Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers, matrisekvationer Många, fast enkla, begrepp. Läs glosorna, dvs definitionerna!
3.. Matriser Definition 3..1. Låt r och k vara heltal 1. En r k-matris består av r k stycken element ordnade i ett rektangulärt schema enligt nedan: r k kallas format eller typ: a 11 a 1k a r1 a rk a 11 a 1 0 0 1 a 1 a 0 1 0 0 0 1 kvadratiska matriser b 11 b 1 b 31 kolonnmatris a ij : där i anger i vilken rad och j i vilken kolonn element står Matriser betecknas med stora bokstäver: A, B, Diagonalmatriser, t.ex. a 11 0 0 0 a 0 0 0 a 33
Räkneoperationer Definition 3... (Likhet) Matriser A = a ij r k och B = b ij r k är lika, d v s A = B om a ij = b ij för alla i, j: 1 j r, 1 j k (Addition) Låt A = a ij r k och B = b ij r k vara matriser av samma format. Summan av A och B definieras som A + B = a ij + b ij r k = a 11 + b 11 a 1k + b 1k a r1 + b r1 a rk + b rk (Multiplikation med reellt tal) Låt A = a ij r k och λ R. Produkten av A och λ definieras som λa = λa ij r k = λa 11 λa 1k λa r1 λa rk
Matrismultiplikation k m r m = Låt A = a ij r m och B = b ij m k. Då definieras produkten A och B som r k matris C där c ij = a i1 b 1j + a i b j + + a im b mj Exempel 1. A B = 1 4 5 3 6 1 7 + 4 8 7 9 8 10 = 7 + 5 8 3 7 + 6 8 1 9 + 4 10 9 + 5 10 3 9 + 6 10 = 39 54 69 49 68 87 OBS! I detta fall är produkt B A ej definierad! Matrisprodukt skiljer sig från produkt mellan reella tal: A B B A
Räkneoperationer För kvadratiska matriser definieras heltalpotens på samma sätt som för reella tal, d v s om A är en n n matris så definieras A = AA, A 3 = AAA = A A etc Enhetsmatriser (enbart ettor står på huvuddiagonalen): I = 1 0 1 0 0 0 1, I 3 = 0 1 0 etc 0 0 1 Produkt av en matris A och en kolonnmatris B kan skrivas som en linjärkombination av A:s kolonner och koefficienterna i linjärkombinationen är precis elementen i B. Låt t ex AB = 3 4 5 7 9 = 7 + 3 9 4 7 + 5 9 = 7 4 + 9 3 5
Räkneoperationer Låt A, B, C vara matriser av samma format. För addition av matriser gäller: 1) A + B = B + A ) A + B + C = A + B + C 3) Det finns en matris av varje typ r k som kallas nollmatrisen och tecknas 0 sådan att för alla r k-matriser A gäller A + 0 = A 4) Till varje r k-matris A finns en r k-matris A sådan att A + A = 0. Låt A, B, C vara matriser för vilka respektive operationer är definierade. För multiplikation gäller: 1) AB C = A BC ) λa B = A λb = λ(ab), λ R 3) A B + C = AB + AC och B + C A = BA + CA 4) IA = AI = A, där A är en kvadratisk matris och I är enhetsmatrisen av samma typ
Transponat och transponering Låt A = a ij r k vara en r k-matris. k r matrisen A t t = a ij transponatet av A och definieras ur A genom att a t ij = a ji för alla i, j: 1 i r, 1 j k k r kallas Exempel. A = 1 3 π e ln, A t = 1 3 π e ln Exempel 3. Låt e vara en ON bas i rummet och u = ex, v = ey. Då är u v = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 = X t Y Räknelagar för transponering A + B t = A t + B t λ A t = λa t A t t = A AB t = B t A t En (kvadratisk) matris A kallas symmetrisk om A t = A
Multiplicera ekvation med nollskild konstant Byta plats på två ekvationer Addera konst*(ekvation) till annan ekvation Elementära radoperationer Multiplicera rad med nollskild konstant Byta plats på två rader Addera konst*(rad) till annan rad x + y + z = 3x + y z = 3 x + 3y + 5z = 4 3 1 3 5 3 4 x + y + z = y 4z = y + 3z = 0 1 1 0 1 4 0 1 3 0 x + y + z = y 4z = z = x = y z = 8 y = 3 4z = 9 z = 3 0 1 4 0 0 1 x y z = 8 9 3
Lösningsstruktur Sats 3.4.8. Ett linjärt ekvationssystem har antigen exakt en lösning ingen lösning eller oändligt många lösningar Exempel 3.4.3. Lös ekvationssystem 3x y + 4z = 1 x + 4y + 6z = 4 x + 3y 5z = 1 Exempel 3.4.5. Ange en ekvation som a, b, c, d måste uppfylla för att systemet skall vara lösbart: x + y + z = a 3x + y z = b x + 3y + 5z = c x + y + z = d
Trappstegsform 3 1 3 6 3 7 0 1 4 0 1 4 3 radekvivalenta Om matrisen B erhålls efter ändligt många radoperationer på matrisen A så säges A och B vara radekvivalenta. nya rad = gamla rad + c annan rad Att A och B är radekvivalenta skrivs 0 1 4 0 0 0 0 trappstegsform A B Sats 3.4.. Om två ekvationssystem har radekvivalenta totalmatriser så är systemens lösningsmängder identiska.
Trappstegsform Definition 3.5.1. Element a ij i matrisen A kallas pivotelement om a ij 0 och a μν = 0 for μ i, ν j och μ, ν (i, j) En matris kallas trappstegsmatris om alla nollskilda rader står ovanför alla nollrader och om varje nollskild rad har ett pivotelement.
Trappstegsform Definition 3.5.1. Element a ij i matrisen A kallas pivotelement om a ij 0 och a μν = 0 for μ i, ν j och μ, ν (i, j) En matris kallas trappstegsmatris om alla nollskilda rader står ovanför alla nollrader och om varje nollskild rad har ett pivotelement.
Trappstegsform Sats 3.5.. Varje r k-matris är radekvivalent med minst en trappstegsmatris. Om T 1 och T är trappstegsmatriser och T 1 T så har T 1 och T lika många nollskilda rader. T ex 0 1 4 0 0 0 0 1 0 0 8 0 0 0 1 6 0
Rang Definition 3.5.3. Låt A vara en matris och T en trappstegsmatris sådan att AT. Om T har n st nollskilda rader så säges A har rang n och vi skriver rang A = n. Exempel. A = 3 1 3 5 3 4 0 1 4 0 0 1 rang A = 3 B = 0 1 rang B = 1 I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 rang I 3 = 3 C = 0 1 1 Bestäm rang A för A = rang I 3 =?... 3 4 4 5 6 1 5 7
Rang och lösningstuktur Entydig lösning: rang(koeff) = rang(total) = antal variabler 0 1 4 3 0 0 1 3 Ingen lösning: rang(koeff) < rang(total) 0 1 4 0 0 0 3 3 Oändligt många: rang koeff = rang total < antal variabler 0 1 4 0 0 0 3 0
3.6 Matrisinvers Låt a, y R och a 0. Då ax = y a 1 ax = a 1 y x = a 1 y Motivation: Studerar motsvarande matrisekvationen AX = Y där A är en kvadratisk matris. Definition 3.6.1. En kvadratisk matris A kallas inverterbar om det finns en matris B så att AB = BA = I B kallas A:s invers och betecknas A 1 OBS! A, A 1 och B har samma format. Räknelagar. A 1 1 = A A t 1 = A 1 t AB 1 = B 1 A 1 (OBS! ordning) A n 1 = A 1 n för alla heltal n 1
3.6 Matrisinvers Sats 3.6.. Låt A vara en n n-matris. Följande påståenden är ekvivalenta: a. A är inverterbar. b. Matrisekvationen (ekvationssytsem) AX = Y har entydig lösning för alla matriser Y. c. Matrisekvationen (ekvationssytsem) AX = 0 har endast den triviala lösningen, X = 0. d. rang A = n e. A är radekvivalent med enhetsmatrisen.
Exempel: att räkna invers Metod: A I I A 1 Beräkna inversen till Lösning A = 3 3 5 3 3 5 1 0 0 1 3 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 0 1 0 1 1 1 3 1 0 0 1 5 3 1 0 0 1 5 A 1 = 5