ÖERSKT OCH SMMNFTTNNG KURSEN ELEKTROMGNETSM esion 4 Kpiteleeense till läoboken. DL-8... kuv-linje-integl S... tintegl τ... volmintegl KP. 3 Loent-kten. Coulombs lg. Guss lg. Loent-kten på en lning q: F E v q kn ts som einition v E- och -älten W qe bete ö tt ö en lning q ån vil i till vil i i ett elektiskt ält E: Om E ä konsevtivt vs W ä obeoene v vägen kn en potentilskilln einies: φ φ E φ φ φ vs vi kn einie en elektisk potentil sån tt E g φ Dett ä ekvivlent me tt E ö gocklig slutn kuvo. Coulomb-ältet king en punktlning Q i oigo: Motsvne potentil Coulomb-potentilen : Q E 4π φ 4π E E E E Elektiskt ält ån sttiskt punktlningssstem:... 3 φ φ φ φ Elektisk potentil ån sttiskt punktlningssstem:... Q 3 Elektisk potentil ån en mlning : φ 4π ρ τ Fökott skivsätt : φ 4π ρ τ Elektosttisk enegi hos ett punktlningssstem: U 4π i j q q i ij j
Guss lg ö elektisk ältet: E S Q Någ eempel på omle som lätt häles me Guss lg: σ σ E ältstkn utnö ett plnt oänligt likomigt l skikt E ältstkn omeelbt utnö en sttiskt l metllisk t λ E π ältstkn king en oänligt lång k likomigt l tå Q φ 4π R elektisk potentil eltivt oänligheten hos en metllisk sä me lningen Q och ien R KP.4. Elektisk stömm. Q t stömstk J S stöm genom en t S; J ä stömtätheten S J nev stömtäthet i en metllisk lee v E ithstighet hos leningselektonen i en metll; m ä mobiliteten eτ m t genomsnittlig ti melln spining v leningselektonen me ekt ö nomiseing v ess öelseiktning J σ E Ohms lg mikoskopisk om. Hä ä s konuktiviteten σ ne konuktivitet; esistivitet /s l R ρ R Ohms lg mkoskopisk om Resistns hos lee me läng l och tväsnittst P R / R Eektutveckling vämeutveckling i en esistns p J E Eektutveckling pe volmsenhet J t S ρ t τ Kontinuitetsekvtionen vs bevnet v lning. Obs: hä ä lningen pe volmsenhet
3 KP.5. Kpcitns Q C Deinition v kpcitns C C Plttkonensto me lut º vcuum melln skivon L C π ln / i Clinisk kpcitns lut º vcuum melln clinn C 4π R Ensmståene metllsä ie R Q W Q C w E Enegi lg i en l kpcitns Enegi pe volmsenhet hos elektisk ältet i vcuum KP.6 Elektomotoisk spänning ems E v ic Föst temen ä et v icke-konsevtiv elektisk ält utö betet pe lning une ett vv. Den n temen epesente s.k. öelse-ems se smmnttningen ö kp.9-. Polspänningen i t.e. ett glvniskt element KP. 8 Mgnetältet king en sttionä elle kvsisttionä stöm. L 4 π π L 4 J τ 4π Q v 4 π ån en stömtäthet J iot-svts lg mgnetisk ältet king ett stömelement L integet längs stömbnn ältet ån punktlning i likomig öelse v << c. tillämpning: ältet i centum v ciculä stömsling
4 tillämpning: ältet king lång k stöm π mpèes lg i kvsisttionä ppoimtionen J S mpèes lg uttckt me stömtätheten J genom tn n tillämpning: ältet inuti lång k solenoi n vv/längenhet N tillämpning: ältet inuti tooi på vstånet ån tooiens mittpunkt π S Guss lg ö et mgnetisk ältet KP.7 Mgnetältet som en eltivistisk eekt. Fö ett stuium v eltivistisk spekte kn mn t.e. jämö en elektisk och en mgnetisk kten som i olik koointsstem vek på en lning bevi en stömöne lee kp.7. Utgångspunkten ä omeln ö et elektisk ältet king en lång k likomigt l tå och omeln ö et mgnetisk ältet king en stömöne lee smt omeln ö eltivistisk längkontktion tillämp på e positiv och negtiv lningstätheten i leen. KP.9 Fs lg. nuktionslgen. Fs lg E S bö lämpligen upptts som tt ett i tien viene mgnetiskt ält upptäe tillsmmns me ett icke-konsevtivt elektiskt ält. Dett bö säskiljs ån s.k. öelse-ems vilken kn beskivs v en mcket likt omel nämligen v S ä ä en ems som inuces i en lene kets å et mgnetisk löet F genom ketsen vie på gun v tt ketsen ö sig elle än om i ett konstnt mgnetält. Fs och inuktionslgen ö öelse-ems kn smmntts me Φ Minustecknet motsv Len lg. t
5 Mwells ekvtione i vcuum: Q S S ρ τ E Guss lg ö elektisk ältet Guss lg ö mgnetisk ältet E S J Fs lg E t S mpèes lg komplette me öskjutningsstömtätheten i E vcuum. Fösumms enn ås kvsisttionä t ppoimtionen. KP. nuktion inuktns enegi hos mgnetisk ältet. nm. Smbolen Φ ö et mgnetisk löet genom en spole me N vv kn tolks på olik sätt. bln nts tt smm löe Φ gå genom vje vv och tt et totl löet i spolen sålees ä. Ot N Φ vses emelleti me Φ just et totl löet genom spolen vs summn v löen genom ll vven vilket nog ä ett bätte skivsätt etesom et kn ömos tt mn i llmänhet inte h pecis smm löe genom vje vv. i skll äö me Φ men et totl löet genom spolen lltså summn v löen genom ll vven. L Φ Deinition v självinuktnsen hos en spole L nuce ems i spolen enligt Fs lg L N / b Självinuktns hos lång solenoi läng b tväsnittst M Φ i spole ån spole Φ i spole ån spole Ömsesiig inuktns nuce ems hos ett sstem v två spol: L L M M L W Enegi lg i inuktns å stömmen ökt ån noll till w Enegi pe volmsenhet hos mgnetiskt ält i vcuum
6 KP. Kten på stömm i mgnetisk ält. F L Kten på en k stömöne lee L i ett homogent mgnetält F L Geneliseing till ej k lee L i stömmens iktning i ält m Mgnetiskt ipolmoment hos pln stömsling me en högehnsegeln ö iktning hos tvekton τ m imoment på liten mgnetisk ipol stömsling i ält mek m U Meknisk potentiell enegi hos ipolen slingn E v Hll-eekten: E beloppet v et tnsvesell elektisk ältet vs en komponent v et elektisk ältet som ä vinkelät mot såväl ithstigheten v som mgnetältet. Obseve tt ältets iktning beo på lningsbäns tecken. KP. Gunläggne ketsteoi En ielise kets bestå v noe åtskil v komponente ketselement. Ketsen kn också ses som beståene v msko enkl slingo me komponente. Une viss ntgnen kn vje no nses h en viss potentil i vje ögonblick. Häv ölje tt potentilspången vi vning unt en msk skll å summe sig till noll Kichos öst lg.totl stömmen in i en no ä llti noll Kichos n lg. Följne omle ö smbnet melln spänning potentilskilln öve och stöm genom ketselementen esistns kpcitns och inuktns öutsätte tt och einiets så tt potentilen nts ll sjunk vi pssge v ketselementet i stömmens iktning. R Q Q C C L Q h hä einiets så tt ett positivt ge ökne Q L R L R nuktnsen kn ltentivt epesentes som en ems L. Eempel: ö enkel msk me enst L och R ge Kichos öst lg Tnsient ölopp eponentiell ölopp elle ämpe svängning i RL RC RLC-kets. Note specilllet oämp självsvängning i LC-ketsen. Sinusome ölopp t.e. sin ω t ϕ sin ωt mplitue ω π vinkelekvens ekvens T / peio ϕ söskjutning hos spänningen eltivt stömmen. Eektivväe v t.e. stömmen ä oten v meelväet v öve en peio T och ges v
7 motsvne ö spänning e Ot skivs e inte ut. R och i s ω L 9 öe ω C 9 ete Smmnttning: Z ä Z ä impensens bsolutbelopp. isigm kn nväns ö tt beäkn totl impensens bsolutbelopp hos koppling beståene v le R L elle C liksom söskjutningen melln spänning och stöm. Eektutveckling i en impens genomsnitt öve vje peio T: P cosϕ Z cosϕ v e e e jω-metoen komple metoen. Stöm och spänning epesentes v komple vible ep jω t ep jω t Den veklig stömmen och spänningen ges v [ ep ] Re jω t espektive Re[ ep jω t]. Z ä Z ä en komple impensen. ltentivt Y ä Y /Z ä mittnsen. polä epesenttion: ep jϕ Z Z ep jϕ ep jϕ Z ep j ϕ ϕ Z Z vv eltionen melln mplituen smt söskjutningen melln och : Z ϕ ϕ ϕ Z isigm i komple tlplnet bekvämt hjälpmeel. Seiekoppling: Z Z Z Z 3... Pllellkoppling: Y Y Y Y 3... vs... Z R esistns Z jωl inuktns Z Z Z e Z jωc Z kpcitns Eektutveckling: se ovn kn skivs P Re[ Z]. v 3
8 KP.3 Elektisk och mgnetisk ipole. q q i i i i i p ρ τ ä ρ τ Elektiskt ipolmoment: p ä elle Potentil på stot vstån ån ett elektiskt ipolmoment plcet i oigo: p φ Elektiskt ält: E gφ 4 π U p E Potentiell enegi hos ipolen plce i ett ält E: imoment på ipolen i et eten ältet: τ p E Kt på ipolen i ett konsevtivt elektiskt ält: F g p E Kt på ipolen i ett elektiskt ält llmänt: E E E j j j F p p p ; j j Mgnetiskt ipolmoment: m i m i Dipolmomentet ån en pln stömsling me t och stöm : m m tvektons oienteing enligt högehnsegeln. Potentiell enegi hos ipolen plce i ett etent ält : U m Kt netto på ipolen i et eten ältet: F g m imoment på ipolen i et eten ältet: τ m KP.4 Fält i mteiell meie. Låt v en liten volm cente på positionen men sto nog tt innehåll mång tome/molekle. Då ä en elektisk polistionen P p n < p > i ä n ä ntlet ipolmoment e. polisee tome pe volmsenhet i omgivningen v och <p> meelväet v p i i volmen. ektoältet P nge lltså ipolmomentet pe volmsenhet. Den mgnetisk polistionen M einies på motsvne sätt. ie einies E och tt v e mkoskopisk elektisk espektive mgnetisk älten i meiet vs meelälten inom små volme king punkte.
9 Den elektisk polistionen ä ssocie me en bunen mlningstäthet ρ b i meiet en bunen tlningstäthet σ b på meiets to smt en bunen stömtäthet J P i meiet enligt P S ρ τ integtionstn nts ligg helt inom meiet b σ P n b P P t J J P öskjutningsstömtäthet öskjutning v tomä lning Den mgnetisk polistionen ä ssocie me en bunen stömtäthet J b i meiet enligt M J S b smt till en bunen tstömtäthet J s på meiets to given v Deinition v D-ältet: D E P J s M n. Deinition v H-ältet: H M vs H M Me ovnståene einitione och omle smt me uppelning i i och bunn lningstäthete och stömtäthete enligt ρ ρ ρ b J J J J P b ås me insättning i Mwells ekvtione i vcuum se ovn Mwells ekvtione ö älten i mei: Mwells ekvtione i mei: S ρ τ D Guss lg ö D-ältet S Guss lg ö -ältet E S D t H J S Fs lg mpèes lg komplette Dielektisk mei vse vnligen sån ä P χ E E ä χ E ä meiets ielektisk susceptibilitet. Häv ölje D E P χ E E E E ä ä meiets eltiv pemittivitet elle eltiv ielektisk konstnt men ä meiets pemittivitet elle ielektisk konstnt. eteckningn kn vie något. Fö vcuum ä χ E och. Enegi pe volmsenhet hos et elektisk ältet i ett ielektikum: Fältlinje bts vi pssge v t melln två meie me olik. w E ED
Dimgnetism och pmgnetism De lest meie. Mcket svg mgnetiseing ä meiets mgnetisebhet en mgnetisk susceptibiliteten M χ H m χ m buk einies enligt vv H M χ H H H m ä klls meiets eltiv mgnetisk pemebilitet och ess mgnetisk pemebilitet. Dimgnetism: χ m <. Pmgnetism: χ m >. Note tt χ m M χ χ m Om χ << et vnlig llet ås m χ χ m. Mwells ekvtione i ett meium me konstnt och h smm om som i vcuum me estt v v ρ v ρ och J v J. Feomgnetism i tempetue une en s.k. Cuie-tempetuen ås spontn och i et nämste ullstänig mgnetiseing inom små volme klle omäne. Une invekn v ett tte mgnetiskt ält äns omänen till stolek och mgnetiseingsiktning vvi meiet mgnetises. Mgnetiseingen tt uppvis en viss etesläpning hstees. Une viss öhållnen kn mgnetiseingen ppoimtivt beskivs me en konstnt pemebilitet. i tempetue öve Cuie-tempetuen ösvinne omänen meiet bli pmgnetiskt. Hsteeskuv ä som unktion v H elle vice ves. Note jungukuv mättn emnens och koecitivkt. Utättt bete pe volmsenhet å äns ån till ges v w H Utättt bete une ett vv på hsteeskuvn en v kuvn inneslutn tn. Om H konstnt ås w H Tnsomton: självinuktns och ömsesiig inuktns melln pimä - och sekunä -spol smt beoene v belstning. Me ösumb öluste och lämplig belstning ås nä nog iel tnsomto:. N N N N
KP.5 pp.5 Gienten ivegensen ottionen Lplce-opeton. Mwells ekvtione på ieentiell om. Nbl-opeton Gienten Divegensen iv Guss sts: τ S iv Rottionen ot Stokes sts: S ot Någ viktig omle : ä g iv otot iv g iv ot g ot Lplce-opeton Mwells ekvtione på ieentiell om: D ρ iv iv t E ot t D J H ot
Reltee eltione ö polistion: iv P ρ b ot M J b Specilll: Mwells ekvtione i meie me konstnt och : iv E ρ iv E ot E ot J t t Kontinuitetsekvtionen: ρ iv J t KP.6 Poissons ekvtion. Lplce s ekvtion. Entighetsteoemet. illningsmetoen.ektopotentilen. Guge-tnsomtione. i nt hä ö enkelhets skull ält i vcuum.. Fån Guss lg ås om et elektisk ältet h en potentil φ φ ρ Poissons ekvtion Om lningstätheten ä noll ås specilllet φ Lplce-ekvtionen Entighetsteoemet: om potentilen φ ä given på begänsningston till ett omåe så h Poissons ekvtion en en lösning inom omået. Möjliggö billningsmetoen.. nöne v vektopotentilen t: E gφ t ot Me ess nstse upplls Guss lg ö mgnetältet och Fs lg utomtiskt. Guss lg ö et elektisk ältet smt mpèes komplettee lg omskivs me hjälp v s.k. gugetnsomtione. Dett ä nlogt me tt mn kn e en gocklig konstnt till en potentil φ och änå å smm ktält F - g φ.
3. Coulomb guge iv ge els Poissons ekvtion ö φ ovn els en ekvtion ö som i et tisobeoene llet bli J Lösningn ill lningstäthete och stömtäthete ä kän ä 4 τ ρ π φ 4 τ π J U en sene ekvtionen kn t.e. iot-svts lg häles. b. Loent guge iv t φ ge istället öljne ekvtione ö φ och : ρ φ φ t J t Eplicit lösning i et ll tt mn känne ρt och Jt kn viss v e s.k. etee potentilen 4 τ ρ π φ c t t 4 τ π c t t J ä et ses hu älten i bestäms v lning och stömm i me hänsn tget till en ti et t ö eekten v äne lning och stömm tt nå me ljusets hstighet c ån till. ett omåe ä ρ och J bli ekvtionen istället t φ φ t vilket ä ekvtione ö vågo som otplnt sig genom tomummet me ljushstigheten c KP.7 Elektomgnetisk vågo. Ponting-vekton. vt llmän våg elle vågpuls åt höge på -eln; stisie t v vågekvtionen i en imension
4 φ φ vågekvtionen i te imensione φ φ t v t iktigt specilll: π vt sin k vt sin sin k ωt sinπ λ λ t ä k vågtl π /λ λ vågläng ekvens /T T peio ω π vinkelekvens. Fshstigheten v λ ω / k. Mwells ekvtione i ett meium utn lning elle stömm men me konstnt och specilll: vcuum stisies t.e. v öljne plnpolisee hmonisk våg: E E sin k ω t sin k ω t Fshstigheten ä v och mplituen öhålle sig enligt E v vcuum: E c. Supeposition kn nväns ö tt konstue gocklig ej hmonisk vågo vågpket och vågo me nnn t.e. ciculä polistion. Fö en elektomgnetisk våg i vcuum ä hstigheten c otplntningsiktningen ges v E och enegin pe volmsenhet v w E vv ås tt enegi tnspote pe tisenhet och tenhet vi en viss punkt och tipunkt ges v Ponting-vekton E/c N E E H Fö en sinusom våg ä intensiteten meelväet v N öve en peio. Stålningstcket på en peekt bsobene t ä / c. Pontingvekton beskive inte enst enegitnspoten hos elektomgnetisk vågo. llmänt gälle Pontings teoem: S N S E J τ D E τ t H τ t