nlytisk meknik Problemsmling Rolf Pulsson och Hnno Essén KTH Meknik 100 44 Stockholm 1987 och 2003 bstrct Denn problemsmling smmnställdes ursprungligen v Rolf Pulsson (Uppsl universitet) 1987 för nvändning i undervisningen på det som då hette Meknik del 4 och som innehöll tredimensionell stelkroppssrörelse och nlytisk meknik, speciellt Lgrnges metod. Numer kommer studenter vid KTH, i bäst fll, till denn nivå i årskurs tre efter två strkt bntde meknikkurser om smmnlgt 10 poäng. Problemsmlingen innehåller därför delvis problem som är lite för svår för den normle teknologen. Icke desto mindre är smlingen ett värdefullt pedgogiskt hjälpmedel. Jg hr därför fräscht upp den med hjälp v L TEX och CorelDrw. Viss redigering v lydelserns tet och beteckningr hr också gjorts, men mest rbete hr lgts ned på figurern. Den ursprunglig ordningen hr bibehållits. Ett ntl småfel hr rättts. Tck till Göst Wingårdh för hjälp med ytterligre felreducering. 1
1 Problem rörnde stel kroppens tredimensionell dynmik z h r Problem 1 En rät cirkulär homogen kon med mssn m, höjden h och toppvinkeln 2α rullr utn tt glid på ett pln, vrvid spetsen hålles fi. Vinkelhstigheten i ett visst ögonblick är ω. Beräkn rörelseenergin. nvänd tröghetsmomenten: J z = 3 10 mr2 och J = 3m ( ) h 2 + r2 5 4. G Problem 2 En homogen kub med mssn m och kntlängden roterr med vinkelhstigheten ω kring en el genom msscentrum och mittpunkten på en v kntern. Hur stor är rörelseenergin? 2
z B t y C O t D Problem 3 En sml homogen stång B med mssn m och längden l roterr med den konstnt vinkelhstigheten ω kring en horisontell el CD, som går genom stångens mittpunkt O och är vinkelrät mot stången. eln CD roterr kring vertiklen genom O med den konstnt vinkelhstigheten Ω. Bestäm som funktion v tiden det krftmoment med vseende på O som ger den ovn beskrivn rörelsen. Svret får ges i komponentform med vseende på det kroppsfi yz-systemet. r l B r Problem 4 En ändpunkten B v en rk stång B med längden l är fäst i centrum v en homogen tunn cirkulär skiv med rdien r så tt stången är vinkelrät mot skivn. Den ndr ändpunkten v stången är med en led, som medger fri vridbrhet i ll riktningr fäst vid en fi punkt. Skivn rullr utn glidning på ett horisontellt pln beläget på vståndet r nednför. B är lltså horisontell. Skivns mss är m och stångens mss kn försumms. Bestäm skivns tryck mot horisontlplnet om B roterr med konstnt vinkelhstighet ω 0 kring vertiklen genom. 3
B O 2 2 Problem 5 En stång B med försumbr mss och med längden 2 är fritt vridbr kring den fi mittpunkten O och ligger hel tiden horisontellt. I B finns en prtikel med mssn m och i kn ett hjul i form v en homogen cirkulär skiv med rdien och mssn m med försumbr friktion roter kring B, somär norml till hjulet i dess medelpunkt. Hjulet stöder mot ett plnt strävt horisontellt underlg. Systemet sätts i rörelse så tt hjulet tilldels en rottionshstighet 4ω 0 i riktningen B, smtidigt som eln ges en rottion ω 0 vertiklt nedåt. I börjn glider hjulet men så småningom inträder ren rullning. Hjulet förutsättes hel tiden vr i kontkt med underlget och friktionen förutsättes verk i hjulets tngentriktning. Beräkn hjulets och elns rottionshstigheter när ren rullning inträtt. Beräkn även hjulets tryck mot underlget i dett fll. 4
O mg Problem 6 En rk homogen stång O (längd 2l, mss m) är fritt vridbr kring sin en ändpunkt O, somär fi. I först ögonblicket är stången horisontell (θ = 0) och roterr kring vertiklen genom O med vinkelhstighet ϕ = ω. Under inverkn tyngdkrften börjr den vrid sig kring en horisontell el genom O. Beräkn ϕ som en funktion v θ för den följnde rörelsen smt beräkn vändlägen för θ rörelsen. L R O Problem 7 En snurr består v en skiv med rdien R och en rk lätt stång som utgör snurrns el. Denn el går genom en fi punkt O. vståndet melln O och skivn är L. eln bildr med vertiklen i O en fi vinkel α. Plnet genom snurrns el och vertiklen i O roterr med en konstnt vinkelhstighet Ω kring vertiklen i O. Bestäm snurrns vinkelhstighet ω reltivt dett pln. 5
h Problem 8 En homogen likbent tringulär skiv med bsen och höjden h roterr med konstnt vinkelhstighet Ω kring en vertikl el genom tringelns spets. Tringelns bs är hel tiden horisontell och rottionen sker kring en gltt kulled i tringelns spets. Beräkn den vinkel α som tringelns höjd bildr med vertiklen. R r/2 r Problem 9 En snurr består v en homogen, cirkulär skiv med rdien r och en lätt el med längden r/2 vinkelrätt mot skivn genom dess medelpunkt. elns ändpunkt är lgrd i en punkt på periferin till en horisontell cirkulär krusell med rdien R, så tt snurrns el kn rör sig utn friktion i ett vertiklpln, som innehåller krusellens el. Krusellen hr den konstnt vinkelhstigheten Ω kring sin el, och snurrn hr den konstnt vinkelhstigheten ω reltivt krusellen kring sin el. Sök vinkeln α melln snurrns el och vertiklen. 6
r R Problem 10 Ett mynt rullr utn rullningsmotstånd på ett horisontellt bord längs en cirkel med rdien R. Myntet betrkts som en tunn homogen skiv med rdien r och mssn m. Myntets pln bildr vinkeln α = rcsin(r/r) med vertiklplnet genom skärningslinjen melln myntets pln och horisontlplnet. Hur lång tid behöver myntet för tt rull ett vrv runt cirkeln på bordet? 2n t C O 2N t z D y l l Problem 11 En homogen jämntjock cirkelrund skiv med mssn M och rdien roterr runt den horisontell eln CD med den konstnt vinkelhstigheten ω =2πN. elncd i sin tur vrides enligt figuren runt en vertikl el mitt under skivn med den konstnt vinkelhstigheten Ω = 2πn. Skivn sitter mitt på elncd, somhrlängden 2l. elns tyngd kn försumms. ) Sök påfrestningen på lgren C och D. b) Sök n så tt trycket i en lgret blir noll. Siffervärden: l = =0.5meter, N = 1800 vrv per minut, tyngdccelertionen g π 2 m/s 2. 7
B F D O C E Problem 12 eln B till en rottionssymmetrisk snurr är lgrd i en rektngulär rm, vridbr kring eln CD. CD är B och psserr snurrns tyngdpunkt O. vstånden är O = BO = L. pprten är enligt figuren monterd på en pltt. Rmens rottion kring CD hindrs v trådr E och BF som är B och CD. Dess trådr är från börjn sträckt men spänningslös. Snurrns tröghetsmoment kring B är J och dess vinkelhstighet reltivt rmen är ω, moturs sett från. Om hel pprten vrides kring en el B och CD med vinkelhstigheten ω 0,moturssettfrån O dvs ovnifrån så uppträder en spänning i trådrn E och BF. Vilken tråd blir spänd och hur stor blir spänningen? R O r R P r Problem 13 En vertikl stång O med längden r är fäst i ett horisontellt tk. I den nedre punkten är en lätt stång P med längden R monterd i en gltt universlled. En cirkulär homogen skiv är monterd med medelpunkten i P, vinkelrät mot P. Skivn, vrs mss är m och rdie r, rullr i tket utn tt glid. Kontktpunkten beskriver en cirkel med rdie R. Tyngdccelertionen är g. Skivns vinkelhstighet reltivt plnet OP är ω. Sök skivns tryck mot tket och det minst ω som krävs för bibehållen tkkontkt. 8
C B r b D Problem 14 En elektrisk motor med tyngden mg vilr på två sml lister, vilk är fststt på en horisontell skiv, som vrider sig med konstnt vinkelhstighet Ω moturs sett uppifrånkringenvertiklelcd, vilken skär rottionselns medellinje B. Listern är vinkelrät mot B och befinner sig på vstånden och b från CD enligt figuren. Rotorn vrider sig reltivt sttorn med den konstnt vinkelhstigheten ω r moturs sett från B. Sttorn är symmetrisk med vseende på vertiklplnet genom B och det mot B vinkelrät plnet genom CD. Rotorns tyngdpunkt ligger i skärningspunkten melln B och CD och tröghetsellipsoiden i tyngpunkten är rottionssymmetrisk kring B. Rotorns tröghetsmoment med vseende på B är J. Hurstorfår Ω högst vr för tt motorn skll stå still på listern? v Problem 15 En sportbil med gsturbinmotor psserr på rk väg ett bckkrön med hstigheten v. Bckkrönet hr krökningsrdie ρ. Gsturbinens el är orienterd i bilens längdriktning, rotorn hr tröghetsmomentet J kring turbineln och vinkelhstigheten ω reltivt bilen, så tt rottionsvektorn ω pekr frmåt. Förren märker härvid tt bilen visr en tendens tt sväng åt en sidn. ) Åt vilken sid och hur stort vridnde moment behövs för tt håll bilen påvägen? b) Hur stor blir speciellt momentet i SI-systemet om v =30m/s,ρ = 100 m, J =1kgm 2 och ω = 2000 rdiner per sekund? 9
z C D y B C D Problem 16 En kvdrtisk homogen luck BCD med kntlängden kn friktionsfritt roter kring den horisontell knten B. Lucknstår först vertiklt men rubbs obetydligt och fller. Då D är horisontell slår hörnet D mot en fi punkt D och fstnr. Det ntges tt hörnet B smtidigt lossnr (utn stötkrfter), smt tt luckn börjr roter kring D med en vinkelhstighet ω.sök ω. O B b y Problem 17 En jämntjock, homogen, tunn skiv i form v en rätvinklig tringel OB med mss m är fritt rörlig kring en fi kulled i den rät vinkelns spets O. Kteterns längder är OB = och O = b. Från börjn fsthålls punkten, och skivn roterr med vinkelhstigheten ω kring O. Plötsligt släpps bindningen vid, och punkten B fiers i stället. ) Hur stor blir den ny vinkelhstigheten ω kring OB omedelbrt efter fierndet v B? b)hurstorblirdenib uppträdnde stötimpulsen S z? 10
z R m T R P v m y Problem 18 En tunn homogen cirkulär skiv med rdien R och mssn m hänger i vil i en fi punkt på periferin. Skivn kn friktionsfritt roter i ll riktningr kring, som lltså är en gltt kulled. En prtikel med mssn m och hstigheten v riktd vinkelrätt mot skivn träffr denn i en punkt P på periferin och fstnr där. Punkten P ligger längst till höger, sett från prtikeln, på smm höjd som skivns medelpunkt T. Vinkeln T P är således en rät vinkel. ) Bestäm till storlek och riktning vinkelhstigheten omedelbrt efter stöten. b) Bestäm även stötimpulsen i. 11
2 Problem med tillämpningr på Lgrnges ekvtioner R P Problem 19 Ett rör i form v ett rkt, cirkulärt, cylindriskt skl med mss M och rdie R kn rull utn glidning på ett horisontlpln. Inuti sklet glider en prtikel P med mss m, medförsumbr friktion. Låt ϕ vr vinkeln melln vertiklen och P, linjen från cylindereln till prtikeln. Systemet börjr sin rörelse utn begynnelsehstighet och med prtikeln vid ϕ = π/2. Beräkn cylinderelns läge, med = 0 vid strtläget, som funktion v ϕ. l B P C l l y Problem 20 Två lik, homogen, jämntjock stänger B och BC, båd v längden l, är förende med en gltt led vid B. Ändpunkten kn vrid sig kring är fi gltt led. Stängern fsthålles först i rät linje i horisontlplnet genom. En mycket liten prtikel med försumbr mss plcers i en punkt P på stången BC:s översid, vrefter systemet släpps och börjr rör sig (fll), utn begynnelsehstighet. På vilket vstånd från B kn prtikeln vr plcerd, för tt dess kontkt med stången ej skll upphör omedelbrt efter tt rörelsen börjt? 12
O l B Problem 21 Ändpunkten på en pendel i form v en stång B kn friktionsfritt rör sig längs en rät horisontell linje (-eln). Stången är rk och homogen. Den hr längden l och mssn m. Denrör sig i ett vertiklpln där den kn roter fritt kring. Ändpunkten påverks v en periodisk krft F = mg cos(ωt), där 3 ω2 = g/l, längs den horisontell -eln. ) Uppställ pendelns rörelseekvtioner. b) Bestäm rörelsen under förutsättning tt stångens lutningsvinkel ϕ och vinkelhstighet ϕ lltid är små. nvänd begynnelsevärden (vid t = 0): (0) = ẋ(0) = ϕ(0) = ϕ(0) = 0, där är :s läge. z y O Problem 22 En skål hr formen v en elliptisk prboloid vrs ekvtion kn skrivs 7( 2 + y 2 ) 2y =24cz. Den ställs med z-eln lodrätt uppåtriktd, så tt en prtikel kn befinn sig i jämvikt i origo O. Skålens insid är gltt. Beräkn vinkelfrekvensern ω 1 och ω 2 för de båd egensvängningrn, som prtikeln kn utför i närheten v jämviktsläget O. 13
z B q t k m Problem 23 En vikt med mssn m kn glid friktionsfritt längs ett rkt horisontellt spår B. Melln mssn och änden v spåret går en spirlfjäder, v försumbr mss, med fjäderkonstnt k. Som figuren visr är mssns jämviktsläge bortom spårets mittpunkt från sett. Spåret är montert så tt det kn roters kring en vertikl el genom spårets mittpunkt. ) Beräkn vinkelfrekvensen Ω för mssns svängning kring jämviktsläget när spåret ej roterr. ntg tt spåret roterr med den konstnt vinkelhstigheten ω. Beräkn: b) mssns ny jämviktsläge uttryckt i Ω. c) ny frekvensen ν för små svängningr uttryckt i Ω. 2m km km r l m Problem 24 En horisontell, rektngulär pltt ligger på två likdn cirkulär cylindrr, vilk är friktionsfritt vridbr kring sin fi lr. Plttn kn rull på cylindrrn utn glidning och utn rullfriktion, vrvid desss lr ständigt är prllell med en kntlinje i plttn. Cylindrrn, som är homogen med rdie r, hr vrder mssn km. Plttns mss är 2m. I plttns mittpunkt är en mtemtisk pendel med mssn m och längden l upphängd. Uppställ de Lgrngesk rörelseekvtionern för systemets rörelse och integrer dem för små svängningr hos pendeln. I begynnelseögonblicket är systemet i vil, plttns mittpunkt mitt emelln cylindrrn ( = 0) och pendeln bildr vinkeln ϕ(0) = α med vertiklen. 14
3 Svr och nvisningr Svr 1 Noter tt vinkelhstighetsvektorn är prllell med konens kontktlinje med plnet. Kinetisk energin (eller rörelseenergin) är T = 3mω2 40 6h 2 + r 2 h 2 + r 2 r2. Svr 2 Noter tt kinetisk energin är den smm för ll riktningr på rottionslen genom msscentrum; kuben är en sfärisk snurr. Kinetisk energin är T = 1 12 m2 ω 2. Svr 3 Krftmomentets komponenter blir Svr 4 Tryckkrften blir M = ml2 12 Ω2 sin ωt cos ωt, M y = ml2 6 ωωcosωt, M z = 0. F = mg + mrω2 0. 2 Svr 5 Hjulets vinkelhstighet blir ω 0. eln B får vinkelhstigheten 2ω 0 vertiklt nedåt. Tryckkrften mot underlget blir F =4mω0. 2 Svr 6 nvänd tt rörelsemängdsmomentets vertikl komponenet är bevrd. Mn får med hjälp v dett tt: ϕ(θ) = ω cos 2 θ. nvänder mn energins bevrnde och tt vändlägen i θ-rörelsen inträffr när θ =0får mn tt vändlägen ges v θ min =0och ( ) θ m = rcsin lω2 3g 2 1+ 1. 3g lω 2 Svr 7 Dett är ett eempel på den tung precessernde symmetrisk snurrn. Resulttet bör bli ω = 2Lg [ ( ) L 2 R 2 Ω + 2 1 Ωcosα. R 2] Noter tt om ω 1såmåste Ω 1 och den ndr termen i uttrycket kn dåförsumms jämfört med den först. 15
Svr 8 Du behöver tröghetsmomenten för en tringel. Mn får tt vinkeln kn vr ntingen α = 0 eller ( ) 4g α = rccos. 3hΩ 2 Svr 9 Vinkeln blir ( ) RΩ 2 α = rctn. rωω g Svr 10 Perioden är T = π r g 4cot 2 α cos α sin α +2cotα cos α sin α. sin α Svr 11 ) Krftern på lgren blir N C,D = M 2 ( g ± 2π2 nn 2 l ). b) På en lgret blir då krften noll när gl n = 2π 2 N. 2 Med siffervärden fås då tt krften blir noll när n =2 vrv/minut. Svr 12 Tråden E blir spänd och spänningen ges v Svr 13 Tryckkrften mot skivn blir, S E = Jωω 0 L. N = mr3 ω 2 2R 2 och vinkelhstigheten måste uppfyll mg, ω 2 2gR2. r 3 Svr 14 Störst tillåtn vinkelhstighet blir Ω m = mg Jω. Svr 15 ) Bilen tenderr tt sväng åt vänster och momentet är M = Jvω ρ. b) Med givn dt fås momentet M = 600 Nm. 16
Svr 16 Vinkelhstigheten blir Svr 17 ) Vinkelhstigheten blir ω = 3 4 3g. ω = 2b ω. b) Stötimpulsen blir S z = mω 8. Svr 18 Vinkelhstighetsvektorn omedelbrt efter stöten är ω = v 29R (4 e 20 e y ). Tvångsstötimpulsen i ges v S = mv 29 e z. Svr 19 Mn får tt smbndet blir = mr (1 sin ϕ), 2M + m melln cylinderns läge och prtikelns vinkel. Svr 20 Prtikeln behåller kontkten med stången om ccelertionen nedåt är mindre än g, där den ligger. Noter tt mn endst behöver ccelertionern i först ögonblicket, dvs när ϕ = θ = ϕ = θ =0. Mnfår tt 2l/3 måste gäll om kontkten skll bibehålls. Svr 21 ) Rörelseekvtionern blir med Lgrnges metod ẍ + 1 2 l ϕ cos ϕ 1 2 l ϕ2 sin ϕ = 1 g cos ωt, 3 ẍ cos ϕ + 2 l ϕ = g sin ϕ. 3 b) Mn får, efter linerisering och lösning resulttet: ϕ = 2 [ ( ) cos 6g/l t 5 = l 3 l 5 ( cos )] g/l t, [ ( ) cos 6g/l t + 2 ( )] 3 cos g/l t. 17
Svr 22 Noter tt bidrget till kinetisk energin från ż kn försumms när jämviktsläget. Med teorin för kopplde svängningr fås ω1 2 = g 2c, ω2 2 = 2g 3c. Svr 23 ) Vinkelfrekvensen dåspåret ej roterr ges v Ω= k m. b) Vid rottion blir det ny jämviktsläget Ω 2 q 0 = Ω 2 ω. 2 c) För den ny vinkelfrekvensen Ω fås Ω 2 =Ω 2 ω 2.Frekvensenär då ν = Ω /2π. lltså är frekvensen för små svängnningr kring ny jämviktsläget ν = 1 Ω2 ω 2π 2. Svr 24 Pendelns utslgsvinkel ges v och plttns mittpunkt uppfyller ϕ = α cos ωt där = αl (1 cos ωt) 3+k ω 2 = 3+k 2+k g l. 18