Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök v denn typ bör utfllsrummet vbilds t.ex. på reell xeln. Sådn vbildningr klls stokstisk vribler. Definition 4. En stokstisk vribel är en reellvärd funktion med ett utfllsrum som definitionsmängd. Således är, trots benämningen, en stokstisk vribel i själv verket en funktion. Mn brukr oft beteckn dem med grekisk bokstäver, t.ex. ξ (ksi, η (et, ζ (zet, τ (tu,... Vi betecknr med Ω ξ värdemängden för en stokstisk vribel ξ vrs definitionsmängd är Ω. Exempel 4.2 Låt Ω vr mängden v ll människor i världen. I dett utfllsrum kn vi t.ex. betrkt följnde stokstisk vribler ω A(ω människns ålder ω V (ω människns vikt ω L(ω människns längd Om måttenheten för vribeln A är ett år är värdemängden v A en delmängd v de hel tlen; A säges vr en heltlsvärd stokstisk vribel. Däremot är den lämpligste värdemängden för V (och L R + {x : x > 0}. b Låt Ω vr mänden v fmiljer med tre brn, smt ξ och η stokstisk vribler som nger ntlet pojkr resp. flickor i fmiljen. Vi hr då Ω ξ Ω η {0,, 2, 3}. c Betrkt försöket 6 kst med ett mynt och låt ξ vr ntlet kron. Då är Ω ξ {0,, 2, 3, 4, 5, 6}. 25
I fortsättningen betrkts två fll. I det först nts tt Utfllsrummet är ändligt (eller högst numrerbrt Låt Ω {ω,..., ω n } och ξ vr en stokstisk vribel. Eftersom ξ är en funktion så är även Ω ξ ändligt och n(ω ξ n(ω n. Sätt Ω ξ {x,..., x n } (k n och betrkt mängden A i {ω : ξ(ω x i } (dett skrivs oft kortre {ξ x i }. Enligt definitionen är A i, i,..., k, en händelse och dess snnolikhet kn bestämms: P(A i P ( {ω : ξ(ω x i } ω u A i P : f(x i ( {ωu } Definition 4.3 Tlen f(x i, i,..., k, bestämmer en funktion f som klls frekensfunktionen för ξ. Sts 4.4 En frekvensfunktion f uppfyller (i f(x i 0, i,... (ii k f(x i. Bevis Eftersom f(x i P(A i och Ω k A i, A i A j, i j, följer påståendet ur Definition 3.3. Definition 4.5 Låt ξ vr en stokstisk vribel. Funktionen F ξ (x P(ξ x, x R, klls fördelningsfunktionen för ξ. Exempel 4.6 Låt ξ vr summn v poängtlen vid kst med två symmetrisk tärningr. Ur figuren i Exempel 3.6 frmgår tt ξ hr följnde frekvensfunktion Ω ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 f ξ (x 2 3 4 5 6 5 4 3 2 och fördelningsfunktionen 26
0 x < 2 2 x < 3 3 3 x < 4 6 4 x < 5 0 5 x < 6 F ξ (x 5 6 x < 7 2 7 x < 8 26 8 x < 9 30 9 x < 0 33 0 x < 35 x < 2 2 x Rit in dess funktioner i ett koordintsystem! Låt ϕ vr en funktion från R till R och ξ en stokstisk vribel. Det är klrt tt även η ϕ(ξ är en stokstisk vribel. Vi skll bestämm frekvensfunktionen för η. Låt Ω {ω,..., ω n }, Ω ξ {x,..., x k } och Ω η {y,..., y m }. Då gäller tt n(ω η n(ω ξ n(ω (m k n. Sätt C i {x : ϕ(x y i }. Vi hr {ω i : η(ω i y j } {ω i : ξ(ω i x u } x u C j och följktligen, ( P(η y i P {ω i : ξ(ω i x u } x u C j P{ω i : ξ(ω i x u } x u C j f ξ (x u : f η (y j. x u C j Funktioner som oft förekommer i dett smmnhng är ξ, ξ p (p är ett positivt heltl. Betrkt en stokstisk vribel ξ och dess frekvensfunktion f. Frekvensfunktionen innehåller ll informtion om ξ. Men för tt bättre förstå beteenden v ξ krkteriserr mn fördelningen v ξ genom tt bestämm värden v viss funktionler (eller krkteristikor(funktionl en funktion vrs definitionsmängd och värdemängd är en funktionsklss (t.ex. frekvensfunktioner resp. R ( de reell tlen. De viktigste krkteristikorn är väntevärdet och vrinsen. Vi skll först definier väntevärdet för en stokstisk vribel ξ; dett beteckns med E(ξ. 27
Definition 4.7 Låt ξ vr en stokstisk vribel med frekvensfunktionen f(x, x Ω ξ {x,..., x k }. Väntevärdet för ξ är då tlet E(ξ x i f(x i x Ω ξ x f(x. Väntevärdet är m..o. ett vägt medeltl v de olik värden på ξ. Anmärkning 4.8 Då Ω ξ är numrerbrt, men inte ändligt, definiers väntevärdet som ovn, dvs E(ξ x Ω ξ x f(x. I dett fll säges väntevärdet exister om summn x Ω ξ x f(x är ändlig. Exempel 4.9 Låt ξ vr likformigt fördeld över Ω ξ {, 2,..., n}, dvs P(ξ i n. Då är E(ξ i n n n + n 2 + n. 2 I dett exempel smmnfller således det ritmetisk medeltlet v elementen i Ω ξ väntevärdet v ξ. och Exempel 4.0 Låt ξ vr ntlet erhålln kron vid tre kst med ett symmetrisk mynt. ξ hr då följnde frekvensfunktion ( Ω ξ {0,, 2, 3} x 0 2 3 f(x 8 3 8 3 8 8 Väntevärdet blir E(ξ 4 x i f(x i 0 f(0 + f( + 2 f(2 + 3 f(3 0 8 + 3 8 + 2 3 8 + 3 8 3 2. Sts 4. Väntevärdet för en smmnstt stokstisk vribel ϕ(ξ är E ( ϕ(ξ ϕ(x i f(x i x Ω ξ ϕ(x f(x. (Om Ω ξ inte är oändligt bör summn vr bsolutkonvergent, dvs x Ω ξ ϕ(x f(x <. Se Anmärkning 4.8. 28
Bevis Låt Ω {ω,..., ω n }, η(ω i ϕ ( ξ(ω i, Ω ξ {x,..., x k } och Ω η {y,..., y m } (m k n. Sätt C j {x i : ϕ(x i y j } Då gäller {ω i : η(ω i y j } {ω i : ξ(ω i x u }. x u C j Låt f η och f ξ vr frekvensfunktionern för η resp. ξ. Vi hr E(η E ( ϕ(ξ m y i f η (y i m y i P(η y i m y i P(ξ x u x u C i m y i P(ξ x u x u C i m ϕ(x u P(ξ x u x u C i ϕ(x u P(ξ x u u ϕ(x u f ξ (x u. u Exempel 4.2 Låt ϕ(ξ ξ + b. Då fås E ( ϕ(ξ E(ξ + b (x u + bf ξ (x u u x u f ξ (x u + b u u f ξ (x u E(ξ + b. Definition 4.3 Låt ξ vr en stokstisk vribel med väntevärdet E(ξ. Vrinsen för ξ är tlet V(ξ E (( ξ E(ξ 2. Den positiv kvdrtroten v vrinsen klls stndrdvvikelsen för ξ och beteckns D(ξ. 29
Vrinsen mäter vritionen för ξ kring väntevärdet, dvs den är ett slgs spridningsmått. Enligt Sts 4. gäller tt V(ξ (x i µ 2 f(x i, E(ξ µ. Sts 4.4 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2. b V(c 0, c är en konstnt. c V(ξ + b 2 V(ξ,, b konstnter. Bevis Sätt E(ξ µ; vi hr V(ξ E ( (ξ µ 2 (x i µ 2 f(x i (x 2 i + µ 2 2µx i f(x i x 2 i f(x i + µ 2 2µ µ E(ξ 2 ( E(ξ 2. Fllen b och c lämns till läsren som övningsuppgifter. x 2 i f(x i + µ 2 f(x i 2µ x i f(x i Exempel 4.5 Låt ξ vr likformigt fördeld över Ω {, 2,..., n}. Då är E(ξ +n 2 (enligt Exempel 4.9. Vi skll bestämm vrinsen för ξ: E(ξ 2 i 2 n För tt beräkn summn n i2 observer tt i 2 (i+3 i 3 3 i 3 fås (utför räkningen! i 2 n(n + (2n +. 6 n i 2. (verifier dett!. Då 30
Följktligen V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 n(n + (2n + 6 n2 2. ( n + 2 2 Exempel 4.6 (Binomilfördelning Låt n vr ett positivt heltl och 0 < p <. Sätt ( n f(k p k ( p n k, k {0,, 2,..., n}. k Vi skll vis tt f är en frekvensfunktion: (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,, 2,..., n. (ii Vidre är f(k ( n p k ( p n k k ( p + ( p n, enligt binomilteoremet. Tlen n och p klls fördelningens prmetrr. Att en stokstisk vribel är binomilfördeld med prmetrrn n och p beteckns ξ Bin(n, p. Vi bestämmer väntevärdet för ξ: E(ξ Sätt m k, då fås k f(k ( n k p k ( p n k k n! k k!(n k! pk ( p n k k np n k (n! (k!(n k! pk ( p n k. n E(ξ np m!(n m! pm ( p n m m0 n ( n np p m ( p n m np, m m0 3
enligt binomilteoremet. För tt bestämm vrinsen behövs E(ξ 2. Vi utgår från E ( ξ(ξ k(k f(k. På smm sätt som ovn fås tt E ( ξ(ξ n(n p 2. Således V(ξ E(ξ 2 E(ξ 2 E ( ξ(ξ + E(ξ E(ξ 2 n(n p 2 + np n 2 p 2 np( p. Exempel 4.7 (Hypergeometrisk fördelning Låt N, N, N 2 och n vr positiv heltl sådn tt N N + N 2 och n min(n, N 2. Sätt ( N ( N2 f(k k n k ( N, k {0,,..., n}. n Vi skll vis tt f är en frekvensfunktion: (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,,..., n. (ii Vidre är n f(k, ty ( N (se övningsuppgift 9, kpitel 2. k ( N2 n k ( N + N 2 n ( N, n Att en stokstisk vribel ξ är hypergeometriskt fördeld med prmetrrn N, N, n beteckns ξ Hyp(N, N, n. Vi bestämmer väntevärdet för ξ: E(ξ k f(k k ( N ( N2 k n k ( N n k N! k!(n k! N 2! (n k!(n 2 n+k! N! n!(n n! n N N k (N! (k!(n k! N 2! (n k!(n 2 n+k! (N! (n!(n n! n N N ( N ( N2 k n k ( N k n. 32
Sätt m k ; då fås n N n N m0 ( N ( N2 m n m ( N n n N N. Vid beräkningen v vrinsen utgår mn från uttrycket E ( ξ(ξ k(k ( N ( N2 k n k ( N... n Följktligen n(n N (N N(N. V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 E ( ξ(ξ + E(ξ ( E(ξ 2 n N N N N N N n N. Sätt N N p, N N N Exempel 4.8 (Poissonfördelning Låt λ > 0 och sätt Vi visr tt f är en frekvensfunktion: p : q. Då fås E(ξ np, V(ξ npq N n N. (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,,... f(k λk k! e λ, k {0,..., }. (ii Vidre är f(k, ty λ k k! e λ e λ λ k k! e λ e λ. (Vi hr nvänt McLurinutvecklingen för e x ; e x + x + x2 2! + x3 3! +... Att en stokstisk vribel ξ är Poissonfördeld med prmetern λ beteckns ξ Po(λ. Vi bestämmer väntevärdet: E(ξ k f(k k λk k! e λ λ k (k! e λ λe λ λ k (k! λ. 33
Vrinsen är V(ξ λ. Således smmnfller väntevärdet och vrinsen för en Poissonfördeld stokstisk vribel. Exempel 4.9 (Geometrisk fördelning Låt 0 < p < och sätt f(k ( p k p, k {, 2, 3...}. Det gäller tt (i f(k 0, k, 2,..., och (ii k f(k, ty f(k k ( p k p p ( p k k p ( p. k Vi beräknr väntevärdet. E(ξ k f(k k k( p k p p k( p k. k k För tt beräkn summn k k( pk sätt h(x k ( xk, 0 < x <. Vi kn deriver h(x genom tt deriver under summtionstecknet; då fås d dx h(x k( x k. ( k Å ndr sidn h(x ( x k ( x ( x k. k ( x k ( x x x ; följktligen d dx h(x x 2. (2 Dett gäller inte i llmänhet; här gäller det eftersom h är en potensserie med konvergensrdien (Se t.ex. Sjöberg: Anlytisk funktioner vsnitt 8.5 34
Ur ( och (2 följer k( x k x 2. k Härv följer tt E(ξ p k Vrinsen beräkns på ett nlogt sätt: V(ξ p p 2. k( p k p p 2 p. Vi betrktr nu det ndr fllet: Stokstisk vribler som hr en täthet Definition 4.20 Låt ξ vr en stokstisk vribel vrs värdemängd är ett intervll Ω ξ (, b. Mn säger tt ξ hr en täthet f om P(ξ A A f(xdx, där A Ω ξ är en union v ett ändligt (eller högst numrerbrt ntl öppn intervll, dvs A n I i, I i Ω ξ (, b (eller A I i. Funktionen f klls även frekvensfunktionen för ξ. Ur Definition 4.9 följer tt en täthet (frekvensfunktion f uppfyller (i f(x 0, x Ω ξ (, b (ii b f(xdx. Fördelningsfunktionen för ξ definiers på smm sätt som i det ändlig fllet, dvs F (x P(ξ x, x R. Följktligen gäller tt 0, x, F (x x f(xdx, < x b,, x > b. 35
Vidre är F kontinuerlig, icke-vtgnde och d dxf (x f(x i de punkter där F är deriverbr. Om och b + gäller det tt lim x F (x 0 och lim x + F (x. Ur definitionen följer också P(x ξ x 2 P(x < ξ x 2 P(x ξ < x 2 P(x < ξ < x 2 x2 x f(xdx F (x 2 F (x. Exempel 4.2 Betrkt funktionen f : x cx, c > 0. Eftersom f 0 på [0, kn vi bestämm konstnten c så tt f blir en frekvensfunktion på [0, ]. Vi hr f(xdx 0 0 cx dx [ c 2 x2] c c 2. 0 2 Fördelningsfunktionen är F (x x 0 2t dt [t2 ] x 0 x2, x [0, ] och F (x 0 då x < 0 smt F (x då x >. Definition 4.22 Väntevärdet för ξ är E(ξ b xf(xdx Då och/eller b + är väntevärdet en generliserd integrl och kn vr divergent. Om dett är fllet säges den stokstisk vribeln skn väntevärde. Utn bevis ger vi följnde sts: Sts 4.23 Låt ϕ vr en funktion från R till R. Väntevärdet för den smmnstt vribeln ϕ(ξ är (förutstt tt det existerr E ( ϕ(ξ b ϕ(xf(xdx. Definition 4.24 Låt E(ξ µ. Vrinsen för ξ är V(ξ E ( (ξ µ 2 b (x µ 2 f(xdx. Sts 4.25 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 b V(c 0, c är en konstnt
c V(ξ + b 2 V(ξ. Bevis Jfr Sts 4.4. Exempel 4.26 (Likformig fördelning En stokstisk vribel ξ är likformigt fördeld över intervllet (, b om den hr tätheten Funktionen f uppfyller (i f 0 och (ii b f(xdx b b dx. f(x, x (, b. b E(ξ E(ξ 2 b b x f(xdx b x b dx b + 2. x 2 f(xdx... 2 + b + b 2. 3 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2... (b 2. 2 Exempel 4.27 (Exponentilfördelning En stokstisk vribel ξ är exponentilfördeld med prmetern λ > 0 om den hr tätheten f(x λe λx, x 0. Då är 0 f(xdx E(ξ E(ξ 2 0 0 0 λe λx dx..., x f(xdx... λ, x 2 f(xdx... 2 λ 2, V(ξ 2 λ 2 λ 2 λ 2. 37
Exempel 4.28 (Normlfördelning En stokstisk vribel ξ är normlfördeld med prmetrrn µ och σ > 0 om den hr tätheten (se fig. 4. f(x 2πσ 2 e (x µ2 2σ 2, x R. Att f(xdx kn beviss genom tt beräkn dubbelintegrlen f(yf(xdydx (se t.ex. Björup & Edén: Anlys i en och fler dimensioner s. 23 och övning 44. y f(x µ x fig. 4. Observer tt f är symmetrisk kring punkten µ. Det gäller E(ξ V(ξ x f(xdx... µ x 2 f(xdx µ 2... σ 2. (Utför integrtionern! Att ξ är normlfördeld med prmetrrn µ och σ beteckns ξ N(µ, σ. Betrkt vribeln η ξ + b, där och b är konstnter. Då gäller E(η E(ξ + b µ + b, V(η 2 V(ξ 2 σ 2 och vidre (utn bevis η ξ + b är normlfördeld med prmetrrn µ + b, σ ( η N(µ + b, σ. Följktligen gäller tt den stndrdiserde vribeln ζ ξ µ är normlfördeld med σ prmetrrn 0 och ( ζ N(0,. 38
Fördelningsfunktionen för den stndrdiserde normlfördelningen (dvs µ 0, σ beteckns φ: Låt ξ N(00, 0. Vi bestämmer φ(x P(ζ x x ( ξ 00 P(ξ 25 P 0 2π e y2 2 dy. 25 00 0 P(ζ 2, 5 φ(2, 5 0, 9938, ( 92 00 P(ξ 92 P ζ P(ζ 0, 8 0 φ( 0, 8 φ(0, 8 0, 788, P(85 ξ 2 P(ζ, 2 P(ζ, 5 φ(, 2 φ(, 5 φ(, 2 + φ(, 5 0, 88. 39
Övningsuppgifter. En bilhndlre hr femton bilr i ett lger. Av dess är fem felfri och de övrig hr mindre felktigheter. Mn väljer på måfå fyr bilr i lgret. Låt ξ vr ntlet därvid erhålln felfri bilr. Bestäm frekvensfunktionen för ξ. 2. En urn innehåller fem kulor mrkerde, 3, 3, 4, 5. Mn tr på måfå med återläggning två kulor ur urnn. Bestäm frekvensfunktionen för skillnden melln den störst och minst erhålln poängen. 3. Betrkt smm urn som i föregående övning. Mn tr på måfå två kulor ur urnn utn återläggning. Bestäm frekvensfunktionen för den erhålln poängsummn. 4. Den stokstisk vribeln ξ, med Ω ξ {, 2, 3, 4}, hr frekvensfunktionen f ξ (x x. Bestäm smt frekvensfunktionen för vribeln η (ξ 3 2. 5. En stokstisk vribel ξ hr frekvensfunktionen f(x 0, 2, x { 2,, 0,, 2}. Bestäm utfllsrum och frekvensfunktion för ξ b ξ 2. 6. I ett lotteri finns 00 lotter, v vilk 50 inte ger någon vinst, 30 ger vinsten 2 mk, 0 vinsten 0 mk, 8 vinsten 20 mk och 2 vinsten 50 mk. Låt ξ vr vinsten om mn köper en lott. Bestäm väntevärdet E(ξ. Vd är ett rimligt pris på lottern? 7. Bestäm väntevärdet b vrinsen för den stokstisk vribeln som infördes i övning 2. 8. Bestäm väntevärdet b vrinsen för den stokstisk vribeln som infördes i övning 5 och b. 9. För en stokstisk vribel ξ gäller E(ξ 7 och D(ξ 5. Beräkn väntevärdet och stndrdvvikelsen för vribeln η 0 2ξ. 0. Låt ξ vr en stokstisk vribel med väntevärdet E(ξ och stndrdvvikelsen D(ξ. Mn bildr vribeln η ξ E(ξ D(ξ. Vis tt E(η 0 och D(η.. Beräkn vrinsen för en stokstisk vribel med binomil b hypergeometrisk c Poisson d geometrisk fördelning. 2. (Psclfördelning Låt n vr ett positivt heltl och 0 < p <. Bevis tt ( k f(k p n ( p k n, k {n, n +, n + 2,...} n är en frekvensfunktion smt bestäm väntevärdet och vrinsen. 40
3. Vis tt följnde funktioner är frekvensfunktioner: f(x (n + x n, x (0,, n > 0 2 b f(x π, x (0, x2 4. Bestäm konstnten k så tt f(x k e x θ, x R, blir en frekvensfunktion. 5. Vis tt F (x 2 π rcsin x, x (0, är en fördelningsfunktion. Bestäm frekvensfunktionen smt beräkn följnde snnolikheter P(0 < ξ < 0, 5, P(0, 25 < ξ < 0, 5 och P( ξ 0, 5 > 0, 25 6. Bestäm väntevärdet och vrinsen för en stokstisk vribel med den frekvensfunktion som infördes i övning 3 och b. 7. (Cuchyfördelning Bstäm konstnten c så tt f(x c +x 2, x R, blir en frekvensfunktion. Vis tt väntevärdet ej existerr (och således inte heller vrinsen. 8. En stokstisk vribel ξ är normlfördeld med prmetrrn 50, 0 ( ξ N(50, 0. Bestäm följnde snnolikheter P(ξ 65 b P(ξ 25 c P(ξ 35 d P(ξ 70 e P(40 < ξ 60 f P( ξ 50 < 20 g P( ξ 50 5. 9. Melln vilk symmetrisk värden på µ fller 95 %, 99 % respektive 99,9 % v den stndrdiserde normlfördelningen? 20. För en normlfördeld stokstisk vribel ξ gäller tt P( < ξ < 40 0, 3085 och tt P(40 < ξ < 60 0, 3830. Bestäm väntevärde och stndrdvvikelse för vribeln ξ. 4