Intitutionen ör data- och elektroteknik Digital ignalbehandling --9 Sampling Då vi tuderar en vanlig analog ignal, t ex med hjälp av ett (analogt) ocillokop, å kan vi vid varje tidpunkt regitrera hur ignalen uppör ig. Vi låter alltå tiden lyta och ur betrakteleynpunkt är ingen tidpunkt kild rån någon annan, bortett rån att ignalen örändrar ig, och vi kan vid vilken tidpunkt om helt ange ignalen värde, å gott vi nu klarar av att mäta den. Analoga ytem, t ex paiva eller aktiva ilter, använder ig ockå av dea tidkontinuerliga ignaler och kan omedelbart reagera på en örändrad inignal. Man kan då tälla ig rågan om det är möjligt att lätta på kraven på att kontinuerligt hålla koll på ignalen och om vi i tället kunde nöja o med att regitrera ignalen värde då och då. Frågan är alltå om detta är möjligt och hur ota vi i å all måte regitrera ignalen. Vi kall e att det aktikt är möjligt att bara mäta då och då. Hur ota bör vi då mäta? Det bör äga ig jälvt att antalet nödvändiga mätningar per tidenhet varierar rån applikation till applikation och är beroende av vilken örändringhatighet vi kan örvända o i det aktuella allet. Vi behöver rimligen inte kontrollera kuren lika ota då vi ror en eka om då vi kör en nabb motorbåt, den hatighet med vilken det kan gå nett är ju helt olika. Då vi börjar arbeta med digitala ytem, t ex datorer, var unktion bygger på en ytemklocka om gör att vi bara kan utöra en operation då vi år en pul rån klockan å hamnar vi automatikt i en ituation där klockan har tyckat upp tiden och gjort tidörloppet dikret vilket gör att vi inte kan göra en mätning vid vilken tidpunkt om helt. Önkar vi deutom göra någon orm av behandligng av ignalen å kräver detta några programater om kommer att ta vi tid och vill vi klara av ignalbehandlingen innan vi gör näta mätning å måte vi ytterligare utträcka tiden mellan två mätningar. I exemplen med båtarna ovan å kontrollerar vi väl kuren då och då men det är inte å viktigt exakt vid vilka tidpunkter kontrollerna ker, bara det ker tillräckligt ota. För att kunna räkna på våra ignaler och bygga upp en matematik modell å blir det dock mycket enklare om vi gör våra kontroller med jämna tidintervall vilket innebär att om vi tidkontinuerligt kan bekriva vår ignal med unktionen x () t å bekriver vi nu motvarande tid- x n T där n är ett heltal och T är tiden mellan två regitre- dikreta ignal med unktionen [ ] CHALMERS LINDHOLMEN Sida Intitutionen ör data- och elektroteknik Sven Knuton Box 8873 4 7 Göteborg Beökdre: Hörelgången 4 Teleon: 3-77 57 7 Fax: 3-77 57 3 E-mail: venk@chl.chalmer.e Web: www.chl.chalmer.e/ venk
ringar av ignalen värde. Vi äger att vi amplar ignalen med amplingperioden T vilket gör att vi kan uttrycka amplingrekvenen, antalet amplingar per tidenhet, om = T I ortättningen utelämnar vi T:et och kriver x [] n. Lägg märke till att vi har om konvention att använda vanliga parenteer ör argumentet i den tidkontinuerliga unktionen medan vi använder hakparenteer i den tiddikreta ignalen. Låt o nu övergå till att undera på hur ota vi måte regitrera ignalen, hur hög amplingrekven vi behöver. Samplingrekven Låt o ör enkelheten kull betrakta en inuormad ignal, det är ju den enda ignal om innehåller en enda ignalrekven vilket renodlar reonemanget. Om amplingrekvenen är hög i örhållande till ignalrekvenen å kommer vi att göra många regitreringar av ignalen uynder en ignalperiod och vi kan bekriva ignalen noggrannt. Lägg märke till att amplingrekvenen i ig inte är viktig utan det viktiga är örhållandet mellan ignalrekven och amplingrekven. Figuren viar örloppet då.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-5 5 5 3 35 4 45.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-5 5 5 3 35 4 45 amplingrekvenen är gånger å hög om ignalrekvenen. Vi er att det är inga problem att tolka ignalen om en inukurva. Det är ockå lätt att ine att det inn ingen ignal med någon närliggande rekven om kulle gå genom amma punkter, vi kan väl dock mitänka att det kulle gå att paa in någon högrekvent ignal till amma punkter om den har å pa hög rekven att vi år en eller lera perioder av denna mellan varje amplingpunkt. Vi kan alltå mitänka att har vi ör höga ignalrekvener i örhållande till amplingrekvenen å kan två olika rekvener (en lågrekvent och en högrekvent) ge amma amplingpunkter vilket göratt vi inte kan äga vilken rekven om är den kor- Digital ignalbehandling ida
rekta. Höjer vi ignalrekvenen i örhållande till amplingrekvenen å kommer vi att å ärre amplingpunkter under en ignalperiod men i ovantående igur där örhållandet mellan ignalrekven och amplingrekven är,45 å är det aktikt ortarande å att vi måte gå uppåt i rekven ör att hitta en annan ignalrekven om ger amma amplingpunkter. Lite experimenterande ger att vi år amma amplingpunkter om vi använder ignalrekvenen,55.8..6 Det viar ig dock att vi då måte.4 invända en ignal om är 8 avriden i örhållande till den lågre-. -. kventa ignalen. -.4 -.6 -.8 -.5.5.5 3 3.5 4.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-3 4 5 6 - ignal / ignal Vi gör ockå ett experiment med ignalrekvenen,35 ör att e om vi kan hitta något ytem. Det viar ig då att vi år amma amplingpunkter ör ignalrekvenen,65. Även här måte vi avrida ignalen 8. Vad inn det nu ör amband mellan de rekvener om ger amma amplingpunkter? Lite tankearbete ger att den lågrekventa ignalen ligger lika långt nedan ör halva amplingrekvenen om den högrekventa ignalen ligger ovanör. Vi äger att den högrekventa ignalen peglar ig i. Vi kan allternativt äga att den viker ig runt och vi talar om pegling eller vikning. Vår lutat måte alltå bli att ör att vi kall kunna tolka våra ignaler korrekt å måte dera rekvener vara lägre än ormulerat amplingvillkoret ignal,max <. Vi har därmed I vi litteratur anger man mindre än eller lika med och inte trikt olikhet men detta örutätter oändligt många amplingpunkter vilket vi naturligtvi inte kan ha och i alla praktika all gäller trikt olikhet. Digital ignalbehandling ida 3
- Vad gäller nu om vi har ignalrekvener högre än amplingrekvenen? Vi kan via att ignalrekvener i intervallet - / / 3 / 3 kommer att tolka om ignaler med rekvener ignalrekvenen minu amplingrekvenen ignal - ignal ( ignal ) och då har den högrekventa och den lågrekventa ignalen amma aläge, det kräv ingen - / / 3 / avridning ignal - ignal på 8. På amma ätt 3 kommer ignaler i intervallet 3 att tolka om, dv de hamnar i 3 intervallet och kommer edan att tolka om liggande nedanör halva amplingrekvenen via pegling, preci om i reonemanget ovan och även här måte ignalen avrida 8. Vi kan generellt ormulera ambandet å att om vi har en ignalrekven ignal om är törre än å kommer den att tolka om peglingrekvenen ignal enligt r = reten vid ignal r om = r ignal heltaldividerat med r,5 om r >,5 Sambandet mellan ignalerna belopp och avinkel är ignal ignal = ignal = ignal ignal om r,5 om r,5 Digital ignalbehandling ida 4
Ett alternativt betrakteleätt Låt o åter anta att vi har en inuormad ignal x () t = in( ω t) = in( π t) Vi amplar ignalen x [] n = in( ω n T ) = in( π n T ) = in π n Vi har alltå ett uttryck om inte bygger på den verkliga rekvenen utan på den relativa rekvenen och det är en viktig allmän lärdom att det är den relativa och inte den aboluta, verkliga rekvenen om är viktig i amplade ytem. På amma ätt använder vi inte den aboluta vinkelrekvenen ω utan den relativa vinkelrekvenen ω Ω = = π. Om vi nu har en ignalrekven ignal i intervallet å har vi en relativ vinkelrekven om ligger i kvaderant tre eller yra, dv i intervallet π π och vi kan lika gärna tolka den om en negativ vinkelrekven enligt ω ignal ( π ω ) = ω π = ignal ignal och eterom vinkelrekvenen motvarar rekvenen å har vi π w ignal = ( ignal ) = ignal och om vi inör = = ignal ignal å år vi w ignal wignal -pi = ignal och vi kan kriva x () t in( t) = in( π t) = in π ( ) ignal ignal ( t) = in( t) = π π dv vår ignal i intervallet kommer att tolka om en ignal med rekvenen men med minutecken, dv med ombytt tecken på aen preci om vi ick ovan. Fortätt jälv reonemanget ör högre rekvener. Digital ignalbehandling ida 5
Antivikningilter Hur gör vi nu ör att vara äkra på att uppylla amplingvillkoret? Vi måte e till att det vid amplingen inte inn ignaler med rekvener törre än och det gör vi genom att lågpailtrera den ignal om vi vill ampla med ett ilter med en gränrekven lägre än. Vi har inört ett å kallat antivikningilter. Nödvändig dämpning I praktiken kan vi inte kapa ett ilter med oändligt nabb övergång mellan paband och pärrband och vi kan inte heller å oändlig dämpning i pärrbandet utan vi måte acceptera att iltret har en gränrekven om ligger en liten bit nedanör och vi år e till att iltret har å pa kratig dämpning i pärrbandet att vi kan borte rån de vikningel om upptår. g / Lägg märke till att antivikningiltret ligger öre amplingen, då ignalen ortarande är tidkontinuerlig och vi måte därör använda ett analogt ilter. Underampling Under peciella örutättningar kan vi tillåta o att använda en amplingrekven om är lägre än ignalrekvenen, vi talar då om underampling. Vilka är då dea örutättningar? Vi har ovan ett att ignaler om ligger i intervallet k + k, där k är ett heltal, kommer att pegla och tolka på ett ätt medan ignaler i intervallet k + ( k + ) kommer att tolka på ett annat ätt. Vet vi nu att det bara inn ignaler i ett av dea intervall och i inga andra intervall, inte en i intervallet, å kan vi lätt betämma vilken rekven den regitrerade lågrekventa, peglade ignalen egentligen har och vi kan göra denna omtolkning i vår beräkning. Metoden är bara användbar då vi amplar ignalen ör att analyera den i den tiddikreta världen. Skulle vi återkapa den aanaloga ignalen via D/A-omvandling å kulle vi ju inte å rätt rekven utan den lågrekventa peglingrekvenen. Digital ignalbehandling ida 6