POTENTIALFÄLT ( =konsevativt fält). POTENTIALER. EXAKTA DIFFERENTIALER Definition A1. En kuva = ( t), och ändpunkten sammanfalle. a t b ä sluten om ( a) = ( b) dvs om statpunkten Definition A. Vi säge att = ( t), a t b ä en enkel, sluten kuva om ( a) = ( b) och ( t1) ( t) om t 1 < t och ( t1, t) ( a, b). enkel sluten kuva ej sluten kuva sluten, ej enkel Definition B1. Ett omåde Ω i R n kallas sammanhängande om två godtckliga punkte i Ω kan föbindas med en kontinuelig kuva som helt ligge i Ω. Ej sammanhängande omåde ( dela) Sammanhängande omåde Definition B.( R )Ett sammanhängande omåde Ω i planet R kallas enkelt sammanhängande om vaje enkel, sluten kontinuelig kuva i Ω omslute ett omåde som helt ligge i Ω. ( Med anda od Ω ä ett sammanhängande omåde utan hål) Sammanhängande men ej enkelt sammanhängande Enkelt sammanhängande omåde (omåde utan hål) 1 av 8
Definition B3. (R 3 ) Ett sammanhängande omåde Ω i planet R 3 kallas enkelt sammanhängande om vaje enkel, sluten kontinuelig kuva L i Ω kan kontinueligt defomeas, utan att lämna Ω, till en punkt i Ω. ( Med anda od, till vaje enkel, sluten kontinuelig kuva L kan vi skapa en ta som ligge i Ω och ha L som anden. ) POTENTIALFÄLT ( =konsevativt fält) Vi betakta ett vektofält definiead i ett öppet omåde Ω,,,, i, elle,,,,,,,, i. Definition1. Vektofältet kallas ett potentialfält elle ett konsevativt fält i omådet Ω om det finns en C 1 funktion sådan att Funktionen kallas då en potential till fältet elle en potentialfunktion till. Eftesom, och,, kan vi skiva (*) på följande sätt: Definition a (fö ä. Vektofältet, kallas ett potentialfält elle ett konsevativt fält i ett öppet omådet Ω om det finns en C 1 funktion sådan att Definition b. Vi säge att uttcket Pdx + Qd ä en exakt diffeential i finns en C 1 - funktion U så att du = Pdx + Qd i omådet Ω. Sats om exakta diffeentiale i R :, ä ett potentialfält i Ω med potentialen U då och endast då gälle du = Pdx + Qd dvs uttcket Pdx + Qd ä en exakt diffeential i Ω. Ω R, om det Definition 3a (fö ä. Vektofältet,, kallas ett potentialfält elle ett konsevativt fält i ett öppet omådet Ω om det finns en C 1 funktion sådan att, av 8
3 Definition 3b. Vi säge att uttcket Pdx + Qd + Rdz ä en exakt diffeential i Ω R om det finns en C 1 -funktion U så att du = Pdx + Qd i omådet Ω. Sats om exakta diffeentiale i R 3 : {,, ä ett potentialfält i Ω med potentialen U} { du = Pdx + Qd + Rdz dvs uttcket Pdx + Qd + Rz ä en exakt diffeential i Ω. } ================================================================ Exempel 1. a) Visa att F = (x, x + 3) ä ett potentialfält (dvs att F ha en potentialfunktion U ( x, ). b) Bestäm fö vektofältet F den potentialfunktion U( x, som satisfiea U ( 1,1) = 3. Lösning: a) Vi löse sstemet: U x U = x = x Ekv 1 + 3 Ekv Ekv 1 medfö U ( x, = xdx = x + ϕ ( (*) Fö att bestämma ϕ ( substituea vi (*) i ekv U = x + 3 x + ϕ ( = x + 3 ϕ ( = 3 ϕ = 3 + C Alltså ha fältet en potential U ( x, = x + ϕ ( = x + 3 + C Kontoll : 3 Dämed ha vi visat att fältet ä ett potentialfält (= konsevativt fält) Sva a), 3 b) Villkoet U ( 1,1) = 3 C= 1 och däfö, 31 Sva b), 31 ================================================ Nödvändiga och tilläckliga villko fö ett potentialfält Ett nödvändigt villko fö ett potentialfält i R. Låt, vaa ett C 1 vektofält ( dvs P och Q ha kontinueliga deivato) i ett öppet omådet Ω i R. Om ä ett potentialfält då gälle {Eftesom } ö,. 3 av 8
Alltså ä ett nödvändigt villko fö att ett C 1 vektofält, bli potentialfält i omådet Ω. Nödvändiga villko fö ett potentialfält i R 3. Låt,, vaa ett C 1 vektofält ( dvs P och Q ha kontinueliga deivato) i ett öppet omådet Ω i R. Om ä ett potentialfält då gälle {Eftesom, },, ö,, Alltså,, ä nödvändiga villko fö att ett C 1 vektofält,, bli potentialfält omådet Ω. Tilläckliga villko fö ett potentialfält Om omådet Ω ä ett enkelt sammanhängande omåde ( ett sammanhängande omåde utan hål) då ä ovanstående villko även tilläckliga fö att ett C 1 vektofält bli ett potentialfält. T ex fö R 3 ha vi följande Om följande villko ä uppfllda 1. Ω ä ett enkelt sammanhängande omåde.,, ha kontinueliga patiella deivato 3.,, då ä,,) ett potentialfält i Ω. Exempel. Avgö om följande vektofält ä potentialfält i Ω. a),5 dä Ω ä hela R b) 5, 10 8 dä Ω ä hela R Sva a) 10,. Nej, eftesom i R. Sva b) Ja eftesom, P, Q ha kontinueliga patiella deivato och 10 i hela R ( som ä ett enkelt sammanhängande omåde) Exempel 3. Avgö om följande vektofält ä potentialfält i hela R. 4 av 8
a),, 3, dä Ω ä klotet 1 b),,, dä Ω ä klotet 1 Sva a) Nej, eftesom 0 1. Sva b) Ja eftesom, 1. Ω ä ett enkelt sammanhängande omåde.,, ha kontinueliga patiella deivato 3.,, Uppgift 1. Avgö om vekto fältet ä ett potentialfält i R. Om detta ä fall bestäm fältets potential U(x, om U ( 1,1) = 4. a),4 b) 5, Lösning a) 4, 0 Sva a) Fältet ä inte ett potentialfält eftesom. Lösning b) Fältet ä ett potentialfält eftesom och alla patiella deivato ä kontinueliga i R. Vi löse sstemet: U x = U = + Ekv 1 medfö U( x, = dx = + ϕ ( (*) Fö att bestämma ϕ ( substituea vi (*) i ekv U = + + ϕ ( = + ϕ ( = ϕ = + C Alltså U ( x, = + ϕ ( = + + C Statvillkoet U ( 1,1) = 4 C=1/ och U ( x, = + 1 Sva b) U ( x, = + + Uppgift. Avgö om vektofältet ä ett potentialfält i R 3. Om detta ä fall bestäm fältets potential. 5 av 8
a),, 3 b) ( x + z, + xz, x + 3) Lösning a) Vi kolla de nödvändiga villkoen,, ä uppfllda. Eftesom 3, se vi att anda villkoet ä INTE uppflld. Sva a) Fältet ä inte ett potentialfält eftesom. Lösning b) P,Q,R ha kotinueliga deivato i hela R 3 och villkoen,, ä uppfllda. alltså ä ett potentialfält. Fö att finna potentialen U löse vi sstemet : U x = x + z ( ekv1) U = + xz ( ekv) U z = x + 3 ( ekv3) Fån ekv1 ha vi U ( x,, = (x + dx = x + xz + g(, (*) Fö att finna g (, substituea vi (*) i (ekv ) U = + xz xz + g ý (, = + xz g ý (, = g( x, = + Detta och (*) ge U ( x,, = x + xz + + h( (**) Fö att finna h ( substituea vi (**) i (ekv3) U z = x + 3 x + h z ( = x + 3 h( = 3z + C Detta och (**) ge U ( x,, = x + xz + + 3z + C. ( Kontoll U x = x + z = P, U = + xz = Q, U z = x + 3 = R h(. Sva b) U ( x,, = x + xz + + 3z + C KURVINTEGRALER I ETT POTENTIALFÄLT Potentialfält ( =konsevativa fält) ha en viktig egenskap: deas kuvintegale ä obeoende av vägen utan endast av kuvans stat- och ändpunkt. Sats 1a. (Om kuvintegale i ett potentialfält. ) Låt ä ett potentialfält med potentialen U i det öppna sammanhängande omådet Ω. Fö vaje kuva i Ω, med statpunkt i A och ändpunkt i B, gälle då att. Fån ovanstående fomell ha vi speciellt att kuvintegalen i ett potentialfält ä obeoende av vägen. Integalen beo endast av statpunkten A och ändpunkten B. 6 av 8
Omvänt påstående ä också sant, och dämed ha vi följande ekvivalens som kaakteisea potentialfält (= konsevativa fält): Sats 1b. Låt ä ett kontinueligt vektofält i det öppna sammanhängande omådet Ω och γ en C 1 kuva som ligge i Ω. Då gälle : { F = ( P, Q) ä potentialfält} {Integalen F d beo ej av vägen } γ Ett annat sätt att fomulea sats 1a ä följande sats. Sats. ( Om kuvintegale längs en sluten kuva i ett potentialfält.) Låt ä ett kontinueligt potentialfält med potentialen U i det öppna sammanhängande omådet Ω. Då gälle att kuvintegal längs vaje sluten stckvis C 1 kuva i Ω ä 0 d v s 0. Uppgift 3. Avgö om vektofältet, ä ett potentialfält i R. Om detta ä fall bestäm fältets potential och beäkna med hjälp av en potentialfunktion längs då a) ä linjestcken fån A (0,0) till 4,6 och fån 4,6 till 1, / b) ä cikeln 4. Lösning : Eftesom P, Q ha kontinueliga patiella deivato och 0 i hela R ( som ä ett enkelt sammanhängande omåde) se vi att ä ett potentialfält. Vi bestämme, fån ekvationena U x ekv1 U cos ekv Fån ekv1 ha vi, som vi substituea i ekv fö att få f(: Vi substituea i (*) och få potentialen, a) Fö att beäkna kuvintegalen i potentialfältet behöve vi inte äkna diekt längs kuvan utan vi använde en potentialfunktion t ex ( om vi ta C=0),. Vi ha ä 1, / 0,0 0 ( mellan punkt 4,6 spälla ingen i det hä fallet) b) I det hä fallet ä en sluten kuva (cikeln 4 och däfö ä kuvintegalen lika med 0, 0. 7 av 8
Uppgift 4. Beäkna längs dä,, och ä linjestckena fån (0,0,0) till (4,5,6) och fån (4,5,6) till (1,1,1) Sva: Vi läse ekvationena U U U ekv1 ekv ekv3 och få potentialen U C med hjälp av en potentialfunktion ( Kontollea själv). Däefte äkna vi kuvintegalen ä 1,1,1 0,0,0 1 ( mellanpunkten 4,5,6 spälla ingen i det hä fallet). Uppgift 5. 3 3 Beäkna längs dä F = ( z, xz, 3x z + längs γ som definieas av π 3 π π ( t) = ( t cos( t 1), t sin( t ), t (sin( t ) + cos( t )) dä 0 t 1 3 Lösning: Fältet ha potentialen U = x z + z ( kontollea själv); dessutom t=0 svaa mot punkten (0,0,0) t=1 ge punkten (1,1,1) Vi ha ä 1,1,1 0,0,0 Uppgift 6. Bestäm p, om möjligt så att fältet F bli konsevativt (= potentialfält ) i hela R 3 dä a) F = ( z, xz, px z + b) F = ( z, 3xz, px z + Tips: a) Fösta två, bland 3 nedanstående villko, ä uppenbat uppfllda 1. Ω (hela R 3) ä ett enkelt sammanhängande omåde.,, ha kontinueliga patiella deivato 3.,, Vi bestämme p så att tedje villkoet dvs,, också bli uppflld Sva a) p= b) Saknas lösning eftesom Q x = 3z P = z (obeoende av p). 8 av 8