Maemaisk saisik Sockholms uiversie Modellerig och predikio av idsserier gällade sukförmåer iom socialförsäkrige Per Johasso Examesarbee 6:8
Posal address: Maemaisk saisik Dep. of Mahemaics Sockholms uiversie SE-6 9 Sockholm Swede Iere: hp://www.mah.su.se/masa
Maemaisk saisik Sockholms uiversie Examesarbee 6:8, hp://www.mah.su.se/masa Modellerig och predikio av idsserier gällade sukförmåer iom socialförsäkrige Per Johasso Jui 6 Sammafaig Sukpeig och rehabilierigspeig är vå av de förmåer iom socialförsäkrige som är domierade vad gäller ikomsborfall vid arbesoförmåga. I de här arbee aalyseras idsseriedaa med aale ubealade dagar av de ova ämda förmåera där daa erhållis frå Försäkrigskassa. Progoser har gors för de åa idsseriera i aalyse, fem sycke gällade sukpeig sam re sycke gällade rehabilierigspeig, basera på framaga modeller för rasformaioer av seriera. Progosera för su serier visar på e miskig av ubealade dagar meda e serie för rehabilierigspeige visar på e ökig av ubealade dagar. Posal address: Maemaisk saisik, Sockholms uiversie, SE-6 9, Swede. E- mail: pere75@homail.com. Hadledare: Joaa Tyrcha.
Absrac Two of he beefis i he social isurace ha are domia a loss of icome by workig iabiliy are sickess beefi ad he oher accordig o rehabiliaio. I his hesis ime series daa is aalysed applied o disbursemes of he above described beefis where daa has bee obaied by Försäkrigskassa. For he eigh series i he aalysis, five accordig o sickess beefi ad hree accordig o rehabiliaio, forecass have bee proposed based o models relaed o rasformaios of he series. The forecass of all series bu oe idicae a decrease of disbursemes. i
Förord De här examesarbee har uförs uder h5/v6 omfaade poäg för magiserexame i maemaisk saisik vid Sockholms Uiversie. Mi syfe med de här arbee har vari a a fram modeller för idsserier gällade sukförmåer. Jag vill acka Ja Eriksso på Försäkrigskassas huvudkoor för daamaeriale som aalyse bygger på. E ack ill Försäkrigskassa för a ag fick e arbesplas på huvudkoore a arbea frå sam ack ill Ola Rylader med flera för de hälp ag få med frågesälligar. Slulige vill ag acka mi hadledare Joaa Tyrcha vid Sockholms Uiversie för de hadledig ag få uder arbees gåg. iii
Iehåll Iledig.. Bakgrud...... Sukförmåer. Sukfall..3 Sukpeig och rehabilierigspeig...4 Syfe och mål med arbee 3.5 Hisorik.4. Teori..5. Sokasiska processer...5. Saioärie..5.3 Kausalie..6.4 ARMA-processer.8.5 Akaikes iformaioskrierium 9.6 Residualer 3. Aalys.. 3. Trasformaioer och differecierig 3. Uivariaa och mulivariaa meoder..3 3.3 Grafer.3 3.4 Ädrig av varias.....5 3.5 Differecierig...5 3.6 Tes av modell...7 4. Resula 8 5. Slusas 3 Appedix.3 Refereser...35 iv
Iledig Försäkrigskassa admiisrerar de sveska socialförsäkrige och asvarar för huvuddele av samhälles ekoomiska skyddsä. De auari 5 iräades Försäkrigskassa geom e sammaslagig av Riksförsäkrigsverke (RFV) och de allmäa försäkrigskassora ru om i lade. De föreskrifer, råd och vägledigar som besluas av RFV gäller äve efer Försäkrigskassas iräade. Försäkrigskassas föreskrifer och allmäa råd ka delas i i fölade område: sukförmåer bar, famil och hadikapp pesio allmä Toal fis ärmare femio olika förmåer eller bidrag iom socialförsäkrige. I de här examesarbee aalyseras daa observera över id, idsseriedaa, gällade sukförmåera sukpeig och rehabilierigspeig.. Bakgrud. Sukförmåer Av de förmåer som fis i socialförsäkrige är sukpeig, rehabilierigspeig sam akivies- och sukersäig de domierade ersäigara för ikomsborfall vid arbesoförmåga. För förmåera gäller a ersäig bealas som e kvars, e halv, re kvars eller e hel förmå beroede på hur pass mycke arbesförmåga är edsa för respekive idivid. Iom ohälsosaisike mäer ma ubealigara i aal dagar där förmåera omräkas ill hela dagar, s k eodagar, d.v.s a vå halvdagar blir e heldag osv. Vid summerig av bruodagar omvadlas alla förmåer ill heldagar och därefer summeras alla heldagar.. Sukfall Vid e sukfall för e arbesagare bealar arbesgivare u suklö de 4 försa dagara, där dag e ugör karesdag. Forsäer sukfalle efer de vå försa veckora överar Försäkrigskassa ubealige och bealar forsäigsvis u sukpeig. För sudeer, egeföreagare m fl bealar Försäkrigskassa u sukpeig frå dag e. E sukfall defiieras i de här arbee som för e idivid på varadra fölade ubealigar av sukförmåera sukpeig och/eller rehabilierigspeig. E sukfall ka ha mella e upp ill flera hudra
ubealigar beroede på lägde på sukfalle. E ubealig har allid re daum som ideifierar ubealige. Dag e i sukfalle; försa dage i ubealige, s k fr.o.m-daum sam sisa dage i ubealige, s k.o.m-daum. Om idsskillade frå.o.m-daum i e ubealig ill fr.o.m-daum i äsa ubealig i de geererade sukfalle översiger fem arbesdagar berakas de ya ubealige som de försa ubealige på e y sukfall..3 Sukpeig och rehabilierigspeig De sukförmåer som ka igå i e sukfall är sukpeig, rehabilierigspeig och arbesskadepeig. Aale ubealade dagar av arbesskadepeig är dock så lie i förhållade ill de adra vå förmåeras ubealigar så de har e agis med i aalyse. Neda visas hur e sukfall ka vara uppbygg med olika förmåer och med olika sukskrivigsgrad. Omfaig % 5% Suklö Sp. Sp. Rehabp. Om e perso haf sukpeig i ca e år prövas de om de fis mölighe ill a få rehabilierigspeig i avsik a kua komma illbaka ill arbeslive i full omfaig. För e arbesagare gäller a arbesgivare har försahadsasvare för a uppmärksamma och ureda behov av arbesirikad rehabilierig. Arbesgivare har allid skyldighe a ureda e arbesagares behov av rehabilierigsågärder är dee vari sukskrive över åa veckor. Försäkrigskassa ska bedöma de försäkrades behov av och mölighe ill rehabilierig, dea gäller äve för arbeslösa. Rehabilierigspeig ugår uder de ide som arbeslivsirikad rehabilierig pågår. Om de försäkrade hel sakar arbesförmåga ugår hel rehabilierigspeig. Är arbesförmåga ie edsa hel me är edsa med mis refärdedelar ugår refärdedels rehabilierigspeig. På samma sä ugår halv och e färdedels rehabilierigspeig. De som är sukskrive på helid är beräigad ill hel rehabilierigspeig är rehabilierigsperiode börar. Ubealig av rehabilierigspeig föregås i samliga fall av e sukpeigperiod. Måle med rehabilierigspeig är u e åerirädade ill arbeslive me de är ie ovalig med sukfall där sukpeig- och rehabilierigsperioder avlöser varadra. Om rehabilierigsperiode eferföls av
e period med sukpeig berakas de aige som e forsäig av de pågåede sukfalle eller som e y såda. På samma sä för rehabilierigsperioder mella sukpeigperioder..4 Syfe och mål med arbee I de här examesarbee har ag val a aalysera idsserier med måadsvisa daa iehållade aale ubealda eodagar för hela lade gällade sukpeig och rehabilierigspeig. Fem idsserier besår av sukpeigdagar och re serier besår av rehabilierigspeigdagar. E sukfall börar allid, som idigare äms, med ubealig av suklö frå arbesgivare och för vissa grupper med sukpeig frå dag e. För vare sukfall gäller a de ka delas upp i olika idsiervall, s k lägdklasser, se Figur.. Aale av Försäkrigskassa ubealda eodagar summeras måad för måad i e ioårsperiod för de vå förmåera iom respekive lägdklass. E ubealig för e eskild idivid som besår av sukdagar 7 bidrar allså ill de försa lägdklasse med dagar sam ill de adra med dagar. Syfe med uppsase är a med hälp av de idsserier som daamaeriale besår av, alla iehållade 33 måadsvisa observaioer frå auari 994 ill auari 5 a fram e ARMA-modell för respekive idsserie och uifrå de framaga modelle predikera framida värde för respekive lägdklass och sukförmå. Dag Suklö 9-89 dgr 9 79 dgr 8 365 dgr 366 73 dgr >73dgr Figur. Sukfall uppdela i lägdklasser. I de sukfall som bara iehåller sukpeig räkas dagara i lägdklassera frå dag e i sukfalle. För sukfall med rehabilierigspeig (som u föregås av mis e period med sukpeig) räkas dagara i lägdklassera gällade rehabilierigspeig frå de idpuk då sukpeige övergår i rehabilierigspeig. För de sukfall där rehabilierigspeig eferföls av e period med yerligare sukpeig fis vå möligheer. Aige ses de ya sukpeigperiode som e forsäig av de gamla eller så berakas de ya periode som e y sukfall och då räkas dagara i lägdklassera om frå dag e ige. Lägdklass Sukpeig 9 89 dagar 9 79 dagar 3 8 365 dagar 4 366 73 dagar 5 > 73 dagar Tabell. Aal dagar frå sukfalles eller sukpeigperiodes böra.
Lägdklass Rehabilierigspeig 9 89 dagar 9 79 dagar 3 8 365 dagar Tabell. Aal dagar frå rehabilierigsperiodes böra..5 Hisorik Neda e kor hisorik om ädrigar av regler för sukpeige: Kor hisorik: Mars 99: Ersäigsivå på sukpeig säks frå 9% ill 65% (sukdag -3) och 8% (sukdag 5 9). Jauari 99: Suklö frå arbesgivare ill asällda iförs uder sukperiodes 4 försa dagar. Sukpeig ill asällda bealas frå dag 5 i sukperiode. April 993: E karesdag ifördes. Ersäigsivå på sukpeig säks frå 9% ill 8% frå sukdag 9. Jauari 996: Ersäigsivå säks geerell ill 75% Jauari 997: Suklö frå arbesgivare ill asällda förlägs ill sukperiodes 8 försa dagar. Jauari 998: Ersäigsivå hös geerell ill 8%. April 998: Juli 3: Jauari 5: Suklö frå arbesgivare ill asällda förkoras ill sukperiodes 4 försa dagar. Suklö frå arbesgivare ill asällda förlägs ill sukperiodes försa dagar. Ersäigsivå på sukpeig säks ill 77,6%. Suklö frå arbesgivare ill asällda förkoras ill sukperiodes 4 försa dagar. Ersäigsivå på sukpeig hös ill 8%. I och med a suklöeperiode ädras över id, med lägd som skifa mella 4 och 8 dagar, iom de io åre som aalyse baseras på har daaaalys och modellerig för sukpeige gors frå och med lägdklasse 9 89 dagar som u är de försa lägdklasse där de måadsvisa observaioera är ämförbara. Äve för rehabilierigspeige är de fr.o.m dea lägdklass som aalyse görs.
Teori. Sokasiska processer E sokasisk process ka defiieras som e sekves av sokasiska variabler ( ), T, där T är de idpuker för vilke processe är defiierad. Iom idsserieaalys är de all för ofas e observaio per idsehe, kallad x() om observaioera är koiuerliga och de beeckas x om observaioera är diskrea. Neda beskrivs eori om diskrea observaioer iom idsserieaalys som daa i de här arbee baseras på. E idsseriemodell för observerade daa { x } är e specifikaio av fördeligsfukioera av e sekves av sokasiska variabler } där x } är de sokasiska variableras observerade värde (ufall): { P { ( = x, K, x ) < x, K, x <,, K () E såda specificerig är ofa för komplex då de kommer a iehålla för måga paramerar a skaa uifrå befiliga daa. Isälle aväds försa och adramomee av fördeligsfukioera d.v.s väevärde E ), variase Var( ) och Cov( + h, ) = γ ( h), =,, K, h =,,, K. I de speciella falle då alla fördeligsfukioer är mulivaria ormalfördelade besäms fördelige hel och hålle av de vå momee.. Saioärie Defiiio Lå { } vara e idsserie med E ( ) <. Väevärde av { } vid ide är µ () = E ). Kovariasfukioe av } är ( { r, s ) E[( r µ ( r))( s µ γ (r,s)= Cov( = ( s))] för alla helal r och s. Defiiio { } är (svag) saioär om (i) µ () är oberoede av, och (ii) γ (+h,) är oberoede av för vare h. ( Srik saioärie av e idsserie iebär a (, K, ) och ( + h, K, + h ) har samma fördeligsfukioer för alla helal h och >.
Defiiio 3 Lå { } vara e saioär idsserie. Auokovariasfukioe (ACVF) av { } vid idsförskuig h är γ (h) = Cov ( + h, ). Auokorrelaiosfukioe γ (ACF) av { } vid idsförskuig h är ρ (h) = γ Defiiio 4 ( h ) () = Cor ( + h, ). { } kallas vi brus om de är e sekves av okorrelerade sokasiska variabler, alla med väevärde oll och varias σ. Vi brus beskrivs eda som WN(, σ ). Defiiio 5 { } är e AR(p)-process om { } är saioär och om de för vare gäller a φ - φ p -p = Z där Z ~ WN(,_ ), =,±, och där φ,...,φ p är kosaer. Defiiio 6 { } är e MA(q)-process om { } är saioär och om de för vare gäller a = Z + _ Z - + + _ q Z -q där Z ~ WN(,_ ), =,±, och där θ,...,θ q är kosaer..3 Kausalie Defiiio 7 Tidsserie { } är e liär process om de ka uryckas som = = ψ för alla, () Z där {Z } ~ WN(,_ ) och {ψ } är e sekves av kosaer med ψ <. =
Proposiio Lå {Y } vara e saioär idsserie med väevärde oll och kovariasfukio γ Y. Om = ψ oll och ACVF γ (h) <, så är idsserie = ψ Y saioär med väevärde = = = k = ψ ψ γ ( h + k ). (3) I de speciella falle då { } är e liär process gäller: k Y γ (h) = = ψ ψ + hσ (4) Om ψ = för alla < dvs om = ψ Z så kallas de liära processe för = e MA( ). Observera a edas beror på idigare värde av Z. Lå oss ia ärmare på AR()-processe φ = Z där { Z } ~ WN(, σ ), φ <, och { Z } är okorrelerad med s för vare s <. Beraka de liära processe φ Z (5) = = Efersom (5) är e lösig ill AR()-processe ova och Proposiio ger a de också är saioär med väevärde oll och ACVF fås: γ σ φ h + h x ( h ) = φ φ σ = för = φ h. Neda visas a (5) är de eda saioära lösige av AR()-processe. Lå { Y } vara e godycklig saioär lösig. Vi har Y k k+ = φy + Z = Z + φ Z + φ Y = K = Z + φ Z + K + φ Z k + φ Y k Y Om { Y } är saioär är E ( ) ädlig och oberoede av vilke medför a
E Y k = k + φ Z = φ E( Y k ) då k. Dea ger a Y är lika med medelkvadragräsvärde = φ och a (5) är e Z uik lösig av AR()-processe ämd ova. Serie i (5) kovergerar ie om φ >. Geom a skriva om φ = Z i + = forme = φ Z + + φ + fås efer ågra ekvaioer a = φ Z. Dea lösig ses allmä som oaurlig då är korrelerad med framida värde av Z. E vikig del av modellerig av idsserie är a predikera framida värde. A då göra progoser uifrå framida värde iebär e mosägelse. A är represeerad som (5) iebär a de är kausal, d.v.s. edas korrelerad med idigare värde, i de här falle ebar av..4 ARMA-processer E vikig paramerisk famil av saioära idsserier är ARMA-processer. Defiiio 8 { } är e ARMA(p,q)-process om { } är saioär och om de för vare gäller a φ φ = Z + θ Z + K θ Z K p p + p där { Z } ~ WN(, σ ), sam a φ z K φ p z ) och + θ z + K + θ q z ) ie ( har ågra misa gemesamma ämare. För ARMA-processer gäller fölade: Defiiio 9 Z q q ( E saioär lösig { } av ARMA-processe i Defiiio 8 exiserar (och är också e uik saioär lösig) om och edas om p φ( z ) = φ z K φ för alla z =. p z q
Defiiio E ARMA(p,q)-process { } är kausal, eller e kausal fukio av { Z }, om de fis kosaer { ψ } så a ψ < och = ψ Z för alla. = = Kausalie är ekvivale med villkore p φ( z) = φz K φ för alla z. p z Ugågspuke för de här examesarbee är predikio av framida värde för de olika idsseriera och eori för predikio bygger på misa kvadrameode. De hela bygger på e miimerig av E( + h ao a... a ) där a o, a,..., a är kosaer och h är posiiv helal. För e MA(q)-process är de geerell så a de för mosvarade idsseries ACF gäller a korrelaioer för idsförskuigar sörre ä q är lika med oll. De fis e korrelaiosfukio, PACF, som är relaerad ill AR-processer på samma sä som ACF är relaerad ill MA-processer. Båda dessa fukioer ka vara e bra verkyg då e modell ska as fram geom a ma iar på idsseries båda dessa korrelaioer, då series korrelaioer för idsförskuigar upp ill e färdedel av aale observaioer i serie väl ka approximeras med modelles ACF och PACF..5 Akaikes iformaioskrierium Vilke meod är lämpligas a aväda då progoser ska göras? För a kua avgöra om e ARMA-process passar daa aväds olika es som beskrivs eda. E krierium som visa sig vara avädbar vid framagade av e modell är de s k Akaikes iformaios-krierium, AIC. De bygger på e miimerig av AICsaisika som besår av maximumlikelihoodskaige med avseede på paramerara φ, _ och _. För a få e försåelse för hur ML-fukioe ser u bör algorime i Appedix, eda kallad algorime, förs läsas. Aa a { } är e Gaussiask idsserie med väevärde oll och ACVF κ(i,) = ' E( i ). Lå = (, K, ) och lå ˆ = ( ˆ,, ˆ K ) där ˆ = och ˆ = E(, K, ) = P,. Lå Γ så för kovariasmarise Γ = ' E ( ) och aa vidare a Γ är icke-sigulär. Likelihoode av L( Γ ) = (!) -/ (de Γ ) -/ exp(-(/) ' Γ - ) är då: E beräkig av de Γ och Γ - ka udvikas geom a urycka dessa i ermer av esegspredikiosfele ˆ med variaser v -, =, K, som ka beräkas rekursiv med algorime. Lå θi, =, K, i, i =,, K vara
koefficieera som fås då algorime illämpas gällade ACVF κ av { }. Med C såsom i algorime i Appedix fås a ( ˆ = C ). De ka visas a kompoeera i ˆ är okorrelerade som ger a ˆ har diagoalkovariasmarise D = diag(v,,v - ). Vi har u a Γ = C D C ' Γ ' sam a = ˆ ' ( ) D ( ˆ ) = ( ˆ ) / v = D och de Γ = (de C ) (de ) = vv K v. Nu fås a likelihoode ka skrivas som: L( Γ )= (π ) exp v v = K ( ˆ ) / v (7) Likelihoode för daa frå e ARMA(p,q)-process fås frå algorime geom a räka fram esegspredikiosfele ˆ i+ och mosvarade medelkvadrafel v i. ˆ θ ( + ˆ + = = φ + Kφ p + p + + q ) = θ ( + ˆ + < m ), m (8) sam E( ˆ ˆ σ + + ) = σ E( W+ W+ ) = r där värdea på besäms frå algorime. Nu har vi fölade: θ och r ( ˆ ) L (φ, θ σ ) = exp (πσ ) r r = r K σ (9) Geom a pariell differeiera l L( φ, θ, σ ) med avseede på σ sam a aväda a ˆ och r är oberoede avσ fås ML-skaigara φˆ, θ ˆ och σˆ ill fölade: σˆ = S ( φˆ, θ ˆ ) där S ( φ ˆ, θˆ) = ( ˆ ) / r och φˆ, θ ˆ är värdea av φ och θ som miimerar l( φ, θ ) = l( S ( φ, θ )) + lr = =. AIC-krierie: Väl p, q,φ, θ som miimerar p q AIC = ll( φ, θ, S ( φ, ) / ) + ( p + q + ) () p q p θ q
De sisa erme är e srafferm som baseras på a de vid predikio av idsseriedaa e är bra med för höga värde på p och q. E modell med höga värde på p och q ger geerell e lie skaad WN-varias me är de framaga modelle aväds för a predikera framida värde beror medelkvadrafele av predikioera e edas på WN-variase ua också på fel som uppsår frå skaig av modelles paramerar..6 Residualer När e modell väl agis fram är äsa seg a kolla hur pass bra de framaga modelle passar idsserie. För a göra dea berakas residualera ˆ / = ( ( φ ˆ, θˆ)) /( r ( φˆ, θˆ)), =, K,. () ˆ W De yp av residualer som aväds för a esa e modells duglighe fås geom a dividera residualera med de skaade sadardavvikelse för WN d.v.s: ˆ ˆ R = W /σˆ där σˆ = ( W ) /. = Om de framaga modelle är väl apassad för idsseriedaa bör dessa residualer ha egeskaper likade WN(,). De försa sigifikasese avgör om de saioära idsserie är vi brus. Skulle de vara de fis de ie ågo ARMA- process som represeerar de giva idsserie. E aa es avgör om paramerara i de framaga modelle är sigifikaa. Vi berakar åerige residualera ˆ / = ( ( φˆ, θˆ)) /( r ( φˆ, θˆ)) =, K. ˆ W Dessa ska, om modelle är adekva, ha egeskaper likade ˆ W (, ) ( (, )) /( (, )) φ θ = φ θ r φ θ =, K. (). W är e approximaio av WN-erme i ARMA-processe på så sä a E( W ( φ, θ ) Z ) då. Allså ska Wˆ ha egeskaper likade Z i de framaga ARMA-processe. E rad eser med ollhypoese a residualera är WN ka avädas för a se om residualera är WN(,). Med sigifikasivå,5 bör p-vädre vara åmisoe högre ä,5, då u ollhypoese visar på a de framaga modelle väl överes sämmer med idsserie. Om de modell med de opimala värde på AIC-saisika ie går geom alla sigifikaseser lear ma efer modeller med AIC-värde ära de lokala miipuke med avseede på AIC-saisika och saar är e modell hias där samliga eser går iom.
3 Aalys 3. Trasformaioer och differecierig För a kua göra progoser framå basera på e modell för idsseriedaa, är de försa delmomee a frå ursprugsdaa a fram e saioär idsserie. De är u uifrå e saioär idsserie som e mölig kausal ARMA-modell ka as fram och frå dea modell, om de passar daa illräcklig bra, som predikio av framida värde ka göras. Vilke är då illvägagågssäe för a a fram e saioär idsserie? För a få fram så mycke iformaio som mölig om e idsserie ploas daa över id. De käeecke som främs är vikiga är ouliers, red, säsogskompoe sam variaio över id. Ouliers ka försvåra aalyse. Aige berakas de avvikade observaioe som sa vilke medför a de ska vara med vid modellerig av idsserie. Berakas observaioe som e felakig observaio bör observaioe få värde av idsseries väevärde aleraiv om mölig as bor. Samliga idsserier i de här aalyse har dock väl sammahägade grafer. E red ka defiieras som förädrig av medelvärde över låg id och ka ha sor beydelse för modellerig av daa. Trede som begrepp är relaiv och beror på aale observaioer i idsserie. De som ses som e red i e deliervall av daa ka i e sörre sammahag vara midre beydelsefull. De fis olika yper av rasformaioer som ka göras av ickesaioära daa för a få fram e y serie som är mer kompaibel vad gäller saioärie. A rasformera daa ka ses som e filer där de ya rasformerade serie är ödvädig för a kua hia e modell. När väl e modell agis fram ka.ex. predikio av modelle göras och via de predikio av ursprugliga daa. E förädrig av variase över id ka reduceras geom a a aurliga logarime av ursprugsdaa. De rasformerade idsserie blir då mer äm och är bäre apassad vid modellerig. I de här aalyse har differecierig aväs som meod för a elimiera red och säsogskompoeer och de bygger som ame ayder på a subrahera observaioer iom e viss idsiervall. Med observaioer uppbyggda som e addiiv modell elig = m + s + Y där m är redkompoee i observaioe, s är säsogskompoee sam Y är e slumpmässig kompoe fugerar differecierig som föler: Aa a säsogskompoee har period d, dvs a s = s +d. Geom a defiiera differecierigsoperaor d = -d = ( B d ) fås a d = m m -d +
Y Y -d som edas har e redkompoe och e slumpkompoe. För a därefer a bor rede, m m -d, ka e polyom av avädas. 3. Uivariaa och mulivariaa meoder Aalys av idsserier ka delas upp i aige e uivaria eller mulivaria meod. De uivariaa meode bygger på a ma iar på korrelaio och beroede iom idsserie som aalyseras. Aleraive hade vari e mulivaria idsserie som är e vekorvärd idsserie där aalyse bygger på a korrelaio och beroede ie bara aalyseras iom e idsserie ua äve mella seriera. De kompleerade idsseriera är ofa av de karakäre a ma aar e viss korrelaio mella var och e av dessa och de idsserie som sår ill grud för aalyse. E fakor som skulle kua vara med i aalyse är ifall aale sukskrivigar ederar a ädras är ersäigsivåera för sukförmåera ädras. E aa fakor skulle kua vara regioala skillader i ugifera för ohälsa se över id. På grud av examesarbees omfaig har ag ie gor ågo mulivaria aalys. I de här arbee har de uivariaa meode aväs me e fakor som behöver useras i de uivariaa meode är a aale idivider i åldrara 6 64 år som u aalyse baseras på ie är kosa. Aale idivider i åldrara 6 64 år är mooo sigade uder ioårsperiode som aalyseras. I auari 5 är de ca 5 % fler i åldrara 6 64 år ä de var i auari 994. E korrigerig av aale dagar bör göras då de ie är hel orimlig a aa a u fler idivider de är i populaioe, deso fler ubealade eodagar som u ie ger e ämförbar aalys. Geom a göra e sadardiserig där aale idivider i populaioe auari 994 får idex e divideras aale ubealade eodagar för övriga måader i aalyse med idexale för us de måade. På så sä ka aale idivider som variabel reduceras i aalyse. Modellerig görs allså för befolkige mosvarade de i auari 994. 3.3 Grafer Efer a samliga serier befolkigskorrigeras ka vi u a hälp av de rasformaioer som beskrivis ova för a a fram saioära idsserier. För sukpeige gäller a lägdklassera e, vå och re påmier om varadra vad gäller useede. Lägdklasser fyra och fem påmier om varadra. Alla re lägdklasser iom rehabilierigspeige har ugefär samma egeskaper. Neda visas befolkigskorrigerade idsserier för lägdklass e och fyra gällade sukpeige sam serie för lägdklass e för rehabilierigspeige.
8 6 4 8 6 4 a-94 a-95 a-96 a-97 a-98 a-99 Figur 3. Aale ubealade eodagar måadsvis, sukpeig, lägdklass 9 89 dagar. Befolkigskorrigerad. 8 6 4 8 6 4 a- a- a- a-3 a-4 a-5 a-94 a-95 a-96 a-97 a-98 Figur 3. Aale ubealade eodagar måadsvis, sukpeig, lägdklass - år. Befolkigskorrigerad. a-99 a- a- a- a-3 a-4 a-5 5 5 5 a-94 ul-94 a-95 ul-95 a-96 ul-96 a-97 ul-97 a-98 ul-98 a-99 ul-99 a- ul- a- ul- a- ul- a-3 ul-3 a-4 ul-4 a-5 Figur 3.3 Aale ubealade eodagar måadsvis, rehabilierigspeig, lägdklass 9 89 dagar. Befolkigskorrigerad.
3.4 Ädrig av varias Lå oss förs ia på variases ädrig över id. För de fem idsserier iom sukpeige som har aalyseras har aurliga logarime av ursprugsdaa agis då variase ederar a öka över id åmisoe frå milleieskife och framå för a seda plaa u lie vid årsskife 3-4. Dea gäller främs för de re försa lägdklassera (idsseriera). För de vå sisa lägdklassera gäller a variase ökar frå ill mie av 3. För de re idsseriera iom rehabilierigspeige är variase sörs i böra och slue av idsperiode så äve för dessa har de aurliga logarime av ursprugsdaa agis för a komma sege ärmare e saioär idsserie. 3.5 Differecierig De re försa idsseriera iom sukpeige sam de re idsseriera för rehabilierigspeige visar e klar periodicie på måader med relaiv lika useede iom vare period för respekive idsserie. De vå sisa seriera iom sukpeige har ie samma klara periodicie. Efer a ha rasformera seriera för a få e ämare varias differecierar vi respekive serie som har periodicie med operaor. Vi får för alla serier uom de vå sisa för sukpeige de ya seriera = -, = 3,4,. De vå övriga seriera blir = -, =,3,. De ka visas a serie d är e saioär idsserie om de ursprugliga serie har period d. Vi differecierar allså de sex seriera med urspruglig period e gåg ill med operaor och får serier som är illräcklig saioära. Geom a ia på ACF sam PACF för respekive saioär serie ka ma se om de behöver differecieras yerligare ågo gåg. Ifall de båda korrelaiosfukioera ie avar sabb för förskuigar bakå i ide bör serie differecieras yerligare. För samliga bearbeade serier i de här aalyse är korrelaiosfukioera sabb avagade varmed seriera berakas som illräcklig saioära. För de re serier som preseeras i figurer ova visas eda resulae. Samliga serier är u klara a aalyseras för a a fram e ARMA-modell.
,,5,,5, -,5 8 5 9 36 43 5 57 64 7 78 85 9 99 6 3 -, -,5 -, Figur 3.4 De rasformerade och differecierade serie i Figur., sukpeig, lägdklass 9 89 dagar.,5,,5, 8 5 9 36 43 5 57 64 7 78 85 9 99 6 3 7 -,5 -, -,5 Figur 3.5 De rasformerade och differecierade serie i Figur., sukpeig, lägdklass - år.,6,5,4,3,,, -, 7 3 9 5 3 37 43 49 55 6 67 73 79 85 9 97 3 9 5 -, -,3 -,4 Figur 3.6 De rasformerade och differecierade serie i Figur.3, rehabilierigspeig, lägdklass 9-89 dagar.
A serie är illräcklig saioär ka sammafaas med a de ie är ågo sysemaisk ädrig i väevärde för idsserie, a variase ie ädras ämvär över id och a serie är säsogsresad. 3.6 Tes av modell Nu har vi åa sycke saioära serier som vi via AIC-krierie, beskrive i eoriavsie, ska hia åa ARMA-modeller för. De modell som klarar modellese och har de mes opimala AIC-värde får represeera mosvarade idsserie. De försa ese vid framagade av e adekva modell är ifall de saioära serie rasformerad frå ursprugsdaa är vi brus. Tese bygger på aagade a de för sora gäller a auokorrelaioera av e sekves oberoede likafördelade sokasiska variabler med ädlig varias är approximaiv i.i.d N(, /). Tese bygger på Lug-Boxsaisika elig fölade: Q LB = ( + ) ˆ ρ ( ) /( ) = Med ollhypoese a de saioära serie är i.i.d förkasas hypoese om Q LB > χ (h). α Om hypoese ie förkasas är aalyse klar då de ie fis ågo modell a a fram, dvs serie besår av okorrelerade sokasiska variabler. Om hypoese förkasas är äsa es huruvida paramerara i de framaga modelle är sigifikaa. Tese bygger på -ese med de skaade sadardavvikelse för respekive parameer. Nollhypoese är här a parameer ie illför ågo ill modelle. Näsa seg är a aalysera korrelaiosmarise mella de igåede paramerara. Höga korrelaiosvärde mella vå paramerar yder på a åmisoe e av dem bör as bor frå modelle. Slulige esar vi om residualera beskriva i kapiel har egeskaper som vi brus med väevärde oll och varias e. Här är ollhypoese a residualera är vi brus. Om modelle är gilig bör p-värdea vara relaiv höga, åmisoe högre ä,5.
4. Resula För a få fram samliga resula i de här kapile har ag avä PROC ARIMAprocedure i SAS. E rad olika modeller med olika aal paramerar har esas och av de modeller som klara modellesera har de med lägs AIC-värde få represeera respekive idsserie. Neda redovisas de framaga ARMAmodellera för de åa saioära idsseriera i kapiel 3. E försa ugågspuk har vari a aalysera korrelaiosfukioera ACF sam PACF upp ill idsförskuigar som är ca e färdedel av oala aale observaioer, dvs i de här falle upp ill förskuig 3 för respekive idsserie. Modelle som represeerar de saioära idsserie för lägdklass, sukpeig: ( +,335 - +,46-4,645-6,94-9 )( +,389 - ) = Z Dea är u e re AR-modell me de ser lie aorluda u ämför med defiiioe av e AR-modell i kapiel. Modelle ova är kallad e muliplikaiv modell då de är e produk av eklare modeller, i de här falle av vå AR-processer. Muliplikaiva modeller aväds ofa då de är relaiv sarka säsogsbeoade möser i resposserie. Tidsförskuige i de adra fakor ova har mycke rikig period. Neda föler resulae för modelle: AIC-värde: -396, Tes av auokorrelaioer för vi brus ill försk. Chi DF p-värde 6 35,38 6 <, 67,6 <, 8 7,73 8 <, 4 87,93 4 <, 3 9,45 3 <, Skaig av paramerar paramerar skaig SD -värde p-värde AR, -,335,8-4,, AR, -,46,84 -,93,4 AR,3,645,84 3,5, AR,4,94,867,65,93 AR, -,389,9-4,3 <,
Korrelaio mella paramerar paramerar AR, AR, AR,3 AR,4 AR, AR,, -,94 -,74 -,88 -,73 AR, -,94,,85 -,43 -,59 AR,3 -,74,85, -,68 -,89 AR,4 -,88 -,43 -,68,,3 AR, -,73 -,59 -,89,3, Tes av residualer ill försk. Chi DF p-värde 6 3,39,656 6,64 7,4678 8,3 3,5839 4 9, 9,444 3 9,69 5,36 Samliga p-värde klarar 5%-ivå. Neda visas grafe över de ursprugliga idsserie med predikerade värde 4 måader framå iklusive 95% kofidesiervall för de predikerade värdea. 8 6 4 8 6 4 a-94 a-95 a-96 a-97 a-98 a-99 a- a- a- a-3 a-4 a-5 Figur 4. Aale ubealade eodagar måadsvis, sukpeig, lägdklass 9-89 dagar sam 4 predikerade måader med 95%-ig kofidesiervall. a-6 a-7
Modelle som represeerar de saioära idsserie för lägdklass, sukpeig: (,74-6 -,47-9 +,53 - ) = (Z +,45Z - )(Z,566Z - ) Här har vi e ARMA-modell, d.v.s både p och q är sörre ä oll. Äve dea modell är muliplikaiv (med period i de adra fakor) me här besår de muliplikaiva modelle av vå MA-modeller. Resulae för modelle: AIC-värde: -55,85 Tes av auokorrelaioer för vi brus ill försk. Chi DF p-värde 6 3,64 6,339 36,84, 8 49,98 8 <, 4 64,9 4 <, 3 77,5 3 <, Skaig av paramerar paramerar skaig SD -värde p-värde MA, -,45,933 -,59,9 MA,,566,83 6,8 <, AR,,74,897,94,548 AR,,47,97,4,7 AR,3 -,53,943 -,69,83 Korrelaio mella paramerar paramerar MA, MA, AR, AR, AR,3 MA,, -,4 -,5 -,74,5 MA, -,4,,56,3 -,7 AR, -,5,56, -,66,5 AR, -,74,3 -,66, -,56 AR,3,5 -,7,5 -,56, Tes av residualer ill försk. Chi DF p-värde 6 6,75,94 9,54 7,64 8 5,6 3,337 4,75 9,966 3 6,7 5,439 P-värde fram ill idsförskuig 6 i ese av residualer är ågo låg, aars är värdea elig 5%-ivå.
6 4 8 6 4 a/94 a/95 a/96 a/97 a/98 a/99 a/ a/ a/ a/3 a/4 a/5 a/6 a/7 Figur 4.. Aale ubealade eodagar måadsvis, sukpeig, lägdklass 9-79 dagar sam 4 predikerade måader med 95%-ig kofidesiervall. Elig progose miskar aale av Försäkrigskassa ubealade eodagar där edgåge hålli i sig seda år. Modelle som represeerar de saioära idsserie för lägdklass 3, sukpeig: = (Z +,69Z -3 +,78Z -5 +,84Z -6 )(Z,5Z - ) Här visar de sig a de opimala modelle är muliplikaiv uppbyggd av vå MAmodeller där de seare fakor har period. Grafe visar dock på e klar periodicie på måader. Resula: AIC-värde: -537,84 Tes av auokorrelaioer för vi brus ill försk. Chi DF p-värde 6 7,5 6, 43, <, 8 47,9 8, 4 58,97 4 <, 3 69,77 3 <,
Skaig av paramerar paramerar skaig SD -värde p-värde MA, -,69,95 -,9,44 MA, -,78,93-3,,3 MA,3 -,84,887-3,6, MA,,5,987,5,6 Korrelaio mella paramerar paramerar MA, MA, MA,3 MA, MA,, -,3,45,9 MA, -,3, -,49,7 MA,3,45 -,49,,4 MA,,9,7,4, Tes av residualer ill försk. Chi DF p-värde 6 4,5,55,73 8,4 8 5,45 4,3478 4,8,35 3 7,37 6,393 8 6 4 8 6 4 a/94 a/95 a/96 a/97 a/98 a/99 a/ a/ a/ a/3 a/4 a/5 a/6 a/7 Figur 4.3. Aale ubealade eodagar måadsvis, sukpeig, lägdklass 8-365 dagar sam 4 predikerade måader med 95%-ig kofidesiervall.
Progose visar på a de ubealade dagara miskar för hela progosperiode på ugefärlige samma sä som för lägdklasse ia. Modelle som represeerar de saioära idsserie för lägdklass 4, sukpeig: ( -,63 - -,33-3 )( -,778 - ) = (Z,3336Z - +,383Z -5 ) Muliplikaiv ARMA-modell där produke besår av vå AR-modeller där de seare har period. De saioära serie i Figur 3.5 som modelle baseras på skulle möligvis kua differecieras e gåg ill för a få e serie med väevärde mer ära oll. Dock avar series ACF och PACF sabb. Iom lieraure påvisas a ma e bör överdiffereciera e serie. Dea sammaage gör a de är serie i Figur 3.5 som aväds vid modellframagade. Neda föler resulae: AIC-värde: -6,63 Tes av auokorrelaioer för vi brus ill försk. Chi DF p-värde 6 49,57 6 <, 56,4 <, 8 4, 8 <, 4 8,8 4 <, 3 36,63 3 <, Skaig av paramerar paramerar skaig SD -värde p-värde MA,,3336,796 4,9 <, MA, -,383,833-4,6 <, AR,,63,87 3,,3 AR,,33,84 3,8, AR,,778,63,37 <, Korrelaio mella paramerar paramerar MA, MA, AR, AR, AR, MA,,,3,93 -, -,9 MA,,3,,49,33 -,7 AR,,93,49, -,3 -,43 AR, -,,33 -,3, -,75 AR, -,9 -,7 -,43 -,75,
Tes av residualer ill försk. Chi DF p-värde 6,9,745,6 7,853 8 4,37 3,3484 4 4,69 9,79 3 3,97 5,9 8 6 4 8 6 4 a/94 a/95 a/96 a/97 a/98 a/99 a/ a/ a/ a/3 a/4 a/5 a/6 a/7 Figur 4.4. Aale ubealade eodagar måadsvis, sukpeig, lägdklass 366-73 dagar sam 4 predikerade måader med 95%-ig kofidesiervall. Äve här miskar aale dagar frå år 3 för a elig progose forsäa miska uder hela de predikerade periode. Modelle som represeerar de saioära idsserie för lägdklass 5, sukpeig: ( -,4568-3 -,36-5 )( -,847 - ) = (Z,375Z -7 ) Muliplikaiv ARMA-modell där produke besår av vå AR-modeller, de seare med period.
Resulae för modelle: AIC-värde: -588,64 Tes av auokorrelaioer för vi brus ill försk. Chi DF p-värde 6 35,44 6 <, 8,6 <, 8 64,39 8 <, 4 4,7 4 <, 3 58, 3 <, Skaig av paramerar paramerar skaig SD -värde p-värde MA,,375,879,7,78 AR,,4568,7 6,4 <, AR,,36,74 5,8 <, AR,,847,59 6, <, Korrelaio mella paramerar paramerar MA, AR, AR, AR, MA,,,78,6, AR,,78, -,3 -,78 AR,,6 -,3, -,9 AR,, -,78 -,9, Tes av residualer ill försk. Chi DF p-värde 6,5,835 7,6 8,47 8 5,88 4,35 4 9,4,4948 3 3,84 6,585
6 4 8 6 4 a/94 a/95 a/96 a/97 a/98 a/99 a/ a/ a/ a/3 a/4 a/5 a/6 a/7 Figur 4.5. Aale ubealade eodagar måadsvis, sukpeig, lägdklass > 73 dagar sam 4 predikerade måader med 95%-ig kofidesiervall. För de här lägdklasse dalar kurva seare ä för de idigare klassera. Progosperiode börar ågra observaioer efer oppe på kurva och progose visar på e relaiv sabb miskig av ubealade eodagar för de vå år låga progosperiode. Modelle som represeerar de saioära idsserie för lägdklass, rehabilierigspeig: ( +,3785 - -,343-3 -,55 - +,67 - ) = (Z,5Z - ) AIC-värde: -3,68 Tes av auokorrelaioer för vi brus ill försk. Chi DF p-värde 6 8,6 6 <, 98,88 <, 8 7,63 8 <, 4 89,6 4 <, 3 8,69 3 <,
Skaig av paramerar paramerar skaig SD -värde p-värde MA,,5,9 5,6 <, AR, -,3785,77-4,9 <, AR,,343,75 4,56 <, AR,3,55,85,8,6 AR,4 -,67,85 -,53,6 Korrelaio mella paramerar paramerar MA, AR, AR, AR,3 AR,4 MA,,,75 -,44,5,59 AR,,75,,85,38,374 AR, -,44,85, -,46,6 AR,3,5,38 -,46,,8 AR,4,59,374,6,8, Tes av residualer ill försk. Chi DF p-värde 6 6,59,3,4 7,876 8 6,6 3,35 4, 9,38 3 3,57 5,5443 4 35 3 5 5 5 a/94 a/95 a/96 a/97 a/98 a/99 a/ a/ a/ a/3 a/4 a/5 a/6 a/7 Figur 4.6. Aale ubealade eodagar måadsvis, rehabilierigspeig, lägdklass 9-89 dagar sam 4 predikerade måader med 95%-ig kofidesiervall.
Dea är de försa lägdklasse som aalyseras gällade rehabilierigspeige. Ursprugliga serie ova visar på e gaska sor ädrig av variase över id och precis ia progosperiode sköas e viss miskig av aale ubealade eodagar. Miskige håller i sig hela de predikerade periode. ARMA-modelle som represeerar de saioära idsserie för lägdklass, rehabilierigspeig: ( +,369 - -,37-3 +,99-6 ) = (Z,63Z - ) Resula: AIC-värde: -,6 Tes av auokorrelaioer för vi brus ill försk. Chi DF p-värde 6 68,66 6 <, 9,9 <, 8 8,98 8 <, 4 7,43 4 <, 3 5,5 3 <, Skaig av paramerar paramerar skaig SD -värde p-värde MA,,63,847 7,45 <, AR, -,369,745-4, <, AR,,37,77 4,8 <, AR,3 -,99,8-3,74,3 Korrelaio mella paramerar paramerar MA, AR, AR, AR,3 MA,,,9 -,6 -,83 AR,,9,,4 -,5 AR, -,6,4,,59 AR,3 -,83 -,5,59, Tes av residualer ill försk. Chi DF p-värde 6 5,53,63 8,69 8,3693 8 8,9 4,939 4 4,97,5 3 3,4 6,576
3. Aale ubealade eodagar måadsvis, sukpeig, lägdklass 9-79 dagar med 4 35 3 5 5 5 a/94 a/95 a/96 a/97 a/98 a/99 a/ a/ a/ a/3 a/4 a/5 a/6 a/7 Figur 4.7. Aale ubealade eodagar måadsvis, rehabilierigspeig, lägdklass 9-79 dagar sam 4 predikerade måader med 95%-ig kofidesiervall. Här ädras variase precis ia progosperiode ämför med observaioera dessföria. Dea ger e viss effek på hur variaioe i progosperiode blir. Grafe är ågorluda kosa uder progosperiode. ARMA-modelle som represeerar de saioära idsserie för lägdklass 3, rehabpeig: ( +,478 - -,3847-3 +,88 - ) = (Z,345Z - ) Resula: AIC-värde: -8,6 Tes av auokorrelaioer för vi brus ill försk. Chi DF p-värde 6 73,96 6 <,,34 <, 8 8,6 8 <, 4 7,4 4 <, 3 99,85 3 <,
Skaig av paramerar paramerar skaig SD -värde p-värde MA,,345,94 3,34, AR, -,478,766-5,45 <, AR,,3847,769 5, <, AR,3 -,88,85 -,56,7 Korrelaio mella paramerar paramerar MA, AR, AR, AR,3 MA,,,73 -,7 -,3 AR,,73,,89,5 AR, -,7,89,,8 AR,3 -,3,5,8, Tes av residualer ill försk. Chi DF p-värde 6 5,3,769 7,53 8,48 8 9,47 4,7995 4 9,58,4843 3 3,38 6,6 3 5 5 5 a/94 a/95 a/96 a/97 a/98 a/99 a/ a/ a/ a/3 a/4 a/5 a/6 a/7 Figur 4.8. Aale ubealade eodagar måadsvis, rehabilierigspeig, lägdklass 8-365 dagar sam 4 predikerade måader med 95%-ig kofidesiervall. De här progose är de eda som idikerar på e ökig av aale ubealda eodagar. Tidsserie har e viss möser med sigade värde ca 6 observaioer ia progosperiode.
5. Slusas Mi syfe med de här examesarbee har vari a a fram modeller och göra progoser för idsserier gällade sukförmåer. Daamaeriale som ag erhålli frå Försäkrigskassas huvudkoor besår av måadsvisa observaioer med aale av Försäkrigskassa ubealade eodagar uppdelade i lägdklasser för förmåera sukpeig och rehabilierigspeig över hela lade. A predikera framida värde för e idsserie är ofa e komplex uppgif då flera fakorer ka påverka resposserie. T.ex. ka ädrigar i ersäigsivåer påverka hur måga dagar som de bealas u ersäig för. I de här arbee har ag val a göra e uivaria aalys p.g.a arbees omfaig. I mosas ill mulivariaa meoder iar ma i de uivariaa på korrelaioer mella värde ebar iom resposserie som aalyseras. Via rasformaioer av ursprugsseriera ill saioära serier har ARMA-modeller agis fram och uifrå dessa ka predikioer av ursprugsseriera göras där misa kvadrameode aväds. Samliga serier gällade sukpeige har relaiv lika useede med e marka ökig av ubealade dagar i slue av iioale sam e miskig ågra år därefer. Alla dessa fem serier visar elig progose på e forsa miskig av aale ubealade eodagar. För rehabilierigspeige gäller a de vå försa idsseriera likar de för sukpeige vad gäller ökig och miskig av aale dagar. Däremo är variaioe ie lika omfaade. Progose för de försa serie idikerar på e miskig meda progose för de adra visar på relaiv kosaa värde. Egeskapera för de rede serie skiler sig frå de övriga. Här har aale ubealade dagar öka seda ågra år och progose visar på e forsa ökig.
Appedix Aa a { } är e idsserie med väevärde oll och E = κ ( i, ) och ( ) i dess medelkvadrafel: E < för vare. Vi iför fölade oerig för esegspredikor och ˆ, om =, = P, om =, 3,..., sam v = E( + P + ) där P + h = a + a +... + a där a,...,a är kosaer som fås då E( + h a a... a ) miimeras elig misa kvadrameode gällade predikio av framida värde i serie, sam h är e posiiv helal. Vi iför äve esegspredikiosfele U = ˆ (a) Via U = ( U,..., U )' sam = (,..., )' ka de sisa ekvaioe skrivas som U = A där A har forme Dea ger a A a = a M a, M a, a, 3 K A är icke-sigulär, med ivers a M C : K K L O
C θ = θ M θ, θ M θ, θ, 3 K Vekor med esegspredikorvärdea ˆ : = (, P,..., P )' ka uryckas som ˆ = U = C U = Θ ( ˆ ), (b) där M K K L O Θ θ = θ M θ, θ M θ, θ, 3 K M K K L O och saisfierar = C ˆ ) (c) ( Ekvaioe i (c) ova ka skrivas om som ˆ +, = = θ ( + ˆ + om =, ) om =,,..., (d) frå vilke esegspredikorvärdea ˆ, ˆ,... ka beräkas rekursiv efer a koefficieera θ i har besäms. Fölade algorim geererar dessa i+ ) koefficieer och dess medelkvadrafel v = E( i + : i v o = κ (,), sam k, k k ( k, k, = θ = v κ ( +, k + ) θ θ v ), k <,
= + + =., ), ( v v θ κ För kausala processer ka algorime avädas för e rasformerad process av { } : > = = =,, ) (,,...,, m B W m W φ σ σ där m=max(p,q), se Defiiio 8, kapiel. Med avädade av algorime ova för processe { } W fås: = < = + + = + = + + +, ), ˆ ( ˆ, ), ˆ ( ˆ m W W W m W W W q θ θ där koefficieera θ och medelkvadrafele ) ˆ ( + + = W W E r fås rekursiv frå algorime.
Refereser C. Chafield: The aalysis of ime series: A iroducio Rober H. Shumway och David S. Soffer: Time series aalysis ad is applicaios Jiaqig Fa och Qiwei Yao: Noliear imeseries; oparameric ad parameric mehods William W. S. Wei: Time series aalysis; uivariae ad mulivariae mehods Peer J. Brockwell och Richard A. Davis: Iroducio o imeseries ad forecasig www.forsakrigskassa.se