Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] = {(x, y : x b, y d} oh låt f (x, y i. Nu vill vi bestämm volymen v den tredimensionell mängden Ω = {(x, y, z : z f (x, y, (x, y }.
Fixerr vi ett x, så hr mängden {(y, z : z f (x, y, y d} en re som är beroende v vlet v x oh som vi beteknr med A(x. På bilden ovn är A(x ren v den (strekde vertikl ytn som ligger längst bort från oss.
Om x är litet, så är volymen v den del v kroppen som ligger melln x oh x + x ungefär lik med A(xx. Dett leder till volymformeln V = Men A(x = d f (x, y dy, så V = b b A(x dx. ( d f (x, y dy dx. Eftersom det går tt kst om rollern melln x oh y, får vi slutligen b ( d d ( b V = f (x, y dy dx = f (x, y dx dy Uttryken ovn klls för itererde enkelintegrler.
I envribelfllet, om mn inte ntr tt f, så får mn re med teken : mn får ren med plusteken v den delen där f > oh ren med minusteken v den delen där f <, dvs. v den delen som ligger under x-xeln. Motsvrnde gäller i tvåvribelfllet: mn får minus volymen v den delen där f <, dvs. v den delen som ligger under xy-plnet. Om mn inte vill gör en koppling till volymen, så definerr mn dubbelintegrlen v f över rektngeln som ettder v de itererde enkelintegrlern b ( d f (x, y dy dx oh d ( b Dubbelintegrlen betekns med symbolen f (x, y dx dy. f (x, y dxdy.
Vnligtvis definierr mn dubbelintegrlen på ett nnt sätt oh sedn visr mn tt om f är kontinuerlig, så är b ( d f (x, y dxdy = f (x, y dy dx d ( b = f (x, y dx dy. Exempel. Beräkn x 2 y dxdy, där = [, 1] [, 2]. 1 Vi integrerr m..p. x först. x 2 y dx = [ x 3 y/3 ] x=1 = y/3. x= 2 Så x 2 y dxdy = y/3 dy = [y 2 /6] 2 = 2/3.
Integrerr vi m..p. y först, får vi 1 ( 2 x 2 y dxdy = x 2 y dy dx = 1 [ x 2 y 2 /2 ] 1 y=2 dx = 2x 2 dx = [2x 3 /3] 1 y= = 2/3. Här spelr det ingen roll om mn integrerr m..p. x eller y först men iblnd kn det gör det. Exempel. Beräkn xe xy dxdy, där = [, 1] [, 2]. 2 Så xe xy dy = [xy = t, x dy = dt] = xe xy dxdy = 1 (e 2x 1 dx = 2x e t dt = e 2x 1. [ ] 1 1 2 e2x x = e2 2 3 2. Att integrer m..p. x först är svårre eftersom det kräver en prtilintegrtion (oh även y-integrlen blir sedn svårre tt beräkn.
Om f (x, y = g(xh(y oh = [, b] [, d], så är f (x, y dxdy = g(xh(y dxdy = d ( b g(xh(y dx dy = [bryt ut h(y] = d ( b b d h(y g(x dx dy = g(x dx h(y dy. Alltså får vi g(xh(y dxdy = Exempel. Beräkn [,1] [2,4] b Eftersom xe x+y = xe x e y, får vi 1 xe x+y dxdy = xe x dx [,1] [2,4] g(x dx xe x+y dxdy. 4 2 d e y dy. h(y dy
Dubbelintegrler över mer generell områden Låt D vr en kompkt mängd oh låt f vr definierd oh kontinuerlig på D. Mn kn då välj = [, b] [, d] så tt D. Definier nu f D (x, y = f (x, y för ll (x, y D oh f (x, y = för övrig (x, y. Definier sedn f (x, y dxdy = f D (x, y dxdy D förutstt tt uttryket i högerledet är meningsfullt (f klls då integrerbr över D. Observer tt f D oftst är diskontinuerlig på rnden till D - den är fktiskt kontinuerlig enbrt i de rndpunkter där f =. Det visr sig dok tt för en stor klss v områden D är f integrerbr om den är kontinuerlig i D oh dubbelintegrlen kn beräkns genom itererd integrtion.
Sts. Låt f vr kontinuerlig i D. (i Om D = {(x, y : α(x y β(x, x b}, där α, β är kontinuerlig funktioner, så är f integrerbr över D oh ( b β(x f (x, y dxdy = f (x, y dy dx. D α(x (ii Om D = {(x, y : φ(y x ψ(y, y d}, där φ, ψ är kontinuerlig funktioner, så är f integrerbr över D oh ( d ψ(y f (x, y dxdy = f (x, y dx dy. D φ(y Mängden D i (i klls för ett område v intervlltyp i y-led oh i (ii ett område v intervlltyp i x-led.
Här är ett exempel på område v intervlltyp i y-led: När mn integrerr m..p. y, så är x fixert. Mn går in i området vid den nederst röd pilen oh går ur området vid den överst, dvs. mn integrerr över linjestyket α(x y β(x. Därför blir den inre integrlen lik med β(x α(x f (x, y dy. Sedn får mn t ll linjestyken för ll olik x [, b].
( b β(x Dett ger f (x, y dxdy = f (x, y dy dx. D α(x Ett exempel på område v intervlltyp i x-led: Vid integrtion m..p. x går mn in i området då x = φ(y oh går ur då x = ψ(y. Därför blir den inre integrlen lik med ψ(y φ(y f (x, y dx den här gången.
Exempel. Beräkn dubbelintegrlen I = är tringeln med hörn i (,, (2, oh (, 2. Det underlättr om mn ritr en figur: D e x+y dxdy, där D Vi integrerr m..p. y först. I = 2 [e x e y ] y=2 x y= dx = 2 2 ( 2 x (e x e 2 x e x dx = e x e y dy 2 dx = (e 2 e x dx
= [e 2 x e x ] 2 = e 2 + 1. Vi kunde lik gärn h integrert m..p. x först. OBS! Ett vnligt förekommnde llvrligt fel är tt mn skriver 2 ( 2 om integrlen som e x+y dxdy = e x e y dy dx. D Då hr mn inte integrert över området D utn över det större området som är kvdrten [, 2] [, 2]. Ett nnt vnligt förekommnde fel: 2 2 x e x+y dxdy = e x dx e y dy = (e 2 1(e 2 x 1. D Då hr mn inte fått integrlens värde utn en funktion v x (integrlens värde skll ju vr ett tl.
sin y Exempel. Beräkn dubbelintegrlen I = dxdy, där D y D är tringeln med hörn i (,, (, 2π oh (π, 2π. π ( 2π dy dx. sin y Integrerr vi m..p. y först, får vi I = 2x y Men (sin y/y hr ingen primitiv funktion som kn uttryks i (ändligt mång elementär funktioner. Så vi fstnr.
Integrerr vi m..p. x först, får vi ( 2π y/2 sin y I = dx dy = y 1 2 2π sin y dy =. 2π [ x sin y ] x=y/2 dy = y x=
De områden D som i prktiken förekommer är oftst ntingen v intervlltyp eller kn dels in i sådn områden. Nedn följer ett exempel: Områden D 1 -D 4 är v intervlltyp i y-led oh integrlen över D (det blå området blir lik med summn v integrlern över D 1 -D 4.