Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta det första avsnittet av kursen får vi stifta bekantskap med matriser, ett slags matematiska objekt som spelar en mycket stor roll inom linjär algebra. En naturlig introduktion till matriser får vi genom att titta litet närmare på linjära ekvationssystem, som de flesta nog har stött på i något sammanhang. Linjära ekvationssystem är givetvis också av stort intresse i sig själva, och inte bara på grund av relationen till matriser. Denna studiehandledning i sex avsnitt innehåller främst kortfattade kommentarer och läsanvisningar till läroboken (Anton/Rorres). Som inledning till det första avsnittet följer dock här en något utförligare diskussion om linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem och Gauss-elimination (kap 1.1 och 1.2) Den här kursen börjar med att vi får lära oss en systematisk metod för att lösa linjära ekvationssystem (systems of linear equations). Sådana ekvationssystem dyker ofta upp vid den matematiska behandlingen av olika problem. En linjär ekvation är en ekvation som relaterar en eller flera variabler, s k obekanta (unknowns), och som är sådan att varje obekant ingår linjärt. Detta innebär att varje term där en obekant ingår helt enkelt består av den obekanta variabeln multiplicerad med en konstant (se Ex 1 sid 1 i läroboken). Ett system av sådana ekvationer kallas ett linjärt ekvationssystem. (Ett system av ekvationer är en samling ekvationer som samtliga ska satisfieras.) En lösning (solution) till ett ekvationssystem är en tilldelning av värden till de obekanta som satisfierar alla ingående ekvationer, d v s gör dem till sanna utsagor. Lösningsmängden (solution set) till ett ekvationssystem är mängden av alla lösningar. Exempel: 3x + 4y = 5 är ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta. Vi ska strax studera detta enkla ekvationssystem lite närmare. Om man vill kan man numrera ekvationerna i ett system för att lättare kunna referera till dem. (Deras ordningsföljd spelar dock egentligen inte någon roll.) 1
Ibland används skrivsättet att med en klammer markera de ekvationer som ingår i ett system: (1) 3x + 4y = 5 (2) I läroboken utelämnas dock klammern och ekvationsnumreringen. Man har ofta nytta av en geometrisk tolkning av ekvationer och system. En ekvation med två obekanta (x och y) svarar mot en rät linje i ett plan. (Punkter på linjen har koordinater som satisfierar ekvationen, medan punkter utanför linjen har koordinater som inte satisfierar ekvationen.) Två ekvationer svarar mot två räta linjer, och att båda ekvationerna ska satisfieras svarar geometriskt mot punkter som ligger på båda linjerna. Normalt finns exakt en sådan punkt, men det kan också vara oändligt många eller ingen alls. Jämför Fig 1 sid 3 i läroboken. Ekvationssystemet i exemplet ovan illustreras geometriskt så här: 5 4 y 3 2-4 -2 1 0 0 2 4 x -1 x -2 Ett sätt att se på obekanta och ekvationer i linjära ekvationssystem är att varje obekant representerar en frihetsgrad, och varje ekvation en låsning. Till exempel, med två obekanta (kalla dem x och y) och inga ekvationer har vi två frihetsgrader utan någon låsning. Alla värden för x och alla värden för y är tillåtna. Geometriskt kan vi säga att alla punkter i planet representerar lösningar. Lösningsmängden är två-dimensionell. Lägger vi på en ekvation, till exempel, så låser vi en frihetsgrad. Geometriskt beskrivs lösningarna av punkterna på en linje. Lösningsmängden är en-dimensionell. Lägger vi på ytterligare en ekvation, till exempel 3x + 4y = 5, så låser vi också den återstående frihetsgraden. Geometriskt är det bara en enda punkt i planet, skärningspunkten, som är tillåten. Lösningsmängden är nolldimensionell ; det finns inga frihetsgrader kvar utan både x och y är fixerade. Ett sätt, som kanske kan tyckas ligga nära till hands, att lösa ekvationssystemet i exemplet ovan är att lösa ut en variabel ur den ena ekvationen och sätta in i den andra. Ekvation (1) ger exempelvis att 2
x = 3 2y. Om detta uttryck för x sätts in i ekvation (2) får vi ju 3 (3 2 y) + 4y = 5, d v s9 2 y = 5 och y = 9 5 2 = 2. Nu kan detta resultat sättas in i vilken som helst av de ursprungliga ekvationerna och vi kan lätt se att x = 1. Lösningen till vårt ekvationssystem är alltså x = 1, y = 2. Denna metod kan ju synas vara enkel och bra, men den är ineffektiv då man har att göra med större ekvationssystem (d v s fler ekvationer och obekanta). Vi ska i stället lära oss att använda en systematisk metod som går ut på att ersätta systemet med ett ekvivalent system. Detta upprepas tills man direkt kan läsa av lösningen. Vi ska nu se hur det går till i vårt enkla exempel. I det ursprungliga ekvationssystemet 3x + 4y = 5 kan vi utan att ändra lösningsmängden ersätta den andra ekvationen med 3 gånger den första ekvationen adderad till den andra: 3x + 4y 3(x + 2y) = 5 3 3 Avsikten med detta är att eliminera x i den andra ekvationen, d v s att koefficienten för x ska bli noll. Vi har alltså 0 x 2y = 4, som är ett system ekvivalent med det ursprungliga. Nu kan vi multiplicera den andra ekvationen med 1 2, för att där få koefficienten för y till 1: y = 2 Till slut kan vi eliminera y från den första ekvationen, genom att addera 2 gånger den andra ekvationen till den första: x = 1 y = 2 Detta system är ekvivalent med det ursprungliga, och lösningen stirrar oss i ansiktet! 3
Metoden kallas Gauss-Jordan-elimination. Om man stannar efter det näst sista steget har man utfört Gauss-elimination. Då kan lösningen fås genom att det kända värdet y = 2 sätts in i den första ekvationen. Detta kallas åter-substitution (back-substitution). De operationer man kan använda vid metoden är multiplicera en ekvation ledvis med nollskild konstant byta plats på två ekvationer addera en multipel av en ekvation ledvis till en annan. (Jämför sid 5 i läroboken.) Om man håller sig inom dessa ramar får man i varje steg ett system som är ekvivalent med det föregående, och alltså även med det ursprungliga systemet. En lösning till ett ekvationssystem är en uppsättning talvärden för de obekanta som gör att ekvationerna satisfieras. Vi såg ovan att lösningen till systemet 3x + 4y = 5 är x = 1, y = 2. På exakt samma sätt kan man se att lösningen till systemet u + 2v = 3 3u + 4v = 5 är u = 1, v = 2. Man kan säga att det är fråga om samma ekvationssystem och samma lösning, det är bara andra namn på variablerna. Vid lösning av ekvationssystem är variabelnamnen egentligen ganska ointressanta; det är koefficienternas värden som är avgörande. Lösningen till systemet med koefficienterna 1, 2 och 3 resp. 3, 4 och 5 är talparet 1 och 2. Detta är på grund av att 1 1+ 2 2 = 3 och 3 1 + 4 2 = 5. Man kan representera ett ekvationssystem med ett rektangulärt talschema, en matris, som anger koefficienternas värden och deras positioner. Vårt system kan beskrivas av matrisen 1 2 3 3 4 5. Ett sådant här talschema kallas för systemets totalmatris (augmented matrix). Varje rad (row) i matrisen svarar mot en ekvation, och kolonnerna (columns) utgörs av koefficienterna för de obekanta i ordningsföljd. Den högra kolonnen består av talen i ekvationernas högerled (de konstanta termerna). Operationerna som ger ekvivalenta system kan alltså lika gärna utföras på raderna i totalmatrisen, i stället för på ekvationerna i systemet. De kallas då för elementära radoperationer. 4
Vi använder dessa elementära radoperationer för att skriva om ett systems totalmatris på trappstegsform (row-echelon form). Då har vi utfört Gausselimination. Vi kan också, om vi vill, fortsätta omskrivningen till reducerad trappstegsform (reduced row-echelon form). I så fall har vi utfört Gauss- Jordan-elimination. Metoden innebär att vi utför följande steg: 1) Representera det givna ekvationssysemet med en matris. 2) Med hjälp av elementära radoperationer successivt ersätta matrisen med nya matriser som representerar ekvivalenta ekvationssystem. 3) Då vi erhållit en matris på tillräckligt enkel form skriva upp motsvarande ekvationssystem och läsa av lösningen. (OBS att man inte kan sätta likhetstecken mellan matriserna som dyker upp i metoden. De representerar ekvivalenta ekvationssystem, men är olika matriser! Mer om matriser som självständiga matematiska objekt kommer alldeles strax i kursen!) Antalet lösningar till ett linjärt ekvationssystem är 0, 1 eller oändligt. Normalt gäller följande: Om det är lika många ekvationer som obekanta finns en unik lösning. (jfr. skärningspunkten mellan de två linjerna i den geometriska tolkningen av exemplet ovan). Om det är färre ekvationer än obekanta räcker inte dessa till för att låsa alla frihetsgrader. Antalet lösningar är oändligt. Om det är fler ekvationer än obekanta innebär det motstridiga villkor, och lösningar saknas. Avvikelser från dessa normalfall kan förekomma. I så fall beror det på att man i praktiken har färre ekvationer än vad som synes (vilket kan öka antalet lösningar), eller på att ekvationer är motstridiga (vilket minskar antalet lösningar till noll). Läsanvisningar och kommentarer till läroboken 1.1 Introduktion till linjära ekvationssystem Studera Ex 2 noga, så att du förstår hur man beskriver lösningsmängden med hjälp av fria parametrar då antalet obekanta överstiger antalet ekvationer. 1 Fig 1 åskådliggör geometriskt de tre typerna av lösningsmängd som kan uppkomma vid linjära system med två ekvationer och två obekanta. Mycket instruktivt! 1 Här är det visserligen bara en ekvation, men det fungerar på samma sätt för system. 5
Se till att du har klart för dig hur man kan representera ett ekvationssystem med en matris, totalmatrisen. I de färgade plattorna på sid 5 sammanfattas de tillåtna operationerna på ekvationssystem resp. totalmatriser. Med tillåtna menas att de fritt kan användas utan att man riskerar att ändra lösningsmängden! I Ex 3 visas mycket tydligt hur Gauss-Jordan-elimination går till (även om inte detta namn på metoden införs förrän i 1.2). Parallellt får vi följa både ekvationssystemets och totalmatrisens förenklingar till lösbar form. Ett paradexempel! Övningar: 1, 3, 4, 5, 8, 9. 1.2 Gauss-elimination Se till att du förstår ordentligt vad som menas med trappstegsform resp. reducerad trappstegsform. Studera Ex 1 och jämför med definitionen i den färgade plattan på sid 8. I Ex 2 visas hur man kan få fram lösningen till ett ekvationssystem vars totalmatris är på reducerad trappstegsform. Eventuella fria variabler används som parametrar i lösningen. (Se till att du förstår vad som menas med ledande resp. fria variabler!) Följ noga de sex stegen i de färgade plattorna på sid 11-12, som illustrerar hur Gauss-Jordan-elimination går till då man har fler obekanta än ekvationer. Läs också noga Ex 3, som visar samma sak, men där det inträffar att en rad blir idel nollor. Detta innebär att vi i praktiken hade färre ekvationer än vi trodde den sista ekvationen innebar ingen ytterligare låsning av frihetsgrader! I Ex 4 visas hur systemet i Ex 3 kan lösas med åter-substitution efter en Gauss-elimination (d v s då man nöjer sig med att uppnå trappstegsform). Jämför Ex 5 här med Ex 3 i kap 1.1. Det är viktigt att lära sig vad begreppet homogent linjärt ekvationssystem betyder (sid 17-19). Ett sådant system är alltid lösbart, ty en lösning är att samtliga obekanta antar värdet noll. Detta är den så kallade triviala lösningen. Övningar: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14. 1.3 Matriser och matrisoperationer Matriser användes i kapitel 1.1 och 1.2 som ett slags notation för ekvationssystem. Detta är dock ingalunda det enda användningsområdet för matriser; de har mycket stor betydelse inom både ren och tillämpad matematik. Matriser är självständiga matematiska objekt (ett slags generaliserade tal) som kan adderas, multipliceras och inverteras. Här får vi lära oss de grundläggande definitionerna och räknesätten för matriser. Givetvis måste du behärska de grundläggande definitionerna av matris, element (entry), rad, kolonn, storlek, liksom likhet mellan matriser, 6
summa av matriser och produkt av vanligt tal med matris. (Sid 25-28). (Vanliga tal kallas i detta sammanhang för scalars på engelska. Ibland säger man även skalärer på svenska.) Observera sättet att indexera elementen med radindex först och sedan kolonnindex. Antalen rader resp. kolonner i en matris behöver inte vara lika, men om de är det kallas matrisen kvadratisk. Sådana matriser har två diagonaler, men det är bara den ena, huvuddiagonalen, som har speciell betydelse (där är radindex och kolonnindex lika). På sid 28 glimtar ett begrepp till som har mycket djupare betydelse än vad som framgår här. Det är ingen överdrift att påstå att linjärkombination (linear combination) är ett av de mest centrala begreppen inom den linjära algebran. Lär dig den enkla innebörden av denna term redan nu, så har du mycket tillgodo inför resten av kursen! Linjärkombination är ingalunda något som är unikt för matriser. Exempelvis kan definitionen av en linjär ekvation uttryckas så här: en ekvation som säger att en linjärkombination av de obekanta variablerna är lika med en konstant. I fortsättningen av kursen kommer det framförallt att vara intressant att tala om linjärkombinationer av vektorer. Sidan 28 bjuder på ytterligare en godbit, nämligen definitionen av produkten av två matriser. Läs igenom Ex 5 mycket noga, och därefter Ex 6, och se till att du förstår hur matrismultiplikationen fungerar. När det gäller partitionerade matriser är det framförallt synsättet att en matris kan betraktas som en rad av kolonnmatriser (eller som en kolonn av radmatriser) vi kommer att använda oss av i den här kursen. Läs igenom Ex 7 om matrismultiplikation efter kolonner och rader. Ett linjärt ekvationssystem med m ekvationer och n obekanta kan skrivas som en enda matrisekvation: Ax = b, där A är en m n -matris som innehåller koefficienterna för de icke-konstanta termerna, x är en kolonnmatris 2 (n 1) som innehåller de obekanta variablerna och b är en kolonnmatris (m 1) som innehåller de konstanta termerna ( högerleden ). Vänsterledet i denna ekvation är en matrisprodukt: en m n -matris multiplicerad med en n 1- matris, vilket blir en m 1-matris. [Detta skrivsätt inspirerar till idén att lösa matrisekvationen (d v s ekvationssystemet) på samma sätt som när man skriver upp att lösningen till ekvationen ax = b är x = 1 a b. Frågan är vad 1 A ska betyda när A är en matris. Svaret är matrisinvers, vilket vi kommer till i kap 1.4. (Denna idé fungerar dock bara när m = n, och inte alltid då heller.)] Lär dig innebörden av transponering av matris och spåret (trace) av en kvadratisk matris. Övningar: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 13, 14. 2 Lägg märke till skrivsättet med gemena bokstäver i fetstil för kolonnmatriser (används även för radmatriser), i stället för versala bokstäver i kursiv stil som normalt används för matriser. Samma skrivsätt används för vektorer, och bakgrunden är att kolonnmatriser (eller radmatriser) kan användas för att representera vektorer. 7
1.4 Inverser; regler för matrisaritmetik För vanliga tal gäller den kommutativa lagen för addition och för multiplikation, den associativa lagen för addition och för multiplikation samt den distributiva lagen för multiplikation och addition. Också för matriser gäller dessa räknelagar, med det viktiga undantaget att den kommutativa lagen för multiplikation inte gäller! Ordningen har alltså betydelse vid matrisprodukter; AB BA i allmänhet. (Ex 1). Dessutom gäller att en produkt AD kan vara lika med noll 3 utan att vare sig A eller D är noll! (Ex 3). Även här skiljer sig aritmetiken för matriser från den för vanliga tal. En utomordentligt viktig matris att känna till är enhetsmatrisen (identity matrix) I, som är en kvadratisk matris med ettor på huvuddiagonalen och nollor för övrigt. I är matrisernas motsvarighet till talens etta (talet 1), såtillvida att AI = A och IA = A för varje matris A. (Det förutsätts att enhetsmatrisen har lämplig storlek, så att respektive produkt är definierad.) Vissa har det, andra har det inte. När det gäller vanliga tal har alla det, förutom nollan. Men när det gäller matriser är det inte alla förunnat att ha en invers 4. Se till att du förstår begreppen inverterbarhet och invers! Det är vanligt förekommande att man vill invertera matriser, t ex för att lösa matrisekvationer av typen AX = B. Om A 1 existerar löser vi enkelt ekvationen genom att multiplicera ledvis (från vänster!) med denna. Vi får A 1 AX = A 1 B, d v s lösningen är 5 X = A 1 B. Lär dig även använda övriga räkneregler i detta kapitel, vilka i stort sett är kombinationer av räknesätt vi redan känner till. Övningar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. 10. 1.5 Elementära matriser och en metod för att hitta A 1 Det viktigaste i detta kapitel är den metod för att beräkna inversen till en given matris, som illustreras i Ex 4. Begreppet elementär matris är mest av teoretiskt intresse (se även anmärkningen mitt på sid 51). Bakgrunden till metoden i Ex 4 kan alternativt förstås på följande vis: vi vill hitta A 1, d v s lösningen till ekvationen AX = I. Om vi tänker på hur multiplikation av partitionerade matriser fungerar så inser vi att denna matrisekvation innebär att A gånger första kolonnen i X är lika med första kolonnen i I. Detta kan ses som ett linjärt ekvationssystem, där de obekanta är elementen i första kolonnen i X. För att lösa systemet skriver vi upp en totalmatris som består av A utökad med första kolonnen i I. På samma sätt innebär AX = I att A gånger andra kolonnen i X är lika med andra kolonnen i I. Motsvarande gäller även för tredje kolonnerna. Vi har alltså att lösa tre linjära ekvationssystem, vars totalmatriser är A utökad med första, andra resp. tredje kolonnerna i I. Dessa tre system kan vi lösa parallellt; Gauss-Jordan- 3 Med noll menar vi här nollmatrisen, dvs den matris vars samtliga element är lika med noll. Det finns en nollmatris av varje storlek. 4 Not för algebra-intresserade: Här avses multiplikativ invers. Additiv invers har alla tal och alla matriser. 5 Eftersom A 1 A = I och IX = X. 8
eliminationen innebär i samtliga tre fall att matrisen A ska skrivas om till enhetsmatrisen med elementära radoperationer. (I läroboken beskrivs på sid 60-61 denna metod att parallellt lösa flera linjära ekvationssystem med samma koefficienter för de obekanta.) I Ex 5 får vi se hur det går om man med denna metod försöker invertera en matris som inte är inverterbar. Sats 1.5.3 på sid 53 anger några ekvivalenta egenskaper för kvadratiska matriser. En liten förvarning: i takt med att fler begrepp införs under kursens lopp kommer satsen att utökas med fler och fler ekvivalenta egenskaper. (Den djärve kan ju kasta ett öga på sid 362.) Övningar: 5a, 5c, 6a, 6c, 6e, 8b, 8c. 1.6 Ytterligare resultat om ekvationssystem och inverterbarhet Kapitlet inleds med ett enkelt bevis för den viktiga satsen att antalet lösningar till ett linjärt ekvationssystem är 0, 1 eller oändligt. Idén är: givet två olika lösningar kan man konstruera ytterligare lösningar. Geometriskt innebär konstruktionen (eftersom varje lösning kan representeras av en punkt), att varje punkt på linjen som går genom de två lösningspunkterna också är en lösningspunkt. I Ex 1 visas hur man kan lösa ett kvadratiskt system (d v s ett med lika många ekvationer som obekanta) med hjälp av matrisinvers. Vi har tidigare i dessa läsanvisningar snuddat vid denna idé (1.3 och 1.4). Övningar: 1, 3, 5, 9, 11, 15, 16, 17. 1.7 Diagonala, triangulära och symmetriska matriser Vissa typer av matriser är trevligare att ha att göra med än andra. De av oss som inte är så förtjusta i överdriven räknemöda uppskattar nog diagonalmatriser. Tack vare total avsaknad av nollskilda element utanför huvuddiagonalen är de synnerligen lätta att räkna med. Triangulära matriser uppvisar i alla fall en ren sida, d v s de har bara nollor på ena sidan om huvuddiagonalen. Symmetriska matriser ser likadana ut på bägge sidor om huvuddiagonalen. Mer exakt gäller A T = A. Var och en av dessa egenskaper kan givetvis endast komma ifråga för kvadratiska matriser. (Varför?) Se till att du förstår följande 6 : produkten av två symmetriska matriser är symmetrisk om och endast om matriserna kommuterar. 6 Inte främst för att dessa resultat skulle vara särskilt viktiga, utan för att bevisen är instruktiva exempel på matrisräkning. 9
A T A och AA T är båda symmetriska matriser, oavsett vad A är. Övningar: 1, 6, 8, 10b, 11, 18. 10