A. Grundläggande matristeori

A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan vara godtyckliga objekt men här begränsar vi oss till matriser där elementen är reella eller komplexa tal och variabler (funktioner). En matris A med m rader och n kolonner, dvs dimensionen dim A m n, kan skrivas a11 a12 a1n a11 a12 a1n a 21 a22 a A 2n a eller 21 a22 a A 2n (A.1.1) am1 am2 amn am1 am2 amn där a ij, i 1,, m, j 1,, n, är matrisens element. Matrisen kan avgränsas med runda parenteser eller hakparenteser; det senare (som vi använder) är vanligare inom tekniken. Ett kortare sätt att ange vilka element en matris har är att skriva A [ ] (A.1.2) a ij Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) A 1

A.1.1 Matriser och vektorer Rader och kolonner Matrisen A :s i :te rad är i1 i2 in a a a, 1i m (A.1.3) En matrisrad, eller en matris med dimensionen 1 n, kallas även för en radvektor. Matrisen A :s j :te kolonn är a a a 1 j 2 j mj, 1 j n (A.1.4) En matriskolonn, eller en matris med dimensionen m 1, kallas för en kolonnvektor. En matris med lika många rader som kolonner kallas en kvadratisk matris. Obs. att en matris med dimensionen 1 1 är en skalär, som följer normala räkneregler för skalärer. A.1 Definitioner A 2

A.1.1 Matriser och vektorer ransponering ransponering av en matris innebär att man bildar en matris där rader och kolonner byter plats i den ursprungliga matrisen. ransponering betecknas med symbolen så att A betecknar transponering av A, dvs a11 a21 am1 a 12 a22 a A m2 (A.1.5) a1n a2n amn Den så erhållna matrisen A kallas A :s transponat. Märk att transponeringen innebär att en m n-matris blir en n m-matris. En matris är symmetrisk om A A. En matris är skevsymmetrisk om A A. I fortsättningen antar vi alltid, om inte annat sägs, att en vektor är en kolonnvektor. En radvektor kan då uttryckas som en transponerad vektor. Om x är en kolonnvektor, är x då en radvektor med samma element som x. A.1 Definitioner A 3

A.1.1 Matriser och vektorer Beteckningar En matris betecknas vanligen med en stor bokstav (en versal) ur latinska eller grekiska alfabetet. I tryckt text används normalt fet stil, i handskriven text kan bokstaven understrykas med två streck. Matrisens element betecknas normalt med motsvarande små bokstäver (gemena) skrivna med kursiv stil och med nedre index som anger deras position i matrisen. En vektor betecknas vanligen med en liten bokstav (gemena) ur latinska eller grekiska alfabetet. I tryckt text används normalt fet stil, i handskriven text kan bokstaven understrykas med ett streck. Vektorns element betecknas normalt med samma bokstav skriven med kursiv stil och med ett nedre index som anger deras position i vektorn. En skalär skrivs i tryckt text med kursiv stil, antingen stor eller (helst) liten bokstav. A.1 Definitioner A 4

A.1 Definitioner A.1.2 Determinant, rang och spår Determinant En determinant är ett kvadratiskt schema av storheter som har ett skalärt värde. Determinanter uppträder ofta i tillämpningar av linjär algebra. Värdet på en viss determinant säger t.ex. om det finns en entydig lösning till ett linjärt ekvationssystem. Av ovanstående följer att varje kvadratisk matris A har en determinant, som vi betecknar A eller det A. (Obs. att A inte skall uppfattas som en matris, där elementen är absolutvärdet av motsvarande element i matrisen A.) Med matriselementen utskrivna har vi a11 a12 a1n a11 a12 a1n a det 21 a22 a 2n a21 a22 a A A 2n (A.1.6) an1 an2 ann an1 an2 ann Märk att matrisen ytterst avgränsas av lodräta streck (med eller utan parenteser för själva matrisen) när determinanten avses. A. Grundläggande matristeori A 5

A.1.2 Determinant, rang och spår Beräkning av determinantens värde Beräkning av determinantens värde är förhållandevis komplicerat för stora matriser. Vi skall därför börja med att betrakta små matriser. För en 11-matris, dvs för en skalär, är determinantens värde lika med skalärens värde. För en 2 2-matris har vi det enkla uttrycket a11 a12 a11a22 a12a21 (A.1.7) a a 21 22 För en 33-matris finns flera ekvivalenta sätt att ställa upp beräkningen. Vi har t.ex. a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 a11( a22a33 a23a32) a12( a21a33 a23a31) a13( a21a32 a22a31) (A.1.8) a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 A.1 Definitioner A 6

A.1.2 Determinant, rang och spår I själva verket kan determinanten för en godtycklig kvadratisk matris beräknas genom utveckling längs vilken rad eller kolonn som helst så att varje element a ij på raden eller kolonnen multipliceras med den underdeterminant som fås då rad i och kolonn j stryks från ursprungsmatrisen och denna produkt adderas till föregående termer med tecknet ( 1) i j. Underdeterminanterna beräknas givetvis enligt samma regler. För en n n-matris fås då n n kj ik akj kj j1 i1 A ( 1) A ( 1) a A (A.1.9) där k betecknar vilken rad eller kolonn som helst och rad i och kolonn j stryks från A. Underdeterminanterna ij regler. A.1 Definitioner A 7 ik ik A är den undermatris som fås när ij A beräknas enligt samma I praktiken lönar det sig vanligtvis att utveckla enligt en rad eller kolonn som innehåller nollor, ju fler desto bättre, eftersom detta reducerar antalet termer i (A.1.8). Man kan också utnyttja olika transformationer, som inte påverkar determinantens värde, för att förenkla den slutliga beräkningen enligt (A.1.8). Se Gustafssons formelsamling.

A.1.2 Determinant, rang och spår Rangen av en matris Rangen av en matris är ett skalärt tal, som kan definieras på flera ekvivalenta sätt. Rangen av en matris A, betecknad rang A eller rank A, är lika med antalet kolonner (eller rader) i den största kvadratiska matris med en determinant olika noll som kan bildas ur A genom strykning av kolonner och/eller rader antalet linjärt oberoende kolonner och antalet linjärt oberoende rader i A Den sista punkten innebär att antalet linjärt oberoende kolonner alltid är lika med antalet linjärt oberoende rader i en matris. En dylik uppsättning linjärt oberoende kolonner och rader bildar en kvadratisk matris av maximal storlek med determinanten olika noll. För en matris A med dimensionen m n gäller uppenbarligen att rang A min( mn, ). Om rang A m sägs matrisen ha full radrang, om rang A n har den full kolonnrang. Spåret av en matris Spåret av en kvadratisk matris A, betecknat tr A eller trace A (från engelskans trace ) är lika med summan av matrisens diagonalelement, dvs trace A aii (A.1.10) A.1 Definitioner A 8

A.1 Definitioner A.1.3 Speciella matriser En nollmatris eller nollvektor, betecknad 0, har alla element lika med noll. Dess determinant har givetvis värdet noll. En diagonalmatris D är en kvadratisk matris som har alla element, förutom diagonalelementen d ii, lika med noll, dvs d 0 0 D 0 0 dnn Determinantens värde ges av 11 0 d22 0 diag( d11, d12,, dnn) n d i1 ii (A.1.11) D (A.1.12) A. Grundläggande matristeori A 9

A.1.3 Speciella matriser En enhetsmatris (även kallad identitetsmatris) är en diagonalmatris med alla diagonalelement lika med 1. Den vedertagna beteckningen för en sådan matris är I. Om behövligt, kan enhetsmatrisens dimension (n n) anges med ett nedre index ( I n ). Enhetsmatrisens determinant har värdet 1. I 100 01 0 00 1 (A.1.13) En triagonal matris är en kvadratisk matris som har alla element till höger eller till vänster om huvuddiagonalen lika med noll (vänstertriagonal resp. högertriagonal), dvs l11 0 0 l21 l22 L 0 l l l n1 n2 nn eller r r r 0 r r R 0 0 r 11 12 1n 22 2n Pga nollorna ges determinanternas värden av de enkla uttrycken n l L, i1 ii r A.1 Definitioner A 10 n i1 ii nn (A.1.14) R (A.1.15)

A.1.3 Speciella matriser En tridiagonal matris är en kvadratisk matris där elementen som uppfyller i j 1 är lika med noll, dvs den har formen t11 t12 0 0 t21 t22 t23 0 0 t32 0 t t 0 0 0 tnn, 1 t n1, n1 n1, n A.1 Definitioner A 11 nn (A.1.16) En tridiagonal matris är en s.k. bandmatris med bandbredden 3. En blockmatris är uppbyggd av andra matriser och dess struktur bestäms av de ingående matrisernas strukturer (ingen speciell struktur behöver dock finnas)..ex. AB CD eller A B C D (A.1.17) betecknar den matris som fås när elementen i matriserna A, B, C och D insätts på respektive matris ställe. A, B, C och D kallas också undermatriser till den matris där de ingår.

A. Matristeori A.2 Matrisoperationer A.2.1 Likhet vå matriser av samma dimension är lika om och endast om alla element i motsvarande positioner i de två matriserna är lika, dvs a b, i, j (A.2.1) A B ij ij A.2.2 Addition och subtraktion vå matriser av samma dimension kan adderas och subtraheras genom att addera eller subtrahera alla element i motsvarande positioner i de två matriserna, dvs C A B c ij a ij b ij, i, j C A B c ij a ij b ij, i, j (A.2.2) (A.2.3) Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) A 12

A.2 Matrisoperationer A.2.3 Multiplikation Multiplikation med en skalär En matris kan alltid multipliceras med en skalär (dvs ett tal). Resultatet fås genom att multiplicera varje element i matrisen med skalären i fråga, dvs C s A c ij s a ij, i, j (A.2.4) Multiplikationstecknet kan utelämnas. Matrismultiplikation vå matriser kan multipliceras med varandra om och endast om de är konforma. Detta innebär att matrismultiplikationen AB kan utföras om och endast om antalet kolonner i A är lika med antalet rader i B. Resultatet av multiplikationen ges av CAB cij ai11 b j ai2b2j ainbnj, i, j (A.2.5) Multiplikationstecknet kan utelämnas. Om dim A mn och dimb n p så blir dimc m p. Även om AB existerar (dvs är en giltig operation), behöver B A inte existera. Även om både AB och B A existerar, gäller i allmänhet att ABBA. Matrismultiplikation är således inte kommutativ. A. Grundläggande matristeori A 13

A.2.3 Multiplikation Skalärprodukt Multiplikation av två vektorer enligt matrismultiplikationsregeln ovan så att resultatet blir en skalär kallas skalärprodukten eller inre produkten av de två vektorerna. Skalärprodukten är således inte produkten av en skalär och en matris eller en vektor och inte heller (generellt sett) produkten av två skalärer! Om x och y är två kolonnvektorer med lika många element, är skalärprodukten således s x y Skalärprodukten av vektorerna x och y betecknas även ( xy, ) eller xy,. yx mellan samma vektorer, helt enligt matrismultiplikations- Vi konstaterar att produkten regeln, blir en n n-matris. (A.2.6) Potensen av en matris n Potensering är definierad för en kvadratisk matris så att A betyder att n st A -matriser multipliceras enligt matrismultiplikationsregeln (vilket inte är detsamma som att upphöja varje element i A till n :te potens). Vi har då A 0 I, A 1 A, A 2 A A, A 3 AAA,, n n1 n1 A AA A A (A.2.7) A.2 Matrisoperationer A 14

A.2 Matrisoperationeer A.2.4 Matrisinvertering Division är inte definierad för matriser. Vi kan dock definiera inversen av en matris. Antag att vi känner en matris A. Om det finns en unik (dvs en enda) matris X sådan att A XXAI 1 så kallar vi denna matris för inversen av A. Med beteckningen X A gäller således 1 1 A A A AI (A.2.8) Division ersätts således av multiplikation med en matrisinvers. Hur finner vi inversen av en matris? Om vi låter x i beteckna den i :te kolonnen i X och e i den i :te kolonnen i I, som även kallas den i :te enhetsvektorn (vars enda element olikt noll är en etta som i :te element), kan vi enligt (A.2.7) ställa upp matrisekvationerna A x1 e 1, 2 2 A x e,, A xn e n (A.2.9) A x ser vi att varje matrisekvation kan skrivas som ett Om vi utför multiplikationerna i linjärt ekvationssystem med elementen i vektorn x i som obekanta. Genom att lösa dess 1 n stycken ekvationssystem kan vi bestämma alla x i och därmed inversen X A. A. Grundläggande matristeori A 15

A.2.4 Matrisinvertering Det är inte svårt att inse att ett villkor för att det skall finnas en entydig lösning till ekvationerna (A.2.9), dvs för att inversen till A skall existera, är att A är kvadratisk (med dimensionen n n) alla rader (och kolonner) i A är linjärt oberoende En sådan matris kallas reguljär eller icke-singulär eller inverterbar (alla benämningar är ekvivalenta). Anmärkning: En kvadratisk matris för vilken gäller sägs vara ortogonal. A.2 Matrisoperationer A 16 A A A AI, dvs 1 A A, Utgående från formuleringen ovan är det inte svårt att härleda ett allmänt uttryck för inversen till en 2 2-matris. Vi får a11 a12 1 1 a22 a12 A a21 a 22 a11a22 a12a 21 a21 a 11 A (A.2.10) Här innebär villkoren för inversens existens att det krävs att det A a a a a 0 (A.2.11) 11 22 12 21 Villkoret för inverterbarhet är således att determinanten är 0.

A.2.4 Matrisinvertering För en n n-matris fås allmänt 1 i j x ij ji A X, ( 1) det A /deta (A.2.12) dvs element ij i A :s invers är lika med underdeterminanten för A när rad j och kolonn i strykes (obs transponeringen ) dividerat med determinanten av A med positivt (resp. negativt) tecken om talet i j är jämnt (resp. udda). Det är således relativt komplicerat att beräkna inversen till en stor matris eftersom beräkningen av determinanterna är besvärliga. Därför används i praktiken inte (A.2.12) för numeriska beräkningar av stora matrisers inverser. För en 33-matris, där underdeterminanterna är av andra ordningen, samt för glesa större matriser (dvs matriser som innehåller mycket nollor), är formeln dock användbar. Inversen för en diagonalmatris fås genom invertering av diagonalelementen, dvs D diag(,,, ) d11 d12 d nn 1 1 1 1 11 12 D diag( d, d,, d nn ) (A.2.13) A.2 Matrisoperationer A 17

A.2 Matrisoperationer A.2.5 Derivering och integrering Derivatan av en matris m.a.p. en skalär Derivatan av en matris m.a.p. en skalär fås då varje element i matrisen deriveras, dvs da dt d dt a ij (A.2.14) En speciell tillämpning på detta är tidsderivatan av en tillståndsvektor x, dvs 1 dx2 dx n dx dx x dt dt dt dt (A.2.15) Integralen av en matris Integralen av en matris fås genom att integrera varje element i matrisen, dvs A dt a ij dt (A.2.16) A. Grundläggande matristeori A 18

A.2.5 Derivering och integrering Derivatan av en skalär funktion m.a.p. en vektor Derivatan av en skalär funktion m.a.p. en vektor kallas funktionens gradient. Resultatet är df f f f d x1 x2 x (A.2.17) x n Märk att resultatet blir en radvektor av partialderivator trots att x är en kolonnvektor. Derivatan av en vektorfunktion m.a.p. en vektor Derivatan av en vektorfunktion med avseende på en vektor kallas för funktionens Jacobimatris (eller Jacobian). Om man deriverar varje funktion f i i vektorfunktionen f enligt (A.2.16) och sammanslår de erhållna gradientvektorerna till en matris, fås df1 df1 df1 dx1 dx2 dx n df (A.2.18) dx dfm dfm df m dx1 dx2 dxn A.2 Matrisoperationer A 19

A.2 Matrisoperationer A.2.6 Exponentialfunktionen På samma sätt som för skalärer, kan man även definiera funktioner av (kvadratiska) matriser, s.k. matrisfunktioner. Alldeles speciellt gäller detta funktioner som kan definieras via potensserier. En viktig sådan funktion är exponentialfunktionen av en kvadratisk matris A, betecknad e A eller exp A. Den definieras via exponentialfunktionens aylorserieutveckling, dvs A 1 1 2 1 3 e I A A A (A.2.19) 1! 2! 3! Märk! Matrisen A :s exponentialfunktion fås inte genom att ta exponenten av varje enskilt element i matrisen A (förutom i vissa specialfall såsom för diagonalmatriser). Vid räkneoperationer involverande exponentialfunktionen utnyttjar man ofta serieutvecklingen ovan..ex. derivering och integrering av exponentialfunktionen blir på detta sätt enkla. A. Grundläggande matristeori A 20

A. Matristeori A.3 Egenvärden och egenvektorer A.3.1 Karakteristiska ekvationen Egenvärden och egenvektorer anger karakteristiska egenskaper hos matriser. Varje kvadratisk matris A har ett eller flera egenvärden och egenvektorer v 0 så att Av v (A.3.1) gäller. Detta är liktydigt med ( I A) v 0 (A.3.2) Om matrisen ( I A ) är inverterbar fås v ( IA) 00, vilket strider mot kravet v 0. Härav följer att matrisen ( I A ) måste vara singulär och då gäller också det ( I A ) 0 (A.3.3) som kallas matrisens karakteristiska ekvation. Vi noterar här att en matris A måste vara singulär om den har ett egenvärde 0 eftersom (A.3.3) då ger det A 0. 1 Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) A 21

A.3 Egenvärden och egenvektorer A.3.2 Egenvärden och deras beräkning Vi kan bestämma matrisen A :s egenvärden genom att utveckla determinanten i (A.3.3) och lösa ekvationen m.a.p.. Om matrisen har dimensionen dim A n n, ger determinantutvecklingen ett n :te gradens polynom i eftersom produkten av alla diagonalelement aii kommer att ingå i en av utvecklingens termer. Av detta följer att en n n-matris har n stycken egenvärden alla egenvärden behöver inte vara distinkta (dvs olika stora) vissa egenvärden kan vara komplexkonjugerade par (dvs komplexa egenvärden) För en 2 2-matris ger (A.3.3) dvs med lösningen a a det( IA ) 11 12 ( a11)( a22) a12a21 0 a21 a22 2 ( a a ) a a a a 0 (A.3.4) 11 22 11 22 12 21 1 1 2 ( a11 a22) ( a 2 4 11 a22) a11a22 a12a21 (A.3.5) A. Grundläggande matristeori A 22

A.3 Egenvärden och egenvektorer A.3.3 Höger och vänsteregenvektorer Vektorn v i (A.3.1) är en högeregenvektor till matrisen A. Eftersom den kvadratiska matrisen A även måste ha egenvärden och (höger)egenvektorer, finns det egenvärden och egenvektorer w så att A w w, eller om vi transponerar vänstra och högra ledet w A w w ( IA) 0 (A.3.6) Här är w en vänsteregenvektor till matrisen A. Även här krävs att matrisen ( I A ) är singular och vi får samma karakteristiska ekvation som (A.3.3) och därmed samma lösning för egenvärdena. Egenvektorerna är i allmänhet dock olika. Av ovanstående följer även att A och A har samma egenvärden. Av det faktum att ( I A ) är singulär följer att det inte finns entydiga lösningar för egenvektorerna v och w. Ett sätt att finna unika lösningar är att normera dem så att w w v v 1 (A.3.7) Ett annat sätt är att välja ett värde olika noll för ett element i egenvektorerna. Därefter har ekvationssystemen (A.3.2) och (A.3.6) entydiga lösningar för givna egenvärden. A. Grundläggande matristeori A 23

A.3 Egenvärden och egenvektorer A.3.4 Positivt definita matriser En symmetrisk reell matris A A är positivt definit om x Ax 0, x 0 (A.3.8) Om likhet tillåts (dvs x Ax 0), sägs matrisen vara positivt semidefinit. Ett annat sätt att ange att en matris är positivt semidefinit är att skriva A 0 (obs inte fet nolla) eller A 0. Analogt betecknar x Ax 0, A 0 och A 0 negativt semidefinita matriser. Eftersom (A.3.1) ger v Av v v, och (A.3.8) gäller för godtyckliga x om A är positivt definit, måste alla egenvärden för en positivt definit matris vara positiva, dvs det( I A ) 0 0 (A.3.9) Detta är också ett tillräckligt villkor för att en symmetrisk matris skall vara positivt definit. En positivt semidefinit har något egenvärde lika med noll. A. Grundläggande matristeori A 24

A.3.4 Positivt definita matriser Vid utveckligen av determinantuttrycket (A.3.3) kommer den konstanta termen, som inte innehåller någon potens av, att vara lika med det A (se t.ex. (A.3.4)). Av detta följer att det A 0 (A.3.10) är ett nödvändigt villkor för att alla egenvärden skall vara positiva, och matrisen därmed positivt definit. x 0 i (A.3.8) att enskilda element x 0 (men alla får inte Vidare förhindrar inte kravet i vara noll samtidigt). Av detta följer att varje undermatris A, som erhålles genom att ii stryka rad i och kolonn i från A, måste vara positivt definit, och därmed också det A 0 ii (A.3.11) Detta kan föras vidare genom att stryka en rad och motsvarande kolonn från A, osv. ii Det är dock tillräckligt att kontrollera att alla ledande kvadratiska undermatriser har positiva determinanter (Sylvesters kriterium), dvs att (obs att A skall vara symmetrisk) a11 a12 a11 0, a a 21 22, 0 a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0,, det 0 A (A.3.12) A.3 Egenvärden och egenvektorer A 25

A. Matristeori A.4 Räkneregler för sammansatta uttryck A.4.1 Addition ABBA (kommutationslagen) (A.4.1) ( A B) CA( BC ) (associationslagen) (A.4.2) A.4.2 Multiplikation ( AB) C A( BC ) (associationslagen) (A.4.3) ( AB) CACBC (distributionslagen) (A.4.4a) AB ( C) ABAC (distributionslagen) (A.4.4b) IA A, AI A (A.4.5) OBS. Samma lagar gäller vid multiplikation med skalärer så länge matrisoperationerna är dimensionsriktiga. Detta gäller även andra matrisoperationer som följer. Märk i synnerhet AB BA i allmänhet AB AC kan gälla även om B C AB 0 kan gälla även om A 0 och B 0 Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) A 26

A.4 Sammansatta uttryck A.4.3 ransponering ( A ) A, ( A B) A B, En kvadratisk matris A är symmetrisk om A.4.4 Matrisinvertering 1 1 A ( AB) B A (A.4.6, 7, 8) A, ortogonal om 1 1 A A AA I. ( A ) A, ( A ) ( A ) (A.4.9, 10) 1 1 1 ( AB) B A (A.4.11) 1 1 1 1 1 1 ( ABDC) A A B( CA BD ) CA (matrisinversionslemmat) (A.4.12) Uttrycken ovan förutsätter att matrisinverserna existerar (dvs matriserna är kvadratiska och har en determinant olik noll). A.4.5 Spåret av en matris tr sa s tr A, tr A tr A (A.4.13, 14) tr ( A B) tr Atr B, tr AB tr BA (A.4.15, 16) A. Grundläggande matristeori A 27

A.4.6 Determinanter rang A det sa s det A, A.4 Sammansatta uttryck det A det A, det AB det A det B (A.4.17, 18, 19) A.4.7 Blockmatriser AB A C CD B D A A B B A B A B A B A B 11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22 A21 A 22 B21 B 22 A 21B11 A22B21 A21B12 A22B22 1 1 1 1 1 1 1 A B A A BX CA A BX 1 1 1 C D X CA X A B, A X C D 1 1 1 1 A B Y Y BD C D 1 1 1 1 1 1 D CY D D CY BD, A B D C D Y (A.4.20) (A.4.21) (A.4.22, 23) (A.4.24, 25) 1 X D CA B om 1 A exist., 1 Y A BD C om 1 D exist. (A.4.26, 27) A. Grundläggande matristeori A 28