4 Bj rkfeltbjon Det andra elimineringssteget è3è! è3è, èè svarar enligt samma m nster mot multiplikation fr n v nster med E = I, J 3, E ; som ger

3. Gausseliminering genom matrismultiplikation Vi skall visa att den omformning, som man f r genom att utf ra en basoperation p ett r kneschema, ocks kan f s genom att man multiplicerar r kneschemat fr n v nster med en viss matris E. Detta r ekvivalent med att man transformerar motsvarande ekvation x = b genom att multiplicera den fr n v nster med E, vilket ger Ex = Eb. L t oss f rst se hur detta fungerar f r èboè Exempel 3.. Betrakta ekvationssystemet x +x +3x 3 =6 x +5x + x 3 =9 x +4x,6x 3 =; som vi skriver som ett r kneschema èjbè genom att s tta = @ 3 5 4,6 och b = Det f rsta elimineringssteget, èè! èè, èè, r S tt èjbè= @ 3 j 6 5 j 9 4,6 j! @ 6 9 @ 3 j 6,5 j,3 4,6 j E = I, J = @, ; =èu jb è d r J r en 3=3-matris som har nollor p alla andra platser n è; è, d r den har en etta. D svarar multiplikation med E mot det f rsta elimineringssteget, ty d r enligt distributionslagen E =èi,j è =, J = och p samma s tt E èjbè =èe je bè; E b = b, J b = @ 3 5 4,6 @ 6 9, @ 6, = b @ 3 = U

4 Bj rkfeltbjon Det andra elimineringssteget è3è! è3è, èè svarar enligt samma m nster mot multiplikation fr n v nster med E = I, J 3, E = @ ; som ger èu jb è=, @ 3 j 6,5 j,3,9 j,5 Det tredje, è3è! è3è, èè, svarar i sin tur mot multiplikation med E 3 = I, J 3, E 3 = @ ; och ger èu3 jb 3 è=, @ 3 j 6,5 j,3 j Systemet x = b har nu verf rts p echelonform genom multiplikation fr n v nster med E = E 3 E E. llm nt g ller f r ett system x = b, d r r en m=n-matris, att èboè-operationen multiplikation fr.v. med fèiè! èiè, èkèg motsvarar ; E = I, J ik d r J ik r en m=m-matris som best r av bara nollor utom p platsen èi; kè d r den har en etta. F r èboè har vi sambandet Operationen motsvarar multiplikation fr n v nster med èè E = B @ èiè $ èkè æææ æ æ æ æ æ æ æææ d r èenligt konventionenè ett tomrum st r f r en nolla. Matrisen E r i detta fall en s.k. enkel permutationsmatris, som f s ur en enhetsmatris I s att man i denna l ter raderna èiè och èkè byta plats. F r èbo3è g ller Operationen èiè! èiè svarar mot multiplikation fr n v nster med diagonalmatrisen E = B @ C C èiè èiè èkè ;

Gausseliminering genom multiplikation 5 Exempel 3.. F r tv radiga system har vi t.ex. a b j e c d j f 7 c d j f a b j e c d j f = ; èboè ; a b j e a b j e = ; èbo3è 7c 7d j 7f Det faktum, att èboèèbo3è svarar mot multiplikation èfr.v.è med vissa matriser, kommer att till ta oss att dra l ngtg ende slutsatser. F r att kunna dra dessa slutsatser, m ste vi emellertid utveckla mera grundteori. Matrisinverser F r en basoperation g ller alltid èse Sats.è att en l mplig annan basoperation kan upph va den eekt som den f rsta basoperationen hade. Om n gon basoperation s ledes transformerar systemet x = b till Ex = Eb, s kan dess verkan upph vas genom multiplikation fr n v nster med en ny matris E, som svarar mot den inversa basoperationen E Ex = E Eb Detta system b r nu vara identiskt med det ursprungliga, s att E E = I, vilket leder till f ljande denition Denition 3.. Tv n=n-matriser och B r varandras inverser om B = I och B = I En kvadratisk matris som har en invers s gs vara inverterbar. Exempel 3.3. Vi konstaterar f rst att det nns matriser, som r olika nollmatrisen men som saknar invers. Betrakta t.ex. matrisen a F r varje B = c b d B = = r n mligen dvs. ingen matris B r invers till. a c b d æ æ = æ 6=I; Sats 3.. En kvadratisk matris har h gst en invers. Bevis. Om B och B r inverser till s r B = I och B = I llts r B = BI = BèB è=èbèb = IB = B. í

6 Bj rkfeltbjon F r inversen till en matris skall vi fr n och med nu anv nda beteckningen,. Observera att om B =, s r enligt denitionen = B,, vilket genom ins ttning ger att è, è, =. Detta r den f rsta av r knereglerna i f ljande sats Sats 3.. Om r en inverterbar n=n-matris s r, inverterbar och r inverterbar om dessutom 6=. Under de n mnda antagandena r èiè è, è, = ; èiiè èè, =, è 6= è Om b de och B r inverterbara n=n-matriser, s r B inverterbar och èiiiè èbè, = B,, Bevis. Vi bevisade redan èiè. F r att bevisa èiiè r cker det, p grund av Sats 3., att visa att, r en invers till Eftersom skal ra faktorer kan placeras var som helst i en matrisprodukt r èè, =, = I, èè =, =I F r verieringen av èiiiè r cker det att visa att B,, r en invers till B èbèèb,, è=èbb, è, =, = I; èb,, èèbè =B, è, èb=b, B=Ií Vi har sett att èboè svarar mot multiplikation fr.v. med en matris av formen E = I, J ik èi 6= kè. Eftersom J ik best r av nollor utom p platsen èi; kè, d r den har en etta, inses l tt att Jim ; om k = l, èè J ik J lm = ; om k 6= l. P grund av detta r E, = I + J ik,ty vi har t.ex. att EE, =èi,j ik èèi + J ik è P samma s tt ser man att E, E = I. = I + J ik, J ik, J ik J ik = I Exempel 3.4. Om E = I, 5J r en 3=3-matris, r E = @,5 och E, = @ 5

Gausseliminering genom multiplikation 7 Detta betyder att om man utf r èboè-operationerna èè! èè, 5 èè och èè! èè + 5 èè efter varandra, s f rblir r kneschemat èeller ekvationssystemetè of r- ndrat. Exempel 3.5. Den enkla permutationsmatrisen = r sin egen invers, ty Detta svarar mot att om man utf r èboè-operationen èè $ èè tv g nger p ett r kneschema, s terf r man det ursprungliga r kneschemat. Exempel 3.6. Matrisen E = @ 3 har inversen E, = @ =3 ; vilket r liktydigt med att èbo3è-operationerna èè! 3 èè och èè! èè upph ver 3 varandra. Utr kning av inverser tt best mma inversen X =, till en n=n-matris inneb r att man l ser matrisekvationen X = I. Vi kommer n mligen senare att se, att om en matris X satiserar denna ekvation s satiserar samma X automatiskt ocks ekvationen X = I. P bl.a. detta grundar sig f ljande metod att r kna ut inversen till en matris Vi inf r beteckningar f r kolonnerna i X och I genom att s tta X = èx æææ xnè och I =èe æææ enè. Matrisekvationen X = I kan d skrivas som n ekvationssystem med samma koecientmatris x = e ; x = e ; ; xn = en Dessa kan l sas var och en f r sig med hj lp av r knescheman èje è,, èjenè. Men d det ju r koecientmatrisen, som best mmer vilka basoperationer man anv nder, kommer man att upprepa èn stanè samma kalkyl n g nger. F r att undvika dessa upprepningar anv nder man sig av ett enda sammanslaget r kneschema èje enè=èjiè; d r alla h gerled beaktas samtidigt genom att man skriver dem efter varandra. Om en l sning X existerar, kan detta schema f s i reducerad echelonform med hj lp av basoperationer enligt m nstret èjiè!æææ! èijx æææxnè=èijxè

8 Bj rkfeltbjon L sningen xi till det ite ekvationssystemet nner man d p den plats d r h gerledet bi ursprungligen fanns. Detta inneb r att d det i r kneschemat st r en enhetsmatris I p v nstra sidan om det vertikala strecket, st r inversen X =, p den h gra sidan om strecket. Exempel 3.7. Vi inverterar matrisen med hj lp av f ljande kalkyler BO, j!, j BO3! =,, BO, j! j,=3,=3 BO, j!, j j,=3,=3 j,=3,=3, j,3 j Inversen r allts, =, 3 Exempel 3.8. Matrisen har ingen invers, ty den andra raden blir inkon- 4 sistent j 4 j! j j, LU-faktorisering I exempel 3. har vi genom till mpning av èbo + è f tt ett system p echelonform. Detta svarade mot att ekvationen x = b multiplicerades fr n v nster med E = E 3 E E s att en ny ekvation U 3 x = b 3 uppstod, d r U 3 r en echelonmatris. Nu r ju E = U 3, vilket ger, d vi multiplicerar fr n v nster med L = E, = E, E, E, 3 = LU 3 Hur ser L ut? Inverserna av E, E och E 3 f s p samma s tt som i exempel 3.4 L = @ = @ @ @ @ = @

Gausseliminering genom multiplikation 9 Observera att elementen p platserna è; è, è3; è och è3; è i L r just precis de multipler =,och som vi anv nde i de tre elimineringsstegen d vi subtraherade en multipel av en ekvation fr n en annan. Detta r ingen slump utan vi kan formulera en generell regel. F r att f rtydliga detta skall vi se n rmare p hur produkten L i v rt exempel uppstod P grund av den speciella ordning, i vilken vi eliminerat èf rst i kolonn, sedan i kolonn osv.è, blir enligt formel èè produkter av minst tv faktorer J ik en nollmatris, s att L =èi+j èèi +J 3 èèi +J 3 è=i+j +J 3 +J 3 Detta betyder att matrisen L kan skrivas ut utan att man utf r n gon multiplikation. Talet hamnar alltid p platsen èi; kè i L d man utf r operationen èiè! èiè, èkè Sats 3.3. Om en m=n-matris kan verf ras p echelonform U enbart med hj lp av èbo + è,s kan LU-faktoriseras ienprodukt = LU Om elimineringen skett i normal ordning s att man eliminerat i s kolonner fr n v nster till h ger, kan matrisen L skrivas ut enligt regeln L r en ned t triangul r m=m-matris, s dan att L har ettor i diagonalen; multipeln s tts p plats èi; kè under diagonalen i L om man eliminerat med operationen èiè! èiè, èkè; vriga matriselement r nollor. Om r en n=n-matris och antalet pivotelement i U r precis n, s r U en upp t triangul r matris, vilkens diagonalelement è= pivotelementè alla r olika noll. Vid LU-faktorisering av en matris speler h gerledet ingen roll. Vi skriver d rf r inte ut n got h gerled i r kneschemat. Exempel 3.9. Om man skall LU-faktorisera matrisen = @ 4 5 g r man f ljande kalkyler med hj lp av èbo + è,! @! @ = U; 3 è3è d r de multipler som anv nts i operationerna antecknats under pilarna. T.ex. operationen è3è! è3è, 3 èè ger upphov till talet 3 p plats è3; è i L L = @ 3 Om man numrerar pivotkolonnerna i è= de kolonner som inneh ller pivotelementè fr n v nster till h ger, kan man ocks uttrycka regeln i Sats 3.3 p f ljande s tt D man eliminerar i pivotkolonn nummer k i, skall de anv nda multiplerna skrivas i kolonn nummer k i L.

3 Bj rkfeltbjon Permutationsmatriser Ibland kan en matris inte f s i echelonform enbart med hj lp av èbo + è. Den kan d inte LU-faktoriseras direkt. Detta g ller exempelvis f r matrisen = 3 4 Ett ekvationssystem som svarar mot r t.ex. x = b 3x +4x =b Om man permuterar ekvationerna, dvs. anv nder èboè, blir systemet d remot genast upp t triangul rt. Koecientmatrisen f r det nya systemet blir 3 4 och f s ur genom multiplikation fr n v nster med en permutationsmatris P av det slag som beskrivs i ekvation èè. Denition 3.. En matris, som f s ur en enhetsmatris I genom att man l ter raderna i I byta ordning, kallas en permutationsmatris. En permutationsmatris r enkel och betecknas med P ik om den f s ur I genom att man l ter raderna èiè och èkè i I byta plats èi 6= kè. Notera att P ik = P ki och att P ik r inverterbar och r sin egen invers P, ik = P ik. Vi har sett att multiplikation av en matris fr n v nster med den enkla permutationsmatrisen P ik stadkommer att raderna èiè och èkè i byter plats. N got liknande g ller f r alla permutationsmatriser Exempel 3.. Betrakta t.ex. permutationsmatrisen P = B @ e e 3 e e 4 C ; d r ei betecknar rad i i enhetsmatrisen I 4. Ordningsf ljden p raderna i P kan f s ur den ursprungliga èden som de har i I 4 è med hj lp av en f ljd av enkla permutationer P P 3 3,!,! 3 3 4 4 4 S ledes r P = P 3 P. Om vi nu bildar en produkt P s kommer P att byta om raderna èè och èè i, varefter P 3 byter om raderna èè och è3è i P. Resultatet blir att P yttar om raderna i s att de f r ordningsf ljden èè, è3è, èè, è4è.

Gausseliminering genom multiplikation 3 Eftersom enkla permutationsmatriser r sina egna inverser, g ller dessutom att P r inverterbar och att P, = P P 3. Detta g ller generellt Sats 3.4. L t P vara den permutationsmatris som f s ur I m genom att man ordnar om raderna i ordningsf ljden samt l t vara en m=n-matris. D r èiè P en produkt P = P i j æææp ip j p av enkla permutationsmatriser; èiiè P inverterbar och P, = P ip j p æææp i j ; èiiiè P r likamed den matris som man f r ur genom att skriva s rader iordningsf ljden. Mera om LU-faktorisering Vi har sett att en matris kan LU-faktoriseras om den kan verf ras i echelonform enbart med hj lp av èbo + è. Detta r inte alltid m jligt utan man kan bli tvungen att permutera rader med hj lp av èboè f r att komma till en echelonform. F r att inkludera ocks s dana fall kr vs en ny formulering av satsen om LU-faktorisering. ntag att r en m=n-matris, som èeventuelltè inte kan f s p echelonform enbart med hj lp av èbo + è s att ocks èboè m ste tas till hj lp. D kan man t nka sig att genast i b rjan g ra de radbyten som kommer att beh vas èdvs. bilda en matris P d r P r en permutationsmatrisè f r att i forts ttningen uteslutande anv nda èbo + è, varvid man LU-faktoriserar P. Detta r m jligt f r alla m=n-matriser, ty èbo3è beh vs str ngt taget inte vid omformning till echelonform. D remot beh vs èbo3è nog om man vill f fram en reducerad echelonform. Vi kan allts formulera f ljande sats Sats 3.5. F r varje m=n-matris nns en permutationsmatris P, s dan att P kan LU -faktoriseras P = LU I praktiken beh ver man inte g ra alla radbyten f rst, utan man kan under r kningens g ng modiera sina listor med multipler efter varje radbyte, s att listorna g ller som om radbytet hade gjorts redan i b rjan Exempel 3.. I f ljande sekvens av r knescheman skriver vi f rst ut en prelimin r lista med multipler ènedan med index è, som byts ut mot en ny lista èmed index è s snart operation èboè anv nds. En multipel h r ju ihop med en viss rad, varf r multiplerna b r byta plats p samma s tt som motsvarande rader = @, 4 BO+,! @, 3 3 3 BO,! @, 3 èè è3è = U 3 èè

3 Bj rkfeltbjon Samtidigt har vi noterat att den ursprungliga ordningen èè, èè, è3è p raderna i har omvandlats till èè, è3è, èè i U, vilket ger oss permutationsmatrisen P. Vi har allts att P = LU, d r P = @ och L = @ Denition 3.3. En n=n-matris s gs vara icke-singul r om den med hj lp av èvilka som helstè basoperationer kan f s i en upp t triangul r form U, som inneh ller n pivotelement. Om antalet pivotelement r mindre n n s gs matrisen vara singul r. Exempel 3.. Matrisen = @ 3 6 9 8 8 r icke-singul r, ty echelonformen nedan inneh ller tre pivotelement D remot r matrisen singul r, ty! @ 3 5 4 B! @ 3 5! B = @ 3 6 9 3 9 8! @ 3 4 5 @ 3 5 Nedanst ende ekvivalenser f r en n=n-matris med den motsvarande echelonformen U, r singul r èè èè pivotelementè én èè ekvationen U x = har icke-triviala l sningar èè ekvationen x = har icke-triviala l sningar ; ger en enkel karakterisering av enicke-singul r matris, vilken vi i forts ttningen kommer att beh va i m nga sammanhang r kvadratisk och è3è r icke-singul r èè x = bara om x = Vi kan nu g ra ett till gg till Sats 3.5

Gausseliminering genom multiplikation 33 Sats 3.6. ntag att r kvadratisk och att P = LU r LU -faktoriseringen av P, d r P r en permutationsmatris. Om r icke-singul r, s g ller èiè èiiè Diagonalelementen i U r olika noll; ekvationen x = b har exakt en l sning èf r varje bè. Om r singul r s r n got av diagonalelementen i U en nolla. Bevis. Det sista p st endet och èiè f ljer direkt ur denition 3.3. Ekvationen x = b r ekvivalent med en ekvation av formen U x = b. Eftersom varje kolonn i U inneh ller ett pivotelement om r icke-singul r, s r ingen variabel fri och systemet r konsistent. Bak tsubstitution ger d rf r exakt en l sning. llts g ller èiiè. í LU-faktoriseringen av en kvadratisk matris r osymmetrisk s tillvida att L har ettor i diagonalen medan U inte beh ver ha det som t.ex. i LU-faktoriseringen = @ 4, = @,,3 @,,,4 = LU Detta sk nhetsfel r l tt att korrigera. Vi skriver U som en produkt av en diagonalmatris D och enny upp t triangul r matris U med ettor i diagonalen, U = @,,4 @ = = = DU ; och f r = LDU. En s dan LDU-faktorisering av èeller Pè r alltid m jlig om diagonalelementen i U r olika noll, dvs. om r icke-singul r. Sats 3.7. Om r en icke-singul r kvadratisk matris s nns det en permutationsmatris P och en s kallad LDU-faktorisering P = LDU av P, d r L r en ned t triangul r matris med ettor i diagonalen, D r en diagonalmatris, vilkens diagonalelement r olika noll, U r en upp t triangul r matris med ettor i diagonalen. nv ndningar av LU- och LDU-faktoriseringar Om man samtidigt l ser era ekvationssystem, x = b ; x = b ; ; xp = bp; med samma koecientmatris, kan man g ra som vi gjorde vid invertering av en matris I st llet f r att g ra skilda kalkyler i era r knescheman èjb è,,èjbpè, vilket leder till upprepningar av r kneoperationer, sl r vi ihop dessa till ett enda r kneschema èjbè =èjb bpè;

34 Bj rkfeltbjon genom att skriva h gerleden efter varandra i B =èb bpè. L sningarna till alla dessa system kan sedan l tt skrivas ut d schemat èjbè verf rts i reducerad echelonform. Observera att detta r ekvivalent med att l sa matrisekvationen X = B, d r X =èx xpè èse uppgift 3 i kapitel è. Ovanbeskrivna metod, som r bra vid r kning f r hand, har ol genheten att alla h gerled m ste vara k nda innan man kan p b rja kalkylerna. En annan metod anv nder sig av LU-faktoriseringen = LU av èeller av P = LU av P, varvid h gerleden r P b,, Pbpè. Ekvationen xi = bi kan skrivas LU xi = bi, och denna i sin tur som tv ekvationer è4è Lyi = bi U xi = yi ; èi =;;pè d r man har inf rt en tempor r variabel yi. F rst l ser man x = b och f r LUfaktoriseringen p k pet. Efter det anv nder man sig av è4è, f r i = ;;p, s att man l ser den f rsta ekvationen med r kneschemat èljbiè, vilket ger yi, varefter man l ser den andra ekvationen med r kneschemat èujyiè, vilket ger xi. Det r uppenbart att alla h gerled inte beh ver vara k nda fr n b rjan d man anv nder denna metod, utan nya h gerled kan l ggas till n r som helst èse uppgifterna 3 och è. P grund av att b de L och U r triangul ra, kr vs bara fram t- respektive bak tsubstitutioner vid l sningen, dvs. ett relativt litet antal r kneoperationer. De b da beskrivna metoderna kr ver ungef r lika stor arbetsinsats. Man kan visa att om r en n=n-matris s kr vs i b gge fallen 3 n3 +pn r kneoperationer med de fyra r knes tten. Exempel 3.3. Om vi skall l sa systemen u = b och v = b, d r =, 3 ; b = och b =, st ller vi enligt den f rst beskrivna metoden upp ett gemensamt r kneschema, som verf rs i reducerad echelonform èjb b è=, j, 3 j!æææ!,5 j,,7 j 3 B de u 3 och v 3 r fria, s vi kan s tta u 3 = s och v 3 = t. Med hj lp av den f rsta kolonnen i h gerledet f r vi l sningarna till det f rsta systemet och med hj lp av den andra kolonnen i h gerledet l sningarna till det andra systemet ; u u u 3 =, + 5s = =, s s och v v v 3 =,7 + 5t = = 3, t t

Gausseliminering genom multiplikation 35 Enligt den andra metoden st ller vi upp r kneschemat f r den f rsta ekvationen och kan, d vi har n tt echelonform èmed hj lp av èbo + è och eventuellt èboèè, j 3 j skriva utlu-faktoriseringen = LU =! èè, j ; j, Sedan forts tter vi tills r kneschemat r i reducerad echelonform och kan d skriva ut l sningarna till det f rsta systemet. F r att l sa det andra systemet betraktar vi f rst Ly = b, j, j,, èljb è=! ; och f r att y = j j 3 3 D refter l ser vi U v = y,, j, j 3!,5 j,7 ; j 3 och nner den tidigare n mnda l sningen. Kom ih g att v rt exempel med sm matriser bara visar principen f r hur metoderna fungerar. F rdelarna hos dessa tv metoder blir betydande f rst d systemen r stora ochèeller antalet system stort. Vi skall nu se vilka teoretiska f ljder Sats 3.7 om LDU-faktorisering har. Vi visar f rst att om r en icke-singul r n=n-matris med LDU-faktoriseringen = LDU, s r varje faktor L, D och U inverterbar Faktorn L r en produkt L = E, æææe p, èbo + èèoch r d rmed sj lv inverterbar enligt Sats 3. èiiiè. Faktorn D = @ d d n har inversen D, = av inverterbara faktorer èsom svarar mot @ d, Varje diagonalelement d i r n mligen olik noll enligt Sats 3.6. Den upp t triangul ra matrisen U slutligen, kan verf ras p en reducerad echelonform som r I med hj lp av bak tsubstitutioner èbo, è, dvs. genom att man multiplicerar med inverterbara matriser F j av formen I, J ik F q æææf U = I Om man multiplicera fr n v nster med i tur och ordning F q,,, F,, f r man att U r en produkt av inverterbara faktorer, U = F, æææf q,. llts r ocks U inverterbar. Med hj lp av detta kan vi visa att LDU-faktoriseringar r entydiga d, n

36 Bj rkfeltbjon Sats 3.8. ntag att r en icke-singul r kvadratisk matris och att èeller P, d r P r en permutationsmatrisè har LDU -faktoriseringarna = L D U och = L D U D r L = L, D = D och U = U. Bevis. Ur L D U = L D U f ljer, d man multiplicerar fr n v nster med L, och D, och fr n h ger med U,, att U U, = D, L, L D V nstra ledet r en produkt av tv upp t triangul ra matriser med ettor i diagonalen och har d rf r sj lv samma form èse uppgift 9è medan h gra ledet r en ned t triangul r matris. Detta medf r att b gge leden m ste vara I è5è U U, = I och D, L, L D = I Multiplikation av den f rsta likheten i è5è med U fr n h ger ger att U = U. Genom att multiplicera den andra likheten fr n v nster med D och fr n h ger med D, f s L, L = D D, ; d r v nsterledet r ned t triangul rt med ettor i diagonalen och h gerledet en diagonalmatris. B gge leden m ste d vara en enhetsmatris L, L = I och D D, = I. F ljaktligen r L = L och D = D. í nm rkning. Observera att det i allm nhet nns era olika permutationsmatriser P, s dana att P kan LDU-faktoriseras f r en given icke-singul r matris. Dessa faktoriseringar r olika f r olika P men d P r best mt r faktorerna i LDU-faktoriseringen av P entydiga. En viktig konsekvens av inverterbarheten hos faktorerna L, D och U i en LDUfaktorisering r f ljande sats Sats 3.9. En kvadratisk matris r icke-singul r om och endast om den r inverterbar. Bevis. ntag att r icke-singul r. D nns det en permutationsmatris P och en tillh rande LDU-faktorisering P = LDU. Eftersom permutationsmatriser r inverterbara èsats 3.4è, r = P, LDU ; d r alla faktorer r inverterbara. Enligt Sats 3. èiiiè r d ocks inverterbar. ntag omv nt att r inverterbar. F r att visa att r icke-singul r, antar vi att x r en n gon l sning till ekvationen x =. Genom multiplikation fr n v nster med, f s att x =, = r den enda l sningen. S ledes r en icke-singul r matris enligt è3è. í

Symmetriska matriser Gausseliminering genom multiplikation 37 Denition 3.4. En matris r symmetrisk om T =. Om r av typen m=n s r T avtypen n=m. S ledes m ste vara kvadratisk f r att kunna vara symmetrisk. Dessutom b r a ik = a ki f r varje i och k hos en symmetrisk matris. Sats 3.. Om matrisen r inverterbar, r ocks T inverterbar och è T è, =è, è T Bevis. Om r inverterbar, r dvs. è, è T r inversen till T. í Ur Sats 3. f ljer è T èè, è T =è, è T =I T =I; è, è T è T è=è, è T = I T = I; Sats 3.. Om r inverterbar och symmetrisk s r ocks, symmetrisk. Bevis. Detta g ller eftersom è, è T =è T è, =,. í LDU-faktoriseringen av en symmetrisk, inverterbar matris r speciellt enkel Sats 3.. Om r symmetrisk och inverterbar och kan LDU -faktoriseras, s har faktoriseringen utseendet = LDL T, dvs. U = L T. Bevis. Genom transponering av = LDU f s att = T =èldu è T = U T D T L T = U T DL T ; vilket r en LDU-faktorisering av. Entydigheten hos LDU-faktoriseringar èsats 3.8è ger att U T = L och L T = U. í vrundningsfel. Partiell pivotering D man l ser linj ra ekvationssystem, utf rs ett stort antal r kneoperationer. F r ett system med n ekvationer och n obekanta kr vs ungef r n 3 =3 r kneoperationer f r att f fram l sningen. Vid varje r kneoperation m ste vi r kna med ett avrundningsfel èkoecienterna avrundas kanske till 3 signikanta sirorè och detta p verkar naturligtvis l sningen, som d bara blir approximativ. Ibland kan koecientmatrisen ha en inneboende k nslighet, som g r att en liten ndring av ett matriselement i r kneschemat, ett avrundningsfel, oundvikligen f r stor inverkan p èden approximativaè l sningen. En annan felk lla kan vara att kalkylerna g rs p ett s dant s tt att felen f rstoras i on dan. Vi skall om en stund beskriva en enkel metod att undvika s dana fel, som inte beror p genuin k nslighet. F ljande r ett exempel p en koecientmatris som r genuint k nslig

38 Bj rkfeltbjon Exempel 3.4. v de tv systemen u + v = u+;v = och u + v = u +;v =; med samma koecientmatris, har det f rsta systemet l sningen u =, v =, medan det andra har l sningen u =, v =. Orsaken r helt enkelt att de tv r ta linjerna u + v = æ och u +;v = æ r n stan parallella, varf r en ndring i femte siran i ett tal i h gerledet f rorsaker en ndring i f rsta siran i sk rningspunkten èdvs. l sningenè. Eliminering ger j æ ; j æ! j æ ; j æ, æ Parallelliteten hos de tv linjerna visar sig h r i att det uppst r ett pivotelement, som r n ra noll. I forts ttningen av kalkylerna kommer vi att dividera med detta tal n ra noll, och d rf r f rstoras eventuella avrundningsfel. H r hj lper det inte heller att permutera ekvationerna och d rf r r k nsligheten genuin. Om det r m jligt, b r man undvika att g ra kalkylerna s att n got pivotelement blir ett tal n ra noll. Metoden med partiell pivotering anger en enkel regel f r detta Varje g ng man skall eliminera med hj lp av èbo + è f r att f ett system i echelonform, b r man f rst permutera de terst ende raderna s, att det till beloppet st rsta elementet i resten av kolonnen blir pivotelement. Ikoecientmatrisen è= v nstra delen av ett r kneschemaè B @ d æ æææ æ a æææ æ a 3 æææ æ,,,, a m æææ æ C har vi redan ett pivotelement, d è6= è. I n sta steg b r vi allts bland talen a, a 3,, a m v lja det som r st rst till beloppet och sedan l ta den rad, som talet ing r i, bli rad nummer tv s att det utvalda talet blir n sta pivotelement èifall inte alla dessa tal r noll, varvid man naturligtvis g r vidare till tredje kolonnenè. vningsuppgifter. Vad h nder med en 3=3-matris om man multiplicerar den èaè fr n v nster, èbè fr n h ger med matriserna E 3 = @ respektive E3 = @ 5? 4

Gausseliminering genom multiplikation 39. I ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta gausseliminerades genom att i tur och ordning basoperationerna èiè èiiè èiiiè èè! èè, 4 èè è3è! è3è, èè è3è! è3è, 3 èè anv ndes, varvid det triangul ra systemet u, v + 3w = uppstod. Hur s g systemet ut fr n b rjan? 3. L s ekvationen x = b, d =LU och L = @,, ; U = 9v, 3w =,4 4 3 w = 4 3 @,, ; b = @,3 4 4. ntag att P ij och P kl r enkla permutationsmatriser av samma typ. N r kommuterar de, dvs. n r r P ij P kl = P kl P ij? 5. Hur m nga permutationsmatriser nns det èaè av typ 3=3, èbè av typ n=n? 6. Finn faktorerna L, och U i LU-faktoriseringen av matrisen èaè = @,,,, ; èbè = @, 3, 7. Vilka v rden p a och b leder till radbyte vid triangulering av och vilka v rden g r singul r, d = @ a 8 3 b 3 8. Best m LDU-faktoriseringen av P, d r P r en l mplig permutationsmatris, d èaè = ; èbè = @ 3 ; ècè = @ 3 4 4, 3 9. Best m en permutationsmatris P s dan att P har en LDU-faktorisering och ber kna denna, d, B,,4 5, = @ C 6 4,, 4,3

4 Bj rkfeltbjon. ntag att LU-faktoriseringen = LU r given men att systemet som skall l sas r T y = b. Finn en ndam lsenlig metod att ber kna y.. Best m inversen till matrisprodukten @,c @,b @,a. Ber kna inverserna, ifall de existerar, till èaè @ 3 ; èbè B @ 3 C, 5 9 6 3. ntag att, B och C r inverterbara matriser. Vad r inversen till B, C? r inverterbar? r + B inverterbar? Visa att, è + BèB, =, + B,. 4. Best m inversen till cos èaè sin, sin cos ; èbè @,,,, 5. Finn alla =-matriser, som r sin egen invers. 6. nge de v rden p a f r vilka nedanst ende matris saknar invers @ 3 a, a, 7. Visa att det nns o ndligt m nga v nsterinverser till matrisen = @, 3 èdvs. matriser B s dana att B = Iè men ingen h gerinvers till èdvs. ingen matris C s dan att C = Iè. 8. Best m den symmetriska LDU-faktoriseringen = LDL T av èaè = @ 6 4 4 ; èbè = @ 3 5 3 8 5 8 3 9. Visa att produkten av tv upp t triangul ra n=n-matriser med ettor i diagonalen r en matris av samma typ.

Gausseliminering genom multiplikation 4. En kvadratisk, inverterbar matris s gs vara ortogonal om, = T. Visa, èaè att produkten av tv ortogonala matriser r en ortogonal matris, èbè att om r ortogonal s r ocks, ortogonal.. ntag att r en kvadratisk, icke-singul r matris. Visa att b de och T ger upphov till samma pivotelement, om enbart èbo + è anv nds.. ntag att r en inverterbar matris och att matriserna och B kommuterar, dvs. att B = B. Visa èaè èbè att ocks, och B kommuterar, att om och B dessutom r symmetriska, s r ocks, B symmetrisk. 3. Visa att varje idempotent matris, som inte r I, m ste vara singul r è r idempotent om =è. 4. R kna ut LU-faktoriseringen av matrisen èaè = @ 4 ; èbè = @,,,3,7, 5. Best m matrisen d vi vet att r inverterbar och att inversen till matrisen r 7, 6. L t vara en n=n-matris, som har talen d ;;d n i diagonalen men i vrigt best r ettor. ntag att d i é f r varje i. Visa att x T x é f r varje n=-vektor x 6= och slut h rav att r icke-singul r. èledning Skriv som summan av en diagonalmatris med talen d i, i diagonalen och en matris som best r av enbart ettor.è 7. En kubisk ri-funktion f èxè genom givna punkter èx ;y è,, èx n ;y n è r denierad i varje intervall ëx i, ;x i ëèi=;;nè som ett tredjegradspolynom q i èxè. Dessa polynom r valda s att f èxè, f èxè och f èxè blir kontinuerliga i skarvningspunkterna x,, x n,. Om man dessutom kr ver att f èx è=f èx n è=s s gs den kubiska ri-funktionen vara naturlig. Om alla intervall har samma l ngd h = x i, x i,, i =;;n, s r f r den naturliga kubiska ri-funktionen q i èxè =ty i +è,tèy i, +htè, tèëèk i,,d i èè, tè, èk i, d i ètë ; d r x = x i, + th, d i =èy i,y i, è=h och talen k ;;k n f s ur matrisekvationen B @ 4 4,,,,,, 4 C B @ k k k, k n, k n C =3 B @ d d +d d +d 3, d n, +d n d n èaèbest m LU-faktoriseringen av koecientmatrisen i det fall att den r en 4=4- matris. èbè Best m den naturliga kubiska ri-funktionen genom è; è, è; 3è och è; è. C