Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler f(, ) över en specifik t i plnet. I en trippenintegrl summers värden v en funktion v tre vriler f(,, z) över ett visst tredimensionellt område i rummet. I en linjeintegrl, som även klls en kurvintegrl, summers värden v en funktion v två vriler f(, ) som funktionen tr på en viss kurv i plnet. En linjeintegrl kn även vr tredimensionell. Då summers värden v en funktion v tre vriler f(,, z) längs en kurv i rummet. En tolkning v linjeintegrl som skisss i näst vsnitt är vilket rete som utförs v ett krftfält i rummet då en prtikel färds genom det längs en viss kurv. Det finns mång olik sorters kurvintegrler. Vi kommer här tt lägg tngdpunkten på den tp som är vnligst i fsiklisk tillämpningr. Då summerr vi värden v ett vektorfält i kurvns tngentriktning, vilket svrr mot eräkning v rete. Värdet v en kurvintegrl estäms lltså v funktionen f(,, z) och v kurvn. Den eräkns som en enkelintegrl, där kurvns prmeterfrmställning ((t),(t),z(t)) sätts in i funktionens vriler f((t),(t),z(t)). Denn insättning ger just funktionens värden på kurvn, och inte utnför den. Funktionens värden utnför kurvn är lltså helt ointressnt för kurvintegrlens värde. 7. Arete,energiochlinjeintegrler En fsiklisk grundprincip är tt retet är krften gånger vägen. Då sfts på "rete" i en specifik fsiklisk mening. En person som knuffr en järvägsvgn utn tt den flttr på sig utför inget fsikliskt rete, men ett ntgligen gnsk stort fsiologiskt rete genom tt pulsen går upp och kroppslig energi förruks i musklerns rete. 7.3 Krftfält Tngdkrftfältet runt en (stor) mss i origo är (,, z) F(,, z) =C ( + + z ) 3 för någon konstnt C, som eror på mssns storlek och vilk enheter vi väljer. Dett krftfält är inte helt relistiskt (även om fsikern låtss som ingenting) eftersom vi i centrum skulle få oändlig krfter. Fältet är en r uppskttning
långt från kroppen, men inte när. På jorden är dett en gnsk r uppskttning, med en viss jordkrktäristisk konstnt C, men så fort mn kommer under jordtn minskr grvittionen, Då hr vi mss på åd sidor, som lnserr vrndr. I jordens centrum är givetvis grvittionen från jorden noll mssns grvittion i ll riktningr lnserr vrndr. Så grvittionen från jorden är miml på jordtn. Den är lägre på åde högre och lägre höjder. Krftfältet etder tt om en (liten) mss plcers i punkten (,, z), så kommer den tt utsätts för krften mf. Alltså: (,, z) Cm. ( + + z ) 3 Det är lltså en krft som är riktd mot origo, t prtikels position är (,, z) och krftens riktning (,, z). Krften ökr tdligen ju närmre origo vi kommer, t då får vi nästn noll i nämnren. I -plnet hr krftfältet följnde utseende:[, ] 3.. -3 - - -. - -. -. -.. 3 -. - - -3 Vektorfältet (, )/( + ) 3. Men vrför hr vi eponenten 3 i nämnren? Jo, grvittionskrften melln två prtiklr vtr som kvdrten på vståndet. Antg, för tt undersök om eponenten 3 är den rätt, tt vi hr prtikeln i punkten (,, ). Då hr vi enligt formel ovn krften (,, ) Cm = Cm ( + + ) 3 3 = Cm. Vi hr lltså det rätt eroendet. Om mn sätter in sfärisk koordinter får vi (,, z) r(cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) Cm = Cm ( + + z ) 3 (r ) 3 = Cm (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ). r Även på dett sätt kn mn se tt krften vtr med kvdrten på vståndet ( r ), t vektorn (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) nger en riktning oeroende v vstånd till origo.
7.4 Vektorfält Ett krftfält är en funktion från R 3 R 3, eller en funktion från R R. Sådn funktioner hr vi redn ehövt som vrielsustiutioner i integrler, men spelr lltså också en roll som krftfält. De följnde vektorfälten är någr v de enklst tänkr, och illustrerr något vd vektorfält kn modeller. 3.7 3.7.. - -3.7 - -.. 3.7 - -3.7 - -.. 3.7 -. -. - - -3.7-3.7 - - Vektorfältet (, ). Vektorfältet (, ). 3.7 3.7.. - -3.7 - -.. 3.7 - -3.7 - -.. 3.7 -. -. - - -3.7-3.7 - - Vektorfältet (, ). Vektorfältet (, ). Vektorfältet (, ) är en rottion eftersom riktningen i punkten (, ) är ortogonl mot en ortsvektor från origo (en sådn är vektorn (, )): (, ) (, ) = =. Två vektorer är som eknt ortogonl om dess sklärprodukt är noll. Det är ett mcket prktiskt räknemässigt villkor på ortogonlitet. Dett vektorfält är lltså en vildning från (, ) till (, ). Denn kn också eskrivs med en mtris. Avildningen sker då från µ till = 3
{mtrismultipliktion} = µ. Mtrisen krktäriserr dett vektorfält, vilket eror på tt det är en linjär vildning. Det är en speciell grupp v vektorfält. Vektorfältet (, ) är en rottion åt ndr hållet i positiv led. Vi hr fortfrnde en rottion om vi ändrr det rdiell eroendet, som snes i de följnde två eemplen: 6. 3.7 3.7.. - -3.7 - -.. 3.7 - -3.7 - -.. 3.7 6. -. -. - - -3.7 - Vektorfältet (,) +. -3.7 - Vektorfältet (, )( + ). 7. Krftkomponent i kurvns tngentriktning Mn kn tänk sig kurvn som ett järnvägsspår och krften drr en järnvägsvgn på spåret. Då kommer r den komponent v krften som är i spårets riktning tt påverk rörelsen. Krft som verkr vinkelrätt mot spåret ger inte upphov till någon rörelse, och därmed inte något rete. En kurv med prmeterfrmställningen r(t) =((t),(t),z(t)) hr som eknt tngentriktningen r (t) =( (t), (t),z (t)) i den punkt som svrr mot prmetervärdet t, nämligen i punkten ((t),(t),z(t)). Normerr vi denn tngentvektor får vi (t) r r (t) (en vektor hr längden om den dividers med sin norm). Sklärprodukten med en enhetsvektor ger längden på komponenten i denn riktningen, så krftkomponenten i järnvägsspårets tngentriktning är r (t) F((t),(t),z(t)) r (t). Dett är en funktion v en vriel (inte fler), nämligen vrieln t. Antg tt vrieln genomlöper ett prmeterintervll [, ]. Båglängden v kurvn är då som eknt r (t) dt nx k= r (t k ) n. Till höger hr vi nttt en Riemnnsumm som konvergerr mot åglängdsintegrlen. Längden v kurvn från t k till t k+ är lltså när r (t k ) n om n är 4
stort. Aretet är som nämnts krften gånger vägen, vilket på en it v kurvn ger r (t) F((t),(t),z(t)) r r (t) dt. (t) {z } {z } vägen krften Här kn vi förkort r (t k ). Genom tt integrer längs hel kurvn får vi hel retet, vilket lltså lir F((t),(t),z(t)) r (t)dt. Dett är den viktigste tpen v kurvintegrl. Här är den skriven med en prmeterfrmställning v kurvn. Den kn också skrivs utn prmeterfrmställning. Om vi kllr kurvn skriver mn F dr = F((t),(t),z(t)) r (t)dt. Storheten dr kn skrivs på fr sätt, vilk givetvis etder smm sk: dr = r (t)dt =( (t), (t),z (t))dt =(d, d, dz). Sklärprodukten F dr är givetvis F((t),(t),z(t)) r (t)dt. 7.6 Orienterde kurvor En kurv är en mängd punkter i plnet given v tre kontinuerligt deriverr funktioner: = {((t), (t), z(t)), t [, ]}. Deriverrheten ehövs för tt tngenten r (t) sk eister. Men i en kurvintegrl ehöver vi en orienterd kurv där genomloppsriktningen är specificerd. Definitionen {((t),(t),z(t)), t [, ]} säger inget om genomloppsriktningen. Dett hr tt gör med tt retet hr omtt tecken om vi genomlöper kurvn i motstt riktning. I en orienterd kurv specificers strtpunkten: = {((t), (t), z(t)), t [, ], t = är strtpunkt}. Dett är konsistent med tt en enkelintegrl ter tecken om intervllgränsern ts: f()d = f()d. Den orienterde kurvn = {((t), (t), z(t)), t [, ], t = är strtpunkt} där genomloppsriktningen är omvänd eteckr vi med. Bi etecknr lltså på följnde sätt: = {((t),(t),z(t)),t [, ],t = är strtpunkt}. Då hr vi F dr = F dr. Denn regel är som nämnts en nödvändighet på grund v tt vi hr definiert kurvintegrlen som enkelintegrlen R F((t),(t),z(t))r (t)dt, t
F dr = = = 7.7 Summor v kurvor F((t),(t),z(t)) r (t)dt F((t),(t),z(t)) r (t)dt F dr. Om vi hr två orienterde kurvor och, där slutpunkten för är smm punkt som strtpunkten för, så kn vi tl om de två kurvorn som en smmnhängnde kurv, vilken rukr eteckns med +. Låt oss nvänd prmeterintervllen [, ] respektive [, c]. Beteckningen + för följt v är nturlig eftersom F dr+ F dr = F((t),(t),z(t)) r (t)dt c + F((t),(t),z(t)) r (t)dt c {slå ihop integrern} = F((t),(t),z(t)) r (t)dt = F dr. + Beteckningen + kn lltså motivers v tt f()d + c f()d = c f()d gäller för enkelintegrler, och tt kurvintegrlen är definierd som en enkelintegrl. 7.8 Tre sätt tt skriv en kurvintegrl Vihrnusetttvåsättttskrivenkurvintegrl: R F dr (utn prmeterfrmställning för ) och R F((t),(t),z(t))r (t)dt (med prmeterfrmställning v ). Det finns ett tredje sätt. Om vi etecknr vektorfältets tre komponenter med P (,, z),q(,, z) och R(,, z), lltså F(,, z)= (P (,, z),q(,, z),r(,, z)) så kn vi utför sklärprodukten F dr F dr = (P (,, z),q(,, z),r(,, z)) (d, d, dz) = P (,, z)d + Q(,, z)d + R(,, z)dz. 6
Dett ger ett tredje skrivsätt för en kurvintegrl ett ndr sätt utn prmeterfrmställning för kurvn: F dr = P (,, z)d + Q(,, z)d + R(,, z)dz. Ett tvådimentionellt vektorfält F(, )= (P (, ), Q(, )) kn etrkts som ett tredimensionellt där z-komponenten är noll, R(, ) =och där P och Q är oeroende v vrieln z. Alltså: F(,, z)= (P (, ),Q(, ), ). Då får vi i integrlen ovn R(, )dz =dz =, så F dr = = F((t),(t),z(t))r (t)dt P (, )d + Q(, )d. Eempel () Beräkn kurvintegrlen R d + d där är kurvn från (, ) till (, ) längs =. Lösning: Vi hr här vektorfältet F(, ) =(, ) som sk integrers på en it v preln =..... -... -... -. Vektorfältet (, ). -. Prel = från (, ) till (, ). Mn kn oserver i figuren tt integrlen orde vr positiv, t vektorfältets riktning i punkter på kurvn tcks h positiv sklärprodukt med en tngent på kurvn om kurvn genomlöps från origo till (, ). Om resulttet är negtivt är det då ett orimligt resultt. Vi nvänder prmeterfrmställningen ((t),(t)) = (t, t ),t [, ], där t =är strtpunkt, för den orienterde kurvn. Vi sk eräkn F dr = F((t),(t)) r (t)dt. 7
Vi får först eräkn integrnden F((t),(t)) r (t). Insättning v prmeterfrmställningen ((t),(t)) = (t, t ) ger F(, ) = F(t, t )) = {sätt in i (, )} = (t t, t )=(t 3,t ). Kurvn ((t),(t)) = (t, t ) hr tngentvektorn ( (t), (t)) = (, t). Så vi får F r (t) = (t 3,t ) (, t) = t 3 + t t =3t 3. Så med gränsern t =och t =får vi följnde tterst enkl enkelintegrl: d + d = 3t 3 dt Svr: R d + d = 3 4. = 3[ t4 4 ] = 3 4. Eempel (3) Beräkn R Lösning: Vi hr här vektorfältet F(, ) =( på en it v preln =. d+d + längs = från (, ) till (, 4). +, + ) som sk integrers. 3.7. - -. -. -.. Vektorfältet ( +, + ). Rät linje från (, ) till (, 4). Dett vektorfält är odefiniert (noll i nämnren) då =. Det är inget prolem eftersom kurvn inte är i närheten v denn linje. Med prmeterfrmställningen r(t) =((t), ((t)) = (t, t) får vi t F(t, t) = ( t +t, t t +t ) -. = ( 3, 3 ).... 3 8
Vi hr tngentvektor r (t) =( (t), ( (t)) = (, ). Integrnden lir F(t, t) r (t) =( 3, 3 ) (, ) = 3 + 4 3 = 3. Svr: R d+d + = 3. d + d + = 3 dt = 3. Eempel 3 (7) Beräkn R (4 )d +( 4 + )d längs = från (, ) till (, ) och linjen =från (, ) till (, ). Lösning: Vi hr vektorfältet F(, ) = ( 4, 4 + ). Låt vr =, med prmeterfrmställning (t, t ) och prmeterintervll [, ] och strtvärde t =, medn är =, med prmeterfrmställning (t, ) och prmeterintervll [, ] och strtvärde t =. 3.. - - -. - - - Vektorfältet ( 4, 4 + ). - Två kurvor som ildr en sluten kurv. På, med prmeterfrmställning (t, t ) får vi, F(, ) = ( 4, 4 + ) = (t 4 t 4,t 4 + t 4 )=(, t 4 ). Vi hr tngent (, t), så F(, ) r (t) = (, t 4 ) (, t) = +4t. 9
Vi får ( 4 )d +( 4 + )d = 4t dt = 4[ t6 6 ] =. På den ndr kurvdelen,, som hr prmeterfrmställning (t, ), får vi, F(, ) = ( 4, 4 + ) = (t 4,t 4 +). Vi hr här tngent (, ) (derivtn v (t, ), komponentvis), så F(, ) r (t) = (t 4,t 4 +) (, ) = t 4. Insättning ger följnde värde v kurvintegrlen på. Oserver tt integrtionsgränsern är omkstde, t vi strtr i t = och slutr i t =. ( 4 )d +( 4 + )d = (t 4 )dt {kst tillk gränsern} = [t t ] = 8. Således: ( 4 )d +( 4 + )d = = + 8 = 8. Svr: R (4 )d +( 4 + )d = 8. ( 4 )d +( 4 + )d + ( 4 )d +( 4 + )d