KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

Relevanta dokument
KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

a) Beräkna arean av triangeln ABC då A= ( 3,2,2), B=(4,3,3) och C=( 5,4,3).

= (x, y) : x 2 +y 2 4, x 0, y (4r2 +1) 3 2

BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)

TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B2/A , arctan x x 2 +1

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

INTEGRALER AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER. Viktiga trigonometriska formler vid beräkning av integraler: (F1) (F2) (F3)

Lösningar till Matematisk analys IV,

Anm 3: Var noga med att läsa och studera kurslitteraturen.

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

Differentialekvationssystem

Repetitionsuppgifter

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1

Om de trigonometriska funktionerna

och kallas ytintegral AREAN AV EN BUKTIG YTA

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Hur simuleras Differential-Algebraiska Ekvationer?

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Föreläsning 19: Fria svängningar I

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

VII. Om de trigonometriska funktionerna

SF1626 Flervariabelanalys

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med r

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2017

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentan , lösningar

Egenvärden och egenvektorer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

INSTUDERINGSUPPGIFTER

Reglerteknik AK, FRT010

uhx, 0L f HxL, u t Hx, 0L ghxl, 0 < x < a

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Ordinära differentialekvationer,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Funktionen som inte är en funktion

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2016

Om exponentialfunktioner och logaritmer

9. Diskreta fouriertransformen (DFT)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Laborationstillfälle 4 Numerisk lösning av ODE

Tentamen: Lösningsförslag

1 Elektromagnetisk induktion

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

KONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

INSTUDERINGSUPPGIFTER

2 Laboration 2. Positionsmätning

Demodulering av digitalt modulerade signaler

Biomekanik, 5 poäng Kinetik Härledda lagar

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

x 1 1/ maximum

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Övningstenta: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016


1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Lektionsblad 9, tis 16/2 2010

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

TENTAMEN Datum: 12 mars 07. Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6A2111 TEN 2 (Matematisk statistik )

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

= 0 genom att införa de nya

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Transkript:

Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en punk på kurvan P = f1 f f3 Omvän en given punk P a1, a, a3 ligger på kurvan * om och endas om de finns = så a a = f, a = f och a = f 1 1 3 3 Man kan ange kurvan * med en vekor ekvaion r = f1 f f3, D eller ekvivalen x f y = f z f 1 3 eller x, y, z = f f f och även koras r = r 1 3 Med andra ord: Vi definierar en kurva i R 3 med hjälp av re reellvärda funkioner av en variabel eller ekvivalen med en vekorfunkion av en variabel Definiionsmängden D är vanligen e inervall på reella axeln DERIVATAN OCH INTEGRAL Derivaan och inegral av en vekorfunkion av en variabel r = f1 f f3 beräknas koordinasvis Derivaan av r = f f f är r = f f f 1 3 1 3 Inegral av r = f1 f f3 är r d = f d, f d, f3 d 1 Exempel: Om r = sin cos5 då är 1 av 1

Kurvor på parameerform derivaan r = cos, sin,5 cos sin inegral r d =,,5 ===================================================== TANGENTEN En vekor som är parallell med angenlinje ill kurvan r = r i punken P = f f f är r = f f f 1 3 1 3 HASTIGHETSVEKTOR, FARTEN OCH ACCELERATIONSVEKTOR Om r = r visar posiion vid iden, för en parikel som rör sig i rymden, då är vekorn r lika med hasighesvekorn v dvs v = r = f 1, f, f 3 Parikelns faren är då v = f 1 + f + f 3 Acceleraionsvekorn = v = r = f f f 1 3 LÄNGDEN AV EN KURVA Lå s beeckna längden av den del av kurvan som ligger mellan punkerna A och B Om kurvans ekvaion är given på paramerisk form i R 3 rumme x = x, y = y och z = z, A B där och A B är värden på som svarar mo punkerna A och B då gäller B A s = [ x + [ z d Om längden av kurvan som svarar mo inervalle [ A, ] där varierar mellan A och B har vi s = [ x u] u] + [ z u] du, sam A s ' = [ x + [ z och differenialen av 1

Kurvor på parameerform ds = [ x + [ z d II Formeln för D rumme for vi genom a beraka z= Allså, om kurvans ekvaion är given på paramerisk form x = x, y = y då gäller B s = [ x d A där AA och BB är värden på som svarar mo punkerna A och B För längden av kurvan som svarar mo inervalle [ A, ] där varierar mellan A och B har vi s = [ x u] u] du, sam A s ' = [ x och differenialen ds = [ x d Anmärkning: Om kurvan i R ges på explici form y = yx då kan vi beraka x = och därför x '= 1 Då får vi den kända formeln från envariabelanalis s = 1+ [ y x] dx ÖVNINGAR Uppgif 1 Vi berakar kurvan r = +, 1+, sin Lå P vara den punk på kurvan som svarar mo = som a Besäm en vekor som är parallell med angenlinje i punken P b Besäm angenlinjens ekvaion i punken P Lösning : a Vi beräknar T = r = 1,, cos Om = har vi en riknings vekor för angenlinjen T P = 1,, 1 b Tangenens ekvaion i punken P =,1, blir då: x 1 y = 1 + z 1 x x1 3 av 1

Kurvor på parameerform Uppgif Lå r = 4sin, 4cos, cos, 4π vara posiionen vid iden, för en parikel som rör sig i rymden Besäm a Hasighesvekorn, acceleraionsvekorn och faren vid iden b För vilka, 4π är faren sörs/ mins Besäm farens sörsa / minsa värde inom definiionsinervalle a Hasighesvekorn v dvs v = r = 4cos, 4sin, sin Faren = r = 16cos + 16sin + sin = 16 + sin Acceleraionsvekorn = a = v = r = f f f = 4sin, 4cos, cos 1 3 b Efersom sin 1 ser vi a farens sörsa värde är 17 om sin = 1 som är uppfylld för följande -värden inom definiionsinervalle = π /, = 3π /, = 5π / och = 7π / 4π : Farens minsa värde är 16 om sin = som är uppfylld för följande -värden inom definiionsinervalle =, = π, = π, = 3π och = 4π 4π : Uppgif 4 En kurva är given som skärningskurvan mellan vå yor x + y + z = 5 och x + y xy = 1 Besäm kurvans ekvaion på parameerform Vi beecknar x = Från andra ekvaionen har vi 1 + y y = 1 y = = 1+, 1 Insäning i försa ekvaionen ger 4 av 1

Kurvor på parameerform z = 5 x y = 5 1 = 4 Svar: r =, 1+, 4 Uppgif 5 En kurva är given som skärningskurvan mellan vå yor: x + y + 4 z = 4och x + 4y = 4 Besäm kurvans ekvaion på parameerform Andra ekvaionen 4 x + y = x 4 som kan skrivas + y = 1har endas vå variabler och 4 beskriver en ellips i R Vi parameriserar ellipsen genom x x = cos, y = sin då gäller + y = 1 4 Från försa ekvaionen har vi då 1 z = 4 x y / 4 z = 4 cos sin 4 dr Uppgif 6 Lå r = x y z Lös differenialekvaion = 5r, r = 1,,3 d, där r = x y z Lå r dr = Vi skriver = 5r och r = 1,,3 på skalärform: d Vi har x y z = 5 x y z och x, y, z = 1,,3 Med andra ord har vi re enkla skalära differenialekvaioner: x = 5x x = 1, y = 5y y =, z = 5z z = 3 Lösningar för var och en ekvaion, får vi ex med den karakerisiska ekvaionen eller med variabelseparaion x 5 = 1e, y 5 =, e z 5 = 3e 5 5 5 5 Härav r = 1e,e,3e = e 1,,3 5 av 1

Kurvor på parameerform 5 Svar: r = e 1,,3 Anmärkning : Om vi inför en ny parameer 5 e = u u och r u = u1,,3 då är >, u > Med andra ord är r u = u1,,3 en sråle hälfen av den räa linjen som går genom origo och har en rikningsvekor 1,,3 Uppgif 7 Beräkna längden av 3D-kurvan på paramerisk form xx = 4cccccccc, yy = 4ssssssss, zz = 3 då 4ππ BB BB ss = [xx ] + [yy ] + [zz ] dddd AA ss = [xx ] + [yy ] + [zz ] dddd = [ 4 sin ] + [4cos ] + [3] dddd = AA Svar: s = ππ 4ππ 16[ ssssss + cccccc ] + 9 4ππ 4ππ dddd = 16 + 9 4ππ dddd = 5 dddd = ππ Uppgif 8 En så kallad asroidkurva beskrivs definieras av 3 3 x = a cos, y = asin, π, a > Besäm asroidens omkres s = 4 π / [ x d 6 av 1

Kurvor på parameerform = 4 = 4 = 4 π / [ 3a cos sin ] + [3a sin π / 4 9a cos sin + 9a π / sin 9a cos sin [sin + cos 4 cos cos d d Noera a sin + cos = 1 sam a sin och cos är i försa kvadranen π / sin π / = 1a cos sin d = 1a = 6a Svar: 6a =================================================== d KURVOR I R EXPLICIT FORM y = f x IMPLICIT FORM F x, y = PARAMETERFORM r = x y Några ofa förekommande elemenära kurvor 1 Cirkeln med radien r=a och cenrum i punken x, kan anges på : y i x = a x + y y IMPLICIT FORM ii x = x + a cos, y = y + asin π PARAMETERFORM iii eller med vå ekvaioner på EXPLICIT FORM som vi får genom a lösa i på y : x x y y + y y = ± a = a x x y y y = y = a ± x x a x x Där och y = y är en ekvaion för övre halvcirkeln + a x x y = y är en ekvaion för nedre halvcirkeln a x x Ellipsen med halvaxlar a,b och cenrum i x, kan kan anges på : y 7 av 1

Kurvor på parameerform x x y y i + = 1 a b IMPLICIT FORM ii x = x + a cos, y = y + bsin π PARAMETERFORM iii eller med vå ekvaioner på EXPLICIT FORM som vi får genom a lösa i på y : y = y x x ± b 1 y = y ± a x x a b a 3 En kurva på explici form y = f x, kan enkel parameriseras genom a välja x =, och därmed y = f Då blir r =, f Uppgif 9 Beskriv med ord och ria kurvan y = 5 4 x 4 y = 5 4 x 4 y 5 + x 4 = 4 Vi ser a varje punk på kurvan saisfierar också cirkelns ekvaion men de beyder ine a varje punk på cirkeln saisfierar kurvans ekvaion; cirkeln kan ha flera punker än kurvan och därmed är kurvan en del av cirkeln x 4 + y 5 = 4 Cirkelns ekvaion leder ill TVÅ explicia ekvaioner y = 5 ± 4 x 4 som svarar mo övre/ nedre halvcirkeln Vår kurva 4,5 och radien y = x är nedre halvcirkeln med cenrum i 5 4 4 r= C4,5 TANGENTLINJE OCH NORMALLINJE I R 4 Lå r = x y En rikningsvekor ill kurvans angenlinje i punken P är T = r ' = x' y' För en normalvekor bland oändlig många ill kurvan r = x y kan vi välja då 8 av 1

Kurvor på parameerform n = y' x' efersom T n = n T Anmärkning: För en given vekor u = a, b kan vi välja på e enkel sä en bland oändlig många normalvekor: n = b, a För dea val blir skalärproduken u n = ab + ab = Uppgif 1 Besäm ekvaioner för angenlinje och normallinje ill kurvan y + 3 = x x i punken 1,3 Vi beecknar 3 x = Då är r =, + kurvans ekvaion på parameersform Vi beräknar r ' = 1, + 3 och r '1 = 1, 5 Vekorn T = r '1 = 1, 5 är parallell med angenlinje i punken 1,3 Tangenlinjens ekvaion blir då x, y = 1,1 + s1, 5 För en normalvekor kan vi använda ex n = 5,1 vekorn T, då blir nt = Vi ändrar plas och ecken i Normallinjens ekvaion är därför x, y = 1,1 + s 5, 1 5 Om en kurva i R är given på IMPLICIT FORM F x, y = kan vi med följande formel n = F x ', Fy ' beräkna en normalrikning ill kurvan i en given punk P 9 av 1

T = F y F Då är ', ' x angenlinje i punken Kurvor på parameerform en vekor bland oändlig många som är parallell med Uppgif 11 a Besäm ekvaioner för angenlinje och normallinje ill ellipsen x + 3y = 7 i punken P,1 b Ange angenlinjens ekvaion på explici form a Den här gången implici form är de enklare a beräkna en normalvekor ill kurvan i punken P Vi skriver ekvaionen på formen F x, y =, dvs x + 3y 7 = och använder formeln n = F x ', F ' y I vår fall är F x, y = x + 3y 7, F x '= x, ' P = 4 F x F y '= 6y, ' P = 6 F y Därför en normalvekor i punken P är n = 4,6, [Vi kan även använda en parallell vekor n =,3 1 ] För en vekor bland oändlig många som är parallell med angenen kan vi ex välja T = 3, Nu har vi: Tangenlinjens ekvaion: x, y =,1 + s 3, Normallinjens ekvaion: x, y =,1 + s,3 Svar: Tangenlinjen: x, y =,1 + s 3, Normallinjen: x, y =,1 + s,3 b För a ange angenlinjens ekvaion x, y =,1 + s 3, på explici form eliminerar vi parameer s ur x = 3s, y = 1+ s x = 3s s = x / 3 Dea insäes i y = 1+ s y = 1+ x / 3 y = 7 / 3 x / 3 Svar b y = 7 / 3 x / 3 1 av 1