Kompletterng av felfortplantnngsformeln Varansen och kovaransen Quck Check Eempel med abs. nollpkt. Kompletterng av lnftw funktonen Possonfördelnngen 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp
00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp Kompletterng av felfortplantnngsformeln ( ) ( ) ( ) ( ) ), ( ), ( apromaton blr medelvärdet denna med ), ( ), ( appromatonen Låt oss göra. medelvärdet och standardavvkelsen av nu beräkna skall V )., ( dvs, värden på mätnngar har v Efter. och varabler vara en funkton av två Låt ), ( t Medelvärde ( ) ( ) 0 0 Låt oss göra en lten tllbakablck! Se läroboken sdan -3. Observera att detta är ett resultat som v använt ntutvt httlls! T.e. (a,b) a b, där a 33,0 och b 5 3,. a b 33 5 85 är det bästa estmatet av summan (ganska naturlgt).
3 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 3 Varansen och kovaransen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ),, Där v defnerat kovaransens och varanserna s () Den allmänna felfortplantnngsformeln skall således skrvas: V har tdgare alltd antagt att de olka medelvärden som v använt våra formler, med sna fel är okorrelerade. T.e. är storheterna T och L formeln för g 4p L/T okorrelerade. V studerade förra lektonen några fall där varablerna var korrelerade. I formeln ovan har v nu stoppat n den term som v tdgare försummade. otera att v dvderar med samtlga fall här.
Quck Check 9. (sdan 4) Beräkna arean A med fel (öva själv på summa och kvot) Student A B C Medel 5 7 9 7 33 34 38 35 ( - <>) ( - <>) ( - <>)( - <>) A* - - 4 85 0-0 98 3 6 0,67 4,67 3,33 945 varansen varansen kovaransen medelvärde A A A A A A A A A,, A 35,67 7 4,67 35 7 3,33 4 Jämför A 35,67 7 4,67 8,7 V får A 7 35 945 8 utan hänsn tll korrelatonen mellan och. Korrekt värde är A 945 4. otera att (kontrollera själva!) medelvärdesfelet för arean blr 8,4 dvs mcket lka det värde som erhålles med felfortplantnngsformeln utan korrelatonen (vlket är naturlgt då formeln för medelvärdesfelet förutsätter att storheterna är okorrelerade. 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 4 Sffrorna nom rutorna ovan har erhållts som,67 [ (-) (0) () ] / 3; 4,67 [ (-) (-) (3) ] / 3; 3,33 [ 4 0 6] / 3. Glöm nte bort att noggrant studera bokens lösta eempel varje kaptel det kan vara lärorkt. 4
Quck Check 9. (kommentar) Korrelatonen mellan de uppmätta längderna (bredd och höjd) ^ ^ 5 33 65 089 85 7 34 79 56 98 9 38 84 444 0 Medelv.: 7 35 Summor: 95 3689 845 r 0,9449 motsvarar en sannolkhet för okorrelerade samband på ca 5% 39 38 37 (mm) 36 35 34 33 3 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 (mm) 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 5 Den ena studenten mäter för kort och den andra för långt en svag korrelaton statstskt sett men bdrager med ett stort fel produkten. 5
Eempel: Absoluta nollpunkten avsntt 8.5 boken Ak -3,46 Ak 0,84 Lnjär anpassnng med mnstakvadratmetoden. Absoluta nollpunkten T 0 defneras som temperaturen vd trcket noll, T 0 A. Felet T 0 da Felet A mnskar om v flttar -aeln. Men T 0 skall då beräknas och felet beräknas med hjälp av kovaransen mellan k och A. Resultatet blr (naturlgtvs) detsamma som första fallet! 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 6 En varant på samma tema. Gå noga genom eemplet läroboken. Temperaturen (T) hos en nnestängd, deal gas defneras som en funkton av gasens trck (p) genom T A k p. I den undre fguren har v gjort en varabeltransformaton p -> p p p0. Felet A mnskar men T 0 måste nu beräknas med den fullständga felfortplantnngsformeln vlket emellertd resulterar samma osäkerhet T 0 som det första eemplet. 6
Programmerngsuppgft Skrv en funkton som beräknar parametrarna A och k med fel den räta lnjens ekvaton ( A k ) med hjälp av den vktade mnstakvadratmetoden. Funktonen kallas med: [A da k dk dka]lnftw(,,d) I lnftw.m flen ska v då ha: functon [A da k dk dka]lnftw(,,d) kod 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 7 Denna funkton har n förhoppnngsvs redan skrvt! Om nte återstår det för er att studera programmerngseemplet på nästa bld. otera att funktonen har utökats med en n term - kovaranstermen. 7
Funktonen lnftw.m functon [A,dA,k,dk,dAk]lnftw(,,d) % med summaräknng functon [A,dA,k,dk,dAk]lnftm(,,d) % med matrsräknng w./d.^; ww.*; ww.*.^; ww.*; ww.*.*; Dsw*sw-sw^; swsum(w); swsum(w); swsum(w); swsum(w); swsum(w); length(); X[ones(,) ']; Vee(,); for :; V(,)/d()^; end dbnv(x'*v*x); BdB*(X'*V*'); A(sw*sw-sw*sw)/D; k(sw*sw-sw*sw)/d; dasqrt(sw/d); dksqrt(sw/d); dak-sw/d; %Obs AB(); kb(); dasqrt(db(,)); dksqrt(db(,)); dakdb(,); 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 8 Jag vsar här två versoner av koden. Den vänstra är enkelt kodad med hjälp av summor. Den högra utnttjar nbggda matrsfunktoner tll fullo (kan endast förstås av de av er som läst matrsalgebra). Observera kovaransen dak för en lnjär anpassnng som n bör mplementera ert eget program (står nte ComsolScrpt-häftet eller boken på denna form). 8
En påmnnelse om: Korrelatonskoeffcenten Korrelatonskoeffcenten (r) defneras som: r r ( )( ) ( ) ( ) eller ekvvalent som (se problem 9.0 Talor) r ( )( ) 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 9 Den vanlgaste korrelatonskoeffcenten är produktmomentkorrelatonskoeffcenten. Den kallas ofta Pearsons korrelatonskoeffcent efter upphovsmannen, den brttske statstkern Karl Pearson (857 936). 9
Tentaproblem: Korr.koeff. Uppgft: I Tabell redovsas läskunnghet och två andra socoekonomska faktorer för 6 slumpvs utvalda länder. a) Vlken av de övrga faktorerna uppvsar starkast samband med läskunnghet? b) Vlken faktor uppvsar mnst samband med läskunnghet? c) Hur stor är sannolkheten att två slumpvst valda storheter, utan någon kopplng skulle uppvsa ett samband med dessa strkor? 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 0 0
Tentaproblem: Korr.koeff. 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp
En vktg upptäckt! 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp Henretta Swan Leavtt, född 868 Lancaster, Massachusetts, var en amerkansk astronom som var verksam vd Harvardobservatoret. Leavtt fann bland annat 908 perod-lumnostetsrelatonen för den tp av varabla stjärnor som kallas Cepheder.
00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 3 3
00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 4 Henretta Leavtt var mcket nära att bl nomnerad tll obelprset Fsk (96) för sn upptäckt. Emellertd hade hon avldt redan 9 pga sjukdom (det fanns nte mobltelefoner eller nternet på den tden så det tog lång td för världssamfundet att uppdatera sg)! 4
Kommer n håg: ormalfördelnngsfunktonen? f(;, ) ormerad tll Mamum vd Smmetrsk runt ( ) ep π OBS: Två parametrar! är är ltet så blr eponenten stor -> fördelnngen får brantare sdor är är ltet så blr normalserngskonstanten större -> höjden vd toppen blr relatvt sett högre. 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 5 ormalfördelnngsfunktonen beskrvs av två parametrar, medelvärdet m och standardavvkelsen s. Den oberoende varabeln är ett reellt tal. 5
Tolknngen av: f(;, ) ( ) ep π Tolknng av normalfördelnngsfunktonen som en sannolkhetsfördelnng dvs utfallet av en mätnng ges av en vss sannolkhet. 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 6 V är vd det här laget väl medvetna om tolknngen av normalfördelnngens betdelse nom mätteknken. 6
Posson funktonen V skall nu studera en n gränsvärdesfunkton, Possonfunktonen, som beskrver resultatet av eperment där v räknar händelser som uppträder helt slumpmässgt, men med en väl defnerad genomsnttlg frekvens. P ( ) e! OBS: En parameter bara! Varabeln v är ett heltal! Funktonen är normalserad: P ( ) Varabeln v har ett medelvärde m Standardavvkelsen 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 7 Funktonen P m (v) karakterseras av en parameter bara, fördelnngens medelvärde m. v är den oberoende varabeln och är ett heltal. Possonfördelnngen är ett specalfall av en mer generell fördelnng som kallas bnomalfördelnng. Bnomalfördelnngen lder: Sannolkheten att nträffar p gånger av n, P (n,k) (n k)p k (-p) (n-k), där p är sannolkheten att händelsen skall nträffa en gång. v! (v-fakultet) anger talet ÿÿ3ÿ ÿv (se läroboken kaptel 0). 7
ågra eempel på Possonfördelnngen P ( ) e! Medelvärde 0.5 Medelvärde 0.7 0.4 0.6 0.35 0.5 0.4 0.3 Medelvärdet behöver nte vara ett heltal 0.3 0.5 0. 0.5 Om är ett heltal så lgger ma två ntervall, och - 0. 0. 0. 0.05 0 0 3 4 5 0 0 3 4 5 6 otera att fördelnngen är (starkt) asmmetrsk för låga medelvärden. otera att medelvärdet behöver nte vara ett heltal (utfallet av ett försök är dock alltd ett heltal). 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 8 Hur ser då Possonfördelnngen ut? Observera att utfallsrummet för Possonfördelade varabler är heltal, medan medelvärde och medelsprdnngen kan vara ett reellt tal. V noterar att om medelvärdet är ett heltal så fördelas funktonens mamum på två ntervall. otera att fördelnngen är asmmetrsk (för små värden på μ). 8
ågra eempel på P ( ) e Possonfördelnngen! Medelvärde.5 Medelvärde 4 0.3 0.5 0.5 0. 0.5 Possonfördelnngarna är skeva - de sträcker sg mot den postva sdan. 0. 0.5 Ju högre blr desto mer smmetrsk blr fördelnngen 0. 0. 0.05 0.05 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 3 4 5 6 7 8 9 Ju högre medelvärde desto mer smmetrsk blr fördelnngen. 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 9 Fördelnngen blr mer och mer smmetrsk ju högre medelvärdet är. 9
Posson ormal för stora medelvärden Medelvärde 5.0 Possonfördelnng ormalfördelnng 0.09 0.08 0.07 0.06 För stora kommer enveloppen av Possonfördelnngen att ges av normalfördelnngen med samma medelvärde och standardavvkelse som Possonfördelnngen. 0.05 0.04 0.03 0.0 0.0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 3 3 33 34 35 36 37 38 39 40 4 4 43 44 45 46 47 48 49 50 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 0 För höga medelvärden blr Possonfördelnngen praktken mcket lk normalfördelnngsfunktonen med samma medelvärde som Possonfördelnngen och med sprdnngsmåttet lka med kvadratroten ur medelvärdet. En annan vktg egenskap hos Possonfördelnngar är att summan av två, eller fler, Possonfördelade varabler också är Possonfördelad. Detta medför att v kan använda Possonfördelnngen när v tll eempel studerar radoaktva sönderfall med bakgrund. 0
Vad är Possonfördelat? Possonfördelnngen brukar användas som en modell för antalet händelser som sker ett tdsntervall, på ett område eller rummet. Antalet nfödda barn under en vecka på ett sjukhus. Inkomna samtal tll en telefonväel under en vss td. Antalet blar som passerar under en vss td på en väg. Antalet tallar t.e. på en självsådd ta, följer en Possonfördelnng. otera att utfallen ovanstående eempel kan vara beroende av ttre faktorer som kan vara svåra att ha kontroll över (det är naturlgtvs vktgt att fördelnngens medelvärde nte ändras under mätperoden). Det vanlgaste eemplet är annars antal sönderfall per tdsenhet av ett radoaktvt preparat. I detta fall är vllkoren för att utfallen skall vara Possonfördelade uppfllda, med nära nog matematsk precson, då sannolkheten för att en vss gven atomkärna skall sönderfalla är etremt lten, medan antalet atomkärnor är mcket stort. 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp Enkelt uttrck: när man räknar någontng under vssa gvna vllkor så är resultatet av räknandet ofta Possonfördelat.
00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp För den matematskt ntresserade För Possonfördelnngen gäller att sannolkheten att räkna v lckade händelser, är fördelad som:! ) ( e P ) (! 3 K Possonfördelnngen har endast en parameter (m). otera den matematska konstruktonen v! (v-fakultet) formeln. Fakulteten defneras genom sambandet: V undersöker här nedan fördelnngens egenskaper: - ormalserng:... 3!!!! ) ( 3 0 0 0 e e e e e P - Medelvärde: ( ) ( ) e e e e e P... 3!!!! ) ( 3 0 ågra enkla algebraska manövrar!
För den matematskt ntresserade 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 3 Lte klurgare! 3
Eempel med antal nfödda barn Kap. 3. läroboken. Antalet nfödda på en sjukhusavdelnng räknades tll 4 stcken under en -veckors perod. Om detta värde tas som ett medelvärde blr osäkerheten medelvärdet 4 3,74 4. I detta fall kan v vara långt från det sanna värdet. Låt oss se på antalet nfödda under 6 st -veckors peroder: 4 0 8 8 6 Medelvärdet av denna sere är 3 med felet 78 / 6 8,83/ 6,5 Sannolkhet % Possonfördelnng med medelvärde 3 5,0 0,0 5,0 0,0 4 7 0 3 6 9 5 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 4 8 Antal födda under -veckors perod 3 Med ett säkerställt medelvärde kan v uttala oss om det förväntade antalet nfödda. Det är t.e. med,5 % sannolkhet att det kommer en -veckors perod med 0 och fler födslar. otera att P har följande egenskap om v är heltal: P ( ) P ( ) Observera att v beräknar osäkerheten det totala antalet nfödda barn (78) som sqrt(78) och sedan får v osäkerheten per vecka tll ca,5. Detta kan lknas vd att beräkna ett vktat medelvärde av seren 4, 0,, etc. med resultatet, -,0 (vlket ndkerar att Possonfördelnngen detta fall är nära en normalfördelnng). Osäkerheten medelvärdet går som /sqrt() medan Possonfördelnngen hela tden är densamma per vecka med en sprdnng på ca sqrt(). 4
Sannolkhetstolknng Antag att v strör ut korn (säd) från ett flgplan på en åker som är ndelad rutor om 00 cm. Sannolkheten att en gven mm skall träffas är lten och om v antar att det är lka stor sannolkhet för kornen att hamna på en gven tenhet över hela fältet och kornen är oberoende av varandra då är fördelnngen Posson. Dagrammet tll vänster vsar hur sannolkheten att htta 0,, eller flera korn på tenheten varerar då medelvärdet av antal korn per tenhet sätts tll. Om kornen nte är oberoende av varandra och/eller sannolkheten att falla på en vss tenhet nte är lka stor över hela fältet då skulle fördelnngen nte vara Posson och v skulle få avvkelser från den teoretska fördelnngen med m. 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 5 Possonfördelnngen kan användas för hpotesprövnng ett ämne för nästa lekton (bl.a.). 5