Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSIG 8 signalbehandling (bildbehandling) orts. Lågpassilter, orts. Snonmer Cirkulär och Faltningskärna Linjär altning, orts Filterkärna Faltningskärnor: 3 Filter eriverande Operator Högpassiltrerade Idealt deriverande Kärna Teori: Kap. 3.7, 3.8, 3.9, 3. p. 4 6 4 4 36 6 4 646 4 4 6 4 Lågpassiltrering 4 64 6 i spatialdomänen 6 4 4 Jm Fig. 3.3 * p. /56 Maria Magnusson, atorseende, Inst. ör Sstemteknik, Linköpings Universitet Lågpassiltrering i Fourierdomänen Jm Fig. 3.3 p. 3 Filtrering via multiplikation i FT- p. 4 domänen ger cirkulär altning. Sker via multiplikation i ourier- domänen. Ut- bilden blir lika stor som inbilden. kan örberäknas Fig. 3.9
p. 5 p. 6 cirkulär altning g m g n h m n. h 59 där dvs h n noterar cirkulär altning och betecknar modulo operation, et gäller : FT kan uppattas som periodiskt upprepad eller cirkulär. g h m G k H k Bevis inns i kompendiet ör den intresserade. cirkulär altning * * = = Alltså: För att cirkulär altning ska ge samma resultat som vanlig linjär altning kan zero-padding behövas. p. 7 E) Linjär och Cirkulär altning E) Linjär och Cirkulär altning p. 8 Peter Forsberg, d hocke-spelare Inbild Medelvärdesbildande altningskärna Storlek 55 Utbild eter linjär altning Utbild eter cirkulär ik altning
Motivering i spatialdomänen att p. 9 - är en deriveringsoperator / Från gmnasiet: g samma! Faltning, g=d*: erivering kan ses som altning med en deriveringsoperator At Antag att ouriertransormen av är F u, Fu En altningskärna ju Fu j u F ju u Fouriertransormen av en deriveringsoperator är en rät linje! vars ouriertransorm liknar en rät linje i ourierdomänen kan användas som deriverings- operator! dvs p. p. Motivering i ourierdomänen att - är en deriveringsoperator / Beräkna ouriertransormen genom att sätta dirac-spikar på varje element i altningskärnan. Antag sampelavstånd. etta ger h / Tag kontinuerlig Fouriertransorm H ju ju u e e v / j sinu / ju då u en liknar en rät linje ör låga rekvenser. en beräknar derivatan bra ör låga rekvenser och dämpar höga rekvenser. p. eriverande (och lågpassiltreran- de) altningskärna i -led (u-led) j sin u /, - / Låt oss kalla den: Simple- v här u Fig. 3.7
p. 3 eriverande (och lågpassiltreran- de) altningskärna i -led (v-led) j sinv /, - / Låt oss kalla den: Simple- v här u Fig. 3.7 p. 4 eriverande altningskärna i -led (u-led) med lågpass-eekt i båda ledder j sinu cos v /, Sobel- - - = - /8 - * / /4 här Fig. 3.7 p. 5 eriverande altningskärna i -led (v-led) med lågpass-eekt i båda ledder j sinv cos u /, Sobel- - - - = /8 * /4 - / här Fig. 3.7 eriverade altning, gråskale - ärgtabell: svart 7 grå 55 vit bipolär ärgtabell: -8 blå vit 7 röd, alta med - - - /8 - - - /8, p. 6
Beloppet av gradienten tar ram kanter i bilden Inbild Beloppet av gradienten p. 7 erivering och kantdetektering t t =svart 55=vit p. 8 Jm Fig. 3.8 :original ii,,,,,,, -8=s svart 7= =vitt Rotationsinvarians et är önskvärt att ett derivata-ilter-par är rotationsinvariant. ti i i t å kommer kantstrkan, t k absolutbeloppet av gradienten, inte bero av kantens rotationsläge.,,, Med Med Simple- Sobelpareparet Färg- tabell: Vit = Svart = positivt värde p. 9 n, atorn eriva a de eala en id ' d s( ) sinc d S u ju u p. 3.4 Fig.
en ideala derivatorn,, orts. ju u 3. Fig. 3.4 ger att multiplikation med ovanstående i ourierdomänen ger derivering (och rekonstruktion) p. Fig. 3.5 - / p. erivata- kan skapas genom att önstra ilter med cos och sedan sampla d sinc d d sinc d 3. Fig. 3.4 ger att altning med ovanstående i spatialdomänen ger derivering (och rekonstruktion) - 6-6 /8 - / Ett ilter med centrum mellan pilarna Linjär diskret altning då centrum är mellan pilarna - * = - / / / p. 3 Ger derivering och rekonstruktion en ideala -derivatorn i - och -led Spatialdomän Fourierdomän p. 4 - * = / / - / Önskas bara derivering så samplar man bara iltret! Fig. 3.6
en ideala derivatorn, orts. u, v ju uv Fig. 3.6 ger eriverar i -led: G g G d d, sinc sinc u, v jv uv d d eriverar i -led:, sinc sinc g p. 5 p. 6 Ett idealt Laplace-ilter beräk- nar :a-derivatan i - och -led Laplaceoperatorn:, Fouriertransorm:, 4 u v, 4 u v är ett kratigt högpassilter i - och - led Faltningskärna som approi- merar det ideala Laplace-iltret ju ju,,/ : e e / cos v / 4sin u/ /, p. 7 - multiplicerat på det approimativa Laplace-iltret ger ett högpassilter Spatialdomän Fourierdomän p. 8-4 = - + - / / / - - - 4 - = - - + - / - / / Laplace, negativ sin u sin v 4 Fig. 3.9 Fig. 3.9
E) användning av Laplace, negativ: Erhåll en bild med tdligare detaljer p. 9 Fig. 3. Låt altningskärnans koeicienter vara,,..., En medelvärdesbildande (lågpassiltrerande) altningskärna ska normaliseras med K i 3.33 i ormalisering av medelvär- desbildande altningskärnor p. 3 p. 3 ormalisering av deriverande altningskärnor ormalisering av altningskärnor, tumregel p. 3 e tidigare givna deriverande altningskärnorna beräknar korrekt kt skalade derivator ör långsamt varierande gråskalevariationer. et bakomliggande sampelavståndet är. Om man inte vet sampelavståndet kan man t e sätta =.et gör att man kan jämöra olika derivatailter med varandra. ormalisering med L-normen K i i brukar ge ett rimligt värde, dvs omånget på pielvärdena i utbilden brukar bli i samma storleksordning som ör inbilden. Om man enbart ska använda den den altade bilden ör att titta på så kan man bara justera normaliseringsaktorn så att den altade bildens kontrast blir subjektivt bra.