Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi hos dipol i homogent fält
Kapitel: 22 Gauss sats Definiera vektorfält och skalärfält Förklara begreppet Vektorflöde (vätskeanalogi) Införa begreppet ytintegral Visa Gauss sats Tillämpa Gauss sats inuti ledare Fältberäkningar med Gauss sats
Gauss s Sats Ett alternativ till Coulombs Lag. Carl Friedrich Gauss, 1777-1855
Elektriskt flödeφ E Runt elektriska laddningar finns ett elektriskt i varje punkt beskrivs av en vektor E ( x, y, z). Vi kallar detta ett Vektorfält fält som i Jämför med hastighetesfördelningen v( x, y, z) i en strömmande vätska.
Vattenflöde med konstant hastighet v, fig. 22.5 Vattenflödet [m /s] genom A är vacos Φ Beteckna ytan med vektorn A, där beloppet är arean av ytan och riktningen är vinkelrät mot ytan (observera att vi kan välja två riktningar) Vattenflödet kan då anges som skalärprodukten v A
Tillämpa samma resonemang som för vattenflöde på vektorfältet Φ E E A E(x, y, z) och kalla flödet av detta fält Φ Om ytorna är släta och fältet homogent (dvs. samma storlek och riktning i varje punkt) erhålls flödet enkelt som en skalärprodukt. E
För oregelbundna ytor krävs integrering: Tänk er att den kurviga ytan A delas upp i små plana ytor da som är så små att elektriska fältet över dem kan betraktas som konstant. Observera att för slutna ytor är da riktad utåt. Vektor som är vinkelrät mot ytan da och har samma belopp
22. Elektriskt flöde genom en sfär från en punktladdning i centrum Då laddningen ligger i centrum har fältet samma värde över hela ytan. da är dessutom alltid parallell med E, så E da EdA Oberoende av r! Φ 2 E E da E da EA 4πr 2 4πε r A A 1 q q ε
Kanske inte så konstigt att oberoende av r i detta fall då : A 4πr E Φ 2 1 4πε Varierar som r 2 q r 2 1 q q 4 ε 2 E EA 4 π r 2 πε r Φ E Varierar som 1/r 2
Vad gäller för godtycklig yta? q Kan visas att E da ε gäller för ALLA ytor som omsluter q, och OBEROENDE av om q är punktladdning eller fördelad på annat sätt! GAUSS SATS E da (Maxwell ekv. 1) Q encl ε
Olika sätt att skriva Gauss sats Gauss sats i ord: Flödet av elektriska fältet genom en godtycklig sluten yta beror enbart av den inneslutna nettoladdningen och är Q inneslsuten /ε När man löser problem väljer man själv var man skall placera det tänkta Gauss ytan
Gauss sats En laddning utanför en sluten yta ger inget bidrag till nettoflödet. + laddning ger positivt flöde dvs. ut ur sfären - laddning ger negativt flöde dvs. in i sfären Observera att Gauss sats är en direkt konsekvens av 1/r 2 avståndsberoendet i Coulombs lag. Gauss sats gäller alltså lika bra för gravitationsfältet.
Ex. 22.4. Vad är flödet genom ytorna A, B C och D? A: Φ A B: Φ B C: Φ C D: Φ D q/ε -q/ε
Tillämpningar av Gauss sats inom elektrostatik (dvs när vi betraktar situationer där laddningarna rört sig färdigt och står still) I en elektrostatisk situation är elektriska fältet inne i en ledare. Om så inte var fallet skulle de fria laddningarna i ledaren röra sig vilket strider mot förutsättningen om elektrostatik. Om vi lägger en Gauss-yta inne i en ledare så är fältet på den noll, dvs nettoflödet. Då måste (netto) laddningen i ledaren vara!
Tips vid användning av Gauss sats, (s. 77 i boken) Gauss sats används ofta för att bestämma fältet från en känd laddningsfördelning. Gauss sats fungerar bra när laddningsfördelningen har enkel symmetri. Du väljer själv Gauss yta. Försök hitta en yta där fältet är konstant eller noll över ytan, så blir flödesintegralen ofta trivial. Om fältet är parallellt med ytan är flödet. Om fältet har konstant styrka och överallt är vinkelrätt mot ytan fås flödet genom enkel multiplikation av fältets belopp och ytans storlek.
Ex. 22.5 fält från laddad ledande sfär Symmetri ger att laddningen måste vara jämnt fördelad över sfärens yta och riktat radiellt. Som Gauss yta väljer vi en tänkt sfär, radie r, koncentrisk med den ledande sfären För r < R är fältet För r > R måste fältet på varje sfär med samma centrum som den ledande sfären ha samma belopp över ytan. Välj en sådan yta som din Gauss yta! Fältets flöde ut ur den valda Gauss sfären blir enkelt. Φ E E(4π r 2 ) q/ε 1 q E( r) 2 4πε r dvs.samma som om all laddning hade legat i sfärens centrum.
Ex. 22.6 fält från en (lång) linjeladdning λ [C/m] Kom ihåg ex. 21.1! Se Exempel 21.11 E Figur 21.25. 2 1 λ πε r
Ex. 22.6 fält från en (lång) linjeladdning går också att lösa med Gauss sats! Fältet är parallellt med ändytorna så flödet genom dessa. Symmetri ger att fältet på en mantelyta är konstant till beloppet. Mantelytan och fältet är dessutom vinkelräta Gauss sats för en cylinder med längd l blir enkel: E2π r l q/ε qlλ E2π r l lλ/ε HUR SKALL JAG VÄLJA MIN GAUSS YTA?? E 1 2πε λ r samma resultat som tidigare integrerats fram
Ex. 22.7 Fält från oändligt stor ytladdning σ Kom ihåg Ex. 21.11 När E R är stort jämfört med avståndet till fältpunkten gäller : σ 2ε Oberoende av avståndet till skivan!!
Ex. 22.7 Fält från oändligt stor ytladdning σ, går även att lösa med Gauss sats! Symmetri ger att fältet är vinkelrätt mot ytan. Välj cylindern i fig. som Gauss yta. Fältet parallellt med cylinderns axel ger att flödet genom mantelytan är noll. Gauss sats blir enkel: HUR SKALL JAG VÄLJA MIN GAUSS YTA?? 2EA q/ε q Aσ 2EA Aσ/ε E σ/2ε Samma som tidigare integrerats fram
Fält nära en ledares yta, ytladdning σ Fältet är alltid vinkelrätt mot en ledares yta. Lägg in en Gauss yta enligt figuren. Fältet parallellt med cylinderns axel, så flödet genom mantelytan. Undre ändytan ligger nu i ledaren, så fältet, dvs flödet. Gauss sats blir enkel: EA σa/ε E σ/ε Fig. 22.28
Ex. 22.8 Elektriskt fält mellan ledande plattor med laddning +Q och Q. Denna komponent kallas kondensator och återkommer i kap. 24. Yta A Ytladdningstäthet σ ΦEA σa/ε E σ/ε
Ex. 22.9 Fält från likformigt laddad sfär Sfären är en isolator med jämnt fördelad laddning Q Som Gauss ytor väljs sfärer med samma centrum som den laddade sfären och radien r Laddningen är symmetrisk så fältet måste vara radiellt riktat Gauss sats på ytorna blir enkel: 4 ) ( 4 ) ( 4 4 R r Q R r Q r q R r R Q q EA π π π ρ π ρ ε < origo. punktladdning Q i dvs.samma som för 4 1 4 4 1 1 4 2 2 2 r Q E Q r E r R Qr E R r Q q r E πε ε π πε ε ε π >
Laddning på ledare Ex. 22.11 Ledarens nettoladdning är +7 nc. Punktladdningen i kaviteten är -5 nc. Fördelningen blir som figuren visar.
Van de Graaf generator
Skärmning, Faradays bur Detta är skälet till att det är bra att sitta i en bil vid åskväder!