Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1
Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras där kan man göra allt från att räkna ut bredder på floder, till att få reda på avståndet till avlägsna stjärnor, till att skapa fascinerande 3D grafik med hjälp av datorer. Trigonometrin bygger mycket på olika förhållanden inom trianglar, men dessa kan även appliceras på andra månghörningar, och även cirklar. 2
Innehåll 1 Introduktion 4 2 Periodiska Funktioner 5 3 Trigonometri 6 3.1 Historia................................ 7 3.2 Pythagoras sats............................ 8 3.3 Räta Trianglar............................ 9 3.4 Icke-Räta Trianglar.......................... 10 3.4.1 Cosinus lagen......................... 10 3.4.2 Sinus lagen.......................... 11 3.5 Enhetscirkeln............................. 12 3.5.1 Radianer........................... 12 3.6 Trigonometriska Identiteter..................... 13 4 Slutsats 14 3
1 Introduktion Trigonometrin är en urgammal kunskap, med många användningsområden, och har spelat en stor roll genom historien, från gamla grekiska, arabiska och muslimska matematiker, teoretiker och astronomer, till dagens datorgrafiker, matematikprofessorer och lantmätare. Vissa har till och med sett religiösa egenskaper i dom många olika sambanden som existerar inom trigonometrin, och talet pi s mystiska uppdykande överallt. I den här rapporten söker vi förklara lite av grunderna och bakgrunderna till trigonometrin, i förhoppning att detta leder till en vilja att fördjupa sig i detta spännande och fascinerande ämne. Rapporten är skriven av 2 personer under ca 1 veckas tid. Rapporten behandlar ett väldigt stort område, vi har fokuserat på det vi tyckte var väsentligast. Vi har skrivit mindre om vissa områden och utelämnat andra helt. Många saker önskar vi att vi kunde skrivit mer om, t.ex. praktiska användningsområden, men tiden och platsen fanns tyvärr inte, kanske ges chansen i framtiden. Rapporten i sig är sammanställd med hjälp av L A TEX 2ε, vilket är ett mycket kraftfullt verktyg för att skapa rapporter. 4
2 Periodiska Funktioner En av dom viktigaste egenskaperna hos trigonometrin är förmågan att kunna bestämma förhållanden mellan storlekar på vinklar, och längder på sidor. Ett av dom viktigaste verktygen för att åstadkomma detta är de s.k. periodiska funktionerna, såsom sin, cos och tan. En typisk graf av en periodisk funktion ses i Fig. 1. Figur 1: En typisk periodisk funktion. En periodisk funktion repeteras kontinuerligt över ett intervall, och har flera olika egenskaper som kan skilja mellan olika funktioner. I Fig. 1 så kallas A för perioden. Perioden bestämmer hur ofta funktionens värderepetering påbörjar en ny cykel, och är det minsta värdet c, för vilket påståendet f(x + c) = f(x) är sant. Mittlinjen (Fig. 1, B) kallas den teoretiska linje som går genom grafen av funktionen mitt mellan grafens maximum och minimum värde. Amplituden (Fig. 1, C), är avståndet mellan funktionens maxvärde och dess mittlinje. Fasförskjutningen (Fig. 1, D) är funktionens förskjutning i x-led kring origo. Den horisontella förskjutningen (Fig. 1, E) är mittlinjens förskjutning i y-led. Inom trigonometrin använder man sig oftast av tre olika periodiska funktioner, sinus (sin), cosinus (cos) samt tangens (tan). Dessa har även varsin motpartsfunktion, som kan vara användbara vid uträkningar. Dessa är arcsin (sin 1 ), arccos (cos 1 ) och arctan (tan 1 ). Sin, cos och tan används för att räkna ut längden på en sida i en triangel inskriven i enhetscirkeln (kap. 3.5), utifrån storleken på en av dess vinklar. Motpartsfunktionerna används för att återskapa värdet på vinkeln som gav en viss sidlängd. 5
3 Trigonometri Trigonometrin är en urgammal kunskap, med många användningsområden, och har spelat en stor roll genom historien. Tack vare trigonometrin har människor kunnat bestämma storleken på världen vi lever i, och avstånden till de olika himlakropparna som finns runt oss, långt innan vi hade dagens avancerade utrustning. Navigation, både på land och framförallt till havs, efter solen, månen och stjärnorna, hade varit mycket svårt utan trigonometrin, och mycket av upptäcktsresandet som har utformat vår historia skulle ha blivit starkt försenad, och hade kanske uteblivit helt. Även idag har vi stor nytta av trigonometrin, inom så olika områden som konstruktion, lantmäteri, astronomi och datorgrafik. Vid en första anblick kan trigonometrin te sig skrämmande komplex, men den är uppbyggd kring samband och förhållanden, som är förvånansvärt lätta att använda när man väl börjat titta på dem. Här följer en beskrivning av de viktigaste delarna av detta spännande område i matematiken. 6
3.1 Historia Det är svårt att fastställa en specifik tidspunkt i historien då man kom på trigonometri, och det är lika svårt att fastställa en specifik person som des skapare. Trigonometrin har arbetats fram genom historien av många olika matematiker, av många olika skäl. Det vi idag kallar för trigonometri är en sammanställning av deras arbeten och upptäckter, och det är lätt att tro att allt detta arbetades fram på samma gång. En av dom första matematikerna som använde trigonometri var astronomen Hipparchus, som levde 200 år f.k., och som skapade en tabell som skulle användas då man arbetade med trianglar. Denna tabell innehöll värden för vinklar mellan 71 grader och 180 grader, i 7.1 graders steg. Värdena var längden på den motstående katetern i en triangel med en hypotenusa vars längd var lika med 1, och är med andra ord en tabell över sinusvärden. Någon gång under det första århundradet e.kr. skapade matematikern Ptolemy en ny tabell, denna gång innehöll den värden för vinklar mellan 0 och 180, och var uppdelad i 1 graders steg, och lyckades räkna ut dessa korrekt till den 6:e decimalen. År 500 skapade den indiska matematikern Aryabhata ytterliggare en tabell, med en noggrannhet på 0.5 grader. Vid den här tidpunkten hade arabiska matematiker till stor del tagit över det matematiska området från dom tidigare dominerande grekerna, och år 980 visade Abu l-wafa att sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Under det 10 århundradet gjorde muslimska mattematiker enorma framsteg, och lyckades skapa tabeller för sin, cos och tan med en noggrannhet av 1/60 grad, och med ett mycket stort antal decimaler. På 1200-talet fastställde den tyska astronomen Georges Joachim trigonometriska funktioner som förhållanden, snarare än längder på olika sidor i trianglar, vilket var den hittills använda metoden. På 1600 talet uppfann den skotska matematikern John Napier logaritmerna, något som var till stor hjälp vid trigonometriska uträkningar. 7
3.2 Pythagoras sats Pythagoras sats är en geometrisk sats som talar om hur sidorna i en rätvinklig triangel förhåller sig till varandra. Satsen var känd under en väldigt lång tid innan den grekiske filosofen Pythagoras bevisade att satsen gällde för alla värden. Det finns inget exakt datum på när Pythagoras föddes, men man tror att det var runt 570 år f.k. Pythagoras sats är en viktig del i geometrin och används mycket i trigonometrin. Figur 2: Rätvinklig triangel Pythagoras sats: Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan. Se figur 2. Detta ger a 2 + b 2 = c 2 Pythagoras sats kan användas för att ta reda på en okänd sida i en rätvinklig triangel med hjälp av längden på de andra två sidorna. 8
3.3 Räta Trianglar Under lång tid har man använt räta trianglar för att göra olika mätningar. Idag används trigonometrin flitigt av, bl.a. forskare och matematiker. Figur 3: Rätvinkliga trianglar med lika vinklar, den vänstra i enhetscirkeln. Det finns ett förhållande mellan de trigonometriska funktionerna och räta trianglar. Till vänster i figur 3 bestämmer vinkeln θ en punkt P på enhetscirkeln (se kapitel 3.5). Vinkeln θ bestämmer även den räta triangeln med hypotinusan 1. De övriga sidorna har längderna x = cos θ och y = sin θ. Till höger i figur 3 visar en triangel med samma vinkel θ. Sidorna har samma förhållanden som hos triangeln i figuren till vänster. Sidan rakt över från vinkeln θ sett, i det här fallet a kallas motstående kateter, den andra sidan, b kallas närstående kateter. Sambanden mellan sidorna i triangeln kan skrivas enligt följande: sin(θ) = cos(θ) = tan(θ) = motstående kateter hypotinusan närstående kateter hypotinusan motstående kateter närstående kateter Med hjälp av formlerna kan man om man har en av de icke-räta vinklarna och en sida, bestämma de andra sidorna. Med hjälp av vinkel summan kan den sista vinkeln räknas fram. Alla sidor och vinklar är då bestämda i triangeln. 9
3.4 Icke-Räta Trianglar Sinus och cosinus kan kan man lätt använda för att tala om relationerna i räta trianglar. Däremot när man kommer till icke-räta trianglar så blir det mer komplicerat, dock finns även liknande relationer i alla trianglar. 3.4.1 Cosinus lagen Pythagoras sats (kapitel 3.2) talar om relationerna mellan de tre sidorna i en rät triangel. Cosinus lagen talar om relationerna mellan sidorna i alla sorters trianglar, även de som inte är räta. Cosinus lagen: i en icke-rät triangel, figur Figur 4: Icke-rät triangel, visar cosinus lagen 4, med sidorna a, b, c och vinkeln C på motsatt sida från sidan c sett, gäller c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C 10
3.4.2 Sinus lagen Sinus lagen säger att sinus av en vinkel i en triangel, dividerat med dess motstående kateter, är lika med sinus av vilken av de två andra vinklarna som helst, dividerat med dess motstående kateter. Figur 5: Icke-rät triangel Sinus lagen: i en icke-rät triangel, figur 5, med sidorna a, b, c och motstående vinklar A, B, C, gäller sin A a = sin B b = sin C c Det finns dock en sak man ska tänka på när man använder sinus lagen för att räkna fram vinklar. Sinus lagen ger oss inte vinklar, utan vinklarnas sinus värden. Det finns alltid två vinklar med ett givet sinus värde mellan 0 och 180 grader. T.ex. kan vinkeln som har sinusvärdet 1/2 både vara 30 och 150 grader. Har man en bild till hjälp så kan man ofta se vilken vinkel som är rätt ändå. 11
3.5 Enhetscirkeln Enhetscirkeln är ett mycket bra verktyg för att förklara sinus, cosinus och tangens, samt påvisa deras relation till en triangel och dess vinklar. Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1, och som är centrerad kring origo i ett koordinatsystem. I Fig. 6 ser vi en rätvinklig triangel inskriven i enhetscirkeln. För vinkeln Figur 6: Punkten P definierad av en triangel i enhetscirkeln θ i en rätvinklig triangel (kap. 3.3) med hypotenusan 1, gäller att punkten P som skapas där hypotenusan möter den motstående katetern, har koordinaterna (cosθ, sinθ). För cirklar med en radie r, gäller att triangeln i denna får en hypotenusa som lika lång, och punkten P s koordinater blir då (r cosθ, r sinθ). Sin och cos kan alltså användas för att bestämma en punkt på en cirkel. Tangens, eller tan används på ett liknande sätt för att beskriva lutningen på linjen som går genom punkten, och cirkelns mitt, dvs hypotenusan på den triangel som bildas. Tangens definieras på följande sätt: tan(θ) = y x, vilket även kan skrivas som tan = sinθ cosθ, värdet på tangens är dock helt orelaterat till radien på cirkeln, då linjen lutar lika mycket oavsett hur lång den är. Tangens är odefinierat för vinklarna 90 och 180 grader, då linjen i dessa fall är helt lodrät. Detta beror på att cos90 = cos180 = 0. Går man tillbaka till definitionen av tangens så ser man att det blir den division med 0, vilket är odefinierat. 3.5.1 Radianer Radianer är, liksom grader, ett sätt att mäta storleken på en vinkel. 1 grad är den vinkeln som behövs för att en linje som sträcker sig från mittpunkten av 1 en cirkel till en punkt på periferin ska skära av ett område som är 360 av hela omkretsen. 1 radian är den vinkel som krävs för att en likadan linje, i en cirkel som har radien r, ska skära av ett område på omkretsen som är r långt. En cirkel består av 2π radianer, och förhållandet mellan grader/radianer är som följer: 1 grad = 180 π radianer. 12
3.6 Trigonometriska Identiteter En matematisk identitet är en ekvation som är sann för alla värden av x. Till exempel är 2(x 1) = x ingen identitet, då man kan lösa ut x ur ekvationen, och få fram att x = 2. Däremot är 2(x 1) = 2x 2 en identitet, då man inte kan lösa ut x för något enskilt värde. Trigonometriska identiteter är ett viktigt verktyg när man ska lösa trigonometriska ekvationer, då dom låter en byta ut komplexa uttryck mot mer lätthanterliga sådana. Några viktiga identiteter är: Pythagoras identitet sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Tangens tanθ = sinθ cosθ Dubbel-vinkel formeln (sin) sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) Dubbel-vinkel formeln (cos) cos(2θ) = 1 2sin 2 (θ) Dubbel-vinkel formeln (tan) tan(2θ) = 2tan(θ) 1 tan 2 (θ) Exempel: Tangens identitet tan(θ) = sin(θ) cos(θ) ger möjligheten att skriva om ekvationen som 2 sin(θ) cos(θ) = 2 2tan(θ) = (2). 13
4 Slutsats Trigonometrin är en intressant vetenskap, på samma gång väldigt komplex och väldigt enkel. Sambanden mellan vinklar och sidlängder i månghörningar går djupare än vad man kan tro vid en snabb överblick. Vi har i stort sett bara räknat med trianglar i denna rapport, vilket beror på att triangeln är den grundläggande månghörningen, och alla figurer med samma uppbyggnad, oavsett antalet hörn, kan delas upp i trianglar, varpå man kan använda dom grundläggande lagarna och formlerna för att få reda på allt man skulle vilja vet om dem. 14
Referenser [1] http://susning.nu/matematik [2] E. Connally and others: Functions modelling change: A preparation for calculus, Wiley, 2000 15