P L P N

P L P N L π(p)

Kartprojektioner Ett bonusproblem: longitudproblemet Lätt att på öppet hav bestämma latitud (nord-sydlig position). Lösning: mät solens höjd över horisonten med sextant. Tabell ger latituden. Konforma avbildningar: kartritning till modern fysik 6/31

Kartprojektioner Ett bonusproblem: longitudproblemet Lätt att på öppet hav bestämma latitud (nord-sydlig position). Lösning: mät solens höjd över horisonten med sextant. Tabell ger latituden. Men det är svårt att bestämma longitud (öst-västlig position). Viktigt problem på 1500-1700-talet. Konforma avbildningar: kartritning till modern fysik 6/31

Kartprojektioner Ett bonusproblem: longitudproblemet Lätt att på öppet hav bestämma latitud (nord-sydlig position). Lösning: mät solens höjd över horisonten med sextant. Tabell ger latituden. Men det är svårt att bestämma longitud (öst-västlig position). Viktigt problem på 1500-1700-talet. Lösning: kronometer, 1760-talet. Jorden roterar med konstant hastighet. Jämför lokal tid (titta på solen) med tiden hemma (klockan). Konforma avbildningar: kartritning till modern fysik 6/31

P = (ϕ, λ) π M (P) = (x, y) x = λ P

y = y(ϕ)

y = y(ϕ) ϕ cos ϕ 2π cos ϕ 2π 1 = sec ϕ. cos ϕ

dϕ = y (ϕ)dϕ cos ϕdλ dλ

y (ϕ) = 1 cos ϕ ; y(ϕ) = dϕ = y (ϕ)dϕ cos ϕdλ dλ ϕ 0 ( [ ϕ sec ϕ dϕ = log tan 2 + π ]). 4

Kartprojektioner Resultat: Mercatorprojektionen är konform och avbildar loxodromer på räta linjer! Konforma avbildningar: kartritning till modern fysik 10/31

Kartprojektioner Resultat: Mercatorprojektionen är konform och avbildar loxodromer på räta linjer! OBS: svårt att beräkna sekant-integralen. Viktigt forskningsproblem på den tiden. Slutet av 1500-talet numeriskt, Barrow bevisade formeln på sent 1600-tal. Konforma avbildningar: kartritning till modern fysik 10/31

ϕ = π/2 ϵ ( [ ϕ y(ϕ) = log tan 2 + π ]) ( [ π = log tan 4 2 2]) ϵ log 2 ϵ.

C = {x + iy : x, y R} R 2.

f z z α f (z) α

f z z α f (z) α f z lim f (z + r 0+ e iθ reiθ ) f (z) f (z + re iθ ) f (z) θ Ω C f : Ω C Ω f Ω

f : Ω f (Ω) z f (z), Ω f (Ω) f Ω f (Ω)

f : Ω f (Ω) z f (z), Ω f (Ω) f Ω f (Ω)

Ω Ω D = {z : z < 1}

Ω Ω D = {z : z < 1}

Riemanns avbildningssats Via avbildningssatsen kan man relatera geometrin hos Ω till analytiska egenskaper hos fω. Geometrisk funktionsteori, gren inom komplexanalys. Fundamentala bidrag från Sverige: Arne Beurling (Uppsala, Princeton) och Lennart Carleson (Uppsala, Mittag-Leffler, KTH). Konforma avbildningar: kartritning till modern fysik 17/31

Ω g(x), x Ω u(z) z Ω

Ω

Ω

Ω v(w) S f : Ω S u v u(z) = v(f (z)). f

Z 2 = {(x, y) : x, y Z} 0 1/4

0

0 0/1

Ω

Ω

Ω

Konform invarians av slumpfenomen Gaussiskt fritt fält, likformigt uppspännande träd... Konforma avbildningar: kartritning till modern fysik 28/31