Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () och m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr ll ekvioer i (). E löig k vi ge om e rdvekor ( ) eller e kolovekor. m Defiiio. Mägde v ll löigr ill e ekvioem kll eme löigmägd. Vi äger vå em är ekvivle om de hr mm löigmägd. ANTAL LÖSNINGAR. För e lijär ekvioem gäller preci e v följde leriv:. Seme hr preci e löig.. Seme hr oädlig måg löigr. Seme kr löig. ( Seme är ikoie) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får gör följde elemeär operioer med ekvioer u ädr eme löigmägd:. B pl på vå ekvioer. Muliplicer e ekvio med e l. Adder e mulipel v e ekvio ill e ekvio TOTALMATRIS När vi löer e lijär ekvioem () räkr vi ed med eme koefficieer. Vi k kriv ll koefficieer i e ell om vi kllr eme olmri och räk ed med mrie eleme. v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio Tolmri ill () m Om vi iför mrier m m m. A och B m m m m då är olmrie (A B) Amärkig: Mrie A kll ekvioeme koefficiemri. Iälle kriv hel ekvioer räkr vi med rder i olmrie. Vi får gör följde elemeär rdoperioer u ädr eme löigmägd:. B pl på vå rder. Muliplicer e rd med e l. Adder e mulipel v e rd ill e rd GAUSSELIMINATION ( Succeiv elimiio). Med hjälp v elemeär operioer överför vi eme ill e ekvivle em på rppegform (om är ekel ler och eveuell lö). Vi rr med de för ekv. i eme. De för ekv väder vi för elimier i ll ekvioer föruom för ( Om fi ie i de för ekvioe d.v.. om er vi pl med de ekvio där fi. ) Efer för eg får vi följde ekvioem ' ' ' ' m ' ' ' m ' ' ' m ( ) Därefer väder vi dr ekvioe och elimierr på mm ä frå ll dr föruom ekv ( dv vi elimierr frå ekv ekv m). De k häd är elimierd efer för eg frå ll ekvioer uom för då går vi direk ill. v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio All eveuell kriver vi läg ed i eme. A vi får eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer och därför k förumm. A) Får vi ågo gåg e ekvio v p där ( e ) hr eme INGEN LÖSNING. (Självklr ehöver vi i de fll ie gör fler räkeoperioer) B) Om flle A ie förekommer är eme lör. Vi foräer ill vi får eme på rpegform: ' ' ' k k ' ' eveuell ' ' läg ed i eme Då löer vi u de ledde vriler. All dr om de fi ågr föruom ledde vrierr fri (fri vriler). Vi hr följde vå fll för (koie) lör em: B. PRECIS EN LÖSNING om eme är koie (lör) me hr ig fri vriler. B. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om eme är koie (lör) och hr mi e fri vriler. Amärkig: Vi iför e prmeer för vriel om vrierr fri. Vi k uför Guelimiio med hjälp v eme olmri geom överför olmri ill rppegform Eempel på rppegform: 8 E olmri hr rppegform om Eveuell ollrder är läg ed E e (ledde e) är de för icke-oll eleme i vrje rd om ie eår er v ollor. De ledde eor år lägre ill höger ju lägre ed vi läer - Ledde eor vrr mo ledde vriler om de år i för dele v olmrie. v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio - Vi iför e prmeer för vrje vriel om ie hr ledde e ( för vrje vriel om vrierr fri). A) INGEN LÖSNING om e ledde e år i dr dele v olmrie på rppegform. Eempel för ige löig (e ledde e i dr dele v olmrie ) Movrde em: B) Om flle A ie förekommer då är eme lör: B. PRECIS EN LÖSNING om eme är koie (lör) me ig fri vriler. 9 8 Eempel för preci e löig re ledde eor och re vriler (ig fri vriler). Lägg märke ill e ollrd ie eder uomik oädlig måg löigr u e ekvio är e lijär komiio v dr!!! Movrde em: 9 8 (Amärkig Vi upprepr i ekvioe eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer och därför k förumm.) B. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om eme är koie (lör) och mi e fri vriler. 9 8 Eempel för oädlig måg löigr vå ledde eor och re vriler (e fri vriel). Movrde em: 9 8 v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio ÖVNINGAR. ) Lö eme 9 ) Age eme löigmägd.. Löig: ) ( ) ( 9 ekv ek ekv ek Vi hr få rppeg form och löer u de ledde vriler. Vi örjr frå de i ekvioe: och d.v.. Preci e löig: ( d.v.. ig fri vriler) Löigmägde eår v preci e puk (). Vi k äve kriv löigmägde {()}. Svr: ) Preci e löig: ( d.v.. ig fri vriler) ) Löigmägde L iehåller e eleme () Allå L {()} eller löigmägde L } {. ------------------------------------------------------------------------------ Löig med hjälp v eme olmri: 9 ~ ) ( ) ( rd rd rd rd rppegform När vi får rppegform kriver vi movrdeekvio em Härv v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio Svr: ) Preci e löig: ( d.v.. ig fri vriler) ) Löigmägde {()}.. ) Lö eme ) Age eme löigmägd. Löig: Svr: Seme hr ige löig. ------------------------------------------------------------------------ Löig med hjälp v eme olmri: ~ (rppegform) Ige löig eferom e ledde e fi i dr dele v olmrie. Svr: ) Seme hr ige löig. ) Löigmägde (" de omm mägde").. ) Lö eme 8 ) Age eme löigmägd. Löig: 8 Svr: Oädlig måg löigr: där och är godcklig l. Vi k eeck och och ekriv löige med hjälp v vå prmerr: där är godcklig l. ------------------------------------------------------------------------ Löig med hjälp v eme olmri: 8 ~ ( rppegform) v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio Lör em ( ige ledde e i dr dele). E ledde e me re vriler och. Vi k lö u e vriel ( ledde ). Två dr och vrierr fri. Oädlig måg löigr: Movrde em på rppegform där och är godcklig l. Vi k eeck och och ekriv löige med hjälp v vå prmerr: där är godcklig l Svr: ) Oädlig måg löigr: ) Löigmägde är mägde v ll puker ) ( där är (vilk om hel) reell l. Vi k formell kriv löigmägde { R ) : ( } eller löigmägde } : { R.. Lö följde em med veede på och ) ) c) Löig: ) Ige löig Svr ) Ige löig ) Svr ) Ek e löig. c) där är e godcklig l ( oädlig måg löigr.) v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio Svr c) Oädlig måg löigr.. Lö följde em med veede på och ) ) Löig: ) Svr ) ) Ige löig Svr ) Ige löig. Lö följde em med veede på och för ll värde på prmerr och Löig: ) ( Vi hr följde fll: A) Seme hr ek e löig: B) och dv Seme hr följde form: där. Allå kr eme löig i de fll. B) och dv Seme hr följde form: 8 v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio Vi löer u frå de för ekvioe och får: där är e godcklig l (oädlig måg löigr) eller Svr : A) Seme hr ek e löig:. B) och Seme hr INGEN löig. B) och Seme hr oädlig måg löigr: där ä e godcklig l.. Lö följde em med veede på och för ll värde på prmerr och Löig: ( ) ( ) Vi hr följde fll: A) Seme hr ek e löig: B) och dv Seme hr följde form: där. Allå kr eme löig i de fll. B) och dv 9 v
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio Seme hr följde form: Vi löer u ledde vriler och och får: och där är e godcklig l (oädlig måg löigr) eller där är e godcklig l. Svr : A) Seme hr ek e löig:. B) och Seme hr INGEN löig. B) och Seme hr oädlig måg löigr: där ä e godcklig l. v