Lösningsmanual Endimensionell analys

Lösningsmanual Endimensionell analys Erik Oscar A. Nilsson 06, December Lund

Oscar Omnia mecum porto mea Tillägnas Mina vänner

I Förord Detta är en inociell lösningsmanual för: Övningar - Endimensionell Analys []. Avsikten med denna manual är att er ska klara kursen, att bli bättre på matematik och att få dela med mig av glädjen till ämnet. Jag hoppas att mina tankar och idéer kommer att hjälpa dig som läsare, få en djupare förståelse, ta med dig en stabil grund att stå på och att du har mindre ångest när du hör ordet matte. Hittar du fel eller om du har idéer på förbättringar, tveka inte att mejla mig. Du hjälper inte bara mig utan också kommande studenter. Jag vill också tacka alla mina vänner som har hjälpt mig men manualen och får mig till att vilja bli en bättre människa. Utan att ni har vetat om det så har ni givit mig mer än vad jag någonsin kan ge tillbaka till er, tack. Ett tack också till mina två föräldrar för deras outtröttliga stöd. Erik Oscar A. Nilsson Lunds Universitet, Lund Mars, 06

Introduktion till manualen - VIKTIGT! LÄS DETTA IN- NAN DU BÖRJAR ANVÄNDA PDF:en Tanken med manualen är att den kompletteras av två andra delar, en del som är en blogg och den andra som är en youtube kanal. Varför detta? Då alla inte lär sig på samma sätt och man kan behöva olika typer av hjälp vid olika tidpunkter eller områden ska de olika medierna ge dig just den hjälpen som du behöver. Manualen: den är till för att ge dig den direkta hjälpen när du har fastnat på ett steg eller inte kan komma på just det tricket som behövs. Det är också det hjälpmedlet som påminner mest om en räknestuga och som kan bidra med just det där etra tankarna som kan få dig att komma ihåg hur man skulle lösa problemet nästa gång. Jag har också ifrån gått några konventioner för du ska kunna se beräkningarna tydligare. Ett sådant eempel är multiplikation som markeras med en punkt (te a b, istället för ab) och jag försöker alltid att visa dig som läsare vad jag stryker eller liknande. En annan mycket viktig sak är att jag har lagt in hyperlänkar i hela PDF:en, vilket innebär att när du ser en röd liten sira över ett likhetstecken eller på något annat ställe, d ( ) e ( ) e, kommer detta att skicka dig till en annan del av pdf:en som visar just den satsen, regeln, lagen eller det kapitlet du tryckte på. TESTA! Det är rätt coolt! Jag har också valt att markera slutet på varje uppgift med följande linje och symbol, Jag har gjort alla val för att försöka göra allt så lättläst och lättförståeligt som möjligt, som sagt har du en ide om hur du jag kan förbättra allt så tveka inte att maila mig. Youtube: den kanalen jag har och de videos som jag kommer att lägga där är tänkta att hjälpa dig när du känner att du inte riktigt fattar, eller om du har kanske varit sjuk, eller på något sätt missat en föreläsning eller liknande. Okej.. men det nns ju en miljon andra videokanaler (inte minst de som Jonas Månsson har gjort), hur tänkte du nu? Sant, det nns redan en miljon videos på youtube om just detta, dock tänker jag köra varianter på så kallat ipped classroom videos. Vilket är att jag involverar dig i föreläsningen och gör dialogen mer dynamisk. Det nns inga sådana videos på Youtube för just endimensionell analys, och alltså måste jag göra egna för att få de tre olika delarna att komplettera varandra. Dessutom kan jag lägga till mina egna tankar som student för att skräddarsy upplägget efter era behov och önskemål för just denna kursen. Jag kommer därför att göra så många videos som jag bara orkar med och har tid till, för att just du som student ska kunna hitta din typ av inlärningssätt och att fylla det där sista hålet av videor som inte nns. Alla länkarna till videorna kommer att nnas i pdf:en med en blå färg, precis som den här,de fungerar precis som länkarna som skickar runt dig i pdf:en men med den skillnaden att du hamnar på Youtube. De kommer att ha en annan färg och de kommer att vara tydligt markerade för att göra det så enkelt som möjligt för dig som student! Sjukt coolt! TESTA! II

Blogg: den delen där jag kommer att vara mindre formell. Tanken är att jag ska försöka vara väldigt noggrann och försöka hålla allt på en enklare nivå i manualen och mina videos. Däremot kommer det så klart att nnas små etra delar i manualen och videorna som vänder sig till dem som är mer intresserade. I bloggen kommer jag att länka till ännu er videor från många andra kanaler. Här kommer jag också gå igenom kapitlen mer generellt och också skriva lite längre teter om området och svårare. Dock så ber jag dig att gå in och skumläsa alla inlägg för här kan det nns många bra tankar som inte får plats på de andra två plattformarna. Precis som på mina videor så kommer det att nnas direktlänkar i PDF:en till blogginläggen de har fått en grönfärg precis som den här så att det ska vara enkelt för dig som läsare att hänga med! Coolt coolt coolt! Testa detta också! Slutligen! Du som student kommer att tycka att vissa saker är lätta och andra svårare, och det nns säkert en risk att du missar en föreläsning på grund av en taskig förkylning. Testa dig fram för att hitta vad som funkar för dig, men testa era gånger. Om du fastnar på något, testa alla delarna jag erbjuder och sätt ihop det med annat material, men det viktiga är att testa, testa, testa. Om du gör grovjobbet nu så slipper du få panik när det är tid för tentan och din möjlighet att uppnå ditt mål med kursen ökar. Med risk för att vara tjatig så kan du alltid kontakta mig med alla typ av frågor eller kommentarer! Lycka till. III

Innehållsförteckning Förord Introduktion till manualen - VIKTIGT! LÄS DETTA INNAN DU BÖRJAR ANVÄNDA PDF:en I II 0 Derivator 0. Derivatans denition.............................. 0. Derivata av elementära fuktioner....................... 0. Implicit derivering samt högre derivator.................... 0.4 Lokala etrempunkter och grafritning..................... 0.5 Optimering................................... 8 0.6 Ekvationer och olikheter............................ 0 0.7 Blandade problem................................ 0 Maclaurian- och Taylorutveckling 5. Maclaurinpolynom- och Taylorutveckling på Lagranges form........ 5. Entydighet av Maclaurinutvecklingar..................... 8. Gränsvärden....................................4 Maclaurinserier..................................5 Blandade problem................................ 5 Primitiva funktioner 6. Primitiva.................................... 6. Variabelbyten.................................. 47. Rationella funktioner.............................. 67.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck.................. 75.5 Blandade problem................................ 85 A Formelsamling 88 A. Kapitel 0.................................... 88 A. Kapitel.................................... 88 Referenser 89 Innehållsförteckning för formelsamlingen Kedjereglen för derivata............................ 88 Vanligaste deriverade funktioner........................ 88 Deriveringsregler för trigonometriska funktioner................ 88 4 Deriveringsregel för inverterad funktion.................... 89 5 Produkt reglen för derivator.......................... 89 6 Kvot reglen för derivator............................ 89 7 Lineär och skalär egenskap hos derivata.................... 89 8 Generaliserad eponent regeln för derivatan................. 89 9 Partial integration............................... 89

0 Dubbla viklen, sin................................ 89 Dubbla vinklen, cos............................... 90 Tangens hyperbolicus halv-vinkel substition, Weierstrass substitution... 90 Tangens hyperbolicus halv-vinkel substition................. 90 4 Om integralen inehåller a sätt då.................... 90 5 Om integralen inehåller a + sätt då.................... 90 6 Om integralen inehåller a sätt då.................... 90

0 DERIVATOR 0 Derivator 0. Derivatans denition Uppgift 0. a) lim h 0 ( + h) h d) lim h 0 (a + h) a h c) Hur man man tolka gränsvärden som derivata? Uppgift 0. a) Använd derivatans def f() b) Använd derivatans def f() c) Använd derivatans def f() e d) Använd derivatans def f() ln() Uppgift 0. Finns redan lösning i boken. Erik Oscar A. Nilsson

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR Uppgift 0.4 a) b) c) d) e) Uppgift 0.5 Lösningen nns i boken. Uppgift 0.6 Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan a) y cos() i π/6 b) y ln() i Uppgift 0.7 0. Derivata av elementära fuktioner Uppgift 0.8 a) d ( e sin() ) e cos(). b) d (ln() + arctan()) + + + + ( + ) + + ( + ). Erik Oscar A. Nilsson

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR c) d ( ) arcsin() + ( + ) 7 + 7( + )6 4 4 + 4( + )6. d) d (tan(π) + cos(π/)) π cos () π sin(π/) π cos () π sin(π/). e) d ( ). f) ( d ) d ( ) ( ). g) ( ) d ( () / ) /. Erik Oscar A. Nilsson

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR Uppgift 0.9 a) d ( e sin() ) e sin() + e cos(). b) d ( e ( + ) ) e ( + ) + e ( + ) ( + ) e ( + )( + + ) ( + )e. c) ( ) d + ( + ) ( + ) ( + ). d) ( ) d + 4 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (( + ) ) ( + )(4 ( + )) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + )( + ) + ( + ). e) ( d ln() e ) ln()e e (e ) e (ln() /) e e Erik Oscar A. Nilsson 4

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR e (ln() /) e e ln() / e. f) d ( ln ) ln + ln. Uppgift 0.0 a) d ( ln( + ) ) + +. b) d ( ) (ln()) (ln()) ln(). c) d ( e ) e d) d ( ) e / ( ) e / e /. Erik Oscar A. Nilsson 5

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR e) d ( ) sin( ) / cos( ) cos( ) f) d ( sin () ) d ( (sin()) ) cos() (sin()) cos() sin (). g) d ( tan () ) d ( (tan()) ) cos () (tan()) tan() cos (). h) ( ( )) d arctan ( ) + ( + ) ( + ) ( + ). Erik Oscar A. Nilsson 6

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR i) d ( ) arcsin( ) ( ). / Uppgift 0. a) d (arcsin(e )) (e ) e e e. b) d ( ) e arcsin() earcsin() earcsin(). c) d ( ) ( ) ( ). d) ( ) d ( ( ) / ) ( ) ( ) /. Erik Oscar A. Nilsson 7

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR e) d ( ( ) ) + / ( + ) /. f) ( ( )) d arcsin ( ) ( ). Uppgift 0. a) d ( ln( + ( ) ) + ) + + + + + + + + + + ( ) + + ( + ) ( ) + + ( ) + + ( + ) +. + + b) ( ( )) d ln + + + ( + ) + + + + + + Erik Oscar A. Nilsson 8

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + + ( + ) +. c) d (ln ln ) ln ln. Uppgift 0. a) d ( ) d ( ) e ln( ) ( ) e ln() d ln()e ln() ln(). b) d (0 ) d ( ) e ln(0 ) ( ) e ln(0) d ln(0)e ln(0) ln(0)0. Erik Oscar A. Nilsson 9

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR c) d ( ) + d ( e ) ln() + e ln() ( ln() + ) e ln() + ( ln() ) e ln() ( ln() + ) e ln() ( ln() + ) e ln() ( ln() + ) ( ln() + ) d) d ( ) d ( ) e ln( ) ( ) e ln() d ( + ln() ( + ln()) e ln() + ln(). ) e ln() e) d ( (ln()) ) d ( ln() ln() ) ln() ln() (ln() ( (ln() ) ln() ( ln(ln()) ln() ) ln(). ln(ln()) + )) ln() Uppgift 0.4 Ge eempel på fuktioner F() vars derivata är lika med. Erik Oscar A. Nilsson 0

0. Derivata av elementära fuktioner 0 DERIVATOR a) e e + C. Vi sätter nu C 0, och får därav e. Är en sådan funktion F. b) cos() sin() + C. Vi sätter nu C 0, och får därav sin(). Är en sådan funktion F. c) sin() cos() + C. Vi sätter nu C 0, och får därav cos(). Är en sådan funktion F. d) + C. Vi sätter nu C 0, och får därav. Är en sådan funktion F. e) + + + C. Vi sätter nu C 0, och får därav +. Är en sådan funktion F. f) + C + C. Vi sätter nu C 0, och får därav. Är en sådan funktion F. Erik Oscar A. Nilsson

0. Implicit derivering samt högre derivator 0 DERIVATOR g) e e + C. Vi sätter nu C 0, och får därav e. Är en sådan funktion F. h) ln() t ln() t t + C ln () + C. Vi sätter nu C 0, och får därav ln (). Är en sådan funktion F. i) Finns era med tanke på att man kan välja en kontant till vad man vill. Uppgift 0.5 a) b) 0. Implicit derivering samt högre derivator Uppgift 0.6 Finns redan lösning i boken. Uppgift 0.7 Erik Oscar A. Nilsson

0.4 Lokala etrempunkter och grafritning 0 DERIVATOR Uppgift 0.8 Uppgift 0.9 Uppgift 0.0 Uppgift 0. Uppgift 0. Uppgift 0. 0.4 Lokala etrempunkter och grafritning Uppgift 0.4 Statio, lok etrempunkter a) f () ( ) d 9 + b) f () d ( ) c) f () d ( e ) d) f () d ( ) ( + sin()) Erik Oscar A. Nilsson

0.4 Lokala etrempunkter och grafritning 0 DERIVATOR e) f () ( ) d Uppgift 0.5 Bestäm alla lokala etremvärden till funktionen i 0.5. Uppgift 0.6 f () d ( ) e / Uppgift 0.7 Rita kurvan a) f () ( ) d 9 + b) f () d ( ) c) f () d ( e ) d) f () d ( + ) Erik Oscar A. Nilsson 4

0.4 Lokala etrempunkter och grafritning 0 DERIVATOR e) f () d e () Uppgift 0.8 Asymptoter a) + b) c) + d) + Uppgift 0.9 e / Uppgift 0.0 a) Erik Oscar A. Nilsson 5

0.4 Lokala etrempunkter och grafritning 0 DERIVATOR b) Uppgift 0. Bestämm alla sneda asymptoter + a) 4 + b) ( ) arctan c) ( + ) d) e) + e) () Uppgift 0. Erik Oscar A. Nilsson 6

0.4 Lokala etrempunkter och grafritning 0 DERIVATOR a) ( + ) b) + c) + d) Uppgift 0. a) arctan() b) ln() c) + arctan() d) sin() + cos() Erik Oscar A. Nilsson 7

e) f() ln() + ( ln()), 0 <. 0.5 Optimering 0 DERIVATOR 0.5 Optimering Uppgift 0.4 min och ma på I. a) Lösning nns i boken. b) f() 6 I [0, ] c) f() e I [0, ] Uppgift 0.5 Lösningen nns. Uppgift 0.6 Lösning nns i boken. Uppgift 0.7 lok etrem. min ma a) f() 4 e R b) f() ln(), > 0, c) f() e +, R d) f() + + + arctan(), R Uppgift 0.8 Ange värdemängderna till funktionerna i 0.4. Uppgift 0.9 Erik Oscar A. Nilsson 8

0.5 Optimering 0 DERIVATOR Ange värdemängderna till funktionerna i 0.6. Uppgift 0.40 Uppgift 0.4 Uppgift 0.4 Uppgift 0.4 Uppgift 0.44 Uppgift 0.45 Uppgift 0.46 Uppgift 0.47 Uppgift 0.48 Uppgift 0.49 Uppgift 0.50 Uppgift 0.5 Erik Oscar A. Nilsson 9

0.6 Ekvationer och olikheter 0 DERIVATOR 0.6 Ekvationer och olikheter Uppgift 0.5 Uppgift 0.5 Uppgift 0.54 Vi olikheten a) ln() fr > 0 b) e > + fr 0 c) ln( + 4) > arctan() fr > 0 d) ln( + ) fr > 0 e) ln() fr 0.7 Blandade problem Uppgift 0.55 Uppgift 0.56 Uppgift 0.57 Uppgift 0.58 Uppgift 0.59 Uppgift 0.60 Erik Oscar A. Nilsson 0

0.7 Blandade problem 0 DERIVATOR Uppgift 0.6 Uppgift 0.6 Uppgift 0.6 Uppgift 0.64 Uppgift 0.65 Uppgift 0.66 Uppgift 0.67 Uppgift 0.68 Uppgift 0.69 Uppgift 0.70 Uppgift 0.7 Uppgift 0.7 Uppgift 0.7 Derivera följande funktioner. Erik Oscar A. Nilsson

0.7 Blandade problem 0 DERIVATOR a) ( ) d + ( + ) ( + 0) ( + ). b) d ( ) ( + ) e /(+) e /(+) ( + ) e /(+) e /(+) e /(+) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) e /(+) ( + ). c) ( ) d + 4 + + 0 4 + + 0 ( + ) (8 + ) 4 + + 0 4 + + 0 4 + + 0 4 + + 0 4 + + 0 ( + )(8 + ) 4 + + 0 8 + 4 + 0 ( + )(8 + ) 4 + + 0 4 + + 0 8 + 4 + 0 (6 + 40 + 6) 4 + + 0 8 4 6 4 + + 0 + + 8 4 + + 0 Erik Oscar A. Nilsson

0.7 Blandade problem 0 DERIVATOR ( + )( + ) 8 4 + + 0. d) Uppgift 0.74 d ( ( + ) ) + + + ( + ) + + + ( + ) / + + + + + + 4 +. a) d (A cos(ω + δ)) A sin(ω + δ) ω Aω sin(ω + δ). b) d ( e sin() ) e ( ) sin() + e cos() e (cos() sin()). c) d ( ) e sin() e sin() cos(). d) d ( + tan()) + cos () Erik Oscar A. Nilsson

0.7 Blandade problem 0 DERIVATOR cos () + cos () cos () + sin () + cos () cos () sin () cos () tan (). e) d ( ) cot( ) sin ( ) sin (). f) d ( sin 5 () ) d ( (sin()) 5 ) 5 (sin()) 4 cos() 5 cos() sin 4 (). g) d ( tan () ) d ( (tan()) ) (tan()) tan () cos (). cos () h) d (sin(cos())) cos(cos()) sin() sin() cos(cos()). Erik Oscar A. Nilsson 4

MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING Uppgift 0.75 Uppgift 0.76 Uppgift 0.77 Uppgift 0.78 Uppgift 0.79 Uppgift 0.80 Uppgift 0.8 lol lol Maclaurian- och Taylorutveckling. Maclaurinpolynom- och Taylorutveckling på Lagranges form Uppgift. a) b) c) Uppgift. a) b) c) d) Uppgift. Erik Oscar A. Nilsson 5

. Maclaurinpolynom- och Taylorutveckling MACLAURIAN- på Lagranges OCHform TAYLORUTVECKLING a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Uppgift.4 a) b) c) Uppgift.5 a) b) c) d) Uppgift.6 Visa att e 6 4 4 5 40 om. Uppgift.7 Erik Oscar A. Nilsson 6

. Maclaurinpolynom- och Taylorutveckling MACLAURIAN- på Lagranges OCHform TAYLORUTVECKLING Visa att ln( + ) + 8 om /. Uppgift.8 arctan() felet mindre än 0.00 om leq0.. Uppgift.9 Visa att Uppgift.0 tan() om π/4. Visa att e + e 4 6 om Uppgift. Visa att sin() + 6 4 0 om Uppgift. Visa att e + 4 för alla. Uppgift. a) av ln( ) ange p4 b) ma error för p4 Erik Oscar A. Nilsson 7

. Entydighet av Maclaurinutvecklingar MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING. Entydighet av Maclaurinutvecklingar Uppgift.4 Fin maclaurian av ordning av följande funktioner. Ange resttermen som n B() med lämpligt n och B() beränsad i en omgivning av 0. a) d ( ) e b) d ( ) e c) d (cos( ) ) d) d ( ln( + ) ) e) d ( ln( ) ) Uppgift.5 Finn maclaurian av ordning av följande funktioner. Ange resttermen som n B() med lämpligt n och B() begränsad i en omgivning av 0. Erik Oscar A. Nilsson 8

. Entydighet av Maclaurinutvecklingar MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING a) d ( ) + b) ( ) d + c) d ( ) ( + ) / d) d e) d ( ( + ) /) Uppgift.6 Finn maclaurian av ordning 4 av följande funktionerna i.6-.8. Ange resttermen som n B() med lämpligt n och B() beränsad i en omgivning av 0. a) Lsöning nns redan i boken. Erik Oscar A. Nilsson 9

. Entydighet av Maclaurinutvecklingar MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING b) d ( sin()) c) d ((cos() )) Uppgift.7 a) d ( ) e cos() b) d (sin() arctan()) c) d (ln( + cos())) Uppgift.8 a) d ( ) e sin() Erik Oscar A. Nilsson 0

. Gränsvärden MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING b) d ( ) e cos() Uppgift.9 9. Gränsvärden Uppgift.0 lim 0 cos() ln( + ) Uppgift. a) lim 0 e b) lim 0 sin() Uppgift. a) lim 0 cos() e sin() Erik Oscar A. Nilsson

. Gränsvärden MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING b) lim 0 + ln( ) c) lim 0 sin() arctan() (cos() ) Uppgift. a) lim 0 ( + ) / e b) ( lim + sin () ) / 0 Uppgift.4 a) lim ( ) ln() b) lim ( ) + Uppgift.5 Uppgift.6 Erik Oscar A. Nilsson

.4 Maclaurinserier MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING Uppgift.7 Uppgift.8 Uppgift.9.4 Maclaurinserier Uppgift.0 Lösning nns i boken. Uppgift. ange summan av följande serier a) n0 n n! b) k ( ) k k c) ( ) k πk (k)! k0 d) k0 ( ) k π k+ 6 k+ (k + )! Erik Oscar A. Nilsson

.4 Maclaurinserier MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING e) k ( ) k k Uppgift. Ange summan av serien a) k0 k k! b) k ( ) k k k Uppgift. a) n, a, f() + b) n, a, f() e c) n, a, f() d) n, a0, f() tan() e) n, a-, f() arctan() Erik Oscar A. Nilsson 4

.5 Blandade problem MACLAURIAN- OCH TAYLORUTVECKLING.5 Blandade problem Uppgift.4 Uppgift.5 Uppgift.6 Uppgift.7 Uppgift.8 Uppgift.9 Uppgift.40 Uppgift.4 Uppgift.4 Uppgift.4 Erik Oscar A. Nilsson 5

PRIMITIVA FUNKTIONER Primitiva funktioner. Primitiva Uppgift. a) 4 4+ 4 + + C 5 5 + C. b) ln() + C. c) e e + C. d) cos() sin() + C. e) sin() cos() + C. f) tan() + C. cos () g) sin cot() + C. () Erik Oscar A. Nilsson 6

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER h) + arctan() + C. i) arcsin() + C. j) + a + ( a) ( ) log + a + + C. Uppgift. a) + + + C 4 4 + C. b) + + + C + C + C. Erik Oscar A. Nilsson 7

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER c) / /(/) /+ + C / / + C + C. d) / /(5/) /+ + C 5/ 5 5 + C + C. e) / /(/) /+ + C + C. f) / /( /) /+ + C / + C + C. Erik Oscar A. Nilsson 8

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift. a) ln() + C ln() I det sista steget så väljer vi konstanten C till att vara lika med noll, C0. b) t t ln(t) + C ln( ) + C ln( ). c) t t ln(t) + C ln( ) + C ln( ). d) + t + t Erik Oscar A. Nilsson 9

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER ln(t) + C ln( + ) + C ln( + ). e) + t + t / ln(t) + C ln( + ) + C ln( + ). f) t t / ln(t) + C ln( + ) + C ln( + ). g) / + + C + C Erik Oscar A. Nilsson 40

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER + C. h) ( ) t t t t + + C ( ) + C ( ) + C ( ). i) ( ) t t t ( )( ) t + + C ( ) + C ( ) + C ( ). Erik Oscar A. Nilsson 4

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER j) ( + ) t + t t t + + C ( + ) + C ( + ) + C +. k) ( + ) t + t / t / t + + C ( + ) + C ( + ) + C ( + ). l) ( ) t Erik Oscar A. Nilsson 4

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift.4 t / t / t + + C /( + ) + C ( ) + C ( ). a) + + + + + + + C 4 4 + + C. b) + + ln() + + + ln() + + C. + + + C c) + / + / /+ / + + /+ / + + C / Erik Oscar A. Nilsson 4 / + C

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER / + C. d) + 5 / + 5/ + 5 / + + + 0 + C. 4/ 5 7/+ 7/ + + C e) ( + ) t + t t t + + C ( + ) + C + + C. f) + + arctan() + C. Uppgift.5 Erik Oscar A. Nilsson 44

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER a) sin() t sin(t) cos(t) + C cos() + C. b) sin ( ) t sin(t) cos(t) + C cos ( ) + C. c) sin( + π ) + t π sin(t) cos(t) + C cos( + π/) + C. d) cos( ) t Erik Oscar A. Nilsson 45

. Primitiva PRIMITIVA FUNKTIONER cos(t) sin(t) + C sin( ) + C. e) cos ( ) t cos(t) sin(t) + C ( ) sin + C. f) e e + C. g) e e + C C e. h) e + e+ + C. Erik Oscar A. Nilsson 46

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER. Variabelbyten Uppgift.6 Frågan är om e, är en primitiv till e. Dett är lättast att kolla genom att derivera funktionen bara och se om det stämmer överrens. ( d e ) e e () Vilket är inte lika med e. e ( + ) e ( + ). Uppgift.7 a) Vi börjar med att observera att derivatan till e, är e. Vilket ger oss e e + C. b) Vi vet nu svaret till frågan men vi ska nu komma fram till samma svar med hjälp av variabelbyte. e t e t Uppgift.8 e t + C e + C. a) e t e t Erik Oscar A. Nilsson 47

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER e t ( e t + c ) e + c e + D. Nu har vi alla alla primitiva och vill vi välja en så kan vi bara välja D 0. b) e t e t 6 et ( e t + c ) 6 e 6 + c 6 e 6 + D. Nu har vi alla alla primitiva och vill vi välja en så kan vi bara välja D 0. c) cos( ) t cos(t) sin(t) + C sin( ) + C. Nu har vi alla alla primitiva och vill vi välja en så kan vi bara välja C 0. d) cos( ) t cos(t) Erik Oscar A. Nilsson 48

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER cos(t) (sin(t) + C) sin( ) sin( ) + C + D. Nu har vi alla alla primitiva och vill vi välja en så kan vi bara välja D 0. e) cos( ) t cos(t) cos(t) (sin(t) + C) sin( ) sin( ) + C + D. Nu har vi alla alla primitiva och vill vi välja en så kan vi bara välja D 0. f) sin( ) t sin(t) sin(t) ( cos(t) + C) cos( ) cos( ) + C + D. Nu har vi alla alla primitiva och vill vi välja en så kan vi bara välja D 0. Erik Oscar A. Nilsson 49

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER g) cos ( ) t sin(t) + C ( ) sin + C. cos(t) Nu har vi alla alla primitiva och vill vi välja en så kan vi bara välja C 0. h) ( + 8) 8 t + 8 t 8 t9 9 + C ( + 8) 9 9 + C. Nu har vi alla alla primitiva och vill vi välja en så kan vi bara välja C 0. Uppgift.9 a) sin () cos() t sin() cos() cos() t t + C (sin()) + C. b) cos() sin () t sin() cos() cos() t t4 4 + C Erik Oscar A. Nilsson 50

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER (sin())4 4 + C. c) sin() cos() t sin() cos() cos() t t + C (sin()) + C. d) cos() sin () cos() sin () t sin() cos() cos() t t t + C t + C. e) cos() sin() cos() sin() t sin() cos() cos() ln(t) + C ln(sin()) + C. t Erik Oscar A. Nilsson 5

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER f) cos() sin() cos() sin() t sin() cos() cos() ln(t) + C ln(sin()) + C. t g) sin() cos() sin() cos() t cos() sin() sin() ln(t) + C ln(cos()) + C. t h) tan() sin() cos() sin() cos() t cos() sin() sin() ln(t) + C ln(cos()) + C. t Uppgift.0 a) + + Erik Oscar A. Nilsson 5

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER t + t ln(t) + C ln( + ) + C. b) + t + ln(t) + C ln( + ) + C. t c) + t + t ln(t) + C ln( + ) + C. d) + t + t ln(t) + C ln( + ) + C. Erik Oscar A. Nilsson 5

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER e) + t + t ln(t) + C ln( + ) + C. f) e e + t e + e e t ln(t) + C ln(e + ) + C. g) e e e + e t e + e e e (e + e ) ln(t) + C ln(e + e ) + C. t h) e + e + e e + C. Uppgift. a) (ln()) t ln() t Erik Oscar A. Nilsson 54

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER t + C (ln()) + C. b) (ln()) t ln() t t + C (ln()) + C. c) (ln()) (ln()) t ln() t t + C (ln()) + C. d) ln() (ln()) t ln() t t + C (ln()) + C. Erik Oscar A. Nilsson 55

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER e) sin(ln()) t ln() cos(t) + C cos(ln()) + C. sin(t) f) ln() t ln() ln(t) + C ln(ln()) + C. t g) ln() ln() t ln() ln(t) + C ln(ln()) + C. t h) sin(ln()) sin(ln()) t ln() cos(t) + C cos(ln()) + C. sin(t) Erik Oscar A. Nilsson 56

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift. a) sin( ) t cos(t) cos( ) + C + C. sin(t) Nu given f(0) 0 så ger det oss cos(0 ) + C 0 Därav får vi att + C 0 C. f() cos( ). b) ( + ) arctan() t arctan() + + ln(t) + C ln(arctan()) + C t lim ln(arctan()) + C 0 Erik Oscar A. Nilsson 57

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER ln(π) + C 0 C ln(π). f() ln(arctan()) ln(π). Uppgift. e (e + 8) 8 t e + 8 e e t 8 t9 9 + C (e + 8) 9 9 + C. Uppgift.4 a) ln() ln() t ln() t ln(t) + C ln(ln()) + C. b) sin() cos() 4/ sin() cos() 4/ t cos() sin() sin() Erik Oscar A. Nilsson 58

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift.5 t4/ t / + C cos() / + C. a) ( + ) 5 t + t 5 t6 + C ( + ) 6 + C. b) sin( t ) sin(t) cos(t) + C cos( ) + C. c) 7 + 5 t 7 + 5 4 4 t/ 4 + C (7 + 5) / 7 (7 + 5) / 7 + C t 4 Erik Oscar A. Nilsson 59

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER (7 + 5) / + C. d) + 5 t + 5 t t + C + 5 + C. e) Gör alla åvanstående integrationer utan variabelbyten. Uppgift.6 a) e + e e + e (e ) + e e (e ) + t e e e t + arctan(t) + C arctan(e ) + C. b) + t + t (t ) t Erik Oscar A. Nilsson 60

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER t t t t / t / t5/ 5 t/ + C t5/ 5 t/ + C ( + )5/ ( + )/ + C. 5 c) + 5 t + 5 t 5 t t 5 t t 5t / t 5 t t/ 5t/ + C t/ 5t / + C ( + 5)/ 5( + 5) / + C. d) + / ( / + ) / t / + t / t / Erik Oscar A. Nilsson 6

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift.7 ln(t) + C ln(/ + ) + C. a) ln() ln() ln() ln() ln() ln() 9. b) e e e e e e + e. c) ln() / ln() / / ln() / ln() / / / / / ln() 4/ 9. Erik Oscar A. Nilsson 6

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER d) arctan() arctan() arctan() arctan() + + t + arctan() t arctan() ln(t) arctan() ln( + ). e) arctan() arctan() arctan() arctan() arctan() + ( + ) + + + arctan() ( arctan()) arctan() + arctan(). f) ln( + ) ln( + ) ln( + ) + Erik Oscar A. Nilsson 6

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER ln( + ) ln( + ) + + + ln( + ) ( ln( + )) ln( + ) + ln( + ). g) ln () ln () ln () ln () ln () ln() ln() ln() ( ln () ln() ln () ln() +. ) h) sin() ( cos()) cos() + ( cos()) cos() ( cos() + sin() ) sin() cos() + sin() ( cos()) cos() + sin() + cos(). Uppgift.8 a) e sin() e sin() e cos() Erik Oscar A. Nilsson 64

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER e sin() ( e cos() e sin() e cos() ) e ( sin()) e sin(). Nu sätt Då får vi, I e sin(). I e sin() e cos() I I e sin() e cos() e sin() (e sin() e cos()). b) e sin() Nu sätt, e sin() e cos() e sin() ( e cos() e sin() 4 e sin() 9 4 I e sin() 4 e sin() 9 4 I ) e sin() e sin(). 4 I I e sin() 6 ( e sin() ) e sin() ( e sin() ) e sin() ( e sin() ) e sin(). Erik Oscar A. Nilsson 65

. Variabelbyten PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift.9 a) + ( + )/ / ( + ) / / + ( + ) 5/ 5/ + 4 5 ( + )5/. b) + 5 + 5 / + 5 + 5 / + 5 + 5 ( + 5)5/ 5/ + 5 ( + 5)5/ 5. Uppgift.0 e t te t te t t e t te t e t e e. Uppgift. Erik Oscar A. Nilsson 66

. Rationella funktioner PRIMITIVA FUNKTIONER a sin( ) sin( ) t t sin(t) tet e t tet et e e. b) e ln( + e ) t + e e e ln(t) ln(t) t ln(t) t t t ln(t) t (e + ) ln( + e ) ( + e ) ( + e )(ln( + e ) ).. Rationella funktioner Uppgift. a) + 4 + + 4 Erik Oscar A. Nilsson 67

. Rationella funktioner PRIMITIVA FUNKTIONER ( ) + + 4 + + + 4 + + 5 + + 5 + + 5 ln( ) + C. b) + 5 + + ( + ) + + + + + + ( + ) 4 + 4( + ) + + 4 + + 4 ln( + ) + C. Uppgift. a) 4 ( )( + ) A + + B 4( + ) 4( ) 4 ln( + ) + ln( ) + C. 4 Erik Oscar A. Nilsson 68

. Rationella funktioner PRIMITIVA FUNKTIONER b) + 4 5 + ( + )( 5) + ( + )( 5) + ( + )( 5) 5 + A + + B 5 5 + + 5 5 + ln( 5) ln( + ) + C. c) 5 7 + 6 + 6 Uppgift.4 a) ( ) 9 A + B ( ) + C ( ) 9 9( ) + ( ) ( ln() ln( ) ) b) + ( + ) ( + ) 5 + ( + ) ( + ) ln(( + ) ) 5 + + C. Erik Oscar A. Nilsson 69

. Rationella funktioner PRIMITIVA FUNKTIONER c) ( ) d) + + Uppgift.5 a) arctan() + C. + b) + t ( ) + t + arctan(t) + C arctan( ) + C. c) ( ) t + t + arctan(/) + C. Erik Oscar A. Nilsson 70

. Rationella funktioner PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift.6 a) 4 + t () + t + arctan(t) + C arctan() + C. b) + 9 t ( ) + t + arctan(t) + C arctan(/) + C. c) + 4 t 4 4 + 4 () + Erik Oscar A. Nilsson 7

. Rationella funktioner PRIMITIVA FUNKTIONER t + arctan(t) + C arctan() + C. d) + 9 9 t 9 ( ) + t + arctan(t) + C arctan(/) + C. Uppgift.7 a) + ( ) + b) + 4 + 5 ( + ) + c) + 5 ( ) + 4 Erik Oscar A. Nilsson 7

. Rationella funktioner PRIMITIVA FUNKTIONER ( ) 4 ( ) + 4 ) 4 + ( d) + 4 + 6 ( + ) + ( ) + + Uppgift.8 a) + + b) + + 4 + 5 c) + + 5 d) + + 4 + 6 Erik Oscar A. Nilsson 7

. Rationella funktioner PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift.9 Uppgift.0 a) ( + )( ) b) 4 c) 5 + + + 0 ( + 4)( + + ) Uppgift. a) 5 + 4 + + b) + 8 + 4 + 4 + 8 c) + 4 + Erik Oscar A. Nilsson 74

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck Uppgift. a) Om vi sätter t tan( ) då < π får vi en funktion som är bijektiv det vill säga inverterbar vilket vi "vet" vilken invers det är, kalla den arctan. t tan( ) arctan(t) arctan(tan( )) arctan(t) arctan(t). Vi använder nu trigonometri för att komma fram till HÄr ska jag sätta in en bild för att visa vad det vi gör, lättast är nog min metod för att inte göra fel på tentan. b) 4 + 5 sin() t tan( ) arctan(t) + t + t + t 4 + 5 t +t + t 4( + t ) + 0t + t + t ( + t ) (t + 5t + ) ( + t ) ( + t ) (t + 5t + ) (t + )(t + ) t + t + ln(t + ) ln(t + ) + C Erik Oscar A. Nilsson 75

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift. ln( tan( )) a) + sin() t tan( ) arctan(t) + t + t + t + t + t +t ( + t ) + t + t + t + t (t + t + ) + t t + t + + t (t + t + ) ( ) ( ) t + + ( ) s + arctan ( ) t + + C ( tan( arctan ) + ) + C. b) Erik Oscar A. Nilsson 76

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER Uppgift.4 a) sin() cos () + cos() + sin() (cos() + ) + sin() (cos() + ) + t cos() + sin() sin() t + ( ) + t t + arctan(t) ( ) cos() arctan. b) sin() cos () sin() cos() cos () sin() cos() cos () cos() sin() cos () t cos() sin() sin() t Erik Oscar A. Nilsson 77

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER t t cos(). c) cos() sin + sin() t sin() cos() cos() t(t + ) t t + ln(t) ln(t + ) ln(cos()) ln(cos() + ) ( ) cos() ln. cos() + d) cos() sin 9 () t sin() cos() cos() t 9 t0 0 sin0 () 0. e) tan () + tan() tan () + tan () + tan() + 6 Erik Oscar A. Nilsson 78

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER tan () + tan () + tan() + 6 tan () tan 6 tan () + tan () + tan() + 6 tan () + tan() + 6 tan () + tan () + tan() + 6 f) sin () + cos () ( ) cos sin () + cos () cos () (tan () + ) t t + tan() cos () cos () ( ( ) ) t + s ds s + t ds arctan(s) ( ) t arctan ( ) tan() arctan. Uppgift.5 a) sin 5 () ( cos () ) sin() Erik Oscar A. Nilsson 79

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER t cos() sin() sin() ( t ) t t + t5 5 + C t t + t5 5 + C cos() cos () + cos5 () 5 + C. b) sin 4 () (sin () ) ( cos() ) ( cos() + cos () ) 4 ( cos() + + cos(4) 4 ) 4 sin() 8 8 sin() 8 + 8 + cos(4) + 8 + cos(4) + C + C. c) ( ) ( ) e 5i e 5i e i e i sin(5) cos() i e 5i i e 5i i + e 5i+i e 5i+i i ( ) ( ) e 4i e 4i e 6i e 6i i i sin(4) Erik Oscar A. Nilsson 80 + sin(6)

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER cos(4) 8 cos(6) + C. d) cos 5 () (cos () ) cos() ( sin () ) cos() t sin() cos() cos() ( t ) t + t 4 t t + t5 5 + C cos() cos () + cos5 () 5 + C. e) sin 4 () cos () sin 4 ()( sin ()) sin 4 () sin 6 () (sin () ) ( sin () ) ( cos() ) ( cos() ) ( 4 cos() + cos() 4 cos () 4 cos() + cos () 4 8 + cos() 8 8 cos() cos () + cos () 8 8 8 ) cos () 8 + cos () 8 Erik Oscar A. Nilsson 8

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER 8 cos() + cos(4) + ( sin ()) cos() 8 8 8 sin() sin(4) ( sin ()) cos() + C + 6 8 sin() sin(4) + C + ( sin ()) cos() 6 8 t sin() cos() cos() sin() sin(4) + C + ( t ) 6 6 sin() 6 sin() 6 sin(4) sin(4) + C + t 8 t 4 + sin() 8 sin () 4 + C. f) e sin() e sin() e sin() e sin() e sin() e cos() e cos() ( e cos() e cos() 4 9 4 Vi sätter nu I e sin(), och vi får då följande. ) e ( sin() e sin(). I e sin() e cos() 4 9 4 I. I + 9 4 I e sin() e cos() 4 I 4 e sin() e cos() 4 Erik Oscar A. Nilsson 8

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER I 4 e sin() e cos() 4 I e sin() e cos(). Därav, e sin() e sin() e cos(). Uppgift.6 + + + t + + + t t( t) t t + ln(t) ln(t ) + C ln( + ) ln( + ) + C. Uppgift.7 Use t Uppgift.8 + ( + ) + a) d ( ( ln + )) + Erik Oscar A. Nilsson 8

.4 Trigonometriska funktioner och rotuttryck PRIMITIVA FUNKTIONER b) Visa att t + då är? c) gör a fast med hjäl av b. Uppgift.9 Use t + + Uppgift.40 (4 + ) + a) + 4 + 5 b) + c) + + 4 + 5 Uppgift.4 a) + b) c) + + Erik Oscar A. Nilsson 84

.5 Blandade problem PRIMITIVA FUNKTIONER.5 Blandade problem Uppgift.4 bestäm den funktionen f som uppfyller f () + 6 ( ) ( + + 5) då Uppgift.4 lim f() 0. + + + Uppgift.44 4 + 4 ( + + 5)( + ) Uppgift.45 a + b ( )( + ) Uppgift.46 4 + 5 cos() Uppgift.47 Erik Oscar A. Nilsson 85

.5 Blandade problem PRIMITIVA FUNKTIONER Bestäm alla primativa funktioner til arcsin() Uppgift.48 + ( + )( ) Uppgift.49 5 + 4 4 Uppgift.50 a) arctan() b) 9 Uppgift.5 a) e sin(e ) b) ( + ) 9 Erik Oscar A. Nilsson 86

.5 Blandade problem PRIMITIVA FUNKTIONER c) cos () d) tan() + tan() e) sin() f) + + Erik Oscar A. Nilsson 87

A FORMELSAMLING A Formelsamling A. Kapitel 0 Formel. : Kedjereglen för derivata f(g()) f (g()) g (). Formel. : Vanligaste deriverade funktioner f() f () Konstant 0 a, då a 0 e a ln() log a () a a e ln(a)a ln(a) Formel. : Deriveringsregler för trigonometriska funktioner. f() sin() cos() tan() arcsin() arccos() arctan() f () cos() sin() cos () + A. Kapitel Erik Oscar A. Nilsson 88

A. Kapitel A FORMELSAMLING Formel. 4: Deriveringsregel för inverterad funktion ( ) d d (f()). f f () Formel. 5: Produkt reglen för derivator d (f()g()) d d (f()) g() + f() (g()). ( d f() g() Formel. 6: Kvot reglen för derivator ) d (f()) g() f() d (g()) (g()). Formel. 7: Lineär och skalär egenskap hos derivata d d (a f() + b g()) a (f()) + b d (g()). Formel. 8: Generaliserad eponent regeln för derivatan d ( ) f() g() d ( ) ( e g() ln(f()) f() g() d (f()) g() f() + ) d (g()) ln(f()) Formel. 9: Partial integration v()u () v()u() v()u() Formel. 0: Dubbla viklen, sin sin () + cos () Something something on the dark side Erik Oscar A. Nilsson 89

REFERENCES REFERENCES Formel. : Dubbla vinklen, cos cos () + cos(θ) Formel. : Tangens hyperbolicus halv-vinkel substition, Weierstrass substitution sin() t + t cos() t + t + t let t tan( ) sinh() Formel. : Tangens hyperbolicus halv-vinkel substition t + t t t, cosh(), tanh() t + t, t. Formel. 4: Om integralen inehåller a sätt då a sin(θ) använd sin () cos () Formel. 5: Om integralen inehåller a + sätt då a tan(θ) använd + tan () sec () Formel. 6: Om integralen inehåller a sätt då a sec(θ) använd sec () tan () References [] Patrik Nordbeck, Jonas Månsson. Övningar - endimensionell analys., (0) Studentlitteratur. Erik Oscar A. Nilsson 90