===================================================

min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 1 av 8 vstånsbeäkning VSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkte Låt = ( x1, och B = ( x, y, z) vaa två punkte i ummet vstånet mellan och B ä = B = ( x z x1) + ( y y1) + ( z 1) B =================================================== vstånet fån en punkt till ett plan Låt π vaa ett plan vas ekvation ä skiven på fomen x + By + Cz + D = 0 och låt P ( x1, vaa en given punkt Meto1: P vstånet fån punkten P = ( x1, till planet x + By + Cz + D = 0 ä x1 + D = Q + B + C Meto: Linjen L genom P vinkelät mot planet ha ekvationen,,,, Om vi beteckna me Q skäningspunkten mellan linjen L och planet π å ä avstånet =================================================== vstånet fån en punkt till en ät linje π Meto1: vstånet fån punkten = ( x1, till en linje som gå genom P=,, och ha iktningsvekton, ä P v = v P B

min Halilovic: EXTR ÖVNINGR av 8 vstånsbeäkning Meto: Vi kan bestämma en punkt B på linjen,,,, som ligge nämast punkten genom att använa villkoet 0 och äefte beäkna Exempel: Beäkna avstånet fån punkten = (,,8) till linjen L: ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) Lösning : Låt B vaa en punkt på linjen L Då ha B kooinate,, 6 Om punkten B ligge på linjen nämast punkten å gälle ( se bilen ovan) 0 Eftesom, 1, och 1,1,0 få vi fån (*) 1 0 0 1/ Däfö, 1, 1/, 1/, och nmäkning: Punkten B = (5/,5/,6), kan också beäknas genom att substituea t 1/ i B t, t, 6 =================================================== Meto: Vi kan bestämma en punkt B på linjen L:,,,, som ligge nämast punkten genom att föst bestämma ekvationen fö planet Π som gå genom vinkelät mot L Däefte bestämme vi B som skäningspunkt mellan planet Π och linjen L: Exempel: Beäkna avstånet fån punkten = (,,8) till linjen L: ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0) P B Lösning : Π Planet Π ha en nomalvekto och äfö ä planets ekvation: 1 1 0 8 0 elle 5 0 Vi substituea linjens ekvatione,, 6 i planets ekv och få 5 0 1/ Skäningspunkten ä äfö 5/, 5/, 6 Häav 1/, 1/, och äme

min Halilovic: EXTR ÖVNINGR av 8 vstånsbeäkning vstånet mellan två paallella äta linje Välj en punkt på t ex linjen L 1 och beäkna avstånet fån punkten till linjen L L L 1 =================================================== vstånet mellan två icke-paallella äta linje Låt L 1 och L vaa två äta linje genom P 1 och P me iktningsvektoe v 1 och v Låt N vaa en nomalvekto till båe L 1 och L, t ex N = v 1 v vstånet mellan linjena ä N = P1 P o N L 1 P 1 v 1 L P v Uppgift 1 Planet 6 x + y + z = 6 skä kooinataxlana i punktena, B och C Bestäm omketsen av tiangeln BC

min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 4 av 8 vstånsbeäkning Skäningen me x-axeln få vi om vi substituea y = 0 och z = 0 i ekvationen: 6 x + 0 + 0 = 6 x = 1 lltså ä =(1, 0, 0) På samma sätt få vi B= (0,, 0) och C=( 0,0, ) Häav: B = ( 1,, 0) och B = 10, C = ( 1,0, ) och C = 5, z x C B y BC = ( 0,, ) och BC = 1 Däme ä omketsen av tiangeln BC lika me 10 + 5 + 1 Sva: 10 + 5 + 1 Uppgift Bestäm avstånet fån punkten = (1,, ) till planet x + 5y = 4z Föst skive vi planets ekvation på fomen x + By + Cz + D = 0 lltså x + 5y + 4z + = 0 vstånet fån punkten till planet ä x1 + D 1 + 5 ( ) + 4 + 6 6 = = = = = + B + C + 5 + 4 45 5 5 Sva: 5 5 (= 5 ) Uppgift Linjen ( x, y, = (1,1,1) + t(,1,1 ) skä planet x + y + z 7 = 0 i en punkt Bestäm avstånet fån punkten till planet x + y + 4z + 10 = 0 Vi substituea x = 1 + t, y = 1 + t, z = 1 + t i ekvationen x + y + z 7 = 0 och få t = 1 lltså ä skäningspunkten =(,,) vstånet fån punkten till et ana planet x + y + 4z + 10 = 0 ä x1 + D + + 4 + 10 0 = = = + B + C + + 4 9 Sva: 0 9 Uppgift 4 Bestäm avstånet mellan följane (paallella) plan x + y + z = 5 och x + y +z = 0

min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 5 av 8 vstånsbeäkning Ovanståene plan ä paallella eftesom e ha paallella nomalvektoe, ( faktisk samma nomalvekto (,,1) en hä gången) Vi välje en punkt på fösta planet t ex P(1,1,1) och använe fomeln vstånet fån punkten = ( x1, x1 + D till planet x + By + Cz + D = 0 ä = I våt fall Sva: 5 = x = + B + C + D 1+ 1+ 1 1+ 0 = + B + C + + 1 1 = Uppgift 5 Linjen ( x, y, = (0,1,) + t(1,1, ) skä planet x + y + z 1 = 0 i en punkt Bestäm avstånet fån punkten till linjen ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) Vi substituea x = 0 + t, y = 1 + t, z = + t i ekvationen x + y + z 1 = 0 och få t = Skäningspunkten ä =(,,8) Fö att beäkna avstånet fån punkten till linjen ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) använe vi fomeln v = v Vi välje en punkt på en ana linjen t ex P=(,,6) och bila vekton P = (0,1, ) Linjens iktningsvekto ä v = (1,1,0 ) v P = (,,1) vstånet fån punkten till linjen ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) ä v 9 = P = = v Sva: (= ) Uppgift 6 Bestäm avstånet fån punkten =(1,,) till skäningslinjen mellan två plan x + y + z = och x + y + z = föst bestämme vi skäningen mellan planen: 5

min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 6 av 8 vstånsbeäkning x + y + z = [( 1) ekv1 + ekv] x + y + z = x + y + z = y + z = 1 Vi betakta z som en fivaiabel, beteckna z=t och få x = 1 y = 1 t z = t lltså skä e två plan längs en linje Fö att beäkna avstånet fån punkten =(1,,) till linjen ( x, y, = (1,1,0) + t(0, 1,1 ) använe vi fomeln P v = v ä P=(1,1,0) och v = ( 0, 1,1 ) Häav P = (0,1, ) och v P = (-4,0,0) vstånet fån punkten till linjen ä v 4 = P = = v Sva: Uppgift 7 Bestäm avstånet mellan följane linje ( x, y, = (1,1,4) + t(1,1,) och ( x, y, = (1,1,1) + t(,,6) Linjenas iktningsvektoe v 1= ( 1,1,) och v = (,,6) ä paallella eftesom v = v 1 Däfö välje vi en ( vilken som helst) punkt på en linje och beäkna avstånet fån enna punkt till en ana linje Vi välje =(1,1,4) och använe fomeln P v =, ä P=(1,1,1) och v = v =(,,6) v Häav P = (0,0,) och v P = (6,-6,0) vstånet fån punkten till linjen ä v 6 = P = = v 11 11 Sva: 11

min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 7 av 8 vstånsbeäkning Uppgift 8 Bestäm avstånet mellan följane linje ( x, y, = (1,1,1) + t(1,,1) och ( x, y, = (1,,4) + t(,,0) Linjena ha iktningsvektoe v 1= ( 1,,1) och v = (,,0) Vekto N = v 1 v =(-,,-) ä vinkelät mot båa linje Vi välje en punkt på vaje linje Låt P 1 =(1,1,1) och P =(1,,4) Då P 1P =(0,,) vstånet ä N 1 = P1 P o = = N Sva: = Uppgift 9 Vi betakta två linje L1: ( x, y, = (7,, 4) + t(, 1, 0) och L: ( x, y, = (1, 0, 1) + s(0, 1, 1) a) Bestäm e två punkte P, Q på L1 espektive L som ligge nämast b) Beäkna äefte (et kotaste) avstånet mellan linjena L1 och L L 1 P v 1 L Q v Linjena ha iktningsvektoe v 1= (,1, 0) och v = ( 0, 1,1) Punkte P och Q ligge nämast om PQ ä vinkelät mot båe v 1 och v, vs om PQ v 1 =0 och PQ v =0 Punkten P ligge på L1 och äfö få vi punktens kooinate fö ett väe på paamete t lltså ha P kooinate P( 7 t, + t, 4) Punkten Q ligge på L och äfö ha Q kooinate

min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 8 av 8 vstånsbeäkning Q( 1, s, 1 + s) : Däme PQ = ( t 6, s t, s ) Fån PQ v 1 =0 ha vi 4t + 1 s t =0 ( ekv1) Fån PQ v =0 ha vi s + t + + s =0 ( ekv) Vi löse systemet: 5t s +9=0 ( ekv1) t+ s =0 ( ekv) och få s = 1 och t= Häav P(,5,4) och Q( 1,1,0) och vstånet = PQ = 4 + 16 + 16 = 6 Sva: a) P(,5,4) och Q( 1,1,0) b) =6 PQ = (, 4, 4)