Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type I (type II) error Sigificace level Power p-value Hypotesprövig Nollhypotes Mothypotes Ekel / sammasatt Esidig / tvåsidig Förkasta Testvariabel Typ I- (typ II-)fel Sigifikasivå Styrka p-värde 1
Nollhypotes och mothypotes Med hjälp av data frå ett stickprov vill vi pröva hypoteser om de populatio eller de saolikhetsfördelig som stickprovet kommer frå. Vi har e ollhypotes (H 0 ) som ställs mot e mothypotes (H 1 ). Fråga är: Ger stickprovsdata aledig att förkasta H 0 (till förmå för H 1 ) eller skall vi hålla fast vid H 0? Ex.: I e politisk partisympatiudersökig säger sig 14% av de utvalda persoera sympatisera med parti A. Vi vet att i seaste valet fick parti A 12% av röstera. Har adele A-sympatisörer i populatioe ökat seda valet? H 0 : Adele är oförädrad. H 1 : Adele har ökat. Skall vi förkasta H 0 eller ej? 2
Om vi aser att det höga värdet i stickprovet ka förklaras av slumpe (ifall H 0 är sa), så håller vi fast vid H 0. Om vi aser att adele i stickprovet är högre ä vad som rimlige ka förklaras av slumpe, så förkastar vi H 0. Vi ka aldrig vara 100% säkra på att fatta rätt beslut. Statistisk hypotesprövig iebär att vi aväder vissa beslutsregler för är vi skall förkasta H 0 (och är vi skall hålla fast vid H 0 ). Dessa beslutsregler är utformade så att vi har e viss kotroll över riske för felaktigt beslut. Det fis e asymmetri i behadlige av H 0 och H 1 i statistisk hypotesprövig. Som H 0 väljer vi de hypotes som vi i det lägsta håller fast vid. Vi kräver extra starkt stöd frå observerade data för att H 0 skall förkastas. Bevisbörda ligger hos de som förespråkar H 1. Ofta iebär H 0 ågot i stil med ige förädrig, ige effekt, ige skillad, meda H 1 kaske är de ur tillämpigssypukt djärvare och mer itressata hypotese. 3
Hypoteser avser oftast värde på populatiosparametrar. Exempel på hypoteser om populatiosmedelvärde: H 0 : µ = 50; H 1 : µ 50 (ekel ollhypotes; tvåsidig mothypotes) H 0 : µ 50; H 1 : µ > 50 (sammasatt ollhypotes; esidig mothypotes) Exempel på hypoteser om populatiosproportioer: H 0 : π = 0,1; H 1 : π 0,1 (ekel ollhypotes; tvåsidig mothypotes) H 0 : π = 0,12; H 1 : π > 0,12 (ekel ollhypotes; esidig mothypotes). 4
Klassisk hypotesprövig, allmät Det gäller att fatta ett beslut: Förkasta H 0 eller ej? Vi ka aldrig vara helt säkra på fatta rätt beslut. Det fis två typer av fel som vi ka göra: Verklighete: H 0 sa H 0 ite sa Beslut: Ej förkasta H 0 Riktigt beslut Felaktigt beslut (Typ II-fel) Förkasta H 0 Felaktigt beslut (Typ I-fel) Riktigt beslut Vid klassisk hypotesprövig håller ma slh för typ I-fel uder kotroll. Ma ser till att de får ett i förväg bestämt värde, α, som sätts lågt (ofta α = 0,01, 0,05 eller 0,10). α = testets sigifikasivå = P(Förkasta H 0 H 0 sa) Slh för typ II-fel försöker ma seda edbriga geom att välja stickprovet tillräckligt stort. Tillvägagågssättet vid klassisk hypotesprövig är i huvudsak följade: 5
1. Formulera hypoteser, H 0 och H 1. 2. Bestäm e sigifikasivå α = saolikhete (riske) att förkasta H 0, är H 0 är sa. Ofta väljs α = 0,01, 0,05 eller 0,10. 3. Age vilke testvariabel som skall avädas. Testvariabel = e storhet vars värde skall beräkas frå stickprovsdata. Detta värde skall seda ligga till grud för vårt beslut. 4. Age beslutsregel. Dvs. age förkastelsegräser, sådaa att H 0 skall förkastas om testvariabel atar ett värde utaför dessa gräser. (Gräsera skall alltså bestämmas så att testvariabel med just slh α kommer att ata ett värde utaför dessa, ifall H 0 är sa.) 5. Beräka testvariabels värde med avädig av erhålla stickprovsdata. 6. Slutsats. Om testvariabel atar ett värde utaför förkastelsegräsera, så förkastas H 0 och vi säger att vi har fått ett resultat som är sigifikat på sigifikasivå α. I aat fall säger vi att H 0 ite ka förkastas (ett icke-sigifikat resultat). 6
OBS Ett icke-sigifikat resultat iebär ite att vi ka dra slutsatse att H 0 är sa. Det iebär bara att H 1 ite är ågo stark kokurret till H 0. Det ka fias måga adra täkbara ollhypoteser som ite heller skulle ha förkastats. Att icke-förkasta H 0 är alltså ite detsamma som att uta vidare acceptera H 0. Kursbokes författare säger: For good reasos may statisticias prefer ot to say, accept the ull hypothesis, istead they say, fail to reject the ull hypothesis. (sid. 332) We use the term reject ad failure to reject for possible decisios about a ull hypothesis i formal summaries of the outcomes of a test. (sid. 335) 7
Hypotesprövig för ett medelvärde Atag först att vi har ett stickprov av storlek frå e ormalfördelad populatio med okät medelvärde µ, me med käd varias σ 2. Vi vill pröva H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 Sigifikasivå: α = 0,05. Stadardtestet går till så här: Testvariabel: Z = x µ 0 σ Beslutsregel: H 0 förkastas, om Z obs > 1,96 (dvs. om Z obs > 1,96, eller Z obs < -1,96). Med sigifikasivå α = 0,01 förkastas H 0 ifall Z obs > 2,576. Med sigifikasivå α = 0,10 förkastas H 0 ifall Z obs > 1,645. 8
Motiverig: E rimlig utgågspukt är att H 0 skall förkastas ifall vi får ett värde på x som ligger lågt ifrå det uder H 0 förvätade värdet µ 0. Att x ligger lågt ifrå µ 0 är detsamma som att testvariabel Z atar ett värde lågt ifrå värdet 0 (atige åt det positiva eller det egativa hållet). H 0 skall alltså förkastas ifall vi får ett osaolikt högt eller osaolikt lågt värde på Z. Vi skall med adra ord förkasta H 0, ifall vi får ett värde på Z, som ligger utaför gräsera ±c, där c är e positiv kostat. Bestäm u c så att sigifikasivå blir de öskade (α = 0,05), dvs. bestäm c så att P( Z > c H 0 sa) = 0,05 Vi vet att om H 0 är sa, så har testvariabel Z e stadardiserad ormalfördelig, N(0; 1). Då är P( Z > 1,96 H 0 sa) = 0,05 Sätt alltså c = 1,96. Beslutsregel blir: förkasta H 0, om vi får ett Z-värde utaför gräsera ±1,96. 9
Grudpricipe vid statistisk hypotesprövig är: Om vi får ett värde på testvariabel, som skulle vara mycket osaolikt ifall H 0 vore sa, så väljer vi att i stället tro på H 1. Hur gör ma vid esidig mothypotes? T.ex. H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 Samma testvariabel, me e aa förkastelsegräs. H 0 förkastas (på sigifikasivå 0,05) ifall Z obs > 1,645. Det är ju höga värde på x, dvs. höga värde på Z, som ger aledig att förkasta H 0 till förmå för H 1. Om mothypotese i stället är H 1 : µ < µ 0 så förkastas H 0 (på sigifikasivå 0,05) ifall Z obs < -1,645. Hur gör ma är populatiosvariase σ 2 ite är käd, eller är stickprovet är litet? 10
Testvariabler vid test av hypotes om µ: 30 (oavsett om populatioe är ormalfördelad eller ej) < 30 Populatioe ormalfördelad. σ 2 käd: σ 2 okäd: σ 2 käd: σ 2 okäd: Z = x µ 0 σ x µ s 0 Z = Z = x µ 0 σ x µ s 0 t = När H 0 är sa, så har testvariabel Z e stadardiserad ormalfördelig (exakt eller approximativt), och testvariabel t har e t-fördelig med -1 frihetsgrader. Kritiskt område bestäms med hjälp av Tabell 8 i kursboke, och med häsy till om mothypotese är e- eller tvåsidig. Exempel följer. 11
Ex.: Stickprov på = 16 observatioer frå ormalfördelig med käd stadardavvikelse = 16. Stickprovets medelvärde = 743. Hypoteser: H 0 : µ = 750 H 1 : µ 750 Sig.-ivå: α = 0,05 Testvariabel: Z = x µ 0 σ Beslutsregel: H 0 förkastas om Z obs > 1,96. 743 750 Resultat: Z obs = = 1, 75 16 16 Slutsats: H 0 ka ite förkastas på 5% sigifikasivå. 12
Ex.: Stickprov på = 70 observatioer frå populatio med okäd fördelig och med okäd stadardavvikelse. Stickprovets medelvärde: x = 14 100 Stickprovets stadardavvikelse: s = 1 900 Hypoteser: H 0 : µ = 13 500 H 1 : µ > 13 500 (Esidig mothyp.) Sig.-ivå: α = 0,05 Testvariabel: = x µ s Z 0 Beslutsregel: H 0 förkastas om Z obs > 1,64. 14100 13500 Resultat: Z obs = = 2,64 > 1, 64 1900 70 Slutsats: H 0 förkastas på 5% sigifikasivå. 13
Ex.: Stickprov på = 15 observatioer frå ormalfördelig med okäd stadardavvikelse. Stickprovets medelvärde x = 24,1 Stickprovets stadardavvikelse s = 2 Hypoteser: H 0 : µ 25 (Sätt µ 0 = 25) H 1 : µ < 25 Sig.-ivå: α = 0,01 Testvariabel: x µ s 0 t = Frihetsgrader: -1 = 14 Beslutsregel: H 0 förkastas om t obs < -2,624 24,1 25 Resultat: t obs = = 1, 743 2 15 Slutsats: H 0 ka ite förkastas på 1% sigifikasivå. 14