2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et

Transkript

1 7. Egenv rden och egenvektorer L t A beteckna en n=n-matris. I vissa riktningar x 6= beter sig matrisen A enkelt i den meningen att x och Ax r kar vara parallella: Denition 7.. Talet s gs vara ett egenv rde till A om Ax = x f r n gon vektor x 6=. Vektorn x s gs d vara en egenvektor till A som svarar mot egenv rdet. Observera att om x r en egenvektor till A som svarar mot ett visst egenv rde, s r f r varje c 6= ocks cx en egenvektor som svarar mot egenv rdet. L ngden av vektorn x r allts irrelevant, endast riktningen har n gon betydelse. Egenv rden och egenvektorer r karakteristika f r en matris A och ber ttar en hel del om matrisens egenskaper precis som t.ex. typen och rangen ocks g r det. Vi kommer att se att i m nga fall inneh ller egenv rdena och egenvektorerna t.o.m. all information om A. Exempel 7.. F r en enhetsmatris I g ller att Ix = x f r varje x. S ledes r talet ett egenv rde till I och varje x 6= r en motsvarande egenvektor. Om r ett egenv rde till A och x r en motsvarande egenvektor, s r Ax = x èè èa,ièx = fæor ngt x 6= fæor ngt x 6= S ledes g ller: èèa,i æar singulæar èè detèa, Iè =: Sats 7.. Om A r en n=n-matris, s f s A:s egenv rden genom att man l ser den s.k. karakteristiska ekvationen èocks kallad sekularekvationenè detèa, Iè =: D refter f s de egenvektorer, som svarar mot ett visst egenv rde, genom att man l ser den homogena ekvationen èa, Ièx =. D man utvecklar determinanten i den karakteristiska ekvationen, f s alltid en polynomekvation av n:te graden, i vilken koecienten f r n r è,è n. En s dan har ju alltid exakt n èreella eller komplexaè l sningar d multipliciteten beaktas. Den karakteristiska ekvationen kan allts skrivas i den ekvivalenta formen è, è n æææè, p è np =;

2 2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos ett egenv rde r, 2, 3 ::: s gs detta vara enkelt, dubbelt, tredubbelt :::. Denition 7.2. Egenrummet V èè till en n=n-matris A med egenv rdet r nollrummet N èa, Iè, dvs. l sningsm ngden till Ax = x. Egenrummet V èè r allts ett underrum av R n och best r av nollvektorn och alla egenvektorer till A som svarar mot egenv rdet. Eftersom N èa, æ Iè =NèAè,s r ett egenv rde till A om och endast om matrisen A r singul r. A = 2 2 Exempel 7.2. Den karakteristiska ekvationen f r matrisen r = æ2, 2,æ =è2,è2,: Ur denna l ser vi ut egenv rdena 3 och. De egenvektorer som svarar mot egenv rdet 3 f s nu genom att man l ser ekvationen èa, 3Ièx =: A,3I=,,!, L sningarna r allts x = t è è T och varje s dan vektor utom nollvektorn r en egenvektor som svarar mot egenv rdet 3. P samma s tt l ser vi èa, Ièx = med hj lp av r kneschemat A, I =! och f r fram de egenvektorer x = t è, è T èt6=è som svarar mot egenv rdet. Om matrisen A r reell och ett egenv rde inte r reellt èdvs. kta komplextè, s m ste tminstone n gon komponent av en motsvarande egenvektor x vara icke-reell f r att likheten Ax = x skall kunna g lla. Om d remot b de A och egenv rdet r reella, s kan motsvarande egenvektorer x v ljas reella. Exempel 7.3. Den karakteristiska ekvationen f r matrisen, r 2 + =, varf r egenv rdena r æi. De egenvektorer som svarar mot t.ex. egenv rdet i har formen t è,iè T, d r t 6= r ett reellt èeller komplextè tal. Eftersom reella matriser s ledes kan ha icke-reella egenv rden, s inser vi att teorin f r egenv rden och egenvektorer egentligen borde utformas f r komplexa matriser. I forts ttningen v ljer vi emellertid alltid som exempel bara s dana matriser, som har :

3 Egenv rden och egenvektorer 3 reella egenv rden. I m nga fall r egenv rdena t.o.m. alltid automatiskt reella, s som f ljande sats visar: Sats 7.2. Antag att A r en symmetrisk reell n=n-matris. D g ller: èiè Alla egenv rden till A r reella; èiiè Om och r olika egenv rden till A s r V èè? V èè. Bevis. èiè L t vara ett egenv rde och l t x è6= è vara en motsvarande egenvektor. H r m ste vi tempor rt acceptera att x kan ha icke-reella komponenter eftersom vi nnu inte vet att i sj lva verket m ste vara reellt. Om x = è x ::: x n è T, s tt x æ = è x ::: x n è, d r beteckningen c = a, ib st r f r konjugattalet till ett givet komplext tal c = a + ib. Om ekvationen Ax = x multipliceras fr n v nster med x æ f s x æ Ax = x æ x, dvs. = xæ Ax x æ x : N mnaren x æ x = jx j 2 + æææ + jx n j 2 6= r en summa av kvadrater av belopp av komplexa tal och r s ledes reell. T ljaren r ett komplext tal som sammanfaller med sitt eget konjugattal, ty eftersom A =èa ik è r reell och symmetrisk, r x æ Ax =X x i a ik x k =X x i a ik x k i;k =X i;k i;k x k a ki x i = x æ Ax : D d rmed b de t ljaren och n mnaren i uttrycket f r r reella, s r reellt. èiiè Vi skall visa att om vi tar godtyckliga èreellaè vektorer x 2 V èè och y 2 V èè, s r x? y: Ax = x =è yt Ax = y T x =è yt Ax = y T x Ay = y x T Ay = x T y y T Ax = y T x =è è, èy T x = =è x?y:í F r en matris A som inte r symmetrisk, beh ver det inte g lla att egenvektorer som svarar mot olika egenv rden r ortogonala. D remot m ste de nog vara linj rt oberoende: Sats 7.3. Antag att ;:::; p r olika egenv rden till en n=n-matris och l t x ;:::;x p vara en upps ttning motsvarande egenvektorer, s att Ax k = k x k èk =;:::;pè: D r x ;:::;x p linj rt oberoende. Bevis. Satsen bevisas enklast genom induktion. Vi konstaterar f rst att p st endet g ller om p =. Sedan antar vi att p st endet g ller om vi har p = k, egenvektorer x ;:::;x k, och skall bevisa att p st endet ocks g ller d antalet r p = k. Vi bildar d rf r en linj rkombination av dekegenvektorerna och s ttar denna lika med : èè c x + æææ+c k x k = :

4 4 Bj rkfeltbjon Vi multiplicera fr n v nster med A, beaktar att Ax i = i x i och f r: è2è c x + æææ+c k k x k =: Vektorn x k elimineras genom att vi bildar skillnaden mellan è2è och k g nger èè: c è, k èx + æææ+c k, è k,, k èx k, = : Nu f ljer att c = æææ = c k, =, eftersom x, :::, x k, r linj rt oberoende. Enligt èè r d rf r c k x k = och d rmed c k =. Allts r x,:::, x k linj rt oberoende. Induktionen ger att satsens p st ende g ller f r varje antal p av egenvektorer. í Exempel 7.4. Matrisen har den karakteristiska ekvationen = A = æ 4, , , =è2,è 2 æ,, 2 2 4, A æ = æ 2,,2+ 2,, , æ æ æ, =è2,è2, 2 6,æ =è2,è 2 æ,, 8,æ =è2,è2 è8, è : Matrisen A har allts egenv rdena 2 èdubbeltè och 8 èenkeltè. =2: En bas i egenrummet V è2è = N èa, 2Iè f s ur A, 2I = A! A ; och resulterer i fè, è T ; è, è T g. =8: En motsvarande kalkyl A, 8I =, , ,4 A!æææ!,A ger basen fè è T givè8è = N èa,8iè. Observera att vektorn è è T r ortogonal mot basvektorerna i V è2è men att basvektorerna i V è2è inte èautomatisktè beh ver bli ortogonala mot varandra èjfr. Sats 7.2è.

5 Egenv rden och egenvektorer 5 Exempel 7.5. Efter en stunds kalkylerande nner man att matrisen,2 A = 2 3 A har den karakteristiska ekvationen è, èè, 2è 2 =. =2: En bas i V è2è f s ur A, 2I = dvs. fè è T ; è, è T g. =: R kneschemat blir A, I =,2,2,,2 2 A! A ;,A : A! 2 En bas i V èè best r allts av en enda vektor è,2 è T, som uppenbarligen inte r ortogonal mot basvektorerna i V è2è. D remot bildar unionen av baserna i V è2è och V èè en linj rt oberoende m ngd èjfr. Sats 7.3è. P basen av de tv senaste exemplen kunde man f uppfattningen att om multipliciteten hos ett egenv rde r t.ex. 2, s inneh ller en bas i V èè precis 2 vektorer. Detta beh ver inte alltid vara fallet men f r symmetriska matriser r det s : Anm rkning. Man kan visa att om A r en symmetrisk n=n-matris med den karakteristiska ekvationen è, è n æææè, p è np =; d r ;:::; p r olika egenv rden och Pi n i = n, s r dim V è i è=n i : Vi ger ett exempel p en èicke-symmetriskè matris, som saknar denna egenskap: Exempel 7.6. Matrisen A = har den karakteristiska ekvationen = detèa,iè = 2,varf r det enda egenv rdet har multipliciteten 2. Matrisen r redan i reducerad echelonform, s vi kan direkt avl sa att fè èg r en bas i motsvarande egenrum V èè. Dimensionen hos V èè r s ledes bara, inte 2. Anm rkning. Matriserna i exemplen i denna kurs r s sm att det fortfarande r m jligt att utveckla determinanten i den karakteristiska ekvationen. Om matrisen r stor,

6 6 Bj rkfeltbjon blir detta oftast en uppgift som verstiger krafterna. Andra metoder kr vs d f r att man skall f fram egenv rdena till matrisen. Som ett exempel p en s dan metod n mner vi att koecienterna i den karakteristiska ekvationen B n + c n, n, + æææ+c +c = till en n=n-matris kan f s genom att man l ser ekvationen æææ S 2 æææ S 2 S 3 æææ,,,,,, S n, S n,2 S n,3 æææ S n CA B c n, c n,2 c n,3, c S S CA B 2 =, S 3, S n CA ; d r S k = trèa k è f r k = ; 2;:::;n r sp ret av potensen A k av matrisen A. Egenv rdena kan sedan best mmas genom att man l ser den karakteristiska ekvationen med numeriska metoder. vningsuppgifter. Finn alla egenv rden och motsvarande egenvektorer till matriserna èaè ; èbè ; ècè 3 A : 7 6 3, Best m egenv rden och baser i egenrummen till matriserna 2 6 6,2 èaè ; èbè ; 6,2 9 3 ècè,2 3,2A ; èdè 5,2 6, 5,A : 2 5,5 8,6 3. Best m egenv rden och baser i egenrummen f r A 62 d A r matrisen,, èaè,2 A ; èbè 2,4 4,2 4A : 2 2, Visa att den karakteristiska ekvationen f r en èreellè 2=2-matris A kan skrivas 2, trèaè + detèaè =: Best m villkoret f r att A skall ha enbart reella egenv rden samt veriera att detta villkor r uppfyllt f r alla symmetriska 2=2-matriser. 5. Visa att A och A T har samma egenv rden. Hur r tv egenvektorer x och y till A respektive A T som svarar mot olika egenv rden relaterade till varandra? 6. Visa att om A r en upp t èned tè triangul r matris eller en diagonalmatris, s r A:s egenv rden precis matriselementen i huvuddiagonalen i A. 7. En matris A s gs vara nilpotent om A k =f r n got positivt heltal k. Visa att en nilpotent matris bara har egenv rdet. 8. L t pètè =a +a t+æææ+a n t n vara ett polynom och s tt pèaè =a I+a A+æææ+ a n A n. Visa att om r ett egenv rde till A, s rpèèett egenv rde till pèaè.