9 Numerisk optimering Först lite terminologi: Optimering hndlr om tt hitt minst (eller störst värde v en funktion v en eller fler vribler. e rutiner som finns minimerr normlt en funktion, f(. Vill mn hitt mimum, minimerr mn f(. Mn brukr benämn f objektfunktion eller målfunktion. Oft nöjer mn sig med tt hitt ett loklt minimum. Att hitt globlt minimum (om det eisterr är normlt för svårt. et är vnligt tt mn hr etr villkor, sk bivillkor. Mn brukr tl om likhetsbivillkor smt olikhetsbivillkor. f(, = ( b e +t +... + ( bm e +tm där t,..., t m oh b,..., b m är mätvärden. ess problem kn vr svår tt lös oh mn kn få nöj sig med tt hitt ett loklt minimum. Knske hr mn dessutom ikelinjär bivillkor. empel på ett ikelinjärt olikhetsbivillkor är +. Viss problemtper gränsr till dtlogi, diskret mtemtik, som heltlsoptimering, kombintorisk optimering. Leverns v vror till vruhus (hndelsresndeproblemet. I tillämpningr försöker mn utnttj olik egenskper hos f oh bivillkoren oh det ger upphov till mång olik progrm. Hndel oh ekonomi ger oft sk linjär progrmmerings-problem, LP, (progrmmering står för plnering i dett smmnhng. Objektfunktionen är då linjär, t.e. f(,, 3 = +3 3 liksom bivilloren, t.e. (en sk enkel gräns oh + 3 3 5. et är vnligt med mång vribler (knske fler hundr tusen. ftersom LP-problem hr enkl mtemtisk egenskper kn mn hitt målfunktionens minst värde. tt vnligt ingenjörsproblem är tt bestämm prmetrr i en modell v verkligheten. n vnlig formulering ger upphov till linjär minstkvdrtproblem, som i kursen i linjär lgebr. Målfunktionen är då f( = à b där à är en mtris med fler rder än kolonner oh b är en känd kolonnvektor. n llmän formulering v optimeringsproblemet ges v: minimer f( över = (,..., n då följnde likhetsbivillkor g ( =,..., g p ( = oh olikhetsbivillkor r (,..., r q ( är uppflld. All ingående funktioner är reellvärd. Mer komplierde modeller ger upphov till ikelinjär minstkvdrtproblem. Målfunktionen är även då en kvdrtsumm t.e.: I dett vsnitt skll vi studer någr mket enkl metoder för minimering utn bivillkor min f(, f : R n R Metodern brukr strt med en gissning oh let sig frm med hjälp v derivtor oh nnt. Normlt får vi nöj oss med ett loklt minimum. nvribelfllet Vill minimer f( över. Vi ntr tt f, f oh f eisterr för ll R. Om det eisterr ett loklt minimum så nts det i en punkt där derivtn är noll, f ( =. Låt oss nvänd Newtons metod på derivtn, dvs. j+ = j f ( j /f ( j f ( = är nödvändigt för minimum, men ej tillräkligt. Om dessutom f ( > så hr funktionen ett strängt loklt minimum. empel: f( = 3. j+ = j 3 j 6 j = ger konvergens mot ; efter fem steg är felet 5 oh = ger konvergens mot. Andrderivtn är 6 så = är en minpunkt oh = en mpunkt. Mn kn även se Newtons metod som tt vi npssr en sekvens med ndrgrdspolnom till f oh i vrje steg hittr den sttionär punkten till dess polnom. Antg tt vi står i punkten j. Hur ser ndrgrdspolnomet, p, ut för vilket gäller tt: Jo p( j = f( j, p ( j = f ( j oh p ( j = f ( j? p( = f( j + ( j f ( j + ( j f ( j Om f ( j > så hr p( ett minimum. Vilket? Sätt derivtn till noll oh tg denn minpunkt som j+. erivtn är: p ( = f ( j + ( j f ( j ftersom j+ definiers v p ( j+ =, får vi: j+ = j f ( j /f ( j vilket återigen är Newtons metod. empel: minimer sin i 4, ]..5.5.5.5 5 4 3 3
5 4 3.5 Newtons metod kn diverger som vnligt, men vi kn okså fstn på ett mimum (eftersom vi söker så tt f ( =..5.5.5.5.5.5.5.5 3 3.5 3 4 5.5.5.5.5.5.5.5.5 5 4 3.5 3 3.5 3 4 5.5.5.5.5.5.5.5.5 5 4 3.5 Jg hr br ritt ut en del v p. 3 3.5 3 4 5 4 5 Minimering v f(, Vi skll nu minimer en reellvärd funktion, f, v två vribler. Vi nvänder Newtons metod för tt hitt (, där grdienten är noll: { f (, = Newtons metod blir: ] ] j+ j = j+ j Jämför med envribelfllet: f (, = f ( j, j f f ( j, j f ( j, j ( j, j j+ = j f ( j /f ( j ] ] f ( j, j f ( j, j Mtrisen v ndrderivtor (Jobinen v grdienten klls Hessin oh vi beteknr den med H( j, j. Newtons metod kn formulers (j+ = (j H( (j f( (j Sätt d = H( (j f( (j. d är då en lösningen till det linjär ekvtionssstemet H( (j d = f( (j Vid LU-fktoriseringen v H( (j kn vi vgör om H( (j är positivt definit. Mn kn vis Newtons metod för optimering söker sttionär punkter till sekvens med ndrgrdstor. ess tor kn beskrivs med hjälp v en trunkerd Tlorutvekling (som innehåller Hessinen. J, det finns metoder där vrje steg är billigre, men det kn ju krävs mång fler steg i stället. n sådn metod är steepest desent där vi går utmed den negtiv grdienten (där det lutr brntst utför. Idén är lltså följnde. Vi står i ( (en gissning oh räknr ut grdienten i denn punkt, f( ( en negtiv grdienten ger oss den riktning där funktionen vtr snbbst. Näst punkt väljs som ( = ( f( ( et. Om f( (j = (liten i norm brter vi itertionen. enn metod kn vr mket långsm, den behöver inte ens konverger, som följnde eempel visr. n nledningen till tt metoden är dålig är tt derivtor utgör lokl informtion. Lutningen kn ju vr en helt nnn en bit från den punkt vi står i. I följnde bild är f(, = /σ +. Observer tt jg inte hr nvänt is equl. 4 3 Zigzgging, σ = 4 Newtons metod är en gnsk dr metod (om n är stort. Finns det billigre metoder? 6 7
n vsevärt förbättrd metod får vi om vi br följer den negtiv grdienten så länge som det lutr utför. Om det börjr gå uppför, skll vi givetvis inte fortsätt frmåt. 8 6 4 5 Steepest desent med linjesökning, σ = 4 5 4 4 Att npss steglängden på dett sätt klls linjesökning. n llmän metod kn beskrivs på följnde sätt: Vi vill minimer den så kllde objektfunktionen f(, f : R n R. min f( Antg tt vi står i (j oh hr sökriktningen s R n. Så s = f( (j till eempel. Vi utför då en linjesökning min α> f( (j + α s som ger oss en lämplig steglängd, α. Observer tt dett är en endimensionell minimering. Näst punkt, (j+ blir (j+ = (j + α s Även Newtons metod pssr in i dett shem, med α = oh sökriktning s = H f( (j. Vi fortsätter tt iterer på dett sätt tills ett vbrottskriterium är uppfllt. ett kriterium bsers på ntl itertioner (f kn ju skn minimum oh storleken på grdienten. Om vi nvänder Newtonsökriktningen, H f( (j, hr vi tillgång till Hessinen oh kn då även vgör om vi står i ett loklt minimum. 8 9 Fler sttionär punkter Någr ord om bivillkorsproblem Likhetsbivillkor 6 Steepest desent med linjesökning. Fler minim. 4 6 5 4 5 5 3 5 5 Olikhetsbivillkor 5 6 5 4 5 5 3 5 5 5 5
Optimering med bivillkor I dett kpitel nöjer vi oss inte med lokl etrempunkter utn vi vill h globl min/m (minst/störst värde. Genom tt nvänd bivillkor kn vi grnter tt sådn värden eisterr. n llmän formulering v optimeringsproblemet ges v: minimer f( över = (,..., n då följnde likhetsbivillkor g ( =,..., g p ( = oh olikhetsbivillkor r (,..., r q ( är uppflld. All ingående funktioner är reellvärd. Låt oss först repeter lite teori från envribelkursen. Vi ntr tt f är kontinuerligt deriverbr oh tt f är definierd på en kompkt mängd,, b]. Vi kn se, b] som funktionens definitionsmängd. Alterntivt kn vi betrkt b som två olikhetsbivillkor. ftersom f är kontinuerlig på en kompkt mängd så ntr f ett störst oh ett minst värde. ess värden kn nts på rnden (i eller b eller i en inre punkt, i vilket fll derivtn är noll i punkten. I följnde figur nts det minst värdet i C (derivt noll oh det störst i (rndpunkt; noter tt derivtn inte är noll. erivtn är noll även i B, som är ett loklt mimum (men inte funktionens störst värde. Hde värdet i A vrit mindre än det i C hde A vrit funktionens minst värde. B Så för tt hitt störst oh minst värde utför vi följnde steg: Bestäm ll i det inre v området där f ( = oh beräkn f(. Bestäm störst oh minst värde på rnden. Välj ut det minst respektive störst värde som påträffts under föregående steg. Vi illustrerr nu denn teknik på en funktion v tre vribler. empel. Vi vill skik ett pket, med miml volm, till utlndet (eemplet gjordes 5 oh villkoren kn h ändrts. I postens måttguide för pket i krtong, utlnd finns följnde olikhetsbivillkor ngivn, om l är längd, b bredd oh h höjd: l 5m l + (b + h 3m Vår objektfunktion är f(l, b, h = lbh, som skll mimers. enn problemställning pssr inte in i den teori vi hr. Området vi mimerr över är inte kompkt. Vi kn dok enkelt skp ett kompkt område utn tt ändr problemets lösning. ftersom det är orimligt tt skik pket med negtiv längder, lägger vi till tre enkl gränser oh kräver tt l, b, h ll är ikenegtiv. Noter tt jg inte skrev positiv, eftersom då området br blir begränst men ej slutet. Problemet hr en ikelinjär objektfunktion oh linjär olikhetsbivillkor. Området är begränst v fem pln, oh här följer en bild: A C b 3 l 5 l = 3 h Bivillkor. Frmsidn ej utritd. 3 75 b + h = 75 b 4 b + h = 5 5 5 l = 3 b Området utgörs v en trunkerd prmid, med ndr ord. Sidotorn är numrerde, oh den ike utritde tn är nummer fem. kvtionern gäller för de rät linjern. Nu till mimeringen. Grdienten är grdf(l, b, h = (bh, lh, lb som är nollvektorn endst då minst två v l, b, h är noll. et ger dok volmen noll som är ointressnt i dett problem (dels från ett prktiskt perspektiv, men vi kn även hitt en punkt, t.e. (,,, som tillhör området oh där funktionen ntr ett större värde än noll. 4 75 h Vi får lltså sök mimum på rnden. Vi kn genst vfärd torn med nummer ett (l =, tre (b = oh fr (h = eftersom volmen blir noll. ett lämnr två oh fem. Yt nummer två definiers v l = 5, (b + h 5. ett ger oss ett problem v två vribler, b, h (l är ju konstnt 5. ett delproblem kn formulers som följer: m 5bh, då b, h, b + h 75 b,h Området är kompkt (det är ju överst tringeln oh vi söker mimum preis som tidigre. Grdienten, 5bh = 5(h, b är noll då (b, h = (, som ger nollvolm. Vi ser nu på rnden till tringeln. en end som inte ger nollvolm hr ekvtionen b + h = 75. Vi vill nu mimer volmen utmed denn rnd. Lös ut h = 75 b. Tdligen gäller tt b 75, så optimeringsproblemet kn formulers: m 5b(75 b b 75 som är endimensionellt. Rndpunktern, b =, b = 75, är ej intressnt, t ger nollvolm. Kvrstår inre punkter, < b < 75. erivtn blir 5(75 b så tt b = 75/. Volmen är 5b(75 b = 5(75/(75 75/ = 937.5. Vi hr kvr tt undersök frontplnet, nummer fem. kvtionen för dett pln är l + (b + h = 3. Löser vi ut l oh sätter in i formeln för volmen får vi: f(l, b, h = lbh = (3 (b + h bh }{{} q(b,h Optimeringsproblemet för q, som är en funktion v två vribler, kn nu skrivs: m q(b, h, då b, h, 75 b + h 5 b,h Vi hr redn undersökt rnden till t fem, så det räker tt studer den inre v området. 5
l grd q(b, h = (3h 4bh h, 3b b 4bh grd q(b, h = (, leder till följnde ekvtioner: 3h 4bh h = 3b b 4bh = ftersom vi endst är intresserde v b, h > kn vi förenkl ekvtionern oh får: 3 4b h = 3 b 4h = ett är ett linjärt ekvtionssstem som hr den endtdig lösningen b = h = 5 som tillhör området. ett ger l = (3 (5 + 5 = oh volmen blir 5 5 = 5. Vi jämför nu de inrmde kvntitetern oh finner tt mimum är 5 vilket nts för (l, b, h = (,5, 5. Följnde bild visr området med mrkerd mimipunkt. Pketbivillkor Följnde bild visr delr v fr nivåtor. l b h = C Mimipunkten ligger i den nivåt som svrr mot den miml volmen. C minskr när tn rör sig åt vänster i bilden. Vi inser därför vrför optimum inte kn vr i det inre v mängden; nivåtn träffr ju på en begränsningst först. 5 Pket, delr v nivåtor l 5 5 5 5 b 6 5 5 5 h 5 5 h 7 5 b 5 Låt oss smmnftt de tper v optimeringsproblem vi påträfft så långt: Lokl etrempunkter. f =, studium v Q. Optimering med olikhetsbivillkor som vgränsr en kompkt mängd. Vet tt det eisterr störst- oh minst värde. Vi hr kvr två problemtper: Optimering utn bivillkor. Vill försök hitt störst- oh minst värde (om de eisterr. et får dok räk med bokens eempel, e. 8 vsnitt 3.. Optimering med likhetsbivillkor. Optimering med likhetsbivillkor Nu till den sist problemtpen oh vi inleder med ett eempel. empel. Beräkn min oh m v f(, = + då + = (g(, =. I dett enkl eempel ser vi tt det eisterr ett störst- oh ett minst värde eftersom snittmängden melln f = R oh g (enhetsirkeln är kompkt. För tt försök förstå problemställningen studerr vi nivåkurvor, f(, =, vilk blir ellipser. I följnde bild hr jg ritt ut, f, någr nivåkurvor oh dessutom bivillkoret (en irkel. Optimering med bivillkor.5.5 z.5 8 9
Här följer tre metoder för tt lös problemet. Först substitution. Vi löser ut från bivillkoret oh sätter in i uttrket för f. Optimeringsproblemet blir då tt minimer (mimer + ( = + då. Gränsern för får vi från bivillkoret. ett är ett vnligt optimeringsproblem på en kompkt mängd. erivtn är som är noll då = = ± f(, =. Rndvärden, = ± = f(, =. Så minst värde är ett oh störst värde är två. I näst metod gör vi ett vribelbte oh får bivillkoret uppfllt utomtiskt. Vi väljer polär koordinter, = os ϕ, = sin ϕ vrför f(os ϕ, sin ϕ = os ϕ+sin ϕ = +os ϕ. Funktionen ntr mimum för ϕ =, π, oh minimum för ϕ = π/, 3π/. Slutligen ett tredje lterntiv, som kräver lite mer bkgrund. Bokens formulering v prllellitetsvillkoret: et eisterr en Lgrngemultipliktor, λ, så tt Lngrngefunktionen L(,, λ = f(, + λ g(, hr en sttionär punkt i (, b, λ. Att (, b, λ är en sttionär punkt till Lngrngefunktionen innebär: = L (, b, λ = f (, b + λ g (, b = L (, b, λ = f (, b + λ g (, b = L λ (, b, λ = g(, b dvs. f(, b oh g(, b måste vr prllell oh (, b måste stisfier bivillkoret. Här en grfisk frmställning. Optimering med bivillkor. Lgrnge-multipliktorer Först lite betekningr. Vi vill minimer (eller mimer f(, då g(, =. Låt oss nt tt f oh g hr kontinuerlig prtiell förstderivtor, med g(, b där (, b är en lokl minimi- eller mimimpunkt till optimeringsproblemet. (, b får inte vr en ändpunkt till kurvn som definiers v bivillkoret eller ligg på rnden till f. å gäller tt f(, b oh g(, b är prllell. Här ett troliggörnde. Antg tt t är en normerd tngentriktning till bivillkoret i (, b. Riktningsderivtn v f utmed denn riktning skll vr noll, t nnrs kn vi gör f större eller mindre genom tt följ bivillkoret. Alltså: f t (, b = f(, b t = Alltså är f(, b oh t ortogonl. Men vi vet tt g(, b är ortogonl mot t. Alltså är f(, b oh g(, b prllell. 3 g(, = 3 tngent grd g Bilden visr en funktionst, z = f(,, ett bivillkor, g(, = smt någr nivåkurvor. Bivillkoret hr projierts på tn, så tt mn lätt skll kunn identifier min/m-punkter. e tre ringrn visr lokl min/m-punkter där f(, b oh g(, b är prllell. Lägg märke till tt bivillkoret tngerr nivåkurvorn i dess punkter. Noter okså tt det finns ändpunktsmim (mrkerde med krss. f(, b oh g(, b är inte prllell här. en punkt som är mrkerd med en kvdrt är vrken en min- eller mpunkt oh grdientern är inte prllell. Genom tt följ bivillkoret kn vi gör f större eller mindre. När vi nvänder Lgrnge-metoden kontrollerr vi följnde fll:. Inre punkter på bivillkoret där f(, b oh g(, b är prllell.. Bivillkorets ändpunkter, dvs. rndpunkter till g (om det finns någr. 3. Rndpunkter till f (om det finns någr. 4. Punkter där g(, b = (oh g(, b =. 5. I den här kursen hr vi snäll funktioner, om så inte är fllet kn det finns punkter där en grdient inte eisterr. empel. (punkt 3. Tg g(, = så oh sätt h( = f(,. ett innebär tt envribelfllet är ett speilfll oh det som kn inträff där (ändpunkts-min/m även kn inträff här. empel. (punkt 4. Tg g(, = oh f(, = +. Bivillkoret ger tt = så tt vi hr ett loklt min i origo. et gäller tt g(, = oh f(, = (,, så det eisterr ingen Lgrngemultipliktor, λ, så tt f(, = λ g(,. Nu åter till eemplet, f(, = +, g(, = +. Vi noterr först tt punkt -5 inte är ktuell i eemplet, det räker tt undersök punkt. Vi söker lltså (, där funktionens grdient, grd f, är prllell med bivillkorets grdient, grd g, så tt grd f = λ grd g där λ är Lgrngemultipliktorn. Så i eemplet (4, = λ(, eller = λ oh = λ Vi utnttjr dess smbnd tillsmmns med bivillkoret, + =. Låt oss se på två fll. vilket medför tt λ = vilket i sin tur medför tt =. Bivillkoret, med =, ger tt = ±. = medför tt λ kn vr godtkligt (från = λ, men bivillkoret, med =, ger tt = ±. I dett eempel kn mn nvänd determinnter för tt uttrk det fktum tt grdientern är linjärt beroende, så: ( = det = = vilket säger tt = eller =, vilket tillsmmns med bivillkoret ger smm punkter som tidigre. Stsen kn generlisers, dels till funktioner med mer än två vribler oh dels till fler bivillkor (oh fler vribler. I det först fllet är stsen närmst identisk, det gäller tt grdf(ã oh grd g(ã skll vr prllell. Observer tt determinntvillkoret ej kn nvänds om ntlet vribler överstiger två, så mn får då utnttj formuleringen med λ, grdf(ã = λ grd g(ã. Här följer det llmänn fllet med n vribler oh p bivillkor: 3 33
Sts. Antg tt ã = (,..., n är en inre punkt i f oh i ll gj, j =,..., p som löser problemet tt mimer (eller minimer funktionen f( = f(,..., n under bivillkoren g ( = = g p ( =. å gäller tt är linjärt beroende. grd f(ã, grd g (ã,..., grd g p (ã I bilden mrkerr * origo oh o den först punkten (som ger minimum. en ndr punkten, ligger på ndr sidn sfären, ger mimlt vstånd. Jg hr ritt ut skärningskurvn, en irkel (strekd, melln sfär oh pln. Noter tt denn mängd är kompkt. Om mn eliminerr z från bivillkoren får mn en ellips i --plnet (som jg hr ritt ut i plnet z =. Grfiken går tt gör bättre men bilden tr då för mket minne. empel. Bestäm den punkt som ligger närmst origo oh som smtidigt ligger på sfären, ( + + z =, oh i plnet + + z =. Låt (,, z vr den sökt punkten. Avståndet ges v + + z men vi kn lik gärn minimer kvdrten på vståndet, f(,, z = + + z (vrför? ledning vståndet är ldrig negtivt. Bivillkoren ges v g (,, z = ( + + z oh g (,, z = + + z. I dett fll, när vi hr tre vribler oh tre grdienter, kn vi nvänd determinnter. Här är determinnten v de (förenklde grdientern (kolonnvis: det z z = det z = z Så tt villkoret blir = z. ett i bivillkoren ger: z.5.5.5.5 ( + =, + = ( + = så tt = ±/ 6. ftersom = z oh + + z = får vi följnde två punkter ( / 6, / 6, / ( 6 oh + / 6, / 6, / 6 34 35 Funktionlmtriser Funktionlmtriser är en generlisering v f ( till derivtor v vektorvärd funktioner, f(. Vi hr redn sett fler sådn eempel, t.e. grdient, Jobin oh Hessin (för ndrderivtor. Grdienten, grdf( = (f (,..., f n (, nger hur funktionen ändrr sig när mn ändrr ll,..., n smtidigt. n nturlig generlisering till en vektorvärd funktion, f( = (f (,..., f p (, vore då tt mn fik en uppsättning grdienter, en för vrje f j. empel. Antg tt f : R R 3. Vi hr då funktionern = f (, = f (, 3 = f 3 (, Här är funktionlmtrisen, eller Jobinen, för funktionen f: f ( = f f f f f 3 f 3 Så ( f ( jk tlr om hur den j-te funktionen ändrs när vi ändrr k. Observer tt funktionern vrierr över rdern i mtrisen oh vriblern över kolonnern. Trnsponer inte! I dett häfte vser termen Jobin en mtris (oh en del skriver Jobinmtris. Andr, som LB, vser determinnten v en (kvdrtisk Jobinmtris. empel. tt speilfll ges v funktionlmtrisen v en reellvärd funktion. n funktion ger en rd oh ntlet vribler är lik med ntlet kolonner. Så med f( = f(,..., n är ( f f ( =,..., f n en ndr etremen ges v en vektorvärd funktion som beror v endst en vribel. Funktionlmtrisen blir en kolonn i dett fll. Så om f(t = (f (t, f (t, f 3 (t blir funktionlmtrisen f (t f (t f 3 (t Funktionlmtriser kn nvänds för tt ge en kompkt formulering v Tlors formel. Låt oss gör en Tlorutvekling v funktionen ovn, f : R R 3. e prtiell derivtorn är beräknde i (,. f ( + h, + h = f (, + f h + f h + f ( + h, + h = f (, + f h + f h + f 3 ( + h, + h = f 3 (, + f 3 h + f 3 h + ett kn skrivs lite kortre: f ( + h, + h f (, f ( + h, + h = f (, + f 3 ( + h, + h f 3 (, }{{}}{{} f(ã+ h f(ã eller med vektorbetekningr: f f f f f 3 f 3 } {{ } f (ã f(ã + h = f(ã + f (ã h + h h }{{} h ] + 36 37
Så med dess betekningr liknr det envribelfllet: f( + h = f( + f (h + Om mn pproimerr en funktion, f(ã + h f(ã + f (ã h, genom tt t med förstderivtor, som ovn, tlr mn om linerisering (även linjr-, linjär-. ett nvändes när vi härledde Newtons metod för tt lös sstem v ikelinjär ekvtioner. Hur ser funktionlmtrisen ut för en smmnstt funktion? Vi studerr ett eempel, ỹ = f( g( t, där f, g : R R, utskrivet: { = f (g (t, t, g (t, t = f (g (t, t, g (t, t erivtorn i funktionlmtrisen för blir nu ỹ = f( g( t = ( f g( t = f g + f ] g f f =, t t t = f g + f ] g f f =, t t t = f g + f ] g f f =, t t t = f g + f ] g f f =, t t t där f et. beräkns i punkten g( t oh g t et. i t. 38 g t g t g t g t g t g t g t g t Så Alltså t t t t } {{ } ( f g ( t = f f f f } {{ } f ( g( t ( f g ( t = f ( g( t g ( t g t g t g g t t } {{ } g ( t där produkten beräkns med vnlig mtrismultipliktion. Resulttet gäller mer llmänt. empel. Antg tt vi sätter smmn två linjär vbildningr. ] ] g( t = g(t, t = t = à t t ] ] f( = f( b b, = = B b b en smmnstt funktionen, ỹ = f( g( t = B(à t = Bà t. Så smmnsättning v linjär vbildningr svrr mot mtrismultipliktion (vilket ju en nledning till tt den är definierd på sitt speiell sätt. t g( t = + t t + t ] g ( t = ] = à Anlogt är f ( g( t = B så tt ( f g ( t = f ( g( t g ( t = BÃ, vilket stämmer om vi ser på f( g( t = B(à t = Bà t.. Funktionldeterminnter empel. Vi vill beräkn följnde bestämd integrl oh nvänder vribelsubstitution: t = sin os sin + sin d dt dt = os d = sin + t = (, (sin, sin rtn t] sin sin = rtn(sin rtn(sin 39 et vi är intresserde v är rden dt = os d som tlr om hur längdskln ändrs melln oh t. Tr vi ett litet intervll kring t.e. =, I = d/, +d/], så kommer längden v motsvrnde t-intervll (när d går mot noll tt vr os d. I Mtlb: >> = ; >> d = e-4; >> I = - d /, + d / ] I = 9.9995e-.e+ >> It = sin(i It = 8.444e- >> dt = It( - It( dt = 5.43e-5 >> os( * d ns = 5.43e-5 >> dt - ns ns = -.43e-4 8.45e- När vi kommer till dubbelintegrler måste vi vet hur ren förändrs när vi gör ett vribelbte, t = f(, f : R n R n. en relevnt storheten är determinnten v f (. Här följer någr vnlig betekningr (iblnd nvänds d oh inte : ( f (, (ỹ (f,..., f n (,..., n (, (,..., n, (,..., n empel. Låt oss bt till polär koordinter, = r os ϕ, = r sin ϕ. ] (, (r, ϕ = det r ϕ os ϕ r sin ϕ = det sin ϕ r os ϕ r ϕ r os ϕ ( rsin ϕ = r 4 ] = Hur ser funktionldeterminnten ut för en smmnstt vbildning (båd funktionern går från R n till R n? Vi vet tt: så ( f g = f g det( f g = det( f g = det f det g oh med = g( t, ỹ = f( g( t (ỹ ( t = (ỹ ( ( ( t Vi kn utnttj dett för tt t frm funktionldeterminnten till den invers vbildningen (om det eisterr. ỹ = f( respektive f (ỹ = så tt ỹ = f( f (ỹ Identitetsvbildningen ỹ ỹ hr en funktionlmtris som är enhetsmtrisen (vrför, så tt funktionldeterminnten är ett. Alltså = det f ( det( f (ỹ så tt (ingen fktor kn vr noll, t produkten är ett det( f (ỹ = det f ( empel. Antg vi hr den ffin vbildningen ỹ = f(, med f( = à + t där à är en kvdrtisk, ikesingulär mtris oh t är en kolonnvektor (trnsltion. en invers vbildningen ges v som okså är ffin. = à (ỹ t = à ỹ à t Funktionlmtrisen v f, är f ( = à oh ( f (ỹ = Ã. ftersom = det Ĩ = det(ãã = det à det à det à = så stämmer lltså stsen i dett enkl speilfll. 4 det Ã
Nu till förändringen v reskln. Jg tänker vis dett med enkl vbildningr. empel. Låt oss studer hur enhetskvdrten vbilds v den ffin vbildningen à + t. I dett speiell eempel är ( ( 4 à =, t = oh denn bild visr de två frhörningrn: 3 Absolutbeloppet behöver eftersom det à = i dett fll. Funktionldeterminnten v ỹ = à är det(ã vilket troliggör följnde slutsts: den lokl reskln (trnsformerd re genom ursprungsre är bsolutbeloppet v funktionldeterminnten I vårt eemplet är skln konstnt, men för en llmän ikelinjär funktion beror skln på vr i plnet mn befinner sig. Studerr vi funktionen ỹ = f( när en fi punkt ã så kn vi pproimer (linerisering f med: f(ã + f (ã( ã = f (ã + t ett är ju loklt en ffin vbildning oh för en tillräkligt liten kvdrt kommer reförändringen tt ges v det f (ã. Återvänder vi till bilden v de polär koordintern, kn vi förstå tt funktionldeterminnten är r. 3 4 5 6 7 8 π r-ϕ-plnet Hörnen i den n frhörningen ges v (om vi går moturs: ] ] ] ] à + t, à + t, à + t, à + t Noter tt punktern kommer i olik ordning i de två polgonern (determinnten är negtiv. ϕ plnet Aren på den n polgonen är oberoende v trnsltionen (den flttr ju ll punkter lik mket. Så i själv verket bestäms ren v vbildningen ỹ = Ã. Vi vet från kursen i linjär lgebr tt ren v en prllellepiped, som spänns upp v kolonnern i en mtris Ã, ges v det Ã. Aren v den n frhörningen är lltså det Ã, där ettn är ren v enhetskvdrten. Areförändringen är därför det Ã. r 4 43 3 ubbelintegrler Vi vill generliser, b f( d, till reellvärd funktioner v (i först hnd två vribler. Här två bilder som visr den grundläggnde idén. Låt oss börj med ett område, i --plnet, som är en elprllell rektngel (som i bilden ovn. = {(, : b, d} Vi gör en indelning i - respektive -led. d n j R ij j b f( d b i i m b Rektngel R ij hr ren i j där = i = i i oh j = j j. För tt mät indelningens finhet inför vi längden på digonlen, d(r ij. Låt d m vr det miml d(r ij -värdet (över ll rektnglr. Välj en godtklig punkt, (p ij, q ij i R ij oh bild Riemnnsummn m n R = f(p ij, q ij i j i= j= f(p ij, q ij i j är volmen v ett rätblok (som i bilden på föregående sid. Så om f(, är R en pproimtion v volmen. 44 45
Sts. Antg tt f(, är kontinuerlig. Om indelningens finhet ökr så tt den miml digonllängden, d m, så konvergerr Riemnnsummn mot ett gränsvärde som är oberoende v hur indelningen,,,...,,,... oh punktern (p ij, q ij väljs. Gränsvärdet betekns f(, dd Bter mn ut, i Riemnnsummn, mot ser mn likheten. När vi hr llmännre områden delr vi in i disjunkt delområden, i, ungefär som i följnde figur. i För tt dett skll funger måste oh ll i h väldefinierde reor, rändern måste vr snäll kurvor. Om f är kontinuerlig på en kompkt mängd konvergerr Riemnnsummn, när längst digonlen (över ll i går mot noll. Br för tt vis tt det finns konstig kurvor kommer här någr bilder. Peno-Hilbert-kurvn, 89. Kontinuerlig kurv som går igenom vrje punkt i enhetskvdrten ( spe-filling urve. Skrivs kurvn, ((t, (t, så eisterr derivtorn inte för något t. Kurvn utgör liknr mer en re. 46 47 Från oh med nu ntr vi tt vi hr en kontinuerlig funktion f, på en kompkt mängd, vrs rnd består v ändligt mång kurvor v ändlig längd. ubbelintgerlen eisterr då oh hr följnde egenskper. genskpern överrskr knppst eftersom mn kn fll tillbks på Riemnnsummn. et gäller tt: αf(, + βg(, dd = α f(, dd + β g(, dd, α, β R dd = re v = µ( Om f(, g(,, (, gäller tt f(, dd g(, dd oh om f(,, (, gäller tt f(, dd Tringelolikheten f(, dd f(, dd Om oh är två mängder vrs snittmängd,, är en nollmängd så gäller tt: f(, dd = f(, dd + f(, dd Nollmängd: en mängd som kn täks över med en ändlig mängd elprllell rektnglr vrs smmnlgd re kn görs mindre än vrje ǫ >. Att del upp ett område i två mängder oh som hr ett gemensmt linjesegment ger ett snitt som är en nollmängd, t.e. 3. Skivformeln Vi hr ännu ingen prktisk metod för tt beräkn en dubbelintegrl, men det kommer nu. ubbelintegrlen kommer tt ersätts v två enkelintegrler, itererd integrtion. Vi börjr med ett rektngulärt område, som i följnde bild: z d A( n lämplig nlogi är tt skiv en limp. Limpns volm är summn v v skivorns volmer. Om mn hr skurit tunn skivor så är en skivs volm ungefär skivns re, A(, multiplierd med skivns tjoklek,. Så f(, dd b A( A( d Men A( är ju en vnligt endimensionell integrl: där är konstnt. A( = d f(, d b 48 49
Så när förväntr vi oss tt: b ( d f(, dd = f(, d d empel. Beräkn, med itererd integrtion, h dd, = {(, : b, d} h dd = Tvärsnittsren är konstnt: så tt h dd = A( = b d b d h d } d {{} A( h d = h] d = h(d h(d d = h(d ] b = h(b (d ett är fög förvånnde, eftersom, integrnden är konstnt, h vrför dubbelintegrlens värde är volmen v ett rätblok (höjd h, sidolängder b respektive d. Mn kn skiv limpn utmed längden (i stället för tt skär tvärs över. Motsvrnde formel blir: d ( b f(, dd = f(, d d en inre integrlen svrr nu mot A(, snittets re när mn snittr vid ett givet -värde. en ttre integrlen svrr mot tt mn summerr ihop ll delvolmern, snittren multipliert med tjokleken, d. Vårt problem, med denn integrtionsordning, blir: h dd = så smm svr. d b h d } d = {{} A( d h(b ] d = h(b (d h(b d = Här följer nu en sekvens v lite svårre problem. empel. Beräkn I = 3 dd, = {(, :, } Så I = 3 d = ( 3 d d 3 d = 4 /4 ] = = = /4 I = /4 d = 3 / ] = 8/ / = 7/ Nu kstr vi om integrtionsordningen (för tt trän; det räker givetvis med ender hållet för tt lös uppgiften. ( I = 3 d d Så 3 d = 3 d = 3 3 /3 ] = = = 73 /3 I = 7 3 /3 d = 7 4 / ] = 7/ 5 5 empel. Beräkn I = e dd, = {(, :, } et verkr enklre tt först integrer med vseende på. ( I = e d d = e ] = = d = e d = } {{} e e d d = e ] d / = / } }{{}{{} e }{{} / e där vi nvänt prtiell integrtion för e (integrer e deriver. empel. Antg tt integrnden hr formen: f(, = g( h(. b ( d g( h( dd = g( h( d d = b empel. Beräkn e d g( b h( d d = g( d } {{} beror ej v I = π/ π/ Vi nvänder metoden ovn oh får: I = π/ os d π/ os sin dd d h( d sin d = sin ] π/ os ] π/ = Skivformeln kn nvänds för mer llmänn områden som följnde bild illustrerr. z β( α( f(, dd, = {(, : b, α( β(} Så ren v en brödskiv, fit, är: β( α( f(, d oh summn v ll brödskive-volmern: ( b β( f(, d d α( Så här ser det ut i --plnet. Pilen nger integrtionsriktningen i den inre integrlen. b 5 53
Om området hr utseendet, = {(, : d, ϕ( ψ(} β( bildr vi integrlen genom ( d ψ( f(, d d ϕ( Så det ser ut så här i --plnet. Pilen nger integrtionsriktningen i den inre integrlen. d α( b LB skriver iblnd da i stället för dd oh iblnd skrivs ( b β( b β( f(, d d = d f(, d α( α( vilket lltså inte skll uppftts som en produkt. ϕ ( ψ( Nu någr eempel. Följnde uppgift kn löss med båd metodern ovn. 54 55 empel. Beräkn då ges v följnde bild: I = + dd I följnde eempel spelr ordningen stor roll. empel. Beräkn I = e dd då ges v följnde bild: + = = Alt : Vi integrerr först i -led. ( I = + d d = + 3 /3 ] = = d = ( +( 3 /3 d = / 3 /3 ( 4 / ] = / /3 ( / = /4 Alt : Vi integrerr först i -led. ( I = + d d = / + ] = = d = ( /+( d = ( 3 /6 + 3 /3 4 /4 ] = + /3 /4 ( /6 + = /4 Alt : Vi integrerr först i -led. ( I = e d d Stopp! Alt : Vi integrerr först i -led. ( I = e d d = e ] = d = = ] e = ( e e d = 56 57
empel. I följnde eempel måste vi del upp området: först i led först i led = / = = 4 = + 3. Vribelbte i dubbelintegrler Beräkn f(, dd, { = g(u, v = h(u, v Avbildningen förutsätts vr bijektiv, så tt för vrje (, eisterr preis en punkt (u, v så tt = g(u, v, = h(u, v. en invers vbildningen eisterr då. v Vi integrerr f(, =, först enligt vänstr bilden. ( / ( / dd = d d + d d = ] = / = d + ] = / = d = ( / d+ ( / + d = 3 /6 ] + 3 / 3 / ] = /6 Nu integrtion enligt den högr bilden: ( + dd = d d + / ] =+ d + = ( + / d + ( 4 / ] =4 = d = d d = (4 / d = = /6 (, k k k (u, v k k k Vi gör en indelning v i,,... som ger en motsvrnde indelning v i,,.... I vrje k väljer vi en punkt ( k, k som svrr mot (u k, v k i k, ( k, k = (g(u k, v k, h(u k, v k. För en fin indelning gäller tt (µ( k är ren µ( k det J(u k, v k µ( k där J(u k, v k är Jobinmtrisen g J(u k, v k = u (u k, v k g v (u ] k, v k h u (u k, v k h v (u k, v k u 58 59 Alltså f(, dd f( k, k µ( k k f(g(u k, v k, h(u k, v k det J(u k, v k µ( k k f(g(u, v, h(u, v det J(u, v dudv När indelningens finhet ökr (dimetern så gäller: f(, dd = f(g(u, v, h(u, v det J(u, v dudv Om vi nvänder vår betekning för funktionldeterminnten kn den sist integrlen även skrivs: f(g(u, v, h(u, v (, (u, v dudv empel. Här ett eempel med polär koordinter. I = e + + dd, = { (, + 4,, }.5.5.5.5 Vi bter till polär koordinter, = r os ϕ, = r sin ϕ: = { (r, ϕ r, ϕ π/ } 6 Vi hr redn räknt ut (, = r, så: (r,ϕ ( π/ I = (e r +r os ϕ r drdϕ = re r + r os ϕ dϕ dr = re r ϕ + r sin ϕ π ] ϕ=π/ ϕ= ] dr = π rer + r dr = 4 er + r3 = π 3 4 (e4 e + 7 3 empel. Beräkn ren, A, som inskrivs v ellipsen: et gäller tt: A = + b = { } dd, = (, : + b Vi nvänder elliptisk-polär koordinter: { = r os ϕ, r, ϕ π = br sin ϕ (, (r, ϕ = det så tt ren blir dd = ( π ( os ϕ r sin ϕ b sin ϕ br os ϕ ] = br br dϕ dr = πbr dr = πb Avbildningen ovn är inte bijektiv, t.e. ger ϕ = oh ϕ = π smm (,, nlogt för r =. Om vi bter mot < (oh nlogt på (, -sidn får vi en bijektiv vbildningen. en vlägsnde mängden är dok en nollmängd oh ändrr inte integrlens värde. Normlt utelämnr vi kommentrer v dett slg i prktisk problemlösning. 6
empel. Beräkn ( dd, = { (, : + } n god vn är tt först rit en bild v integrtionsområdet..8.6.4...4.6 + = + = = =.8.5.5 (, ( ] / / (u, v = det / / = / (, (u, v = / et är viktigt tt beräkn rätt funktionldeterminnt, (, inte (u,v (, (u,v oh (u,v. Vi hde dok kunnt utnttj, eftersom vi hr (, ( bevist tt (, (u,v = (u,v. (, Vi testr för tt se tt det stämmer: (u, v (, = det ( ] = oh (u,v (, = n konsekvens v dett är tt vi inte hde behövt lös det linjär ekvtionssstemet för tt uttrk, i termer v u, v. Nu till integrlen: ( dd = u v dudv = u du v dv = 3 3 = 9 Vi noterr tt integrnden pssr ihop med integrtionsområdet, t ( = (( ( +, så ett nturligt vribelbte är: { u = + v = { = (u + v/ = (u v/ Mot området svrr området i u v-plnet där = { (u, v : u, v } t den övre högr rnden svrr mot u = oh den nedre vänstr mot u =. Anlogt för v. Nu till funktionldeterminnten: 6 63 3.3 Generliserde dubbelintegrler f(, kn h en singulritet (f(, är ej begränsd i en punkt. T.e. är det problem tt integrer f(, = /( + i något område som innehåller origo. Funktionen f(, = /( ger problem utmed linjen =. n nnn tp v problem uppstår när f är begränsd men där integrtionsområdet är obegränst. Mn kn givetvis h en kombintion v dess problem. et är lätt tt tänk fel när oändligheten är inblndd, som följnde eempel visr: empel. isterr dd när = {(, : }? Låt oss studer integrlen på en sekvens v begränsde områden: n = {(, : n, n αn}, n =,,..., α >. ubbelintegrlen eisterr över vrje n : I n = dd = n n n ( αn n d d = n / ] =αn = n d = α n d = α n 3 Tr vi α = så gäller tt I =, n. α > medför tt I n, n. < α < medför tt I n, n. Bter mn ut αn mot en mer llmän funktion v n kn mn få I n tt nt vilk värden som helst. ubbelintegrlen är divergent. Vi begränsr oss nu till ikenegtiv integrnder, f(,, (,. et visr sig tt mn kn nvänd itererd integrtion oh följnde regler för tt vgör om integrlen är konvergent (eisterr eller är divergent. Säg tt vi beräknr f(, dd oh börjr med t.e. f(, d. Antg tt denn integrl är konvergent för vrje (den får dok vr divergent i enstk punkter. å är dubbelintegrlen konvergent om oh endst om den ttre integrlen (med vseende på är konvergent. en itererde integrlen ger då dubbelintegrlens värde. empel. Beräkn dd I = ( + +, = {(, :, } Stsen ovn fungerr även vid vribelbte, så vi bter till polär koordinter. ( π/ r dϕ dr ( + r en inre integrlen eisterr för vrje fit r, värdet är ju rπ/( ( + r. Så I = π r ( + r dr = π ] = π ( + r 4 empel. Beräkn I = dd, = {(, : <, < } Vi integrerr först i -led oh noterr tt den inre integrlen eisterr för vrje i : ( d I = d = ] = d = = d = ] 3 3/ = 4 3 64 65
4 Multipelintegrler Vi generliserr nu dubbelintegrlern till trippelintegrler. Mn kn h ännu fler integrler, men det är tämligen ovnligt i tillämpningr. empel. Vi hr en kropp i tre dimensioner, så en mängd (,, z V. Antg tt kroppens densitet, ρ(,, z, beror på (,, z. Vi vill beräkn kroppens mss. Vi borde få en br pproimtion, v mssn, om vi pproimerr volmen med en uppsättning småvolmer (små kuber t.e. oh ntr tt densiteten är konstnt i vrje delvolm. Så om delvolmern är V k, k =,,... oh ( k, k, z k är en punkt i delvolm V k, så gäller mssn k ρ( k, k, z k V k Här väsentligen smm resonemng med Riemnnsummor. Approimer V med delvolmer som utgörs v elprllell rätblok. tt bloks utsträkning definiers v i < i, j < j, z k z < z k I vrje blok tr vi en punkt ( ijk, ijk, z ijk oh bildr Riemnnsummn f( ijk, ijk, z ijk ( i i ( j j (z k z k = i j k oh med i = i i (nlogt för j, z k f( ijk, ijk, z ijk i j z k f(,, z dddz i j k där konvergensen sker när indelningen v volmen förfins. V Summ-formuleringen ger upphov till en beräkningsmetod. f( ijk, ijk, z ijk i j z k = i i j k f( ijk, ijk, z ijk j z k i j k vilket borde konverger mot m ( f(,, z ddz d min där är ett snitt, för fit v V i -z-plnet. Följnde omskrivning är vnligre: f( ijk, ijk, z ijk i j z k = vilket svrr mot i j k ( f( ijk, ijk, z ijk z k i j i j k ( z=β(, f(,, z dz dd z=α(, är ett område i --plnet oh α(,, β(, utgör begränsningstor. empel. Beräkn ( eller V är vnlig betekningr för området z dddz där den punktmängd som ligger i först oktnten oh smtidigt under ( plnet + + z =. Här är en bild. jg hr ritt ut begränsningen i koordintplnen, men inte det täknde plnet. 66 67 z.8.6.4..5 α(, = oh β(, = (eftersom + + z = så tt z =. ( I = z dddz = z dz dd = z / ] z= z= dd =.5 ( / dd Problemet är nu reduert till en vnlig dubbelintegrl. Låt oss integrer med vseende på först: ( ( d d = ( 3 /3 ] = d = + ( 3 /3 d = vilket efter lite räknnde visr sig bli /. empel. Låt oss nvänd trippelintegrler för tt beräkn volmen v ett klot, V = {(,, z : + + z R }. På smm sätt som dd = µ( så är V dddz volmen v V (konstnt densitet ett. Mn kn givetvis nvänd vribelsubstitution även för trippelintegrler oh här är det lämpligt med rmdpolär koordinter (LB vsnitt 4.6. = r sin φ os θ r R = r sin φ sin θ, φ π z = r os φ θ π Så integrtionsområdet är ett rätblok i de n koordintern. Vi behöver funktionldeterminnten (se LB Slutligen I = R ( π ( π (,, z (r, φ, θ = r sin φ r sin φ dθ dφdr = πr sin φ dφdr = R πr sin φ dφ dr = πr ( os φ ] φ=π dr = φ= R πr dr = 4πr 3 /3 ] R = 4πR3 3 vilket vi känner igen. Trippelintegrler är en metod för volmberäkningr. Mn kn även nvänd dubbelintegrler. Om vi vill vet volmen melln --plnet oh funktionstn f(, när (, beräknr vi ju f(, dd. Om volmen ligger melln två tor, den övre z = f(, oh den undre z = g(, bildr vi integrlen v skillnden, f(, g(, dd. Jämför med envribelkursen, där mn kn räkn ut ren melln två kurvor, b f( g( d. 68 69
z n gmml tentuppgift: Skisser smt beräkn volmen v den kropp som innehåller punkten (,, oh begränss v torn: z = + smt z = 3 ( + (3p Lösning: z = + är en prboloid (en kopp oh z = 3 ( + är en uppohnedvänd kopp, volmen är äggformd. Här en bild: 6 5 4 3 Uppgift 6 = 3/ r os ϕ, = 3/4 r sin ϕ, r, ϕ π. Funktionldeterminnten blir: ( ] (, 3/ os ϕ 3/ r sin ϕ (r, ϕ = det = 3/4 sin ϕ 3/4 r os ϕ 3/ 3/4 r os ϕ ( 3/4 3/ r sin ϕ = 3r Volmen blir: π 3 3 3 ( + ( + dd = 3( (/3 (4/3 dd = ( π 3( r 3r dϕ dr = r r 3 dr = 9π r / r 4 /4 ] = 9π 4 3.5.5.5.5.5 Punkten (,, ligger i ägget t om vi beräknr funktionsvärden i origo, för de två torn, får vi oh 3. Projektionen v skärningskurvn, i --plnet, ges v: + = 3 ( + (/3 + (4/3 = Integrtionsområdet ges v.5 = { (, : (/3 + (4/3 } Vi inför elliptisk-polär koordinter,.5.5 Om integrtionsområdet är en ellipsskiv som inte hr entrum i origo får mn nvänd kvdrtkomplettering. Säg tt ekvtionen för skärningskurvn blir: 9 8 + 4 + 6 = (3 3 + ( + 4 36 = ( 3 3 ( + 4 + = 6 6 ( ( + + = 3 en ellips med entrum i (,. Vribelbtet blir nu = + r os ϕ, = + 3 r sin ϕ, r, ϕ π 7 7 5 Kurvintegrler Vi hr nu kommit till det sist integrlbegreppet i denn kurs. Av pedgogisk skäl introduerr jg först en intergrl som vi sedn rskt lämnr. Huvuddelen v vsnittet kommer vi tt studer en nnn, besläktd tp v, kurvintegrl som är intressnt i fsiklisk tillämpningr. I envribelkursen härleds den bestämd integrlen med hjälp v Riemnnsummor: b n f( d f(ξ k k där = < <... < n = b är en indelning v integrtionsintervllet, k = k k oh ξ k k. k ]. Under viss villkor konvergerr summn mot integrlen när n. Vi deformerr nu -eln, så tt vi får kurvn, oh genomför smm tp v resonemng som ovn. f(, k= en undre kurvn i bilden svrr mot det deformerde eln. Vi rör oss utmed kurvn från den vänstr ändpunkten till den högr. Kurvns båglängd, s, svrr mot -koordinten, i den vnlig integrlen. I vrje punkt, s, på kurvn hr vi definiert ett funktionsvärde. Vi gör en indelning v kurvn i delkurvor, där s k är längden, oh väljer en punkt, ( k, k på vrje delkurv, oh summerr ihop: n f( k, k s k f(, ds k= där summn konvergerr mot integrlen, när indelningen förfins. Integrlens värde är lik med ren v det drperi som hänger melln funktionen oh kurvn. Låt ((t, (t, α t β vr en prmeterfrmställning v kurvn. f((t, (t är då ett funktionsvärde på kurvn, för något t oh längden, s, på ett bågsegment borde kunn pproimers v ( (t + ( (t t, enligt följnde bild. ( s ( + (, (t t, (t t s s eformerd el, 7 73
Så, summn borde kunn pproimers med n f((t k, (t k ( (t k + ( (t k t k k= som borde konverger mot β α f((t, (t ( (t + ( (t dt empel. Låt ((t, (t = (os t, sin t, t π, så kurvn utgörs v enhetsirkeln oh tg f((t, (t = t. Integrlen blir π t dt = π vilket är fög förvånnde. Om vi veklr ut drperiet så fomr det en tringel med bredd π oh höjd π. z 8 6 4.5 Rulld tringel.5.5 Vi skll nu titt på ett besläktt integrlbegrepp, som nvänds i fsiktillämpningr. 74.5 Vi projierr då en striml v drperiet på - respektive -eln oh summerr ihop de projierde reorn. z d f(, ds Vi kn pproimer drperiet med en uppsättningr rektnglr, med höjd f(, oh bredd ds, längden på ett kurvsegment, preis som tidigre. Aren v rektngeln blir f(, ds. Säg tt vi i stället projierr en del v drperiet (den mörkgrå polgonen på -z-plnet. Bredden är då d oh höjden ungefär f(, så tt ren är f(, d. Summn v dess projierde reor blir f(, d f(, d Vi kn lterntivt projier på -z-plnet. Aren v en delrektngel blir ungefär f(, d oh summn är f(, d f(, d För tt räkn ut integrlern prmetriserr vi kurvn, ((t, (t, α t β. d oh d kn då skrivs som (t dt respektive (t dt vrför vi definierr: 75 (t d oh f(, d = f(, d = β α β α f((t, (t (t dt f((t, (t (t dt Vi kräver tt kurvn är stkvis deriverbr, vilket kn gör det nödvändigt tt del upp den i delr (när vi integrerr, som i följnde bild, där består v fr delkurvor, så = + + 3 + 4. Kurvn genomlupen i omvänd riktning betekns oh mn kn bevis tt P d + Q d = P d + Q d rperitolkningen är knppst intressnt ur fsiklisk snpunkt, jg hr tgit upp den för tt nknt till retolkningen v integrl, från envribelkursen. Nu ett eempel: empel. Beräkn d + d där = + + 3 definiers v följnde bild. 3 4 Vi kn generliser dett tterligre genom tt inför olik funktioner, P oh Q, i de två integrlern oh bild summn: P(, d + Q(, d = P(, d + Q(, d = β α P((t, (t (t + Q((t, (t (t dt För tt slipp skriv så mket nvänder vi oft skrivsättet: P(, d+q(, d = P d+q d = (P, Q (d, d med en lämplig tolkning v sklärprodukt. Mn kn bevis tt kurvintegrlens värde är oberoende v vlet v prmetrisering för. 76 3 Vi tr kurvsegmenten i tur oh ordning oh börjr med tt prmetriser. Här två lterntiv: : (, = ( t, + t, t : (, = (t, t, t, obs. minus Vi testr båd vrintern, men det räker givetvis med en. ( t ( + t ( + ( t ( + t ( dt = }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} (t (t (t (t (t (t t+t t t dt = t 3 /3 t / t ] = /3+/ = /6 77
Nu till den ndr prmetriseringen. t }{{} (t ( t }{{}}{{} + (t ( t ( dt = }{{}}{{} (t (t (t (t (t t t t + dt = = /6 ftersom dett är integrlen för den omkstde kurvn, får vi bt teken, vilket ger smm svr, /6, som det först lterntivet. Nu till : : (, = (, t, t Vi kn nu vr lite smrt. ftersom kurvn inte vrierr i -led så är (t =, vilket ju även frmgår v prmetriseringen. ärför måste d =. Lite slrvigt kn mn säg tt vritionen i -led, d är noll. rperiet ger tterligre en tolkning. Projierr vi ren ett drperi, som inte hr någon utbredning i -led, på -eln så måste ren bli noll. Så kvr tt beräkn är: d = ( ( t( dt = t / ] = / Slutligen 3 : 3 : (, = (t,, t d-delen blir noll. d = t dt = 3 Så d + d = d + d = + + 3 d+ d+ d+ d+ d+ d = 3 6 + + = 3 78 Begreppet rbete, från mekniken, kn nvänds för tt motiver införndet v kurvintegrler. F ~ ϕ Krften F uträttr rbetet, W = F os(ϕ, i vägens riktning ( krft gånger väg. ftersom F = F (os ϕ, sin ϕ kn vi även skriv tt F os ϕ = F (, oh W = F ((,, innerprodukten melln krft oh väg. Låt oss nu nt tt vi rör oss utmed en krokig väg (i plnet, men dett kn givetvis generlisers till kurvor i rummet. Vi ntr okså tt krften inte är konstnt. Kurvn ges v r(t = ((t, (t, α t β oh krften är F( r(t, Vi är som tidigre intresserde v det rbete som krften utför i vägens riktning. Vi pproimerr kurvn med kort rät linjesegment oh låter krften vr konstnt över ett sådnt segment. O ~ r(t ~ r (t dt ~ r(t + dt ~ F(r(t När tiden går från t till t + dt rör vi oss från r(t till r(t + dt. 79 ftersom (kord oh tngent får smm riktning när dt r(t + dt r(t r (t dt blir rbetet under dett tidsintervll ungefär F( r(t r (t dt. et totl rbetet är summn v delrbeten så: W t F( r(t r (t dt när indelningens finhet ökr. β empel. Antg tt r(t = (t,, t med F( r(t = C = (, (konstnt. Beräkn rbetet som utförs v krften. r (t = (, så tt W = β α F( r(t r (t dt = α C (, dt = F( r(t r (t dt dt = t] = Men dett är inget nnt än vårt först fll, krft gånger väg, eftersom vägen är rätlinjig oh krften är konstnt. empel. Antg tt en prtikel rör sig, med konstnt frt, ett vrv utmed enhetsirkeln oh påverks v en utåtriktd (från origo rdiell krft med konstnt bsolutbelopp. Hur stort rbete utför krften? r(t = (os t, sin t, t π oh F( r(t = r(t, >. r (t = ( sin t, os t så tt W = π F( r(t r (t dt = π π (os t, sin t ( sin t, os t dt = os t sin t + sin t os t dt = ett hde vi kunnt inse utn tt nvänd integrler. Krften är ju hel tiden ortogonl mot riktningen, så krften utför inget rbete (i fsiklisk mening. 8 empel. n prtikel, med mssn m, rör sig utmed kurvn, som definiers v = h(t, i figuren nedn. n konstnt krft (grvittionen med bsolutbeloppet mg verkr i den negtiv -elns riktning oh för tt övervinn denn krft verkr en (obetdligt större eller mindre motriktd krft, F utmed positiv -eln. Hur stort rbete utför denn krft? α F ~ mg Kurvn kn prmetrisers enligt: r(t = (t, h(t, α t β oh F( r(t = (, mg W = β α (, mg (, h (t dt = β α h(t β mg h (t dt = mg h(t ] β α = mg (h(β h(α Arbetet blir lltså mg (h(β h(α, vilket vi känner igen som gmnsieformeln mgh, där h är höjdskillnden. Vi noterr tt om h(β = h(α så hr krften inte utför något rbete. ett beror ju på tt vi får tillbks energi när prtikeln rör sig i negtiv -elns riktning. n krft som hr egenskpen tt rbetet endst beror på strtoh slutpunkt (h(α, h(β kllr mn konservtiv, den konserverr energin. Friktionskrfter är ikekonservtiv. Om vi drr en låd över ett strävt golv så utför vi ett rbete mot friktionskrften. Vi får inte tillbks energin om vi drr tillbks lådn till utgångspunkten. 8 t
Någr detljer: Vi hr sett tt rbete kn skrivs W = β α F( r(t r (t dt där kurvn,, ges v r(t = ((t, (t, α t β. Vi hr okså en orientering v kurvn, vi börjr med t = α oh slutr med t = β (oh inte tvärtom. F är ett krftfält, en vektorvärd funktion v två vribler (i denn kurs, så F : R R. Låt oss del upp krftfältet, F, i två komponenter Arbetet kn då skrivs: β α F( r = (P( r, Q( r = (P(,, Q(, F( r(t r (t dt = β eftersom r (t = ( (t, (t. α P((t, (t (t+q((t, (t (t dt Använder vi nottionen från sist formeln på sid. 76 kn vi skriv: β F( r(t r (t dt = F d r α Lite mer fsik Antg tt vi hr ett krftfält, F( r. Om F d r br beror på kurvns strt- oh slutpunkt, för vrje, så kn fältet beskrivs v en potentil, vi säger tt fältet (krften är konservtivt. Arbetet blir noll om kurvn är sluten. = + F d r = F d r = F d r + F d r = F d r = F d r + tt konservtivt fält hr en potentilfunktion, U (reellvärd, så tt F = grd U. Kurvor i plnet där U är konstnt klls ekvipotentilkurvor (tor i tre dimensioner, det vi brukr kll nivåkurvor. ess kurvor är ortogonl mot fältlinjern. Rör vi oss utmed en ekvipotentilkurv utför fältet inget rbete. empel. Grvittionspotentilen (i tre dimensioner som bilds v en prtikel med mssn M är: U = GM, r = (,, z r där G är grvittionskonstnten. U när r oh U när r. Mssn skpr ett grvittionsfält med fältstrkn: F = grd U = GM r r 3 = r r GM r 8 83 För tt se dett studerr vi U (nlogt för U oh U z : U = GM + + z = GM ( 3 = GM + + z r 3 r/ r är en normliserd riktningsvektor (mot mssn oh / r visr tt krften är omvänt proportionell mot kvdrten på vståndet till mssn. kvipotentiltorn är sfärer, ll med entrum i mssn, oh fältlinjern är rät linjer, rdier, riktde mot mssn. Potentilen är intimt förknippd med den potentiell energin, ( r. n prtikel, med mssn m, som påverks v grvittionsfältet, hr den potentiell energin mu( r, så grvittionspotentilen kn ses som potentiell energi per mssenhet. Mssn m påverks v krften m F( r, så F( r är krften per mssenhet. Givet två punkter, P = (, b,, med potentilen U respektive punkten P = (, b, med potentilen U så definers skillnden i grvittionspotentil som rbetet per mssenhet som uträtts mot fältet vid en förflttning från P till P. U U = F d r där är en kurv från P till P. Minusteknet kommer sig v tt mn vill tt potentilen skll ök när m rör sig mot fältet (när m vlägsnr sig från M. All krftfält kn inte skrivs som grdienten v en potentil, men om fältet kn det, så är det virvelfritt, dvs. med F = (P, Q, R: ( R Q z, P z R, Q P = Uttrket till vänster klls fältets rottion oh betekns rot( F. Rottionen är ett mått på fältets virveltendens. 84 5. Greens formel När kurvn innesluter ett område kn mn gå över från kurvintegrlen till en dubbelintegrl. Sts. (Greens formel Låt P oh Q vr två funktioner med, kontinuerlig prtiell förstderivtor, definierde i en öppen mängd Ω i plnet. Om det kompkt delområdet v Ω hr en rnd som utgöres v en eller fler stkvis, kontinuerligt deriverbr, kurvor oh som är positivt orienterd så är ( Q Pd + Qd = P dd Kurvn är positivt orienterd om området ligger till vänster om kurvn (när vi går runt i kurvns riktning. empel. Vi testr på vårt föregående eempel d+ d. 3 Villkoren i stsen är uppflld, med P = oh Q =, så d + d = ( }{{}}{{} dd = Q P ( d d = ( d = ( 3 /3 ] = /3 85
empel. Vi ändrr föregående uppgift så tt = + 3. Kurvn är nu inte längre sluten oh ringr inte in något område. Greens formel kn inte nvänds direkt. Mång försöker dok gör dett på tentmen oh får då noll poäng på uppgiften. Om vi vill nvänd Greens formel kn vi gör så här: Pd + Qd = Pd + Qd Pd + Qd = + 3 + + 3 ( Q P dd Pd + Qd = /3 / = /6 där jg utnttjt värden vi redn räknt ut. Vi kn nvänd Greens formel för tt räkn ut ren v ett område med rnd. Tg P = oh Q =, då gäller: Q d = P }{{} }{{} dd = dd = µ( Vi kn lterntivt t Q = oh P = d = dd = µ( eller en lämplig kombintion v oh α d + ( α d = α + α dd = µ( empel. Låt oss räkn ut ren v irkelskivn med rnden (, = (r os t, r sin t, t π, r >. π π d = r sin t ( r sin t dt = r sin t dt = π r ost dt = r t sin t ] π = πr empel. Beräkn d där är rnden till följnde område. en inre rdien är r i oh den ttre r. Alt.. d = µ( = πr πr i = π(r r i. Alt.. Låt oss beräkn kurvintegrlern, där vi utnttjr föregående eempel. = + i. d = d + d = d d = i i π r sin t ( r sin t dt + π r i sin t ( r i sin t dt = π (r r i sin t dt = = π(r r i Nu en motivering till en del v Greens formel (se boken för bevis. Låt oss bevis tt ( P d = P dd där ges v 86 87 β( 6 GPS oh reberäkningr Mn kn spr ett spår oh räkn ut den inskrivn ren. Spåret är diskretisert v en uppsättning punkter ( k, k, k =,,..., n Vi sluter kurvn genom tt förbind (, med ( n, n oh låter därför ( n+, n+ = (,. α( ubbelintegrlen kn skrivs: ( P dd = b b P(, ] =β( =α( d = P(, β( + P(, α( d enn integrl är just kurvintegrlen över. Kurvintegrlen blir ju noll över de vertikl delrn. en nedre delen v rnden kn skrivs, (, α(, b, oh den övre, med omkstd orientering, (, β(, b. Mer komplierde områden får dels upp i en union v enkl områden. ubbelintegrlen över hel området blir då summn v dubbelintegrlern över delområden oh kurvintegrlen över rändern melln två delområden blir noll, rnden kommer med två gånger fst med olik orientering. Här följer slutligen en mket prktisk tillämpning v Greens formel. Jg hr en GPS-nvigtor oh om jg går i en sluten sling, ett spår, så kn nvigtorn beräkn ren v det inneslutn området. Hur görs dett? Följnde sidor visr hur det knske går till. b Applier nu Greens formel på problemet: d = d d = µ( = ren Nu är = +...+ n där k är den rät linjesegmentet melln ( k, k oh ( k+, k+. Alltså: n d = d k Antg tt k är prllell med -eln. Vi kn prmetriser k genom: k : ( k, k + t( k+ k, t k= Nu är P(, d = P((t, (t (t dt k Men denn integrl är noll eftersom (t = då är konstnt. t k = k+. ett hde vi kunnt inse direkt. Vi integrerr i -led över ett intervll v längd noll. Antg nu tt k inte är prllell med -eln. Vi kn prmetriser k genom: ( k : t, k + k+ k (t k, k t k+ k+ k I dett fll duger då det lik br med som prmeter. är ju identisk med t i prmetriseringen. Vi får: k+ k+ d = ( d = k + k+ k ( k d = k k k+ k k 88 89