Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl. är etrktr vi två fll:. olmeräkningr med jälp v skivmetoden oc. ottionsvolmer. SIFOMELN Låt vr en kropp som ligger melln plnen oc. Låt vr ren v skärning melln kroppen oc plnet som genom punkten,, vinkelrät mot - eln. i ntr tt är kontinuerlig i intervllet [, ]. roppens volm kn eräkns med skivformeln : d Förklring: i delr kroppen i tunn skivor med plnen k. olmen v en sådn skiv kn pproimers med k k + k [ dett är volmen v en clindrisk kropp med sens re A oc öjden Δ + ]. Därför lim m Δ > k k n k k k k k + k k d. olmen v den del v kroppen som ligger melln oc i -led kn etrkts som en funktion v : t. d Därför ' t d enligt nlsens uvudsts. oc därmed lir differentilen D ' d d v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning Anmärkning. I ovnstående formler integrerr vi längs -eln men skivmetoden kn nvänds längs vilken linje som elst säg t-el i D rummet, om mn känner ren t för vrje pln skärning vinkelrät mot eln. t Om kroppen ligger melln plnen vinkelrät mot t eln i punktern oc lir volmen t OTATIONSOLYM Låt D vr ett plnt område melln en kontinuerlig kurv f, där f, oc -eln t som definiers med, f.. olmen v kroppen som lstrs då området D roterr kring -eln är f d. olmen v kroppen som lstrs då smm område D roterr kring -eln är f d v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning ÖNINGA Uppgift. Låt vr en kropp som ligger melln plnen oc. Låt vr ren v skärning melln kroppen oc plnet som genom punkten,, vinkelrät mot - eln. eräkn, med skivformeln, volmen v kroppen då A,,, dvs [, ]. e,,, dvs [, ]. d d 7 d e e d e lim e lim e Uppgift. Låt vr en kropp som ligger melln plnen oc. eräkn, med skivformeln, volmen v kroppen då skärning melln kroppen oc plnet som genom punkten,, vinkelrät mot - eln är en cirkeln med rdien r en ellips med lvlr oc c en rektngeln med sidor oc A r 4, d d 4 4 7 A, v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning 4 v 4 [ ] 7 d d A c A, 6 7 6 d d A Uppgift.is tt volmen v en kon med stns re oc öjden är För tt förenkl eräkning, etrktr vi en kon med spetsen i origo oc sen prllell med -plnet. Med jälp v likformiget r vi A A. Därför d d A vd skulle viss. Uppgift 4.is tt volmen v en prmid med stns re oc öjden är Tips. Asolut smm resonemng som ovn. Uppgift 5. Använd skivmetoden för tt vis tt klotets volm är 4 där etecknr klotets rdie. i eräknr först volmen v en lvklot se nednstående figur. Låt rr vr rdien för den cirkel som är snittet melln lvklot oc plnet genom vinkelrät mot - eln. i r följnde smnd r r +. ärv lir snittets re r A oc lvklotets volm r
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning lvklot d d Därmed r el klotet volmen klot lvklot dvs 4 klot, vd skulle viss. Uppgift 6. iktigt llmänt eempel. En stor tnk T flls med vtten med stigeten m per timme. Antg tt vi känner tversnittsren för vrje snitt prllell med -plnet dvs vinkelrät mot -eln, se nednstående figur. Med vilken stiget stiger vttentn då vttendjupet är L m där L är mindre än tnkens öjd? i r, vi söker. Enligt kedjeregeln * [ ärv. ] Först estämmer vi som vi sedn sustituerr i * oc eräknr Enligt skivformel gäller 5 v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning d. d d Därför d nlsens uvudsts A. Alltså Sustitutionen i * ger Alltså, om vttendjupet är, stiger vttennivå stiger med stigeten id en fi öjd L stiger vttennivå med stigeten L Svr:. L Uppgift 7. En kon plcers med spetsen vänd nedåt. sen prrllell med -plnet är en ellips med lvlr m oc m. öjden är m. onen flls med vtten med stigeten. m /min. Med vilken stiget stiger vttentn då vttendjupet är 5m? i kn estämm A oc endst sustituer i formeln från föregående uppgift, men, för tt öv ärledningen, upprepr vi el resonemngen. Enligt kedjeregeln gäller. Först estämmer vi med jälp v skivformeln d. d d i r d nlsens uvudsts A. Alltså 6 v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning Sustitutionen i * ger Alltså, om vttendjupet är, stiger vttennivå stiger med stigeten **. I den är uppgiften är. Med jälp v likformiget i dimensioner får vi. i kvr tt estämm A., dvs Eftersom stnsre ellipsens re är 6 oc r vi A. 5. 5 Nu, från **, 5 5 Alltså, om vttendjupet är, stiger vttennivå med stigeten. 5 Om 5m stiger därmed vttennivå med stigeten. 5 5 Svr: 5 m/min Uppgift 8. En prmid plcers med spetsen vänd nedåt. sen prrllell med -plnet r ren 4 m. öjden är 5m. Prmiden flls med vtten med stigeten. m /min. Med vilken stiget stiger vttentn då vttendjupet är m? 7 v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning ttennivå stiger med stigeten se uppgift 6. Med jälp v likformiget i dimensioner får vi 4 A, 5. 5 Därför 4 4 5 5 Alltså, om vttendjupet är, stiger vttennivå med stigeten. 4 5 Om m stiger därmed vttennivå med stigeten m per minut. 6 Uppgift 9. Jämför med upp 8 Tentmen -- En stor sfärisk tnk med rdien flls med vtten med stigeten m per timme se nednstående figur. Med vilken stiget stiger vttentn då vttendjupet är L m där L<? Med vilken stiget stiger vttentn då vttendjupet är 5 m oc, m per timme. i upprepr resonemngen från föregående uppgifter i r, vi söker. Enligt kedjeregeln * Först estämmer vi med jälp v skivformeln. d d Från d. r vi d nlsens uvudsts A. Alltså - Sustitutionen i * ger 8 v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning Alltså, om vttendjupet är, stiger vttennivå stiger med stigeten i r kvr tt eräkn snittren. Ptgors sts r Därför snittren cirkelns re är r oc därmed, om vttendjupet är, stiger vttennivå med stigeten A Om vttendjupet är L, stiger vttennivå med stigeten v id /5 stiger vttennivå med stigeten. 5 v m per timme 8 5 5 L L Svr: L L m per timme 5 m per timme. 8. OTATIONSOLYME Uppgift. eräkn volmen v den rottionskropp som uppstår då området som definiers v, roterr kring -eln -eln olmen v kroppen som lstrs då området roterr kring -eln är 9 v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning 8 8 Svr olmen v kroppen som lstrs då området roterr kring -eln är Integrlen eräknr vi med jälp v prtiell integrtion Prtiell integrtion:, v, Därför Svr + + + Uppgift. eräkn volmen v den rottionskropp som uppstår då området som egränss v kurvorn v oc roterr kring -eln. där oc. Nu r vi Svr v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning Uppgift. urvn sin egränsr tillsmmns med -eln ett område i intervllet. eräkn volmen v den kropp som lstrs då området roterr kring -eln kring -eln cos sin sin d d v. e. 4 sin d [prtiell integrtion]. [ cos + sin ] v. e Uppgift. eräkn volmen v den rottionskropp som uppstår då området som definiers v, roterr kring -eln. + Svr Uppgift 4. eräkn volmen v klotets segment med öjden se figur då klotens rdien är lik med. v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning För tt eräkn på enklre sätt etrktr vi ett ekvivlent prolem. i eräknr rottionsvolmen som uppstår då älften v cirkelsegment i figuren nedn, roterr kring eln. Från cirkelns ekvtion + r vi som vi sustituerr i formeln d d Svr: Uppgift 5. eräkn volmen v kroppen som uppstår då cirkeln med rdien roterr kring en eln där vståndet melln cirkelns centrum oc eln är d >. roppen klls torus oc liknr en ckelslng v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning i etrktr rottion kring -eln oc plcerr cirkelns centrum på eln i punkten d,. Från cirkelns ekvtion d + r vi d Först eräknr vi volmen då cirkelns övre lvn eln. + d roterr kring - Torusvolmen lir då torus i r f d d + d d d Sustitution : d t, d t + d t d v 4
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning t t d + d + d d Förklring: t d i Först integrlen är eftersom dett är integrl v en udd funktion f t f t över intervllet [, ] som är smmetriskt kring origo. Mn kn om mn vill eräkn integrlen t e med vrielte ii Den ndr integrlen t t v d eftersom den eskriver ren v lvcirkeln med rdien. Mn kn även direkt eräkn integrlen t e med vrielte t sinu Till slut Svr. torus d torus d 4 v 4