b) Harled en uppskattning for u's andraderivata uttryckt i givna data f och g. Under vilken forutsattning galler en motsvarande uppskattning for u's a

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "b) Harled en uppskattning for u's andraderivata uttryckt i givna data f och g. Under vilken forutsattning galler en motsvarande uppskattning for u's a"

Sebastian Ström
för 8 år sedan
Visningar:

1 TMA 690 Partiella dierentialekvationer F, Hjalpmedel: Beta och typgodkand kalkylator. Telefonjour/rond: Anders Logg, ankn ========================================== Som vanligt betecknar _u derivatan av u = u(t), och kuk X betecknar L normen av u over aktuellt omrade X. Lycka till!!. Betrakta begynnelsevardesproblemet _u + au = f for t > 0; u(0) = u 0 ; dar a(t), f (t) och u 0 ar givna data, och dar vi soker u = u(t). a) Visa att om a(t) a 0 for nagon konstant a 0, sa galler ju(t)j e a 0t (ju 0 j + t 0 e a 0s jf (s)j ds): Tips: Visa med hjalp av identiteten _uu = juj d juj att d juj + a dt dt 0juj jf j, och ta sedan hjalp av en integrerande faktor. b) Formulera cg-metoden for problemet, samt visa att villkoret a 0k >, dar k ar tidssteget, garanterar att metoden inte bryter samman (leder till division med noll).. Betrakta problemet u + u = f i ; n ru = g pa ; () dar ar ett givet omrade i R d med rand, n ar enhetsnormalen till riktad ut fran, f och g ar givna data, och ar Laplace operatorn. a) Visa att kruk + kuk C(kf k + kgk ) for nagon konstant C. Tips: Utnyttja bl.a. att kuk C (kruk + kuk ) for nagon konstant C. b) Formulera en nit element metod for () samt stall upp det resulterande ekvationssystemet i fallet med en rumsdimension med = [0; ], f (x) = och g(0) = 7, g() = a) Harled en feluppskattning for metoden i b) uttryckt i elementstorleken h och losningens andraderivata, alternativt den beraknade losningens residual.

2 b) Harled en uppskattning for u's andraderivata uttryckt i givna data f och g. Under vilken forutsattning galler en motsvarande uppskattning for u's andraderivator i hogre dimension, for d = ; a) Harled (grova) uppskattningar for antalet rakneoperationer som kravs for losning av det resulterande nita element ekvationsystemet for problemet () i fallet d = resp d = 3 uttryckt i elementstorleken h om systemet loses med vanlig (Gauss) elimination. b) Redogor kort for iderna bakom, principerna for, och fordelarna med en multigrid metod. 5. Veriera att g(x) = e jxj 4 jxj for d = 3 ( x = (x ; x ; x 3 )) satiserar g + g = (x), dar ar Diracs delta funktion, och att foljaktligen u(x) = g(x; y) f (y) dy ger en losning till dierentialekvationen i () (bortsett fran R randvillkoret, vilket vi har ser som en annan historia). Tips: Veriera forst att g + g = 0 for x 6= 0. Rakna med rumspolara koordinater. Veriera sedan att R 3 rg rv + gv = lim!0 jxj> rg rv + gv = fvia partiell integrationg = v(0) = R 3 v; vilket ju ar den givna ekvationen i variationsform.

3 TMA 690 Partiella dierentialekvationer F, Losningar ==========================================. Multiplikation av ekvationen med u ger _uu + au = fu; varav juj d dt juj + a 0juj jfjjuj; d juj + a dt 0juj jfj. Multiplikation med integrerande faktorn e a0t ger d dt (ea 0t juj) e a 0t jfj, vilket integrerat blir e a 0t ju(t)j ju 0 j R t 0 e a 0s jf(s)jds, vilket ger den sokta olikheten. cg metoden: Ansatter pa tidsintervallet I n = [t n ; t n+ ] losning U(t) = U n (t n+ t)=k + U n+ (t t n )=k. Soker U n+ sa att I n _U + au = I n f U n+ ( + k a(t t n )dt) = U n ku n a(t)(t n+ t)dt + f dt In I n I n Division med + k R I n a(t t n )dt, som ar > 0 enligt antagandet, ger U n+ utan problem!. a) Multiplikation av ekvationen med u ger efter partiell integration ru ru + uu n ru u = fu kruk + kuk = fu + gu kfk kuk + kgk C (kruk + kuk) dar k k = k k och dar vi utnyttjat olikheten kuk C (kruk + kuk). Genom att nu utnyttja olikheten ab a + 4 b erhalls kruk + kuk kfk + 4 kuk + Ckgk + 4 kruk + 4 kuk

4 varav den sokta olikheten P foljer. b) Ansatter U(x) = U j j (x) vilket insattes pa u's plats i variationsformuleringen med v = i vilket ger NX j= U j ru rv + uv = r j r i + j i = fv + f i + AU = b dar U = (U ; ::; U N ) >, b = (b i ) med element gv g i i = ; ::; N: b i = h; i = ; ::; N ; b(n) = h=; b() = h= + 7; och A = (a ij ) med element a ij = =h+h=6; for i = j+ och i = ja ij = =h+h=3; for i = j; i = ; ::; N; a ij = =h+ R 3. a) Felekvationen re rv + ev = 0, for elementfunktioner v, ger krek +kek = rer(uv)+e(uv) krek + kuvk+ kek + kuvk ; krek + kek kr(u v)k + ku vk Ckhu 00 k ; om v ar lamplig interpolant av u. b) Ekvationen ger ku 00 k = ku fk kfk + kuk C(kfk + kgk ), dar vi i sista ledet anvant uppskattningen i a. I hogre dimension erhalls analogt kuk C(kfk + kgk ). Enskilda andra derivator av u kan sedan uppskattas med u om ar konvext. 4. a) Styvhetsmatrisen A har bandbredd n = =h for d = och n = =h for d = 3. Antalet rakneoperationer som kravs for Gausselimination ar Nn, dar N = =h resp N = =h 3 ar antalet obekanta. Dvs antalet operationer blir =h 4 for d = och =h 7 for d = 3, dar vi tankt oss att omradet ifraga ar enhetskuben. b) Se forelsningsanteckningarna

5 5. Verierar forst att g + g = 0 for jxj > 0. Ekvationen g + g = multipliceras med testfunktion v sadan att v! 0 da jxj!, och integreras over R 3 : Efter partiell integration erhalls Undersoker om g = e jxj 4 jxj = jxj> R 3 rg rv + gv = uppfyller detta: R 3 rg rv + gv = lim!0 jxj> (g + g)v + jxj= n rgv = R 3 v = v(0): rg rv + gv jxj= 4 (e e )v! v(0); da! 0, vilket skulle visas. Har har utnyttjat att g + g = 0 for jxj > 0. 3

Relevanta dokument

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t), Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta