Tentamen i Balkteori, VSMF15, 2011-10-18, kl 08.00-13.00 Maimal poäng på tentamen är 40. För godkänt tentamensresultat krävs maimalt 18 poäng. Tentamen består av två delar: En del med frågor och en del med räkneuppgifter. Frågedelen omfattar uppgifterna 1 och 2. Tillåtna hjälpmedel vid lösning av denna del är fickräknare, linjal, papper och penna. Svaren på frågedelen kan lämnas på den bifogade etra kopian av frågedelen. Räknedelen omfattar uppgifterna 3-6. Tillåtna hjälpmedel vid lösning av denna del är kurspärmen utan -tentorna och deras lösningar (pärmflik flik 18), Calfemmanualen samt egna anteckningar och annan litteratur, dock ej lösningar till uppgifter. Sätt namn på alla papper som du lämnar in. När svaren till frågedelen är inlämnad kan övriga hjälpmedel plockas fram. Lcka till! 1
Tentamen i Balkteori, VSMF15, 2011-10-18 Frågedel Namn: 2
Namn: Uppgift 1 (16*(1/2)=8 poäng) Ange för nedanstående påståenden om de är rätt eller fel. +1/2 poäng för varje rätt svar, -1/2 för fel svar och 0 poäng om inget svar. Sammanlagt inte mindre än noll poäng. Ange ditt svar genom att ringa in Rätt, Fel eller Inget svar. a) Tpiskt för balkteorier är att de leder till ordinära differentialekvationer och att koefficienterna i dessa ekvationer är konstanta, förutsatt linjärt materialbeteende och första ordningens teori. Rätt Fel Inget svar b) Alla balktvärsnitt har, oavsett dess geometri, två huvudalar som är vinkelräta. Rätt Fel Inget svar c) Positivt snittböjmoment M är definierat enligt figuren nedan. Rätt Fel Inget svar d) Initialspänningarσ o definieras (här) enligt σo = σ E εo. Påstående: vid uppvärmning av en mindre del av en balk gjord av stål uppkommer enbart trckande initialspänningar i balken. Rätt Fel Inget svar e) Vid härledningen grundekvationen för balkböjning kopplas normalspänningarna i balkens längsriktning till snittstorheterna normalkraft och böjmoment. Påstående: denna koppling fås mha av jämviktsekvationer. Rätt Fel Inget svar f) Vid vridning enligt St Venant:s teori uppkommer förskjutningar i balkens längdriktning, men varken normalspänningar eller normaltöjningar i balkens längdriktning. Rätt Fel Inget svar g) I Vlasovs teori för ren Vlasovsk vridning beaktas skjuvspänningar, men inte skjuvtöjningar. Rätt Fel Inget svar h) Normerad sektoriell koordinat är dimensionslös, dvs anges med ett tal (ett förhållande) utan enhet. Rätt Fel Inget svar i) Jämfört med Bernoulli/Eulers teori ger Timoshenkos teori en bättre beräkning både av de skjuvspänningar och de skjuvtöjningar som en tvärkraft ger upphov till. Rätt Fel Inget svar j) Både Bernoulli/Eulers teori och Timoshenkos teori förutsätter att balktvärsnitten förblir vinkelräta mot balkens medellinje vid belastning av balken. Rätt Fel Inget svar k). Jämfört med första ordningens teori ger andra ordningens teori för plan balkböjning en mer noggrann beräkning av (bl.a.) snittböjmoment M vid givet värde på balkkrökningen v (andra derivatan av utböjningen). Rätt Fel Inget svar l) För dubbelsmmetriska tvärsnitt sammanfaller tngdpunkt och vridcentrum. Påstående: För dessa tvärsnitt är I ω = I +I (dvs välvtröghetsmomentet lika med summan av ttröghetsmomenten). Rätt Fel Inget svar m) Vid böjbelastning av en krökt balk (t.e en krökt I-balk) deformeras balktvärsnittet i sitt eget plan. Rätt Fel Inget svar n) För krökt balk kan teoretiskt beräkningsuttrck för normalspänningar i balktvärsnittets plan (dvs i - planet) härledas utan att eventuell deformation i balktvärsnittets plan beaktas. Rätt Fel Inget svar 3
Namn: o) En ordinär differentialekvation med v() som den obekanta funktionen, kan lösas approimativt med olika residualmetoder. Påstående: residualen är skillnaden mellan den ansatta mer eller mindre approimativa lösningen v a () och den eakta lösningen v(). Rätt Fel Inget svar p) Det som är särpräglande för viktfunktionsval enligt Galerkin är att antalet viktfunktioner väljes lika med antalet basfunktioner. Rätt Fel Inget svar Uppgift 2 (1+2+1+2 = 6 poäng) a) A B A B Enligt Bernoulli/Euler-teori Enligt Timoshenko-teori τ γ τ γ En konsolbalk är utformad och belastad enligt figuren ovan. Ange i tabellen ovan för vardera skjuvspännings- och skjuvtöjningskomponent om den är <0, =0 eller >0 enligt Bernoulli/Euler- och Timoshenkoteori i de två punkterna A och B. A ligger i balkens ovankant och B på balkens medellinje. ' ' b) Härled sambandet V = M + m, där V är tvärkraft, M derivata av böjmoment och m fördelad böjmomentlast. Rita lämplig figur och redovisa härledningen helst här nedan, alternativt på separat papper. 4
Namn: c) 2 1 Ett balkelement har orientering i ett globalt koordinatsstem -- enligt ˆ = (0.17, 0.4, 0.9), ŷ = ( 0.3, 0.9, 0.34) och ẑ = (0.95, 0.21, 0.27) där ˆ, ŷ och ẑ är basvektorerna för balkens lokala koordinatsstem med -aeln längs balken från balkänden 1 (nod 1) till balkänden 2 (nod 2). Balkelementet har 12 frihetsgrader P 1 till P 12 med sedvanlig numrering av frihetsgraderna: först nod 1 med krafter P P och P och momenten M M och M, och sedan samma för nod 2, alla definierade i det globala koordinatsstemet. Antag att P 1, P 2, P 12 är kända. Ange tvärkraften V i balkände 2. d) q A L B h b En balk med längden L och med ett rektangulärt tvärsnitt bh är fritt upplagd på ett filager A i vänster balkändes nedre hörn och på ett rullager B i höger balkändes nedre hörn, se figuren ovan. Hur stor horisontell rörelse av upplaget B ger lasten q upphov till? Tvärsnittets böjstvhet är EI. Ledning: balkens nedböjning är 3 3 ql 2 w = + 24EI 2 L L 4 3 5
Tentamen i Balkteori, VSMF15, 2011-10-18 Räknedel 6
Uppgift 3 (3+2+3=8 poäng) 4 Material- och lastdata: E = 200000 N/mm 2 P= 1000 N 100 P P 1000 I) 50 mm II) P P P III) F IV) M 40 40 4 a) Bestäm tvärsnittskonstanterna I, I, I, K v och I ω för L-tvärsnittet i figur I). Visa i figur vald orientering av koordinatsstem. Ange även läge för tngdpunkt och skjuvcentrum. Tvärsnittet kan betraktas som tunnväggigt. b) Figur II) visar belastning och utformning för två konsolbalkar med L-tvärsnitt enligt figur I). De två balkarna är placerade parallellt och nära varandra, men är inte kontakt med varandra. Beräkna konsoleras vertikala nedböjning i punkten där lasterna verkar. Ledning: nedböjning för en konsolbalk i plan böjning, belastad med en punktlast P i spetsen, är v spets =PL 3 /(3EI). c) För att reducera nedböjningen svetsas balkarna ihop vid konsolspetsen med en stålplåt enligt figur III). Plåtens höjd*bred*tjocklek är 80*100*4 mm 3. Beräkna den kraft F och det moment M som verkar i plåtens smmetrisnitt, se figur IV). 7
Uppgift 4 (2 (a) + 6 (b+c)=8 poäng) 80 mm q 6 TP SC 8 49.0 41.0 q 100 8 Tvärsnittsdata: I = 3.80 10 6 mm 4, I = 1.01 10 6 mm 4, K v = 37.2 10 3 mm 4, I ω =2.17 10 9 mm 6, SC =11.8 mm Last- och materialdata: q=4.0 N/mm, E=2.0 10 5 N/mm 2, G=8.0 10 4 N/mm 2 En balk med längden 2000 mm är utformad, belastad och upplagd enligt figuren ovan. SC beteckar - koordinaten för skjuvcentrum, SC. a) Beräkna normerad sektoriell koordinat för tvärsnittet. Beräkningen skall redovisas, det räcker således inte att hämta resultatet från litteratur. b) Beräkna skjuvspänningen τ i punkten (,, ) = (200, 3, 0) mm. c) Beräkna maimal dragande normalspänning i balkens undre fläns och ange koordinaterna för den punkt där denna spänning uppkommer. 8
Uppgift 5 (4+2=6 poäng) t/2 L=800 mm E=2000 N/mm 2 a) σ o =(/(t/2)) 2 N/mm 2 P b=50 t=10 P σ o b) -t/2 P L c) d) e) Ett plwoodstcke, - ganska likt det som provades vid en laboration -, har mått och E-modul enligt figur a). Från början var stcket helt rakt och spänningsfritt. Emellertid uppkom en något osmmetrisk uttorkning vid lagring av stcket. Detta gav initialspänningar (=spänningar vid noll töjning) σ o enligt figur b). Spänningarna varierar med, men inte med och, och för <0 är de noll. Dessa spänningar, orsakade av den ojämna torkningen, ger för det helt obelastade plwoodstcket en utböjning i -riktning. Denna utböjning är 16((/L) 2 -/L) mm. Man önskade prova aktuellt plwoodstcke (aktuell balk) med avseende bärförmåga enligt figur d), dvs pelarbelastning med leder i båda ändar. Lederna utformades med kulor lagda i små urgröpningar enligt figur c). Emellertid fungerar inte dessa leder helt idealt utan har pga friktion viss förmåga att bära momentbelastning. Detta innebar att den svagt krökta pelaren kom att fungera som om den vore rotationsförhindrat fastsatt, i princip enligt figur e), så länge som inspänningsmomentet vid pelarens ändar var mindre än det moment som kulorna kunde ta utan att lossna. Det är därför intressant att beräkna hur stort inspänningsmomentet blir vid olika stora belastningar, P. (Detta ger möjlighet att jämföra med en uppskattning av kulornas momentkapacitet, som beror på kulornas diameter, urgröpningarnas djup och friktionskoefficient.) a) Hur stort är inspänningsmomentet när P=250 N? b) Hur stor att ma trckspänning i snittet =L/2 när P=250 N? Beräkningarna skall göras enligt 2:a ordningens teori för plan balkböjning. 9
Uppgift 6 (4 poäng) P 1, u 1 q() P 2, u 2 L Ett stångelement med två noder och två frihetsgrader enligt figuren ovan har längden L, är gjord av ett material med elasticitetsmodulen E och har ett tvärsnitt A() och en fördelad belastning q() som båda kan variera med. Stångens beteende strs av differentialekvationen (EA u')' = q. Använd residualmetod enligt Galerkin för att etablera en smmetrisk stvhetsmatris och en lastvektor för aktuellt element. Utgå från aktuell differentialekvation och följande två basfunktioner: f 1 =(1-/L) och f 2 =/L. Genomför sedan beräkning av aktuella integraler i stvhetsmatris och i lastvektor för specialfallet att A()=konstant=A o och q()=konstant=q o. Beräkningarna skall redovisas, inte bara slutresultatet. 10