Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet (sid 51) 1. Diskussion 2. Geogebra CAS: 2.1 Trigonometriska kurvor Sinus- och cosinuskurvor Förskjuta kurvor vertikalt och horisontellt Ekvationen för en sinusformad kurva (sid 52-61) De trigonometriska funktionerna är användbara i andra sammanhang än de rent geometriska. Om man låter en vikt hänga i en svängande fjäder och ritar grafen med viktens avvikelsen från jämvikt på y-axeln och tiden på x-axeln kommer man att få en sinuskurva (om man bortser från t.ex. luftmotstånd, i annat fall dämpas svängningen). Ett annat exempel är ljudvågor som också beter sig som en sinuskurva. För att konstruera en "originalkurva" y=sinx eller y=cosx snurrar man runt i enhetscirkel, sätter av vinklar på x-axeln och motsvarande sinusvärden (eller cosinusvärden) i y-led. Prova själv i denna konstruktion Från enhetscirkel till de trigonometriska funktionerna: www.georgiostheodoridis.se/archives/mdfunctionssincostan2000v1.html I denna applikation kan man också se hur man löser de så kallade grundekvationerna och hur detta ser ut i förhållande till de trigonometriska kurvorna. Bocka i någon av rutorna uppe till höger för att "lösa ekvationer". Genom att "lägga på" diverse konstanter y = a sin(b(x v)) + c: kan man sedan flytta, sträcka ut och trycka ihop "originalkurvan" på olika sätt. Testa själv i denna konstruktion y = a sin (b(x-v))+c www.georgiostheodoridis.se/archives/mdfunctionergeneralram3000v3.html
Se till så att sinusrutan är ikryssad och flytta det lodräta reglaget längst ned. Då får du den allmänna kurvan. Ändra sedan på parametrarna en i taget och observera hur kurvan ändras (i förhållande till originalet). Försök också förstå varför det blir som det blir. + Vad gör parametrarna a anger kurvans maximala avvikelse från "jämnvikt" eller mer precist halva avståndet mellan funktionens största och minsta värde. Detta kallas kurvans amplitud. b anger hastighetsfaktor i förhållande till originalkurvan. Om t.ex. b är 2 "går allt dubbelt så fort" eller bättre så halveras perioden (och blir 180 grader). Om b är 0.5 dubblas perioden (och blir 720 grader). Allmänt gäller att perioden är 360/b. v anger kurvans förskjutning åt höger (fasförskjutning). c anger hur mycket kurvan är flyttad i y-led. Lös på sida 55; a-uppgifter efter behov, 2109, 2111 och eventuellt 2113, 2115 på sida 56; inga under förutsättning att man gör en del av övriga på räknaren eller hellre med på sida 59; a-uppgifter efter behov, 2131a, 2132, 2135 och eventuellt 2139 på sida 61; a-uppgifter efter behov, 2146, 2147, 2149 och eventuellt 2151 Kurvan y=tanx (sid 62-64) Hitintill har vi främst studerat sinus och cosinus. Nu är det dags för den sista trigonometriska funktionen, tangens. Man ska kunna lösa ekvationer av typen tanx=k (med varianter). Man noterar att tanx anger lutningen vid vridningsvinkel x, så man får till grundekvationen två lösningar per varv. Dessa lösningar ligger mitt emot varandra i enhetscirkeln. Samtliga lösningar fås genom att man hittar en lösning (t.ex. med hjälp av räknedosa) och lägger på halvvarv, n 180. Man ska också skaffa sig lite känsla för grafen till funktionen y=tanx. Kika gärna här (dra glidaren i mitten till tan-kurva) Från enhetscirkel till de trigonometriska funktionerna: http://www.georgiostheodoridis.se/archives/mdfunktionersincostan2000v2.html Observera att grafen (kurvan) har en period på 180 och att tanx inte är definierat för x=90 +n 180. Detta beror i sin tur på att cosx=0 för dessa x-värden. Lös a-uppgifter efter behov, 2166a, 2168, 2171 samt eventuellt 2172, 2175. Kurvan y=asinx+bcosx (sid 65-67) Kanske lite överraskande visar det sig att om man överlagrar (addererar) en sinusfunktion och en consinusfunktion med samma period så får man en förskjuten sinuskurva (med nya amplitud) dvs givet a och b finns det tal A och v sådana att
asinx+bcosx = A sin(x+v) Frågan blir då vilket samband som finns mellan bokstäverna. Som boken visar (sid 63) gäller att A = a 2 +b 2 och tan v = med kvadrantkontroll Lös 2177c, 2178bc, 2180, 2181 och eventuellt 2182, 2184. 2.2 Radianbegreppet Ett nytt vinkelmått (sid 68-71) Vad som menas med ett varv är knappast oklart eller något som kan missuppfattats. Men varför ska man, vid vinkelmätning, dela upp varvet i 360 grundenheter (så kallade grader)? Det finns inget matematiskt skäl till detta. I själva verket är det ganska ologiskt för oss. Att det ändå blivit så kan vi skylla på babylonierna och möjligen på det faktum att det går drygt 360 dygn på ett år. Ett av matematiska skäl bättre vinkelmått är radianer (t.ex. blir vissa deriveringsregler enklare). Man utgår från en enhetscirkel och säger helt enkelt att en vinkel är lika många radianer som motvarande cirkelbåge är lång. Eftersom enhetscirkelns omkrets är 2π så kommer alltså ett varv att utgöras av 2π radianer. Att växla mellan grader och radianer är en "bit kaka", eftersom 1 grad = "# rad = "# rad och 1 rad = "# grader Notera att man ofta utelämnar enheten radianer. Man talar om och skriver vinklar som t.ex. π2 (vinkeln är alltså 90 grader). Observera att bortsett från enhetsbytet fungerar allting precis som tidigare, graferna blir likadana (fast enheterna på x-axeln ändras), ekvationer löses på samma sätt (fast man svarar i radianer och lägger t.ex. på varv med n2π). Lös samtliga a-uppgifter efter behov samt 2214, 2215, 2217 och eventuellt 2221. Cirkelsektorn och radianer (sid 72-73) Formlerna här är så pass lätta att härleda att man kan göra detta varje gång och inte behöver lära sig något utantill. Lös samtliga a-uppgifter samt 2227, 2228, 2231 och eventuellt 2233.
2.3 De trigonometriska funktionernas derivator Derivatan av sinx och cosx (sid 74-76) Detta tillhör kursen i Matematik 3c. Men även då behövs det säkert repeteras. Detta avsnitt kan man hantera på två sätt. Antingen ett mycket omatematiskt men ändå tillräckligt för att räknas som godkänd, eller ett mer matematiskt där man försöker förstå varför det blir som det blir. I det förstnämnda fallet lär man sig att D(sinx)=cosx och D(cosx)= sinx Möjligen kan man övertyga sig om detta genom att kika på respektive graf och hur den lutar i olika punkter. Sedan tränar man reglerna till de sitter som berget Strävar man mot högre betyg är det alltså säkrast att försöka förstå. Först noterar man att derivatan av cos får man ganska enkelt (om man känner till kedjeregeln på sid 78-79, vilket ni snart gör) genom omskrivningar så svårigheten är att derivera sin. För att ta fram derivatan av sin har man nu inget annat val än att utgår från derivatans definition och försöka bestämma detta gränsvärde. På vägen i räkningarna nyttjar man additionsformlerna (se bok för dessa steg). Slutligen återstår ett par problematiska gränsvärden som måste bestämmas, nämligen sin h lim h cos h 1 lim h I bifogad konstruktion kan ni förhoppningsvis se hur det hänger ihop. Det knepiga kan vara att tolka gränsvärdena geometriskt, när väl detta är gjort är det ganska lätt att se vad man kan förvänta sig. Lös a-uppgifter efter behov men strunta i 2305 och 2309 samt eventuellt 2312, 2314, 2316, 2319, 2320. Derivatan av sammansatta funktioner (sid 78-79) En sammansatt funktion har formen f(g(x)), vilket i princip utläses som att man först "gör" funktionen g (den inre funktionen) på x:et och sedan funktionen f (den yttre funktionen) på g(x). Det blir kanske enklare med ett exempel. Betrakta funktionen (x2+1)10 där g(x)=x2+1 är den inre funktionen och f(u)=u10 är den yttre funktionen. Sätter vi in g(x) som u fås alltså den sammansatta funktionen f(g(x))=(x 2 +1) 10 Sådana sammansättningar deriveras som följer:
(f(g(x))) = f (g(x)) g (x) Lite löst kan man tolka det som yttre derivatan gånger den inre derivatan. I exemplet får vi D((x 2 +1) 10 )=10(x 2 +1) 9 2x. Om man nu känner för att derivera cosx gör man omskrivningen cosx=sin( x) och vips så överförs derivatan av cos till derivatan av sin och x (minns att vinklar anges i radianer i deriveringssammanhang). Den som vill kan själv fylla i detaljerna. Lös a-uppgifter efter behov och sedan 2329, 2330, 2332, 2333, 2336. 2.4 Tillämpningar och problemlösning Ingen ny matematik, istället "textuppgifter" med stoff från främst kapitel 2.3. Ni kan kika på ett fåtal medan resten kan användas efter behov framöver som repetition. Lös 2403, 2405 och eventuellt 2013, 2014, 2015.