Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som är markerade med A, B och C: a) b) C A B 0,7 0,9 A C B,0 Vilket tal ligger mitt emellan a) 0, och 0, b) 0,9 och 0, c) 0,79 och 0,8 d) 0,8 och 0,8? Beräkna a) + b) ( + ) c) ( + ) d) ( + ) Beräkna a) 0 0 b) 0 + c) + ( 0) d) + ( ) e) ( 0) f) 0 ( 0) Beräkna a) + 8 b) 8 + ( 0) ( ) c) 0 + 0 + d) ( 0) + ( 00) Det är inte tillåtet att skriva två operationssymboler intill varandra Ett tyvärr vanligt fel är gånger minus, dvs att man får se något sådant som Detta är förbjudet; man måste sätta parentes om den andra faktorn: ( ) Sätt hellre ut för många parenteser än för få! Beräkna a) ( ) ( ) ( ) b) 8 ( ) ( ) ( )
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! c) ( ) 7 + ( ) ( ) d) ( ) ( 0) ( ) När man arbetar med bråkuttryck är det mycket viktigt att bråkstrecket står på samma nivå som tecknet = och symboler som + och (om dessa inte själva ingår i bråket) Exempelvis är det fel att skriva när man menar a + b = c a + b = c En god idé kan vara att börja med bråkstrecket, när man ska skriva ett bråk 7 Beräkna a) 7 ( ) b) + ( 0) ( ) ( ) 8 Beräkna a) 0 0, b) 0, + 0,7 c), 0, d) 0 (0,8 0,) 9 Beräkna a) 0, 0, b) 0,08 0,7 c) 0,7 0,09 d) 0, 0,00 0 Beräkna a) 0, + 0, b) 0,7 0, 0, c), 0, d) 0,8 + 0, Beräkna a) 0, + 0, b) 0, + 0, c) 0, + 0, 0, d) 0,7 0, 0, Beräkna a) 0, 0, 0, 0,7 b) d) 0, 0,9 0, 0,00 0, + 0, 0, 0,0 c) 0,7 0,08 + 0,0 0, Vilket tal skall talet, multipliceras med för att resultatet skall bli a) 0 000 b) 0,0? Beräkna a) 0,8 + 0, b) 0, 0, c) 0,07 0,07 d) 0,8 0,0 Summan av två tal är 0, Det ena talet är 0,0 Vilket är det andra? Produkten av två tal är 0,0 Det ena talet är 0,9 Vilket är det andra? 7 Vad kostar det att köpa 0, kg köttfärs, om köttfärsen kostar kr/kg? 8 För en viss kopieringsmaskin är kostnaden 0 öre per kopia Hur många kopior har en kund tagit om hon får betala 7,0 kr? 9 Förkorta så långt som möjligt a) 0 7 b) c) 77 d) 7 0 Bestäm det tal som skall stå på den tomma platsen: a) = b) 7 = c) 8 = d) = 7 Hur stor del av en timme är a) 0 minuter b) minuter c) minuter?
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Skriv upp de tal mellan 0 och, som i enklaste bråkform skrivs med nämnaren Vilket tecken (=, < eller >) skall stå mellan talen? a) 8 b) 7 c) 7 d) 9 Hur stor del av en timme är a) 0 sekunder b) sekunder c) sekunder? Vilket tecken (< eller >) skall stå mellan talen? a) 99 00 b) c) 8 9 Skriv följande tal i enklaste bråkform: 9 0 d) 0 9 a) 0,00 b) 0,0 c) 0,07 d) 0,000 7 Beräkna a) 7 + 7 b) 7 9 c) 9 + + d) 8 + 8 Summan av två tal är 0 Det ena talet är Vilket är det andra? 9 Produkten av två tal är Bestäm den andra faktorn om den ena faktorn är a) 7 b) c) 0 Vilket tal skall multipliceras med för att produkten skall bli 8? 0 Beräkna a) + 9 b) ( ) ( 7 + ) c) 9 9 d) 7 + Bestäm det bråk som ligger mitt emellan a) och, b) 8 och Beräkna medelvärdet av, och Beräkna a) d) ( 0 + + Beräkna a) / b) 0 ) 8 b) + 8 + + 9 c) ( + + ) 8 Av en tygrulle skall man klippa till 0 cm långa stycken till dukar Hur många dukar får man om tygrullen är 0 m lång? 7 Vad är kilopriset för jäst om 0 g kostar,7 kr? 8 En person är ordinerad att ta 0 ml medicin gånger per dag Hur mycket medicin går det åt på 0 dagar? Svara i liter 9 I Sverige kastas i genomsnitt 00 kg sopor per person och år Hur stor mängd sopor blir det under ett år i ett samhälle med 00 000 invånare? Svara i ton 0 Vid en regnskur föll mm regn Hur många liter föll på en rektangulär gräsmatta som är m lång och 0 m bred? Vad kostar det att duscha 0 minuter under vatten som rinner med 0 liter/minut, om varmvatten kostar kr/m?
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Potenser och rötter I det här avsnittet används följande definitioner och räkneregler Dessa regler kan man använda utan att förklara sig, men regler som inte finns i rutan måste man bevisa om man vill använda dem! Potensregler: a 0 = a = a a = a a x = a x (a x ) y = a xy (ab) x = a x b x Rötter: a = a n a = a n a b = ab a x a y = a x+y a a = b b a x a y = ax y Kommentarer: Om a 0, så betyder a alltid det icke-negativa tal vars kvadrat är a Exempelvis är 9 = En vanlig missuppfattning är att 9 skulle ha två olika värden (±), men det är fel! (Däremot gäller att ekvationen x = 9 har två rötter, nämligen ± 9 dvs ± Observera att det inte finns någon räkneregel för tex förenkling av a + b Ett exempel på användning av regeln a b = ab: 7 = = = = (= 7) Beräkna a) 00 + 900 b) 0,008 c) 0, d) 7000 Förenkla a) 8 b) c) 0 d) 0 Förenkla a) 8 b) c) 80 + + d) 00 Beräkna a) b) ( ) c) d) ( ) Beräkna a) b) 0 + c) d) Beräkna a) b) c) + d) 7 Beräkna a) 0 + 0 b) 0 + 7 0 c) 0 + 0 d) 0 + 0 8 Skriv i potensform med basen : a) 8 b) c) d) 8 9 Beräkna a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, 0 Beräkna a) ( ) b) ( 7) c) ( ) d) ( 0)
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Beräkna a) ( ) + ( ) b) 0 + ( ) c) ( ) + ( ) d) ( ) + ( ) ( 0) Beräkna a) 0,00 0 + 0 b), 0 0 c) 0, 0 0 d) 0,0 0 0 Beräkna a) 0 0 b) 0 + 0 + 0 c) 0 + 0 d) 0 7 0 Skriv i potensform med basen det tal som är a) dubbelt så stort som 0, b) hälften så stort som 0 Skriv som en enda potens av : a) 7 b) c) d) ( ) Beräkna a) b) c) 7 7 7 7 d) ( ) 7 Skriv som en enda potens av : a) b) 9 c) d) ( ) 8 Beräkna a) 7 9 7 7 b) ( ) ( ) c) ( 0 ) 0 7 d) 8 ( ) 9 Skriv som en potens av : a) 7 b) ( ) c) ( ) d) 9 0 Beräkna a) 7 b) c) + d) + Beräkna a) 0, b) 0, c) 0, + 0, d) 0, + 0, Beräkna och svara i grundpotensform (dvs på formen a 0 n, där a < 0): a) 0 0 b) 0 0 c) 0 0 d) 0 8 0 8 Med hur många siffror skrivs följande tal om de skrivs utan potenser? a),7 0 8 b) 8, 0 0 c) 0 0 d) 0,0 0 8 Beräkna och svara i grundpotensform: a) 0 0 b) 0 0 7 c) 0, 0 d) 0 8 0 Beräkna och svara i grundpotensform: a) ( 0 ) b) ( 0 ) c) ( 0 ) d) ( 0 ) a = 8 0 8 och b = 0 Beräkna och svara i grundpotensform: a) ab b) a/b c) b/a
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Ett bråk med kvadratrotsuttryck i nämnaren brukar inte anses som förenklat Kvadratrötter i nämnare kan avlägsnas genom att man förlänger med sk konjugatuttryck: = + ( )( + ) = + ( ) = + = + 7 Skriv om följande uttryck utan kvadratrötter i nämnaren: + + a) b) c) d) + 8 Förenkla så långt som möjligt följande tal: a) ( ) b) c) d) 9 I en rätvinklig triangel är den ena kateten le och hypotenusan är le Bestäm a) den andra katetens längd, b) triangelns area, c) höjden mot hypotenusan 0 I en liksidig triangel är sidan 8 le Bestäm a) höjden, b) arean
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 7 Algebra Här ska vi öva följande räkneregler: () Konjugatregeln: (a + b)(a b) = a b () Kvadreringsregeln: (a + b) = a + ab + b Andragradsekvationen x + px + q = 0 kan man lösa genom kvadratkomplettering: addera p q till båda leden så får man x + px + p = p q Här är vänsterledet kvadraten på uttrycket ( x + p ) Då måste gälla att Detta ger lösningsformeln x + p = ± p () x = p ± p q q () Om andragradsekvationen x + px + q = 0 har rötterna x och x så är x + px + q = (x x )(x x ) och p = (x + x ), q = x x Kommentarer: Om man byter ut b mot b i kvadreringsregeln får man formeln (a b) = a ab + b Om man kommer ihåg denna idé behöver man inte lära sig denna formel separat den är ju bara en variant av den första kvadreringsregeln! Huvudprincipen vid ekvationslösning är att man i varje steg gör samma sak med båda leden: man kan addera samma tal till båda leden, dividera båda leden med samma tal osv Observera att en andragradsekvation ofta kan lösas på enklare sätt än genom kvadratkomplettering eller lösningsformeln Om tex p = 0 har man x + q = 0, som löses direkt genom kvadratrotsutdragning Om q = 0 kan vänsterledet faktoriseras: x(x + p) = 0 Om en produkt av tal är lika med 0 måste något av talen vara 0 Alltså är x = 0 eller x = p Denna idé kan också användas i andra fall, om ekvationen kan skrivas som en produkt av faktorer som är lika med noll Regel () inser man också genom att använda denna idé Denna regel är mycket användbar som ett snabbt sätt att kontrollera att man har löst en andragradsekvation rätt Lös ekvationen (x + 8)( x) ( x)(x + ) = Lös ekvationerna a) x + + x 9 = b) x + x =
8 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! c) x 8 = x + x 8 d) x + x + x x = När man skall lösa ekvationen ( x) = 8 är det enklast att först lösa ut ( x), inte att multiplicera in i parentesen Lös ekvationerna a) ( x) = 8 b) c) x x x = 7 (x 7) = Lös ekvationerna a) x c) x + x x = = d) x x = 0 x b) x + = 9 Lös ekvationerna a) x + x x + x = 0 b) x 7 x = Förenkla så långt som möjligt a) (x )(x ) x(x ) b) ( x)( + x) ( x)( + x) c) (x ) (x )(x + ) d) (x + ) (x )(x 8) 7 Faktorisera följande utryck så långt som möjligt: a) x 9 b) x c) 8x x d) x 0x + 8 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) x + x + 9x b) x 9 x 9 c) x x x + 0 9 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) b b) a + b c) a + b a + b a a a d) 8x 7 x 0 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) x b) x x x x c) x x x x Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) 9a a + a + a + d) (a + a + )(a ) (a + )(a ) b) / a a d) a + a a a + a d) c) (a )(a ) (a + )(a + ) a a a Hur förenklar man bäst ett dubbelbråk, dvs ett bråk som i sin tur innehåller bråk i täljaren och/eller nämnaren? En bra idé är ofta att börja med att förlänga bråket med minsta gemensamma nämnaren (MGN) till småbråken Ett exempel: x = b a a b a b + b a +
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 9 Här är MGN lika med ab Förläng bråket med detta, dvs multiplicera både täljare och nämnare med ab: ( b ab a a ) b b x = ( a ab b + b ) a (b a)(b + a) = a + a + b = + ab (a + b) = b a b + a Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) c) ( a b b )( ) a + b a a + b a a + a d) a b a a a + b a 9 b) a + a Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) b) x x + x x + c) a + b a ab a b b a + ab + a + b d) b ab a ab + a a b Lös följande ekvationer: a) x + x + = 0 b) x x = 0 c) x x 8 = 0 d) 9x + 9x 0 = 0 e) x 0x + 8 = 0 Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt: a) x x b) x + x + 0 c) x + x 7 d) x x Lös följande ekvationer: a) x(x + ) = 0 b) (x )(x + ) = 0 c) x(x ) = 0 d) (x )(x + 8) = 0 7 Ekvationen x x + a = 0 har en rot x = Bestäm a och den andra roten 8 Lös följande ekvationer: a) x (x + )(x ) = 0 b) (x + )(x + ) = c) x x + = x d) x 7 x = x I följande uppgift lönar det sig att bryta ut en faktor ur hela vänsterledet, i stället för att multiplicera ihop parenteserna 9 Lös följande ekvationer: a) x(x + ) + x(x 9) = 0 b) (x + )(x ) + (x + )(x 9) = 0 c) x(x x) + x( x) = 0 d) (x + )(x + ) + x(x + ) = 0 0 Förenkla a) ( )( + ) ( ) b) ( + ) + ( ) En rektangel har omkretsen 8 cm Låt en sida vara x cm Ange arean uttryckt i x
0 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! En rektangel har arean cm Låt en sida vara x cm Ange omkretsen uttryckt i x En rät cirkulär cylinder har volymen cm Låt höjden vara h cm Ange basradien uttryckt i h I en idrottsförening är medlemsavgiften kr för vuxna och 0 kr för ungdomar Ett visst år hade föreningen medlemmar och totalt betalades 08 kr i medlemsavgifter Hur många vuxna och hur många ungdomar var medlemmar i föreningen det året? Den ena roten till ekvationen x 0x + a = 0 är x = 99 Bestäm (utan att lösa ekvationen) den andra roten och värdet på a I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm längre än den andra Omkretsen är cm Beräkna sidornas längder (I denna uppgift gör vi ett undantag och tillåter miniräknare) Räta linjen (7) Om A, B och C är tre tal och inte både A och B är noll, så betyder ekvationen Ax + By + C = 0 en rät linje (8) Om B = 0 (och alltså A = 0), kan ekvationen skrivas x = a, och betyder en lodrät linje som skär x-axeln i punkten (a, 0) (9) Om B = 0, kan man lösa ut y och får en ekvation av formen y = kx + b Talet k är linjens riktningskoefficient eller lutning, och linjen skär y-axeln i punkten (0, b) (0) En rät linje genom punkten (x, y ) med lutningen k har ekvationen y y = k(x x ) () Lutningen för linjen genom punkterna (x, y ) och (x, y ) är Två linjer med lutningarna k och k är k = y y x x () parallella om k = k () vinkelräta om k k = Kommentar: En ekvation av formen Ax + By + C = 0 är inte entydigt bestämd Den kan multipliceras eller divideras med vilket som helst tal som inte är noll, och betyder ända samma linje Dessutom skriver man ofta ekvationen på formen Ax + By = C i stället Exempel: x y = 8 betyder samma linje som x + 0y + = 0
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Lutningen k är tangens för lutningsvinkeln α, som är vinkeln mellan linjen och den positiva x-riktningen Se figuren y α x Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna a) (, ) och (, ) b) (, ) och (, ) c) (, ) och (, ) d) (, ) och (, 7 ) Bestäm en ekvation för den linje som går genom a) (, ) och (, ) b) (, ) och (, ) c) (, ) och (, ) Bestäm riktningskoefficienten för följande linjer: a) x y + = 0 b) x + y + = 0 c) x + y = 0 d) y = 0 Bestäm en ekvation för den linje som går genom (, ) och är parallell med linjen x y + = 0 Bestäm konstanten a så att linjerna ax + y = 0 och (a + )x y + = 0 blir parallella Bestäm konstanten a så att linjerna ax + y 7 = 0 och (a + )x y + = 0 blir vinkelräta 7 Rita följande linjer i ett kooordinatsystem: a) x + y = 9 b) x y = 0 8 Linjerna y = x och y = x/ bildar tillsammans med x-axeln en triangel Bestäm arean av denna triangel 9 Linjerna 9y x + = 0 och 8y + x = 0 bildar tillsammans med y-axeln en triangel Bestäm arean av denna triangel 0 Bestäm konstanten a så att linjen y = (a )x + blir parallell med x-axeln Bestäm konstanten b så att linjen y = (b + )x + b b går genom origo Genom den punkt där kurvan y = x x skär y-axeln dras en linje med riktningskoefficienten Bestäm en ekvation för denna + linje
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! På kurvan y = x x är A den punkt som har x-koordinaten och B den punkt som har x-koordinaten Linjen genom A och B dras Bestäm en ekvation för denna linje En linje går genom (a, ) och (a, a) Bestäm riktningskoefficienten uttryckt i a Uttrycket ska vara förenklat så långt som möjligt En linje går genom (, ) och (b, b ) Bestäm riktningskoefficienten uttryckt i b Uttrycket ska vara förenklat så långt som möjligt Trigonometri tan v sin v = a c sin v P v c b a cos v = b c tan v = a b v cos v För en spetsig vinkel v kan sin v, cos v och tan v uttryckas som ett förhållande mellan sidor i en rätvinklig triangel, där en vinkel är v För godtyckliga vinklar definieras de trigonometriska värdena med hjälp av enhetscirkeln Många trigonometriska samband ser man lätt med hjälp av denna figur () sin v + cos v = () tan v = sin v cos v () cos( v) = cos v, sin( v) = sin v, tan( v) = tan v (7) sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v (8) sin v = sin v cos v (9) cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v (0) cos v = cos v sin v Genom att byta ut v mot v i formlerna (7) och (9) och använda () får man formler för sin(u v) och cos(u + v) Genom att kombinera () och (0) kan man få alternativa formler för cos v Bestäm sin v, cos v och tan v för vinkeln v i figuren: 0 0 v För en viss spetsig vinkel u gäller att sin u = 7 Bestäm cos u och tan u (Rita en rätvinklig triangel där en vinkel är u)
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Rita en liksidig triangel med sidan Beräkna höjden och använd triangeln för att bestämma följande värden: sin 0 = cos 0 = tan 0 = sin 0 = cos 0 = tan 0 = Använd enhetscirkeln för att bestämma a) en vinkel mellan 90 och 0 som har samma sinusvärde som 70, b) en vinkel mellan 90 och 0 som har samma cosinusvärde som 70, c) en vinkel mellan 90 och 0 som har samma tangensvärde som 70 Använd enhetscirkeln för att bestämma följande värden: a) cos b) sin c) tan d) sin 0 e) cos 0 f) sin 70 g) sin( 0 ) h) tan 9 Exempel Lös ekvationen cos x = Lösning: Rita en enhetscirkel! Rita sedan den lodräta linjen som svarar mot att första koordinaten är / : Man ser att en lösning svarar mot läget x = 0, en annan mot läget 0 Alla lösningar ges då av formeln x = ±0 + n 0, där n antar alla heltalsvärden Man kan också illustrera lösningen med grafen av cosinusfunktionen: x 0 0 x 0 x 0 x 0 +0 Exempel Lös ekvationen sin x = Lösning: Korsa enhetscirkeln med en vågrät linje som svarar mot att andra koordinaten är : En lösning är en spetsig vinkel x 0 som (med räknarens hjälp) är approximativt 97 Dessutom finns en lösning som är 80 x 0 Alla lösningar ges då av formlerna x = x 0 + n 0, x = 80 x 0 + n 0, där n är ett godtyckligt heltal
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! På grafen ser det i princip ut så här: x 0 0 x 0 x 0 x 0 +0 För vilka vinklar v, 0 v 0, gäller a) sin v =, b) cos v =, c) tan v =, d) cos v =, e) sin v =, f) cos v =, g) tan v =? 7 Antag att 0 v 90 och att sin v = a Uttryck med hjälp av a a) sin( v) b) sin(80 v) c) sin(80 + v) d) sin(0 v) 8 För vilka vinklar v, 0 v 0, gäller att a) sin v >, b) cos v <, c) 0 < sin v <, d) < sin v <? 9 Ange en vinkel v, 0 < v < 80, sådan att a) cos v = cos 80 b) cos v = cos 0 c) cos v = cos 0 d) cos v = cos 00 0 Ange två vinklar v, 0 < v < 0, sådana att a) sin 00 = sin v b) sin 700 = sin v c) sin( 0 ) = sin v d) sin 700 = sin v a) Bestäm sin v då cos v = och 0 < v < 90 7 b) Bestäm cos v då sin v = och 0 < v < 90 c) Bestäm cos v då sin v = och 90 < v < 80 7 d) Bestäm sin v då cos v = och 70 < v < 0 e) Bestäm tan v då cos v = och 0 < v < 80 Lös ekvationen a) sin x = b) sin x = Lös ekvationen a) cos x = b) cos x = Bestäm de vinklar v i intervallet 0 v < 0 som är lösningar till ekvationen a) cos x = 0 b) cos x = 0 Lös ekvationen a) sin x = sin b) sin(x + 0 ) = sin
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Lös ekvationen a) cos x = cos 0 b) cos x = 7 Bestäm de vinklar v i intervallet 0 v < 0 som är lösningar till ekvationen cos(x + 0 ) = cos 0 8 Lös ekvationerna a) + cos x = cos x b) sin x + sin x + = c) + cos x = + cos x 9 Bestäm alla vinklar v för vilka a) sin v = b) sin(v 0 ) = c) cos(v + 0 ) = 0 0 Lös följande ekvationer: a) sin x = sin x b) sin x = sin(x + 0 ) c) cos x = cos x d) cos(x 0 ) = cos x Lös följande ekvationer: a) sin x cos x = sin x b) sin x cos x = sin x Lös ekvationen sin x cos x = cos x Lös ekvationen cos x cos x = (Ledning: sätt cos x = t) Lös ekvationen sin x sin x + = 0 a) Visa hur formlerna (8) och (0) på sid kan härledas från formlerna (7) och (9) (ev med hjälp av någon ytterligare formel) b) Visa hur cos v kan uttryckas enbart med hjälp av sin v resp enbart med hjälp av cos v För vinkeln v, 0 v 90, gäller att sin v = Beräkna a) cos v, b) sin v, c) cos v 7 Antag att 0 v 90 och cos v = b Uttryck med hjälp av b a) sin v b) sin v c) sin v d) cos v e) sin(v + 0 ) f) cos(v ) 8 För vinkeln v, 90 v 80, gäller att sin v = Beräkna a) cos v b) sin v c) sin(v 0 ) 9 Lös ekvationen sin x cos x = 0
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! I trigonometriska uppgifter där det gäller att bestämma vinklar och sidor i trianglar och att lösa trigonometriska ekvationer går det bra att mäta vinklar i grader, som i ovanstående uppgifter Men när man vill derivera trigonometriska funktioner visar det sig att deriveringsreglerna blir krångliga om man mäter vinkeln i grader I sådana sammanhang använder man därför ett annat vinkelmått, nämligen radianer Storleken av en vinkel anges genom att man mäter hur lång cirkelbåge i enhetscirkeln, som vinkeln upptar En vinkel på upptar en båge vars längd är 0 av hela cirkelns omkrets, dvs vinkelns mått i radianer är 90π 0 π = 0 = π Vinkeln 80 motsvarar ett halvt varv, dvs dess mått i radianer är π Vinkeln 0, ett helt varv, motsvarar π radianer Vinkeln v v motsvarar i radianer 0 π = v π 80 v 0 Uttryck följande gradtal i radianer: a) 0 b) 90 c) d) 70 Uttryck följande radiantal i grader: a) π b) π c) 7π d) π Bestäm med hjälp av enhetscirkeln följande värden: a) cos π b) sin π c) cos π d) tan π e) cos π f) sin 7π ( g) sin π ) ( π ) h) cos + π Bestäm x i intervallet 0 x π så att a) sin x = b) tan x = c) cos x = d) sin x = Lös följande ekvationer (x i radianer): a) cos x = b) cos x = c) sin x =, d) sin x = 0, Lös följande ekvationer (x i radianer): a) sin x cos x sin x = 0 b) sin x cos x cos x = 0 c) sin x sin x + = 0 d) sin x + sin x = 0
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 7 Logaritmer För logaritmer i basen 0 gäller att x = 0 y är samma sak som y = lg x Speciellt är lg = 0 och lg 0 = Räkneregler: () lg xy = lg x + lg y () lg x y = lg x lg y () lg xy = y lg x Man arbetar också med logaritmer i andra baser Låt a > 0 Då säger vi att y är a-logaritmen för x om x = a y I formelform: x = a y är samma sak som y = log a x Speciellt är log a = 0, log a a =, log a a = För dessa logaritmer gäller också ( ) log a xy = log a x + log a y ( x ) log a y = log a x log a y ( ) log a x y = y log a x Räknereglerna för logaritmer är inget annan än vanliga potenslagar som blivit översatta till ett annat skrivsätt Vi kan tex bevisa regeln () så här: Sätt u = lg x och v = lg y Det betyder att x = 0 u, y = 0 v I så fall är xy = x y = 0 u 0 v = 0 u+v Men xy = 0 u+v är ju samma sak som u + v = lg(xy), och sätter vi in vad u och v var för något, så står här formeln ()! Observera att reglerna () () är de enda räkneregler som finns för 0-logaritmer! Det finns tex ingen regel alls för lg(a + b) Endast i mycket speciella fall kan man bestämma värdet av logaritmer utan hjälpmedel som räknare eller tabeller (och då får man mestadels bara närmevärden) Men det viktiga med logaritmer är att de är funktioner som lyder de tre lagarna Det är logaritmlagarna som motiverar att man överhuvud taget arbetar med logaritmer! Några exempel: Eftersom = 8, så gäller log 8 = log 8 =, eftersom = 8 log =, eftersom = = I mer avancerade sammanhang används oftast talet e (,78888) som bas Man talar då om naturliga logaritmer och skriver ln x = log e x (Det naturliga är att derivatan av denna funktion är enklare än derivatan av alla andra logarimtfunktioner)
8 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Vi påminner: alla de övningar som följer här ska lösas utan räknare eller tabeller! Bestäm följande logaritmvärden: a) lg 00 b) lg 0 000 c) lg 0,0 d) lg 0,0000 e) lg 0 Bestäm talet a då a) lg a = b) lg a = c) lg a = d) lg a = 0 I vilket intervall ligger talet t om a) < lg t < b) 0 < lg t < c) < lg t < 0 d) 8 < lg t < 0 Beräkna med hjälp av logaritmlagarna a) lg + lg b) lg 0 lg c) lg + lg d) lg 0, + lg 0,0 Lös följande ekvationer: a) lg x = lg + lg b) lg x = lg lg c) lg x = lg + lg d) lg x lg(x + ) = Antag att lg t = a Skriv, uttryckt i a: a) lg t b) lg t c) lg 00t d) lg 0,t 7 Beräkna a) 0 lg b) 0 lg c) 0 lg +lg lg lg 8 d) 0 8 Beräkna a) lg 0 lg 000 b) lg 00 lg 000 c) lg 00 + lg 000 d) lg 00 lg e) lg 7 lg 70 f) lg 00 lg 9 Skriv som en enda logaritm a) lg lg b) lg + lg c) lg 8 lg d) lg 0 lg e) lg + lg f) lg lg 0 Beräkna a) 0 lg b) 0 lg c) 0 lg 0 lg 0 + 0 d) 0 lg 0 0 lg 0 e) 0 lg 0 0 lg 0 f) 00 lg 7 Lös följande ekvationer: a) lg x = lg lg b) lg(x + ) = lg + lg c) lg x = lg + lg d) lg(x ) = lg lg Skriv som en enda logaritm: a) lg x + lg x b) lg x lg x c) lg(x )+lg(x +) d) lg(x ) lg(x +) e) lg + lg x f) lg x lg x x Förenkla a) lg lg b) lg lg Beräkna a) log 9 b) log c) log d) log e) log f) log Beräkna log / (Den här är lite extra knepig!)
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 9 7 Funktioner Låt A och B vara två mängder En funktion f från A till B är en regel som på ett entydigt sätt till varje element x i A ordnar ett element f (x) i B Mängden A kallas funktionens definitionsmängd Mängden av alla värden som f (x) kan anta kallas funktionens värdemängd De flesta funktioner du har träffat på i dina matematikstudier har varit av typen y = f (x), där definitions- och värdemängderna har bestått av tal Många sådana funktioner kan beskrivas med en formel som tex f (x) = x +x, men det finns också andra sätt att beskriva en funktion Exempel Låt A och B bestå av alla reella tal och definiera regeln f genom att säga att f (x) är det största heltalet som är mindre än eller lika med x Exempelvis är f (,7) =, f () =, f ( ) =, f (,) = Eftersom regeln på ett entydigt sätt beskriver vad f (x) ska vara för ett godtyckligt reellt tal x, är detta verkligen en funktion Definitionsmängden består av alla reella tal, och värdemängden består av alla heltal Exempel Låt A vara mängden av alla svenska medborgare, och B mängden av alla 0-siffriga heltal Om x är en svensk medborgare, låter vi p(x) betyda hans eller hennes personnummer Då är p en funktion från A till B Värdemängden är här en äkta delmängd av B 7 Funktionen f är definierad av formeln f (x) = Beräkna a) f () x + b) f ( ) c) f ( 9 ) d) För vilket eller vilka x gäller att f (x) =? e) För vilket eller vilka x saknar funktionen värde? 7 Bestäm definitionsmängderna för följande funktioner: a) f (x) = b) g(x) = x x c) h(x) = x 7 Bestäm värdemängden till den funktion f som är definierad genom a) f (x) = x + b) f (x) = x c) f (x) = x + 7 Bestäm värdemängden till den funktion f som är definierad genom a) f (x) = + sin x b) f (x) = + cos x c) f (x) = + sin x d) f (x) = sin x + cos x 7 Beräkna f () f ( 0 ), då f (x) = x +
0 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 7 Låt f (x) = x x Beräkna a) f (), b) f ( ) c) För vilket eller vilka x gäller att f (x) = 0? d) Förenkla uttrycket f (x) f (x) 77 Låt f (x) = x x Beräkna a) f ( ), b) f ( ), c) f ( f ()) d) För vilket eller vilka x gäller att f (x) =? f (a) f (b) e) Förenkla (I vilket sammanhang förekommer detta?) a b f (a) f (a) f) Förenkla 8a 78 Funktionen h är definierad genom h(x) = x x + x Beräkna a) h() h(), b) h() h( ) c) h() h( ) 79 Funktionen g är definierad genom g(x) = (x + ) x + x Beräkna a) g() g(), b) g(0) g( ) 70 f (x) = x + Beräkna a) f () f (), b) f ( ) f ( ) x f (x + h) f (x) 7 Förenkla uttrycket, då a) f (x) = h Vilket matematiskt begrepp hör detta ihop med? x +, b) f (x) = x c) 7 En kula rör sig så att sambandet mellan tiden t (sekunder) och tillryggalagd sträcka s(t) (meter) beskrivs av s(t) = t + t a) Hur långt flyttar sig kulan under tidsintervallet från t = till t = 0? b) Vilken medelhastighet har kulan under tidsintervallet från t = till t =? c) Teckna ett uttryck för medelhastigheten under tidsintervallet från t = t till t = t 7 Vid produktion av en vara är kostnaden att tillverka q enheter T(q) tusen kronor, där T(q) = 000 + 00q + q a) Hur stor är kostnadsökningen när man ökar produktionen från 0 till 0 enheter? b) Hur stor är den genomsnittliga kostnadsökningen per enhet när man ökar produktionen från 0 till 0 enheter? c) Teckna ett uttryck för den genomsnittliga kostnadsökningen per enhet när man ökar produktionen från q till q enheter?
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 7 Graferna till funktionerna f och g är givna i figuren Bestäm a) f (g()) b) g( f ()) c) f (g()) d) g( f ()) y y f (x) = x x g(x) = x x x 8 Derivata För derivering gäller följande regler: () ( f + g ) = f + g () ( c f ) = c f om c är en konstant () Om f (x) = x p så är f (x) = px p Tangenten till grafen y = f (x) i punkten (a, f (a)) är den linje som bäst approximerar grafen alldeles i närheten av punkten Tangentens riktningskoefficient är f (a) y y Tangent Inte tangent f (a) y= f (x) f (a) y= f (x) a x a x Exempel: Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = x x i den punkt som har x-koordinaten Lösning: Tangeringspunktens y-koordinat bestäms: x = ger y = ( ) ( ) = = Derivatan är y = x Tangentens riktningskoefficient fås för x = : y = ( ) = + = 7 Tangentens ekvation enligt enpunktsformen: y ( ) = 7(x ( )), dvs y + = 7x + 7 eller y = 7x +
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 8 Bestäm f ( ) då a) f (x) = x x b) f (x) = x x x x 8 En kurva har ekvationen y = Bestäm riktningskoefficienten till tangenten i den punkt som har x-koordinaten 8 Bestäm f () då a) f (x) = x x b) f (x) = 8 x + x 8 Lös ekvationen f (x) = 0 då a) f (x) = x x b) f (x) = x x + 8 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = x x x-koordinaten i den punkt som har 8 I vilken eller vilka punkter är tangenten till kurvan y = x x + 8x parallell med linjen y = x? 87 Lös ekvationen f (x) = då f (x) = x + x 88 Sambandet mellan sträckan s(t) meter och tiden t sekunder för ett föremål som rör sig beskrivs av s(t) = t + 0,0 t a) Bestäm hastigheten efter 0 sekunder b) När är hastigheten 0 m/s? 89 I vilken eller vilka punkter har kurvan y = x + x en tangent som är parallell med x-axeln? 80 För vilka x är f (x) > 0 då f (x) = x 0x +? 8 Figuren visar kurvan y = f (x) och två tangenter till denna Bestäm a) f (0) b) f () y x 7
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 9 Integral Här har ni några övningar på primitiva funktioner och integraler Dessa saker kommer att behandlas ingående i de ordinarie kurserna i utbildningen Några stolpar: F är en primitiv funktion till f, om F (x) = f (x) för alla x Om a = och f (x) = x a, så har f de primitiva funktionerna F(x) = xa+ + C, där C a + är en godtycklig konstant Om F är primitiv funktion till f och G är primitiv funktion till g, så är F + G primitiv funktion till f + g Om c är en konstant, så är dessutom cf primitiv funktion till c f En integral b a f (x) dx kan beräknas med hjälp av primitiv funktion: b a f (x) dx = [ ] b F(x) = F(b) F(a) a (Att detta gäller är inte något självklart Det kommer att bevisas i en av kurserna) Om f (x) 0, kan integralen b a f (x) dx tolkas som arean av det område i xy-planet som avgränsas av x-axeln, linjerna x = a och x = b samt kurvan y = f (x) Om f (x) > g(x), beräknas arean av det område som begränsas av linjerna x = a och b ( ) x = b samt kurvorna y = f (x) och y = g(x) med integralen f (x) g(x) dx Exempel: Om f (x) = x + x, så har f den primitiva funktionen F(x) = x + x x + C = x + x x + C, där C kan vara vilket tal som helst a 9 Bestäm alla primitiva funktioner till x x + 9 Funktionen f är definierad genom f (x) = x Bestäm den primitiva funktion F till f för vilken F( ) = 9 Bestäm f (x) då f (x) = x 0x + och f () = 9 Bestäm alla primitiva funktioner till a) x 0x b) x x + d) x + x c) x 7 + 7 9 Beräkna a) 0 (0x 9x ) dx b) (x x) dx 9 Beräkna arean av det område som begränsas av y = x +x, x =, x = samt x-axeln
Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 97 Beräkna a) (x 0x ) dx b) x dx 98 Beräkna arean av det område i första kvadranten som begränsas av y = x, y = x och x-axeln 99 Kurvan y = x x och linjen y = x begränsar ett område Bestäm dess area 90 Kurvan y = och linjerna y = x och x = begränsar tillsammans med x-axeln ett x område Bestäm dess area y x 7