvintiska ekvationer 52 3
5 Kapitel 1 Inledning De flesta matematiker är överens om att algebra är ett huvudområde i modern matematik. Genom hela historien visar många matematiker att algebran är ett allmänt verktyg för problemlösning. Emellertid ger algebraiska lösningar inte alltid en djupare förståelse för matematiska problem. Att se lösningar både ur algebraiska och geometriska perspektiv förstärker förståelsen. Idag har de flesta elever inte tillräcklig kunskap om varför de studerar matematiska ekvationer. Ekvationer är inte bara en fråga om att hitta lösningar, utan även ett mycket exakt sätt att beskriva olika funktioner i tillämpningar. Att se den kvadratiska ekvationen ax 2 +c = bx som en kvadrat + en rektangel = en rektangel eller att se den kubiska ekvationen ax 3 = bx 2 + cx + d som volym av en kub = den totala volymen av kuber, motiverar elever att lösa matematiska problem ur olika perspektiv och utvecklar elevernas förmåga både i algebra och geometri (Jfr kapitel 3 och 4). I det här arbetet grundar jag mig främst på Girolamo Cardanos tillvägagångssätt i sin bok Ars magna or the rules of algebra (1545) / Cardano, Witmer och Ore, 2007, som är baserat på både geometriska och algebraiska metoder för att hitta rötter av kubiska ekvationer. I mindre utsträckning baserar jag mig på Omar Khayyams tillvägagångssätt i dennes bok Maqala fi l-jabr wa l-muqabala (1079) / Kent och Muraki, 2016, som använder geometrisk algebra. 4
6 Kapitel 2 Historia av kubiska ekvationer Allt sedan antiken har ekvationer länkats ihop med att lösa linjära och kvadratiska problem. I Babylonien ( f.kr) löste matematiker kvadratiska ekvationer med den s.k. pq-formeln (Johansson, 1998). I Grekland (600 f.kr e.kr) löstes kvadratiska ekvationer och undersöktes några kubiska ekvationer. Men lösningarna vara snarare geometriska än algebraiska (a. a). I Abbasid-staten ( ) grundades Harun al-rashid ( ) Beit al-hikma (Visdomens hus) genom översättningen av grekiska och hinduiska böcker till arabiska (Whitaker, 2004). Därför påverkades matematiker i landet av geometriska texter som producerades i Grekland, och speciellt tanken på att ett matematiskt problem inte var helt löst utan ett bevis (Kent och Muraki, 2016). I dennes bok Al-jabr w al-muqabalah löste den berömda matematikern Muhammad al-khwarizmi ( ) kvadratiska ekvationer både med geometriska och algebraiska metoder. I sin avhandling Maqala fi l-jabr wa l-muqabala löste Omar Khayyam ( ) 19 typer av kubiska ekvationer med geometriska metoder (Waerden, 2012). Han började sin avhandling med hänvisning till att läsaren inte kan förstå texten utan att först läsa Euklides böcker och två artiklar av Apollonius om koniska sektioner. Han undersökte också bikvadratiska ekvationer (a. a). Under renässansen ( ) grundades Abacusskolan i Italien. Skolan hade generellt intresse för ämnet matematik (Najemy, 2004). Vid ungefär samma tidpunkt översatte humanister, som var starka på lingvistik men svaga på matematik, många grekiska och arabiska texter till latin (Karp och Schubring, 2016). Därför påverkades matematiker i landet av grekiska och arabiska texter om ekvationslösning. Scipione del Ferro ( ) upptäckte först en metod att lösa den kubiska ekvationen som saknar en kvadratisk term, alltså x 3 +px = q, där p, q, x är positiva reella tal (Dunham, 1990). Niccolò Tartaglia ( ) vann sin främsta ryktbarhet genom sin lösning av kubiska ekvationer, varvid han självständigt återfann och fullföljde 5
7 Ferros upptäckt. Slutligen upptäckte Gerolamo Cardano ( ) och dennes elev Lodovico Ferrari ( ) hur man kan lösa den allmänna kubiska ekvationen ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, där koefficienter a, b och c är positiva eller negativa, reella eller imaginära. Metoden som publicerades av Cardano i Ars magna or the rules of algebra är baserad på att eliminera x-termen av andra ordningen i den kubiska ekvationen (a. a). I själva verket representerar Cardanos metod en gemensam kontaktpunkt för att undersöka den allmänna lösningen av den kubiska ekvationen. Metoden ledde Ferrari till att hitta en teknik för att lösa den bikvadratiska ekvationen (Dunham, 1990). Dessutom föreslogs Cardanos metod i syfte att lösa kvintiska ekvationer. Men tyvärr möttes alla ansträngningar i denna riktning med misslyckande. Slutligen löste Charles Hermite ( ) den allmänna kvintiska ekvationen genom införandet av elliptiska funktioner, men metoden kräver operationer som är mer komplicerade än i elementär algebra (a. a). 6
8 Kapitel 3 Khayyams metod att hitta en positiv reell rot till en kubisk ekvation I sin avhandling Maqala fi l-jabr wa l-muqabala presenterar Omar Khayyam en användbar metod för att beskriva egenskaper hos kubiska ekvationer med hjälp av geometrisk algebra (d.v.s. grafisk lösning). Han undersökte 19 typer av kubiska ekvationer och upptäckte att: 1. fem ekvationer x 3 = ax 2 ; x 3 = ax; x 3 + ax 2 = bx; x 3 + ax = bx 2 ; ax 2 + bx = x 3 kan lösas med kompass och rätskiva av Euklides elementa, bok II. Anledningen är att ekvationer kan reduceras till en ekvation av mindre grad. 2. fjorton olika typer av ekvationer x 3 = a; x 3 + ax 2 = b; x 3 + a = bx; x 3 + a = bx 2 ; x 3 +ax = b; ax 2 +b = x 3 ; ax+b = x 3 ; x 3 = ax 2 +bx+c; x 3 +ax = b + cx 2 ; x 3 + ax 2 + b = cx; x 3 + ax 2 + bx = c; x 3 + ax 2 = bx + c; x 3 + ax = bx 2 + c; x 3 + a = bx 2 + cx kan bara lösas med användning av kägelsnitt. Den positiva roten av en kubisk ekvation bestämdes av en skärningspunkt mellan två koner, till exempel skärningen mellan två hyperbler eller skärningen mellan en cirkel och en hyperbel, osv. Khayyam hävdar att algebra består av fyra huvudsakliga saker: tal, objekt (x), kvadrat (x 2 ) och kub (x 3 ). För Khayyam existerar talet inte i verkligheten, alltså kommer talet bara till existens när det finns en väsentlig orsak. Han betecknar en rak linje som objekt (x) och dess kvadrat ger (x 2 ) som är en fyrkantig av lika sidor med rät vinkel vars sida är lika med en rak linje. Han beskriver en kub (x 3 ) som en kropp som är avgränsat av sex lika ytor av fyra sidor vars sidor är lika, vinklarna är rätvinkliga. De fyra sidorna var 7
9 varje raklinjeobjekt (x) och varje yta var en kvadrat (x 2 ). Alltså en kub är lika med kvadrater, vilket betyder i Khayyams metod x 3 = ax 2. En kub plus kanter är lika med kvadrater och tal, vilket betyder x 3 + ax = bx 2 + c och osv. I sina bevis anvävder Khayyam subtila övergångar mellan längder, areor och volymer för att de geometriska konstruktionerna stämmer. Dessutom använder han i sitt bevis proportioner mellan linjer, ytor och rymder i syfte att finna den önskade lösningen. Jag börjar med formeln x 3 + ax 2 + bx = c, (3.1) där a, b, c > 0. Formeln (3.1) som finns i Khayyams avhandling representerar ett bra exempel på geometrisk algebra. Men först behöver vi några definitioner om hyperbel och rektangulär parallellepiped som ingår i Khayyams konstruktion. 3.1 Khayyams konstruktion Definition 1. En rektangulär parallellepiped är en tredimensionell objekt med sex sidor, som alla är rektanglar. Definition 2. En hyperbel är en kurva som spåras av en punkt som rör sig i ett plan sådana att skillnaden mellan dess avstånd från två fasta punkter i samma plan är alltid densamma. Antag att x 3 + 7, 9x 2 + (1, 3) 2 x = (2, 1) 3 (3.2) Målet är att konstruera en rektangulär parallellepiped med volym c 3, vars bas är en kvadrat med sidor av längd b och vars höjd är av längd c3. b 2 På grund av Khayyam behandlar varje term av x 3 + ax 2 + bx = c såsom volymen av en parallellepiped skulle värdena för konstruktionen vara a = 7,9; b = 2 1, 69 = 1, 3 och c = 3 9, 261 = 2, 1. Dessa anvisningar som gav av Khayyam i sin avhandling kommer att leda oss till att skapa ett linjesegment sådant att dess längd är en lösning till (3.2). 8
10 1. Konstruera ett linjesegment HB med längd b, sådant att b är kvadratroten av det angivna talet av kanter. 2. Konstruera ett linjesegment BG vinkelrätt mot HB, sådant att längden av BG är höjden av den här fasta rektangeln. Eftersom basens area är b 2 och volymen är c 3, så har BG längd c3 b Konstruera punkt D på den linje som går med linjesegmentet BG, sådant att DB är ett linjesegment av längd a. 4. Konstruera en halvcirkel med diameter GD. Linjesegmenten GB och HB bestämmer därefter en rektangulär parallellepiped igenom att konstruera punkt K och linjesegmenten GK och HK. 5. Skissa därefter en hyperbel som passerar igenom punkt G med asymptoter HK och HB. Den här hyperbeln skär halvcirkeln igen i en känd punkt Z. 6. Dra en linje från punkten Z vinkelrätt mot diameter GD, sådana att den skär GD i punkt L och skär KH i punkt T. 7. Längden LB av linjesegmentet LB är en positiv reell lösning till den kubiska ekvationen (3.2). 8. Förläng linjesegmentet HB för att skära den linjen i punkt A. Detta steg är för att bevisa lösningen (LB) 3 + BD(LB) 2 + (HB) 2 LB = (HB) 2 GB. 9
11 Figur 3.1: Khayyams konstruktion av GeoGebra för x 3 + 7, 9x 2 + (1, 3) 2 x = (2, 1) 3. Skärningspunkten Z mellan halvcirkeln och hyperbeln ger längden LB av linjesegmentet LB som representerar en positiv reell lösning. 3.2 Khayyams bevis Eftersom Khayyam behandlar varje term i en polynomekvation av grad 3 som en tredimensionell rektangulär låda för att hitta en längd LB, så kan tre lådor byggas sådana att deras kombinerade volymer är lika med en given volym. Den första lådan är en kub med volym (LB) 3. Den andra lådan har en kvadratisk bas av (LB) 2 och en given höjd av BD. Den tredje lådan har höjd av LB och en given kvadratisk bas av (HB) 2. Den totala volymen av dessa tre lådor måste vara lika med den angivna volymen (HB) 2 GB. Dessa huvudvillkor ger den kubiska ekvationen (LB) 3 + BD(LB) 2 + (HB) 2 LB = (HB) 2 GB För att vara tydlig kommer Khayyams bevis att presenteras i fem steg. Men först kräver processen några viktiga satser. 10
12 Sats Produkten av de vinkelräta avstånden från vilken punkt som helst på en hyperbel till dess asymptoter är konstant. Bevis. Låt S: x 2 a y2 = 1 vara den givna hyperbeln. Hyperbelns asymptoter 2 b2 är y = ± b a x, alltså t 1 : bx ay = 0 och t 2 : bx + ay = 0. Låt P (x 0, y 0 ) vara någon punkt på S. Så ger -avståndet d 1 från P till t 1 genom d 1 = bx 0 ay 0 a2 + b, och d 2 2 ger från P till t 2 genom d 2 = bx 0 + ay 0 a2 + b. Därmed d 1*d 2 2 = b2 x 2 0 a 2 y0 2 x 2 0. Men P (x a 2 + b 2 0, y 0 ) S, så a y2 0 = 1. Detta leder till 2 b 2 att b 3 x 2 0 a 2 y0 2 = a 2 b 2. Alltså d 1 d 2 = a2 b 2 a 2 + b = konstant. 2 Sats Om en sida i en triangel ligger längs en cirkels diameter, och om det tredje hörnet också ligger på cirkeln, då är vinkeln vid det tredje hörnet en rät vinkel. Bevis. Satsen bevisades sig som en del av den trettio första propositionen i den tredje boken av Euklides Elementa (Jfr Euklides Elementa, Bok III, Prop 31). Sats Om i en rätvinklig triangel från den räta vinkeln till basen en vinkelrät (linje) dragits, är trianglarna vid den vinkelräta likformiga med den hela och med varandra. Bevis. Satsen bevisades sig av den åttonde propositionen i den sjätte boken av Euklides Elementa (Jfr Euklides Elementa, Bok VI, Prop 8). 1. Bevisa att areor av rektanglar GLTK och ZABL är lika. Bevis. Ur sats (3.2.1) har rektanglar ZAHT och GBHK lika areor eftersom båda punkterna G och Z ligger på samma hyperbel med asymptoter HK och HB (Jfr figur 3.1). På grund av att rektanglar ZAHT och GBHK delar den gemensamma rektangeln LBHT, innebär detta att skillnaden från dessa rektanglar GLTK och ZABL också har lika area. I vårt exempel visar detta steg att areor av rektanglarna ZAHT och GBHK är lika med 7,
13 2. Genom utveckling av proportioner (förhållanden) för segmenten, bevisa att (LZ) 2 (GL) = (HB)2 2 (LB) 2 Bevis. Eftersom areor av rektanglar GLTK och ZABL är lika, innebär detta att (LZ)(LB) = (GL)(LT ). Därmed LZ GL = LT. Eftersom LT LB = HB, så LZ GL = HB och därmed kommer deras kvadrater också att LB vara i proportion. I vårt exempel visar detta steg att (LZ)2 (6, 34)2 = 2 = 1,94 = (1, 3)2 (0, 933) 2 = (HB)2 (LB) 2. (GL) (4, 55) 2 3. Använd halvcirkeln för att bevisa att (LZ) 2 (GL) = (LD) 2 (GL) Bevis. Eftersom triangeln DGZ är inskriven på diametern DG i halvcirkeln (Jfr figur 3.2), så är DGZ en rätvinklig triangel ur sats (3.2.2). Trianglarna LGZ och LDZ är också rätvinkliga trianglar, så LGZ och LDZ likformiga ur sats (3.2.3). Därmed LG LZ = LZ. Detta leder till LD att (LZ) 2 = (GL)(LD). Genom att multiplicera båda sidor med (GL) kommer formeln vara (LZ)2 (GL) = LD. I vårt exempel visar detta steg 2 GL att LZ LD = 6, 34 8, 83 = 0,72 = 4, 55 6, 34 = LG LZ. 12
14 Figur 3.2: LGZ och LDZ är likformiga och ger därför förhållandet LG LZ = LZ LD. 4. Bevisa att (HB) 2 (GL) = (LD)(LB) 2 Bevis. Genom andra och tredje stegen får vi (LZ) 2 (GL) 2 = (HB)2 (LB) 2 = LD (GL) (HB) 2 (GL) = (LD)(LB) 2 5. Bevisa att längden LB av linjesegmentet LB är en positiv reell lösning till den kubiska ekvationen (3.2) Bevis. Eftersom punkten B ligger mellan D och L, så LB + DB = LD. Detta innebär att lådan med höjd LD och basar (LB) 2 kan delas in i 13
15 två mindre lådor: en kub med volym (LB) 3 plus en låda med höjd DB och basar (LB) 2. Detta kombinerat med det fjärde steget ge följande formel: (HB) 2 (GL) = (LD)(LB) 2 = (LB+DB)(LB) 2 = (LB) 3 +(DB)(LB) 2. Lägga nu volymen (HB) 2 (LB) till varje sida i syfte att få (HB) 2 (GL) + (HB) 2 (LB) = (LB) 3 + (DB)(LB) 2 + (HB) 2 (LB) Eftersom GL + LB = GB, så (LB) 3 + BD(LB) 2 + (HB) 2 LB = (HB) 2 GB Alltså längden LB av linjesegmentet LB är en reell positiv lösning till den kubiska ekvationen (3.2). Khayyams metod ser lite konstig ut för en modern läsare. Vi är inte vana vid att bara ta positiva koefficienter för att hitta en positiv reell rot. Man kan därför undra varför Khayyam ger endast en positiv reell rot i sin avhandling och om vi kan finna alla reella rötter av (3.2) med hjälp av geometrisk algebra. Självfallet kan vi finna alla reella rötter av kubiska ekvationer (om de finns) genom användning av moderna matematikprogram såsom GeoGebra, Wolfram Mathematica, Algebrator och osv. Men dilemmat är att direkta lösningar genom dessa program inte har någon annan betydelse än att se skärningspunkter med x-axeln. Därför är dessa program mycket användbara om de används med hjälp av geometrisk algebra. Genom användning av Geo- Gebra visar figur (3.3) nedan alla reella lösningar av den kubiska funktionen f(x) = x 3 +7, 9x 2 +(1, 3) 2 x (2, 1) 3 efter att ha konstruerat hela cirkeln på diametern GD och visat andra hälften av hyperbeln med asymptoter HK och HB. Figur (3.3) illustrerar även att x-koordinaterna för skärningspunkter mellan cirkeln och hyperbeln är i grunden lösningar av den kubiska funktionen f(x) = x 3 + 7, 9x 2 + (1, 3) 2 x (2, 1) 3. Detta innebär i princip att Omar Khayyam hittade negativa reella rötter, men han såg negativa tal som rymdobjekt från en annan värld och därför vägrade han att hantera dem. Dessutom fokuserade han på att finna en rot eftersom denna rot skulle leda honom till att hitta andra positiva reella rötter genom faktorsatsen eller sambandet mellan koefficienter och rötter (Jfr kapitel 6). 14
16 Nästa kapitel visar användningen av praktisk geometri tillsammans med en algebraisk metod för att hitta en positiv reell rot genom Cardanos metod. Det är därför bra att bevara de nyckelidéer vi har fått genom Khayyams metod i geometrisk algebra. Figur 3.3: Alla reella lösningar av den kubiska funktionen f(x) = x 3 +7, 9x 2 + (1, 3) 2 x (2, 1) 3 i Khayyams konstruktion, där x 1 = 0, 993, x 2 = 1, 321 och x 3 = 7, 511. Skärningspunkter mellan cirkeln och hyperbeln är lösningarna till den kubiska funktionen med grön färg. Notera att x-koordinaterna för skärningspunkter (inte längs x-axeln) mellan cirkeln och hyperbeln är i själva verket lösningar av den kubiska funktionen f(x) = x 3 + 7, 9x 2 + (1, 3) 2 x (2, 1) 3. Hyperbelns ekvation kan vi få av forrmeln pb = x(y + b), där a = 7,9; b = 1,3 och p = c3 b 2 = 5,
17 Kapitel 4 Cardanos metod att hitta en positiv reell rot till en kubisk ekvation I Ars magna or the rules of algebra ger Gerolamo Cardano och dennes elev Lodovico Ferrari lösningar på fjorton typer av kubiska ekvationer. De tenderar att tänka i termer av tredimensionella kuber och manipulerar dessa för att nå lösningar. Deras metod är huvudsakligen baserad på att reducera den allmänna kubiska ekvationen ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 till en kubisk ekvation i normalform y 3 + my = n. Det är därför nödvändigt att beskriva vad som menas med att reducera en ekvation till normalformeln algebraiskt och geometriskt. Målet är att uppnå en större förståelse av Cardanos metod eftersom denna metod kommer senare att användas i allmänna lösningar av både kubiska och bikvadratiska ekvationer. 4.1 Den geometriska betydelsen av att reducera en ekvation Vi kan ta formeln x 3 = ax 2 + b som presenteras i kapitel XIIII av Ars magna or the rules of algebra för att reducera den till normalformeln y 3 = my + n. Låt vår ekvation vara x 3 = 6x Processen kräver fyra steg för att nå en positiv reell lösning till x 3 = ax 2 + b. 1. Vi börjar med att uppdela en kub i åtta delar för att få binomialformeln som kan användas i nästan alla argument om kuber. Låt oss ta en kub med en okänd höjd AC. Låt höjden AC vara uppdelad i en godtycklig punkt B i två delar: AB och BC. Detta delar 16
18 basen ACEF i fyra delar: två kvadrater och två rektanglar (Jfr figur 4.1& 4.2). Nu kan vi multiplicera varje del av basen med de två linjesegmenten AB och BC, vilket ger åtta delar (Jfr figur 4.3). Därefter kan vi manipulera de blåa kropparna, vilket ger en blå kropp vars bas är kvadraten av AB och vars höjd är tre gånger BC, så volymen = 3(Ab) 2 (BC). På samma sätt kan vi manipulera de svarta kropparna, vilket ger volymen = 3(AB)(BC) 2. Resultatet är i figur (4.4) att vi har fått binomialformeln (AC) 3 = (AB + BC) 3 = (AB) 3 + 3(AB) 2 (BC) + 3(AB)(BC) 2 + (BC) 3 Cardano visar detta steg i kapitel VI av sin bok. Notera att Cardano hänvisar till dessa geometriska former genom sina kanter som kub AE, kvadrat AE, kub på AC, Kvadrat på BC och osv. Figur 4.1: En kub med volym (AC) 3. AC är kubens höjd som uppdelar i en godtycklig punkt B i två delar: AB och BC.. 17
19 Figur 4.2: En kub med volym (AC) 3. Basen ACEF delar i fyra delar: två kvadrater och två rektanglar. Kuben har gjort av ett spel Lego Classic hos TOYSR US.. 18
20 Figur 4.3: Efter att den kuben i figur 4.2 är uppdelad får vi åtta delar genom att multiplicera varje del av basen med de två linjesegmenten AB och BC.. 19
21 Figur 4.4: Manipuleringen av dessa geometriska former. Vi har fått fyra delar (AC) 3 = (AB+BC) 3 = (AB) 3 +3(AB) 2 (BC)+3(AB)(BC) 2 +(BC) 3. Notera att alla dessa kroppar har faktiska specifika storlekar, men mitt mål är att klargöra processen för att förklara det allmänna fallet.. 2. Nu kommer vi att uppdela den önskade kuben x 3 = 6x i delar. Vår kub har höjd sex enheter (Jfr figur 4.5). Låt kuben ha en okänd längd AC så att kuben har samma okända bas av kuben i steget (1). Alltså kubens volym = 6(AC) 2. Eftersom reduceringen är från x 3 = ax 2 + b till y 3 = my + n, så kommer konstanten b att vara utanför geometriska former. Låt AC vara uppdelad i en godtycklig punkt B i två delar: AB och BC. Detta delar kuben i fyra delar. Därefter kan vi manipulera de två svarta kropparna, vilket ger volym av 6(AB)(BC) + 6(AB)(BC) = 12(AB)(BC). Alltså den blåa kroppen har volym av bas (AB) 2 och höjd 6; den gröna kroppen har volym av bas (BC) 2 och höjd 6. Resultatet är i figur (4.6) 6(AC) 2 = 6(AB) 2 + 6(BC) (AB)(BC) 20
22 Figur 4.5: Den önskade kuben med volym 6(AC) 2, där höjden sex enheter och basen (AC) 2. Notera att kuben ha en okänd längd AC. 21
23 Figur 4.6: Efter att uppdela den önskade kuben x 3 = 6x 2 i figur (4.5) i fyra delar och därefter manipulera, får vi 6(AC) 2 = 6(AB) 2 + 6(BC) (AB)(BC). Notera att alla dessa kroppar har faktiska specifika storlekar, men mitt mål är att klargöra processen för att förklara det allmänna fallet. 22
24 3. Reducera till normalformen y 3 = my + n Låt den okända kanten AC av kuben i steget (1) vara lika med x. Låt den okända kanten AB av den olika färger kuben vara lika med y. Nu kräver processen att veta var exakt punkten B ligger i syfte att kroppar av båda kuber skulle ha samma volym av baser (AB) 2. Med andra ord kräver processen att bestämma punkten B för att de blåa kroppar av både kuben i steget (1) och kuben i steget (2) skulle ha samma volym. Den blåa kroppen av kuben i steget (1) har volym 3(AB) 2 (BC), medan den blåa kroppen av kuben i steget (2) har volym 6(AB) 2. För att båda kuber skulle ha samma volym 3(AB) 2 (BC) = 6(AB) 2 kräver processen BC = 2. För att förenkla problemet kan vi nu ta bort de blå kroppar från processen. Eftersom den svarta kroppen av kuben i steget (2) har volym 12(AB)(BC) och den svarta kroppen av kuben i steget (1) har volym 3(AB)(BC) 2, så har den svarta kroppen av kuben i steget (2) dubbelt så stor volym som den svarta kroppen av kuben i steget (1) har. Eftersom den gröna kroppen av kuben i steget (2) har volym 6(BC) 2 och den gråa kroppen av kuben i steget (1) har volym (BC) 3, så har den gröna kroppen av kuben i steget (2) volym tre gånger som den gråa kroppen av kuben i steget (1) har. Genom att ta bort de gemensamma volymer ger processen den olika färger kuben med volym (AB) 3, den svarta kuben med volym 12(AB) och den gröna kuben med volym 16. Nämligen att (AB) 3 = 12(AB) Eftersom AB = y, så y 3 = 12y Efter detta steg måste vi addera b = 100 som var utanför geometriska former och därmed y 3 = 12y Alltså vi har reducerat den kubiska ekvationen x 3 = 6x till normalformeln y 3 = 12y (Jfr figur 4.7). 23
25 Figur 4.7: I den vänstra sidan har vi den olika färger kuben på AB med volym (AB) 3 = y 3, medan den högra sidan har vi en svart kropp med volym 12 (AB) = 12 y och en grön kropp med volym 16. Med andra ord har vi fått normalformen y 3 = 12y + 16 efter reduceringsprocess. Vi måste också addera b = 100 som var utanför geometriska former och alltså y 3 = 12y Få en lösning av normalformen y 3 = my + n Cardano ger en geometrisk lösning av den kubiska ekvationen y 3 = my + n i kapitel XII av sin bok. Han ger ett visst tal (AC) som en geometrisk lösning till den kubiska ekvationen (AC) 3 = m(ac) + n, men han visar inte hur vi kan hitta det talet. Däremot ger han en algoritm (en regel för Cardano) som leder direkt till lösningen genom koefficienter av denna ekvation utan hänvisning till det talet som produceras av beviset. Jag har föredragit att skriva Cardanos lösning med moderna symboler trots att det saknar i Cardanos text. Låt oss se Cardanos sats. 24
26 Sats Om (AB)(BC) = m 3 och (AB)3 + (BC) 3 = n, då är AC lösningen av (AC) 3 = m(ac) + n, där AC = AB + BC. Regel: Om y 3 (m) 3 (n) 2 = my + n och (3) 3 (2), då y = 2 3 n ( 2 + n 2 2 )2 ( m n 3 ) ( n 2 )2 ( m 3 )3 Bevis. Cardanos bevis Eftersom (AB)(BC) = m, så 3(AB)(BC) = m. Multiplicera båda sidor med AC, sådana att 3(AB)(BC)(AC) = m(ac). Men (AC) = (AB) 3 +(BC), så 3(AB)(BC)((AB) + (BC)) = 3(AB) 2 (BC) + 3(AB)(BC) 2. Alltså 3(AB) 2 (BC) + 3(AB)(BC) 2 = m(ac). Men 3(AB) 2 (BC) + 3(AB)(BC) 2 + (BC) 3 + (AC) 3 = (AC) 3 och (AB) 3 + (BC) 3 = n, så är (AC) lösningen av (AC) 3 = m(ac) + n. Det verkar tydligt att Cardanos bevis är ofullständigt. Den dolda länken i Cardanos bevis är faktiskt problemet x = 10x som löste i Al-jabr w almuqabalah av Khwarizmi (Karpinski, 1915). För Khwarizmi representerar x 2 area av en kvadrat, medan talet 21 representerar area av en rektangel. Den totala arean för dessa två geometriska former ger area av en rektangel av 10x, där rektangeln har bredd x och längd 10 enheter. Lemma 1. Khwarizmis problem x = 10x (4.1) Bevis. Målet är att hitta x-värdet utifrån det geometriska perspektivet för att nå i slutet en algoritm (en regel för Khwarizmi). Vi får i figur (4.8) area av kvadraten AHBF (x 2 ) + area av rektangeln BDGF (21) = area av rektangeln AHDG (10x). Eftersom (4.1), så följer det att sidan ag har längd 10. Låt t vara mittpunkten på sidan ag. Konstruera kvadraten tclg. Låt tc skära linjen hd i punkten e. Konstruera nu kvadraten ecmn. Det är lätt att se be = ec och bf = nd. Alltså rektangeln BETF = rektangeln MNDL. Eftersom area av rektangeln BDGF är 21, så följer det att area av rektangeln TEDG + area av rektangeln MNDL = 21. Men sidan tg har längd 5, så följer det att kvadratens area TCLG är 25. Alltså kvadratens 25
27 area ECMN är 4. Detta innebär att ec = 2. Alltså te = gl - ec = 5-2 = 3. Men te = bf och bf = x x = 3 Detta innebär att (bf) är en geometrisk lösning av (bf) 2 + n = m(bf). Alltså Al-Khwarizmi ger i sin bok den önskade algoritmen: Ta 1/2 av det okända, det är 5, multiplicera det själv, ge 25. Från detta subtrahera 21, ge 4. Ta roten till detta, ge 2, och dra av det från halva roten, lämna 3, vilket representerar en av delarna., s. 85. Genom moderna symboler får vi den önskade algoritmen bf = m ± m 2 4n 2 Naturligtvis är sju den andra roten av (4.1). Figur 4.8: x 2 representerar area av kvadraten AHBF, medan 21 representerar area av rektangeln BDGF. Den totala arean för dessa två geometriska former ger area av en rektangel av 10x. Konstruktionen av Khwarizmi, översatt från latin till engelska av Louis Charles Karpinski, London, Alltså (AB + BC) 3 = (AB) 3 + 3(AB) 2 (BC) + 3(BC) 2 (AB) + (BC) 3 (AB + BC) 3 = 3(AB)(BC)(AB + BC) + (AB) 3 + (BC) 3, 26
28 är ekvivalent med normalformeln y 3 = my + n, där y = AC = AB + BC, villkor är (AB) 3 + (BC) 3 = n (4.2) och (AB)(BC) = m 3 Därefter kan (4.3) formuleras med potenslagar Ersätta (4.4) i (4.2) och få Mltiplicera (4.5) med (AB) 3 och få (4.3) (AB) 3 (BC) 3 = ( m 3 )3 (4.4) (AB) 3 + ( m 3 )3 (AB) 3 = n (4.5) (AB) 6 + ( m 3 )3 = n(ab) 3 (4.6) Därefter kan (4.6) formuleras igen med potenslagar ((AB) 3 ) 2 + ( m 3 )3 = n((ab) 3 ) 1 Sätt t = (AB) 3, så vå får en liknande situation som lemma (1) (t) 2 + ( m 3 )3 = nt. Processen fortsätter för att få AB och BC, och i slutet får vi AC som en geometrisk lösning av (AC) 3 = m(ac)+n med regeln AC = 3 n ( n 2 )2 ( m 3 )3 + 3 n 2 2 ( n 2 )2 ( m 3 )3. Detta steg kommer också att illustreras i avsnitt 4.2 och kapitel Den algebraiska betydelsen av att reducera en ekvation Antag att vi har den allmänna formeln av den kvadratiska ekvationen ax 2 + bx+c = 0. För att reducera denna ekvation kräver processen att eliminera x- termen av första ordningen genom en ny variabel y, så att ersätta x = y b 2a för att uppnå a(y b 2a )2 + b(y b 2a ) + c = 0 27
29 Därefter utvecklas ekvationen Efter förenkling erhålls vilket ger Alltså vilket ger Men vilket ger abc-formeln a(y 2 b a y + b2 b2 ) + by 4a2 2a + c = 0 ay 2 by + b2 b2 + by 4a 2a + c = 0, ay 2 = b2 2a b2 4a c = b2 4ac 4a y 2 = b2 4ac 4a 2, y = ± b 2 4ac 2a x = y b 2a, x = b ± b 2 4ac 2a Alltså vi har fått abc-formeln igen. Detta exempel visar att vi kan reducera kubiska ekvationer igenom att eliminera x-termen av andra ordningen. Med andra ord kan vi reducera kubiska ekvationer genom att ersätta x = y b 3a. Låt oss ta formeln ax3 bx 2 = c. Låt vår ekvation vara x 3 6x 2 = 100. Alltså x = y 6 = y + 2, vilket ger 3 1 eller (y + 2) 3 6(y + 2) 2 = 100 (y + 2)(y + 2) 2 6(y + 2) 2 = 100 Efter utveckling och förenkling erhålls y 3 + 6y 2 6y 2 12y 116 = 0, vilket ger y 3 = 12y
30 Detta innebär att vi har reducerat den kubiska ekvationen x 3 6x 2 = 100 till formeln som accepterar lösningen y 3 = 12y + 116, sådana att koefficienten av den kvadratiska termen är lika med noll. Nu kan vi ta de båda villkoren ur sats (4.1.1) (AB) 3 + (BC) 3 = 116 (4.7) och (AB)(BC) = 12 3 = 4 (4.8) Ersätta (4.8) i (4.7), vilket ger (AB) 3 + ( Multiplicera (4.9) med (AB) 3, vilket ger Därefter kan (4.10) formuleras med potenslagar Anta att t = (AB) 3, så att få pq-formeln Eftersom t = (AB) 3, så 4 AB )3 = 116 (4.9) (AB) = 116(AB) 3 (4.10) ((AB) 3 ) = 116((AB) 3 ) 1 (4.11) t 2 116t + 64 = 0 (4.12) t = ± ( )2 64 (AB) 3 = ± ( )2 64 Det kan visas att om vi tar den positiva eller negativa roten av (AB) kommer vi att få samma värde av (AC) = (AB) + (BC). Vi kan bara ta den positiva roten 116 AB = ( )2 64 Ersätta i (4.7), vilket ger ( ) (BC) 3 =
31 116 BC = ( ( )2 64) Eftersom y = (AC) = (AB) + (BC), så 116 y = ( ) ( ( )2 64) är en lösning av normalformeln y 3 = 12y Eftersom x = y + 2, så 116 x = ( ) ( ( )2 64) + 2 7, 7 är en lösning av den kubiska ekvationen x 3 6x 2 = 100. Med andra ord har vi fått algoritmen AC = y = 3 n ( n 2 )2 ( m 3 )3 + 3 n 2 2 ( n 2 )2 ( m 3 )3 116 AC = y = ( )2 ( ) ( )2 ( 12 3 )3 AC = y 5,7. Eftersom x = y + 2, så x 7,7. För att få alla andra rötter kan vi använda faktorsatsen eller faktoriserings formel i kapitel 6. 30
32 Kapitel 5 Numeriska metoder att hitta en reell rot till en ekvation Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden säger att om f (x) är kontinuerlig på intervallet [a, b] och om s är ett tal mellan f (a) och f (b), så finns det ett tal c i [a, b], sådana att f (c) = s. Specielt om f tar sitt minimivärde m och sitt maximivärde M, så är dess värdemängd också ett slutet intervall [m, M]. Figur (5.1) visar en typisk situation. Punkter (a, f (a)) och (b, f (b)) är på motsatta sidor av den horisontella linjen y = s. För att vara obruten måste grafen y = f (x) skära denna linje för att gå från en punkt till den andra punkten. I figur (5.1) skär grafen linjen en gång i x = c. Om linjen y = s var något högre kan det ha varit två skärningar och två möjliga värden för c. Satsen är därför anledningen till att grafen för en kontinuerlig funktion i ett intervall I måste vara en sammanhängande och en obruten kurva utan att hopp. Ta ett exempel: f(x) = x 3 4x. Eftersom f(x) = x(x 2 4) = x(x 2)(x + 2), så f(x) = 0 endast när x = 0, x = 2 och x = - 2. Eftersom f är kontinuerlig på hela reella linjen måste den ha konstant tecken vid varje intervall (, 2), ( 2, 0), (0, 2) och (2, ). Om det fanns punkter a och b i ett av dessa intervaller, t.ex i (0, 2), sådana att f(a) < 0 och f(b) > 0, då ur satsen om mellanliggande värden skulle det existera c mellan a och b, och därmed mellan 0 och 2, sådana att f(c) = 0. Men vi vet att f har ingen sådan noll i (0, 2). Ta ett annat exempel: f(x) = x 3 x 1. Funktionen är ett polynom och därför kontinuerlig överallt. Vi har f(1) = 1 och f(2) = 5, och 0 ligger mellan - 1 och 5, satsen garanterar att det måste finnas ett tal c i intervallet [1, 2] så att f(c) = 0. Satsen om mellanliggande värden kommer faktiskt att hjälpa oss att hitta 31
33 en reell rot av kubisk ekvation genom att utnyttja två numeriska metoder: bisektionsmetoden och Newton-Raphsons metod. Båda metoderna är baserade på att upprepa samma process flera gånger för att förbättra noggrannheten vid numerisk beräkning. Därför kommer jag att använda tabeller för att underlätta dessa beräkningar. Figur 5.1: Satsen om mellanliggande värden: kontinuerlig funktion f tar värdet s vid någon punkt c mellan a och b. 32
34 5.1 Bisektionsmetoden Bisektionsmetoden eller intervallhalveringsmetoden innebär, som namnet antyder, att vi utifrån ett givet intervall som innehåller en rot kan evaluera en funktion i mitten av intervallet. Med andra ord betraktas metoden ett kort intervall [a, b] där f byter tecken, då det är känt att f någonstans i intervallet är noll, enligt satsen om mellanliggande värden. Vi kan betrakta grafen till f i intervallet a x b. Om grafen är en sammanhängande kurva och har ett nollställe i intervallet så skär kurvan x-axeln på minst ett ställe i intervallet. Låt oss för enkelhetens skull anta att vi endast har en skärningspunkt och att funktionen alltså endast har ett nollställe i intervallet (Jfr figur 5.2). Nu delar vi intervallet mitt itu m = a+b och bestämmer funktionsvärdet f(m) i mittpunkten. Igenom att 2 jämföra tecknen för f(a), f(b) och f(m) kan vi avgöra på vilken sida om m skärningspunkten ligger: 1. Om f(m) = 0, då är m en rot av f(x). 2. Om f(m) f(b)< 0, då ersätta a = m för att skapa ett nytt intervall. 3. Om f(m) f(a)< 0, då ersätta b = m för att skapa ett nytt intervall. Därefter kan vi upprepa processen, nu med hälften så stort intervall. Denna intervallhalvering kan fortsätta tills vi stängt in vårt sökta x-värde i ett tillräckligt litet intervall. Exempel Lös den kubiska ekvationen och ge x med två decimaler. x 3 + 2x 4 = 0 Sätt f(x) = x 3 + 2x 4. Att finna en rot av ekvationen f(x) = 0 är detsamma som att finna nollstället till f. Vi har f(a) = f(1) = 1 < 0 och f(b) = f(2) = 8 > 0, och 0 ligger mellan - 1 och 8, satsen om mellanliggande värden garanterar att det måste finnas ett tal m i intervallet [1, 2], så att f(m) konvergerar till noll. Låt m = a+b = 1, 5. Vi kan beräkna x-värdena 2 genom: 33
35 a f(a) b f(b) m f(m) Er Ny b - a ,5 2,375 b=m 0, ,5 2,375 1,25 0, b=m 0, ,25 0, ,125 0, a=m 0,125 1,125-0, ,25 0, ,1875 0, b=m 0,0625 1,125-0, ,1875 0, , , a=m 0, , , ,1875 0, , , a=m 0, , , ,1875 0, , , b=m 0, Efter den sjunde iterationen får vi alltså x = 1, ± 0, , med två decimaler x = Figur 5.2: Bisektionsmetoden: kontinuerlig funktion y = f(x), där m är intervallets mittpunkt mellan a och b. 34
36 5.2 Newton-Raphsons metod Newton-Raphsons metod är en metod för att bestämma en approximativ lösning till en ekvation. Man startar med att betrakta en enkel rot i intervallet [a, b]. Grafen till funktionen y = f(x) skär x-axeln i en punkt som ligger i [a, b]. Låt y = f(x) vara en kontinuerligt deriverbar funktion i intervallet [a, b]. Anta vidare att funktionen har ett nollställe c i intervallet [a,b] och att x 0 är en punkt som ligger nära funktionens nollställe (Jfr figur 5.3). Alltså kan vi beteckna c den exakta lösningen av funktionen f(x) = 0, medan x 0 är en approximation av lösningen. I syfte att få en bättre approximation bestämmer vi skärningspunkten mellan x-axeln och tangenten i punkten p = (x 0, f(x 0 )). Tangenten genom punkten P har ekvationen: k = y x = f(x 0) y x 0 x 1 = f (x 0 ) f(x 0 ) y = f (x 0 )(x 0 x 1 ) Eftersom y = 0 vid skärning med x-axeln, får vi x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ), vilket ger ny approximation av lösningen c. Vi kan nu använda x 1 som ett nytt startvärde och beräkna en ny approximation Vi får algoritmen x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) x n+1 = x n f(x n) f (x n ), (5.1) vilket utgör iterationsformeln i Newton-Raphsons metod. Under mycket allmänna villkor konvergerar följden x 0, x 1, x 2... mot en rot till ekvationen f(x) = 0; ett närmevärde erhålls genom att processen avbryts vid någon steg. Kravet är att stoppa när får något givet tal ɛ så att x k x k 1 < ɛ. Med andra ord kan vi stanna när differensen mellan två konsekutiva värden är mindre än ɛ, men detta garanterar inte noggrannhets krav som ofta anges på formen x k c < ɛ. 35
37 Tillräckligt villkor för noggrannhets krav x k c < ɛ. Om f(x k ɛ) och f(x k +ɛ) har olika tecken, alltså f(x k ɛ)*f(x k +ɛ) < 0, då ligger en rot mellan punkterna (x k ɛ) och (x k + ɛ). Med andra ord är avståndet mellan x k och den exakta roten c mindre än ɛ och noggrannhets krav x k c < ɛ är uppfylld. När man löser en ekvation med Newton-Raphsons metod måste man välja ett startvärde som ligger i närheten av den sökta roten. Detta kan vi göra igenom att gissa eller rita grafen till y = f(x) med hjälp av dator och från grafen välja den första approximationen x 0. Därefter använder formeln (5.1) för att bestämma några en approximation till den exakta roten. Den sista anmärkningen är att man inte får välja en punkt nära funktionens extrempunkt. Tangenten i en sådan punkt är nästan parallell med x-axeln och första approximation x 1 kan hamna långt bort från lösningen och utanför funktionens definitionsmängden. Exempel Ekvationen x 3 3x = 0 har en negativ rot. Ange en approximativ rot med tre korrekta decimaler dvs bestäm x k så att avståndet till den exakta roten c uppfyller kravet x k c < 0, Låt f(x) = x 3 3x Nu f( 1) = 3 < 0 och f(0) = 1 > 0. Eftersom 0 ligger mellan - 3 och 1 bekräftar satsen om mellanliggande värden att det måste finnas ett tal c i [ 1, 0], sådana att f(c) konvergerar till noll (Jfr figur 5.4). Vi väljer x 1 = 1. Vi har f(x) = x 3 3x och f (x) = 3x 2 6x. Alltså x n+1 = x n f(x n) f (x n ) x n+1 = x n x3 n 3x 2 n + 1 3x 2 n 6x n Nu kan vi beräkna x-värdena genom: n x n f(x n ) f (x n ) x n+1 = x n f(xn) f (x n) , ,667-0,631 5,337-0, ,549-0,069 4,198-0, ,532 0,0003 4,041-0,532 36
38 De första tre decimaler i x 6 förändras inte så har vi troligt tre korrekta decimaler. Alltså det finns anledning att anta att det exakta nollställen ligger i intervallet (- 0, ,0005; - 0,532-0,0005). I syfte att vara säkra beräknar vi funktions värden i ändpunkterna: f( 0, 532 0, 0005) = 0, , f( 0, , 0005) = 0, , Alltså har den kontinuerliga funktionen f(x) olika tecken i intervallets ändpunkter. Därför måste ett nollställe ligga i intervallet (- 0, ,0005; - 0,532-0,0005). Alltså - 0,532 är en approximativ rot med tre korrekta decimaler. För att få alla andra rötter kan vi använda faktorsatsen eller faktoriserings formel i kapitel 6. I själva verket kan vi hitta alla rötter av kubiska ekvationer med hjälp av Newton-Raphsons metod. Metoden som beskrivs ovan används när rötterna är reella, medan samma metod kräver applikationer av komplex dynamik när rötterna är komplexa. Med andra ord är det lätt att hitta några approximationer till lösningar när de ligger inom en lokal struktur, medan det är svårt att hitta approximationer till lösningar när de ligger inom en global struktur. För att eliminera dessa svårigheter kräver processen därför moderna tekniker såsom datorgrafik. Den grundläggande strategin för att generera en bild som illustrerar den globala strukturen hos Newton-Raphsons metod för ett polynom p är som följer: 1. Välja en rektangulär region i det komplexa planet, så att regionen ofta innehåller alla rötter av p. 2. Uppdela regionen i rektanglar, t.ex 300 * 300 av dem, vilket motsvarar ett komplext tal. 3. Genomföra Newton-Raphsons metod för alla dessa komplexa tal, så att z n+1 = z n p(zn) p (z n). Huvuddragen ovan illustrerar hur vi kan hitta alla komplexa rötter med hjälp av Newton-Raphsons metod, men en sådan avancerad nivå ligger inte inom mitt ödmjuka arbete. 37
39 Figur 5.3: Newton-Raphsons metod: kontinuerlig deriverbar funktion y = f(x), där x 0 är en punkt som ligger nära funktionens nollställe c. En tangent genom punkten (x 0, f(x 0 )) skär x-axeln i punkten x 1. 38
40 Figur 5.4: Newton-Raphsons metod: kontinuerlig deriverbar funktion f(x) = x 3 3x Man kan observeras att den negativa roten måste ligga mellan 0 och
41 Kapitel 6 Den allmänna lösningen av den kubiska ekvationen En allmän kubisk ekvation är en ekvation som kan skrivas på formen ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, där koefficienter a, b och c är positiva eller negativa, reella eller imaginära. En allmän kubisk ekvation har tre rötter, av vilka minst en och annars alla tre tillhör de reella talen. Den allmänna kubiska ekvationen löstes med Cardanos formel med användning av komplexa tal. Men innan jag tar denna formel börjar jag med att omformulera sats (4.1.1) i syfte att eliminera begränsningen (m)3 (3) (n)2 3 (2). Cardano 2 presenterar sats (6.0.1) i kapitel XI av Ars magna or the rules of algebra i syfte att få en reell rot. Sats Om tu = m 3 och t3 u 3 = n, då är y lösningen av y 3 + my = n, där y = t - u. n Regel: Om y 3 + my = n, då y = ( n 2 2 )2 + ( m 3 )3 - n ( n 2 )2 + ( m 3 )3 Bevis. Låt oss ta en kub vars längd t och vars volym t 3. Låt t vara uppdelad i en punkt i två delar: u och t u. Därefter visar figur (6.1) att kuben kan uppdelas i sex delar, vilket ger volym som är lika med den totala volymen för dessa geometriska former u 3 + (t u) 3 + 2tu(t u) + u 2 (t u) + u(t u) 2 = t 3 40
42 (t u) 3 + 2tu(t u) + u 2 (t u) + u(t u) 2 = t 3 u 3 Därefter faktoriseras den gemensamma (t - u) Efter förenkling erhålls (t u) 3 + (t u)(2tu + u 2 + u(t u)) = t 3 u 3 (t u) 3 + 3tu(t u) = t 3 u 3 Detta innebär att vi har kommit fram till den kubiska ekvationen y 3 + my = n. Eftersom y = t - u, så får vi Detta innebär att och Ersätta (6.1) i (6.2) y 3 + 3tu(y) = t 3 u 3 Multiplicera (6.3) med t 3, vilket ger med potenslagar pq-formeln ger Vi kan ta den positiva roten Ersätta (6.4) i (6.2), vilket ger u = 3 3tu = m (6.1) t 3 u 3 = n (6.2) t 3 ( m 3t )3 = n (6.3) (t 3 ) 2 n(t 3 ) 1 ( m 3 )3 = 0 t 3 = n 2 ± n 2 /4 + (m/3) 3 t = 3 n ( n 2 )2 + ( m 3 )3 (6.4) n ( n 2 )2 + ( m 3 )3 Alltså y = t u = 3 n ( n 2 )2 + ( m 3 )3 3 n ( n 2 )2 + ( m 3 )3 är en lösning till y 3 + my = n. 41
43 Figur 6.1: En kub med längd av t och volym av t 3. kuben kan uppdelas i sex delar: blå kub med volym (t u) 3, röd kub med volym u 3, en kub under den blåa kuben med volym u(t u) 2, ett högt block i övre främre hörnet med volym u 2 (t u), två plattor med volym tu(t - u). Exempel Reducera ekvationen 2x 3 30x x 350 = 0 Vi har a = 2, b = - 30, c = 162 och d = Vi kan reducera den kubiska ekvationen 2x 3 30x x 350 = 0 genom att ersätta x = y b 3a (Jfr 4.2), vilket ger x = y + 5. Alltså 2(y + 5) 3 30(y + 5) (y + 5) 350 = 0 2y y 2 30y y 40 = 0 y 3 + 6y 20 = 0. 42
44 Exempel Hitta en rot av den kubiska ekvationen 2x 3 30x x 350 = 0 Ur exempel vet vi att 2x 3 30x x 350 = 0 har normalformeln y 3 + 6y = 20 och därmed kan vi använda sats tu = 6 (6.5) och t 3 u 3 = 20 (6.6) Ersätta (6.5) i (6.6), vilket ger t 3 ( 2 t )3 = 20 (6.7) Multiplicera (6.7) med t 3 och formulera sedan med potenslagar, vilket ger (t 3 ) 2 20(t 3 ) 1 8 = 0 abc-formeln ger Vi kan ta den positiva roten t 3 = 20 ± t = (6.8) Ersätta (6.8) i (6.6), vilket ger Alltså y = t u = 3 u = = 2 är en lösning till y 3 + 6y = 20. Direkt ur regeln i sats kan vi få alltså y = 2 av denna normalformel. Eftersom x = y + 5 ur exempel (6.0.2), så x = = 7 är en reell rot av 2x 3 30x x 350 = 0. För att få alla andra rötter av den kubiska ekvationen 2x 3 30x x 350 = 0 kan vi använda faktorsatsen eller faktoriserings formel. Låt oss börja med några satser för att nå dessa viktiga formler. 43
45 Sats Divisonsalgoritmen: Om p(x) och q(x) är polynom i x då finns det polynom k(x) och r(x), sådana att p(x) = q(x)k(x)+r(x), där r(x) har lägre gradtal än q(x). Bevis. Man behöver inte bevisa denna sats, som ligger till grund för en praktisk metod att dividera polynom. Sats Algebrans fundamentalsats: Varje polynom p(x) av positiv grad med komplexa koefficienter, har ett nollställe α C, dvs p(α) = 0. Bevis. Vi har sett att detta är sant för lineära, kvadratiska och kubiska polynom. Eftersom man saknar formler för ekvationslösning i allmänhet sker beviset ej igenom att man hittar rötter som i dessa fall, utan indirekt. Den förste som bevisade det (Carl Friedrich Gauss ) älskade satsen så mycket att han gjorde många olika bevis - det längsta tar ca 30 sidor, och det kortaste, med ett mer avancerat maskineri. Sats Faktorsatsen: Antag att p(x) är ett polynom, och att α C. Dela p(x) med x α: Då är resten p(x) = (x α)k(x) + r. r = p(α) Speciellt delar x α polynomet p(x) (dvs r = 0) om och endast om α är ett nollställe: p(α) = 0 Bevis. Ur sats vet vi att p(x) = (x α)k(x) + r(x), för några polynom k(x) och r(x), så att r(x) har lägre gradtal än (x α) = 1. Det följer att r(x) är en konstant r. Sätt sedan (x = α), p(α) = (α α)k(α) + r = 0 k(α) + r = r, och vi har identifierat resten. Att (x α) delar p(x) är detsamma som att säga att resten vid division är r = 0, och detta är alltså sant om och endast om p(α) = 0. 44
46 I själva verket finns det också en formel som spelar en central roll i faktorisering. Denna formel kan fungera med alla fall av koefficienter och alla typer av kubiska ekvationer med ett krav att ha en reell rot x = α: Sats Faktoriseringsformel: Om ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, där a, b, c, d R, då ger faktoriseringen (x α)(ax 2 + bx + c) = 0 Om vi nu har ett polynom p(x) av grad 3, så ser vi alltså från algebrans fundamentalsats att det föreligger ett nollställe p(α 1 ) = 0. Med faktorsatsen eller faktoriserings formel vet vi då att p(x) = (x α 1 )k 1 (x), där k 1 (x) är ett kvadratiskt polynom. Även k 1(x) har ett nollställe k 1 (α 2 ) = 0, så k 1 (x) = (x α 2 )k 2 (x), där k 2 (x) är ett lineärt polynom. Och även k 2 (x) har ett nollställe k 2 (α 3 ) = 0, så k 2 (x) = (x α 3 )k 3 (x), där k 3 (x) = k är en konstant. Sätter vi ihop allt detta får vi att p(x) = (x α 1 )k 1 (x) = (x α 1 )(x α 2 )k 2 (x) = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 )k, där graden sjönk med 1 för varje division, och att vi har lika många lineära faktorer i produkten som graden av polynomet vi startade med. På samma sätt får vi i allmänhet: Sats Till varje polynom p(x) av grad n med komplexa koefficienter finns det α 1, α 2,..., α n C, och k C, så att p(x) = k(x α 1 )(x α 2 )...(x α n ), för varje i = 1,...n gäller att p(α i ) = 0. Nu kan vi tydligt se sambandet mellan koefficienter och rötter. Antag att vi har ett kvadratiskt polynom x 2 + ax + b. Ur fundamentalsatsen vet vi att 45
47 det kan faktoriseras som x 2 + ax + b = (x α 1 )(x α 2 ), där α 1 och α 2 är polynomets nollställen. Om vi multiplicerar ut högerledet här, får vi och alltså har vi att och x 2 + ax + b = x 2 (α 1 + α 2 )x + (α 1 α 2 ), a = (α 1 + α 2 ) b = (α 1 α 2 ). Direkt från polynomet kan vi alltså läsa av vad summan av rötterna är, liksom deras produkt! Sats Sambandet mellan koefficienter och rötter: Låt ha x 3 + ax 2 + bx + c = 0. Om α 1, α 2, α 3 tre tal som uppfyller att α 1 + α 2 + α 3 = a och α 1 α 2 α 3 = c, då är α 1, α 2 och α 3 rötter av ekvationen. Exempel Hitta alla rötter av den kubiska ekvationen 2x 3 30x x 350 = 0 Ur exempel har vi en reell rot x 1 = 7. Vi kan använda faktorsatsen för att hitta alla andra rötter. 2x 2 16x + 50 x 7 ) 2x 3 30x x 350 2x x 2 16x x 16x 2 112x Alltså faktorsatsen ger 50x x x 3 30x x 350 = (x 7)(2x 2 16x + 50), där resten är noll. Nu kan vi använda abc-formeln/ pq-formeln för att få rötter av kvoten k(x), alltså rötter av den kvadratiska ekvationen 2x 2 16x + 50, där a = 2, b = - 16 och c = 50 x = b ± b 2 4ac 2a 46
48 x 2 = 4 + 3i x 3 = 4 3i Alltså har den kubiska ekvationen 2x 3 30x x 350 = 0 tre rötter x 1 = 7, x 2 = 4 + 3i och x 3 = 4 3i. Exempel Hitta alla rötter av den kubiska ekvationen x 3 + 7, 9x 2 + (1, 3) 2 x (2, 1) 3 = 0 (6.9) Ur exemplet i 3 har vi en reell rot x 1 = 0, 933. Vi kan använda faktoriserings formel för att hitta alla andra rötter. 1. Multiplicera (x)(ax 2 ) av formeln (6.0.7) = (1)(x 3 ) av ekvationen (6.9) a = 1 2. Multiplicera ( x 0 )(c) av formeln (6.0.7) = (2, 1) 3 av ekvationen (6.9) c = 9, Sätta värdena a och c i formeln (6.0.7) så att få (x 0, 933)((1)(x 2 ) + bx + 9, 929). 4. Skriva om formeln (6.0.7) i steget (3) så att få x 3 + x 2 (b 0, 9327) + x(9, 929 0, 933b) 9, Få b genom att kombinera båda ekvationer, alltså x 2 (b 0, ) i steget (4) = 7, 9x 2 av ekvationen (6.9). b = 8, Alltså x 3 +7, 9x 2 +(1, 3) 2 x (2, 1) 3 = (x 0, 933)(x 2 +8, 833x+9, 929). 7. Få de reella rötter av kvoten (x 2 + 8, 833x + 9, 929) genom pq-formeln x = p ( 2 ± p 2 )2 q x 2 = 1, 32 x 3 = 7, 51 47
Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs meri=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n
Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merLinnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson
Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består
Läs merKapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merAvd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.
STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.
Läs merMVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser
Läs merDel I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merStudieplanering till Kurs 2b Grön lärobok
Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är
Läs merNpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merPolynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion
Polynom över Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen. Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff. DEFINITION Ett polynom över är ett uttryck av
Läs merKvalificeringstävling den 26 september 2017
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera
Läs merAndragradskurvor. ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0. Trots att ekvationen nu är betydligt mer komplicerad
Andragradskurvor Den allmänna förstagradsekvationen i två variabler kan skrivas: ax + by + c = 0. Lösningsmängden till en given förstagradsekvation ges av en rät linje. Vi ska nu fortsätta och undersöka
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merMa7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
Ma7-Per: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merBlock 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?
Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor
Läs merAndragradsekvationer möter elever under sitt första år på gymnasiet.
Christoph Kirfel Komplettera kvadraten och kuben med bilder Elever som för första gången ställs inför att lösa andragradsekvationer kan få hjälp att förstå kvadratkomplettering med hjälp av väl uttänkta
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs mer