XVI. Magnetiska fa lt

XV. Magnetiska fa lt Dessa a ndo, kallas fo magnetiska ole, sydol och nodol. odol, kallas den magnetiska olen, som sva nge sig mot no (nodso kande ol) i jodens magnetfa lt. En magnetisk diol kallas en magnet, som ha tva ole: nodol och sydol. nga monoole ha na gonsin a ta ffats. fall man fo tva stavmagnete na a vaanda, ma ke man att: lika ole eellea vaanda och olika ole attahea vaanda FM FM FM FM Fo ljande exemel visa en olikhet till elektiska fa lt: fall en stavmagnet byts av, bli ba da delana en ny stavmagnet med syd- och nod-ol. JJ J Elektomagnetism, Kai odlund 2009 1 XV.1. Magnetism Livet a joden skyddas fa n laddade ymdatikla av jodens magnetfa ltet, vilket visuellt kan obseveas i fenomenet nosken. [htt://en.wikiedia.og/wiki/file:magnetoshee_endition.jg Man ma kte tidigt, att sa tte man en bit av a mnet magnetit elle en stavmagnet att flyta a en ta bit i vatten, sa komme magneten att otea tills den a i syd-nod iktning. a tte man ja nsa n a a en yta na a en magnet, komme sa nen att samla sig till vissa oma den sa att de komme att eka mot magnetens tva a ndo. JJ J JJ J 3 Ett magnetiskt mateial a alltsa analog till elfa ltet fa n en emanent olaisead isolato, som ocksa skulle beha lla sin olaisation i ba de delana om den tudelas. Joden a en sto magnet, med den magnetiska sydolen na a den geogafiska nodolen och vice vesa. Det magnetiska fa ltet fa n joden anta man att ukomme fa n metalliska magmasto mma inne i joden. Unde tide nas lo ha magmasto mmen vait olika, vilket ocksa betyde att det magnetiska fa ltet fo joden ha vaieat, tom. vait helt omva nt. edan se vi det magnetiska fa ltet unt en sto mslinga, vilket a minne om magnetfa ltet unt joden. Geogafisk nodol Magnetisk nodol Vinkeln mellan de magnetiska fa ltlinjena och jodytans hoisontella lan kallas fo inklination. ufo tiden anva nds magnetiska kafte i ma nga olika elektiska aaate. Elektomagnetism, Kai odlund 2009 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 Magnetiska fenomen uta cktes la nge sedan och man iaktog att emanenta magnete attahea elle eellea anda magnete. 2 Magnetfa ltets inklination vid ekvaton a 0 och vid olena 90. Man anta att vissa dju, exemelvis flyttfa gla kan ka nna ba de magnetfa ltets inklination och magnetfa ltets stolek. Pa detta sa tt a det mo jligt att besta mma ba de nod-sydlig och o st-va stlig iktning! Elektomagnetism, Kai odlund 2009 JJ J 4

XV.2. Magnetiska fältstykan ätte man en stavmagnet att flyta å en tädbit i vatten, komme magneten att otea tills den ä i syd-nod iktning. Runt magneten finns ett magnetfält som joden åstadkomme, som vide komassnålen. odolen av magneten känne en kaft längs med magnetfältet och sydolen mot magnetfältet. Eftesom baa en vidkaft och ingen hoisontell öelse ha obseveats, ä kaftena å syd- och nod-ol lika stoa. F H F Den magnetiska kaftens styka unt ledning ä också ootioneligt till stömmens stolek i ledningen: Ökas ledningens stöm till det dubbla (2), motsvaas detta av att man sätte två ledninga med vadea stömmen bedvid vaanda, och den magnetiska kaften bö vaa samma i båda situationena. Vi ha alltså fått att den magnetiska kaften å en magnetisk ol ha följande fom dä konstanten k måste ännu bestämmas. F M = k R Fö att göa detta, titta vi å hu mycket abete elle enegi gå åt att föa en magnetisk ol unt elslingan ett vav. Till detta gå enegin W = C F dl = k 2πR = 2πk R Konstanten k:s väde ge hu stak den magnetiska olen ä, så vi definiea nu att den magnetiska olstykan fö en ol i en magnet ä abetet att föa olen unt en stömslinga divideat med stömmen = W (1) Elektomagnetism, Kai odlund 2009 5 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 7 Man mäkte exeimentellt att king en ak ledning med stömmen, ustå ett magnetiskt fält. Man kan undesöka detta magnetfälts egenskae genom att sätta en stavmagnet å en oteba skiva unt ledningen, se bilden. tavmagnetenas ole känne en magnetisk kaft i motsatt iktning. Dessa kafte gö att skivan komme att otea i den iktning som ha det stöe kaftmomentet. Kaftmomentet motsols ä F R och medsols F R. Det totala kaftmomentet å systemet ä summan av dessa M tot = F R F R Hu nogganna mätninga man än gö, ha man inte fått systemet att otea. Detta betyde att de två kaftmomentena ä lika F R = F R F R R F Vi se då genast att konstanten k = /2π. Enheten fö olstykan ä: [] = J/A Wb (webe). Kaften å en ol king ledningen bli slutligen F M = 2π R Den magnetiska fältstykan H definieas nu som den magnetiska kaften divideat med magnetiska olstykan 1 H = F M [H] = Wb = A m Den magnetiska fältstykan å avståndet R fån en stömbäande ledning med stömmen ä (2) (3) F F = R R H = 2πR (4) Detta tyde å att den magnetiska kaften unt en lång stömbäande ledning ä invest ootionel till avståndet R fån ledningen: F = 1 R. 1 Den elektiska fältstykan definieades liknande som den elektiska kaften divideat med laddningen: E = F EQ Elektomagnetism, Kai odlund 2009 6 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 8

De magnetiska fältlinjena unt ledningen bilda slutna cikla. Detta avbildas vanligen å två olika sätt se a) och b), dä stömmen ä in i aet. fallet a) se vi att stoleken å magnetfältet halveas ifall avståndet födubblas. fallet b) ita man de magnetiska fältlinjena tätae dä det magnetiska fältet ä stöe. a) b) Elektomagnetism, Kai odlund 2009 9 dl tömdensiteten J = /Aea = /(πr 2 ) ä konstant. n i cylinden ä totala stömmen beoende av aea som stömmen gå igenom. Utanfö cylinden ä totala stömmen hela tiden. Vi ha alltså två möjlighete: a) R och b) > R. a) R nne i ledaen ge stömmen uhov till magnetfält i cikla som itats i figuen. Detta magnetfält ä alltid aallellt med dl så att unktodukten H dl = Hdl cos(θ) = Hdl. å vi få att integalen av magnetfältet unt den slutna cikeln bli H dl = H dl = H 2π (6) C Denna integal måste vaa samma som stömmen genom den slutna cikelns aea H 2π = Jπ 2 = = πr 2π2 R 22 vilket ge stoleken å den magnetiska fältstykan som en funktion av avståndet fån cylindens mitt då R H = 2πR 2 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 11 H R XV.3. Amees Lag Abetet elle enegin som gå åt att föa en magnetisk ol unt en stömbäande ledning ett vav bestämdes vaa W = F dl = 2πk = C Detta abete ä obeoende av avståndet till ledningen, vilket fick Andé Maie Amée att föeslå att abetet att föa en magnetisk ol unt en stömbäande ledning ett vav ä obeoende av vägen, så länge man hamna å samma ställe tillbaka. nsätte man i föegående ekvation att kaften ä lika med magnetiska olen gånge magnetiska fältstykan: F = H, få vi Amees lag C H dl = summa (5) Denna ekvation, som likna Gauss lag fö elektiska fält, säge att integalen av magnetfältet unt en sluten kets ä detsamma som totala stömmen genom ketsen. b) > R dl ntegalen bli samma som i fall a) Ekv. (??), men nu ä stömmen genom den slutna cikelns aea hela tiden, så att stoleken å magnetfältet som en funktion av avståndet fån cylindens mitt då > R bli H H = 2π bilden nedan ha den magnetiska fältstykan itats som en funktion av avståndet till ledningens mitt. Obsevea att vid avståndet = R ge a) och b) samma sva. H R Exemel: Vi ha en stömbäande cylindisk ledae med adien R i vilket gå en homogen stöm. Vad ä det magnetiska fältet som en funktion av avståndet fån cylindens mitt? R + Elektomagnetism, Kai odlund 2009 10 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 12

otea att om man ha två cylinda med ytteadie R 1 och R 2 inuti vaanda med stöm i motsatt iktning ±, komme utanfö den ytte kabeln > R 2 totala magnetfältet att vaa H = 2π + = 0! (7) 2π Detta ä incien bakom koaxialkabla! inci stö de inte omgivningen alls med magnetfält. Exemel: Beäkna den magnetiska fältstykan inne i en oändligt lång solenoid med stömmen = 1 A och med 5000 vav å 10 cm. H XV.4. Biot-avats lag En laddning i öelse skaa ett magnetiskt fält unt sig. Magnetiska fältstykan som laddningen q med den konstanta hastigheten v ge uhov till ä [ htt://en.wikiedia.og/wiki/coaxial_cable H = 1 qv ˆ (9) 4π 2 fall vi ha en ledae med många laddninga, kan man summea alla enskilda magnetfälten. Betakta en ledae med aean A och laddningsdensiteten ρ ( ρ = C/m 3 ). Laddningen i en längd dl i ledaen ä densiteten gånge volymen: dq = ρ A dl Bilden visa en del av solenoiden. Vi se att det magnetiska fältlinjena fån ledningana i solenoidens öve del (stömmen in i sidan) gå medsols, och i solenoidens nede del (stömmen ut fån sidan) motsols. Detta ge att fältlinjena föstäks inne i solenoiden och ta ut vaanda långt utanfö solenoiden. Föst beäkna vi antalet vav i solenoiden e längdenhet: Elektomagnetism, Kai odlund 2009 13 Dessa ha difthastigheten v = dl/dt i ledaen. Detta kombineat med Ekv. (??) ge den magnetiska fältstykan fån en stäcka dl av ledaen: dh = 1 dqv ˆ = 1 dq(dl/dt) ˆ 4π 2 4π 2 = dq/dt dl ˆ (10) 4π 2 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 15 n l = Vi betakta sedan figuen nedan, dä en del av solenoiden ä itad 5000 vav 0.1 m = 5 104 vav/m (8) c d H b a ntegalen av magnetfältet unt den slutna fykanten bli H dl = HL ab cos(0) + H L bc cos(90) + 0 L cd + H L da cos(90) C Denna integal skall vaa lika med stömmen genom den slutna fykantens aea HL ab = L ab n l vilket ge stoleken å den magnetiska fältstykan inne i solenoiden H = n l = 5 10 4 m 1 1A = 5 10 4 A/m Obsevea att den magnetiska fältstykan ä konstant inne i solenoiden. dq/dt ä detsamma som stömmen i ledaen, vilket ge Biot avats lag dh = dl ˆ (11) 4π 2 Fö att få den totala magnetiska fältstykan en stömbäande ledae ge uhov till integeas föegående ekvation: Exemel: H = 4π Beäkna den magnetiska fältstykan vinkelät ut fån mitten av en L lång ledae å avståndet x fån ledaen. tömmen i ledaen ä uåt. dl ˆ 2 (12) L +y L/2 -L/2 x +x Elektomagnetism, Kai odlund 2009 14 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 16

Föst beäkna vi den infinitesimala fältstykan som dy oducea in i sidan. Biot avats lag ge dy y +y XV.5. Magnetiska flödesdensiteten Hittills ha vi beäknat den magnetiska fältstykan fån en stöm. u vill vi bestämma den magnetiska fältstykan fån en magnetisk ol. dh = dy ˆ = dy sin(θ) 4π 2 4π 2 x +x Analogt till det elektiska flödet 2, definiea vi att det totala magnetiska flödet fån en magnetisk ol med olstykan ä Fö att få den totala fältstykan (alla i samma iktning in i aet) integea vi öve hela ledaen φ M = [φ M ] = [] = Wb (13) H = θ1 dy sin(θ) 4π θ 1 2 Fö att undelätta integationen, gö vi vaiabelbytet dy dϕ. Vi måste alltså utycka dy, sin(θ) och som funktion av ϕ. Fån bilden se vi att: sin(θ) = sin(π-θ) = cos(ϕ) och att = x/ cos(ϕ). Vidae ge bilden: tan(ϕ) = y y = x sin(ϕ) x cos(ϕ) dy ( ) cos(ϕ) dϕ = x 1 sin(ϕ) sin(ϕ) + cos(ϕ) cos 2 (ϕ) Elektomagnetism, Kai odlund 2009 17 Detta ä alltså det totala antalet magnetiska flödeslinje som utgå fån en magnetisk nodol elle gå in i en magnetisk sydol. Titta vi å hu stot magnetiskt flöde φ M gå genom en aeaenhet A, få vi vektostoheten kallad magnetiska flödesdensiteten, magnetisk induktion elle baa magnetfältet [ B = lim A 0 ] φ M ˆn [B] = Wb/m 2 = T (tesla) (14) A dä iktingen ä vinkelät mot ytan A. ˆn ä en enhetsvekto vinkelät mot ytan och i iktning av de magnetiska fältlinjena. 2 Det totala elektiska flödet fån en unktladdning Q definieas vaa samma som laddningens stolek: φe = Q. Elektomagnetism, Kai odlund 2009 19 = x dy = x dϕ cos 2 (ϕ) nsättning av dessa ge den enkla integalen ( ) cos 2 (ϕ) cos 2 (ϕ) + sin2 (ϕ) = cos 2 (ϕ) H = ϕ x dϕ cos 2 (ϕ) cos(ϕ) = 4π ϕ cos 2 (ϕ)x 2 4πx = = ϕ 4πx ϕ 2πx sin(ϕ ) = x cos 2 (ϕ) ϕ ϕ sin(ϕ) = 4πx [sin(ϕ ) sin( ϕ )] y 2πx x2 + y 2 cos(ϕ)dϕ y fall ledaen ä mycket lång (L och y >> x), näma sig 1, vilket ge stoleken fö x 2 +y2 magnetfältet som en oändligt lång ledae oducea i en unkt å det vinkeläta avståndet x fån ledaen H = 2πx vilket ä givetvis samma sva som Amees lag gav. följande tabell se vi någa aoximativa väden fö den magnetiska flödesdensiteten i olika system. ystem Magnetfält [T] Vid ytan av en atomkäna 10 12 tösta i laboatoiet 10 3 Vid solytan 10 2 Vid jodytan 5 10 5 Radiovågo 10 9 Människokoen 10 10 ett skyddat antimagnetist um 10 14 Fån magnetiska flödesdensiteten få vi den magnetiska fältstykan fån följande elation H = B µ dä emeabiliteten µ ä beoende av mediet genom vilket det magnetiska flödet gå genom. Pemeabiliteten fö vakuum ä µ 0 = 4π10 7 /A 2 e definition och den elative emittiviteten definieas som (15) µ = µ µ 0 (16) Elektomagnetism, Kai odlund 2009 18 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 20

och den magnetiska susektibiliteten χ m = µ 1 = µ µ 0 µ 0 (17) Hä ä någa exemelväden (källa: Reitz-Milfod-Chistie s. 197). otea att också tecknet kan vaiea! Exemel: ystem χ m 10 5 Aluminium 2.1 Vismut Diamant -2.2 GdCl 3-603 Guld -3.5 ilve -2.4 Koa -0.98 Wolfam 7.6 CO 2 -gas -0.019 Kväve-gas -0.0067 ye-gas 1.935 Fö feomagnetiska mateial kan man inte definiea en entydig susketibilitet Beäkna magnetiska fältstykan fån en magnetisk ol med stykan som funktion av avståndet fån olen. Elektomagnetism, Kai odlund 2009 21 l +y y H(y) + - Den magnetiska flödesdensiteten å avståndet fån olena bli B = l +x 4π 2ˆ + + 4π 2ˆ dä ˆ + och ˆ ä enhetsvektoe fån den magnetiska nodol, esektive mot sydol. Vidae se vi fån figuen att: ˆ + = cos(θ)î + sin(θ)ĵ och att ˆ = cos(θ)î sin(θ)ĵ, vilket ge att den totala magnetiska flödesdensiteten ä baa i x-iktning (cos(θ) = l/) B = = 4π2[cos(θ)î + sin(θ)ĵ] + 4π2[cos(θ)î sin(θ)ĵ] 4π2[2 cos(θ)î] = 2l î 4π 2 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 23 M H() Om vi vidae definiea en vektostohet, det magnetiska diolmomentet fö en magnet som m = 2l ˆn (18) µ dä ˆn ä en enhetsvekto fån den magnetiska sydolen ( ) mot den magnetiska nodolen (+), få vi att den magnetiska fältstykan å en godtycklig unkt å y-axeln bli H = 2l m 4πµ3î = 4π 3î Det magnetiska flödet som utgå adiellt fån olen ä: φ M =. Den magnetiska flödesdensiteten å avståndet, fås då flödet divideas med aean av sfäen med adien fån olen B = φ M A = φ M 4π ˆ = 2 4π ˆ 2 Den magnetiska fältstykan ä slutligen den magnetiska flödes-densiteten divideat med mediets emeabilitet: Exemel: H = 4πµ 2 ˆ En stavmagnet med olena å avståndet 2l fån vaanda ligge vågät å x-axeln, med stavmagnetens centum i oigo, se bild. Beäkna den magnetiska fältstykan å en godtycklig unkt å y-axeln. Elektomagnetism, Kai odlund 2009 22 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 24

XV.6. Magnetisk kaft å en stömbäande ledae B Vi skall nu bestämma kaften å en stömbäande ledae i ett magnetiskt fält. Bilden nedan visa en stömbäande ledae med längdelementet l å avståndet fån en magnetisk nodol med olstykan. l l Exemel: + Figuen avbilda en halvcikelfomig ledae med adien R, och en ak del som ha längden L i ett magnetfält B in i aet. Beäkna kaften å ledaen då det gå en stöm i den. + Fån kaitlet med Biot avats lag, såg vi att ett stömbäande längdelement l ge uhov till en magnetisk fältstyka H = l ˆ 4π 2 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 25 +y F F y Fy Fx dl Fx R dl F L +x Vi beäkna föst kaften å halvcikeln. figuen, ha vi itat in två kota dela dl av halvcikeln, Elektomagnetism, Kai odlund 2009 27 F B detta fält känne magnetiska olen kaften F = H Enligt ewtons tedje lag, känne längdelementet l en lika sto kaft i motsatt iktning F = H = l ˆ 4π 2 Riktningen å denna kaft ä akt ut fån aet. Vi flytta nu oigo till den magnetiska olen och byte iktning å vekton :. Kaftelementet å längdelementet l bli nu F = ( ) l ˆ = l 4π 2 4π ˆ 2 å vilka kaften df = dl B veka. Kaftena i x-iktning ta ut vaanda och baa kaften i y-iktning kvastå. Vinkeln mellan x-axeln och kaften F ges av vinkeln θ som gå fån 0 till π. Kaften i y-iktning å dl bli då df y = F sin(θ) = dl B sin(θ) = Rdθ B sin(θ) (20) dä längden dl = Rdθ. lutligen få vi den totala kaften som integalen F y = RB π 0 sin(θ) dθ = 2RB (21) Kaften å den aka delen i y-iktning ä: F y = LB. Den totala kaften, som ä i y-iktningen, få vi som summan av dessa: Vi se att 2R + L ä längden av ledaen i x-iktningen! F = B(2R + L) (22) dä temen i aentesen ä den magnetiska flödesdensiteten B fån en magnetisk ol. lutligen kan vi skiva kaften å ett stömbäande längdelement l i ett magnetfält B som F = l B (19) Elektomagnetism, Kai odlund 2009 26 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 28

XV.7. tömkets i ett magnetfält Följande ekvatione ge vidmomentet å en kets som ä godtyckligt oienteat i ett magnetfält. Fö att föstå hu en elektisk moto fungea, skall vi betakta kaften och vidmomentet å en stömkets i ett magnetfält. figuen se vi en stömkets i ett konstant magnetfält i x-axelns iktning. +y l 2 x l 1 y B Figuen visa en kets med aean A i ett magnetfält. Vi definiea att ˆn ä en enhetsvekto som ä vinkelät till aean fö ketsen. fall vi ha en vinkel θ mellan ˆn och magnetfältet, bli vidmomentet å ketsen T = A B sin(θ) T = Aˆn B (24) Vi definiea att det magnetiska diolmomentet fö en sluten kets i ett lan ä A n B +z tömmen gå motsols, och vi betakta kaften å ett litet längdelement l F = l B toleken av kaften å l 1 få vi då som (sin(θ) = y l ) +x F 1 = l 1 B sin(θ) = yb dä θ ä vinkeln mellan l och x-axeln. Kaften å l 2 bli samma. e vi å bilden uifån, se vi att vidmomenten fö l 1 och l 2 ä åt samma håll. vilket slutligen ge vidmomentet å ketsen som µ = Aˆn (25) T = µ B (26) Vidmomentet i en sluten kets ä stöst nä µ ä vinkelät mot magnetfältet, och noll då de ä aallella. å ifall det ä möjligt, komme ketsen att fösöka vida sig så att det magnetiska diolmomentet eka i iktning av magnetfältet. Elektomagnetism, Kai odlund 2009 29 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 31 Totala vidmomentet fö det lilla segmentet bli då +z F 2 x/2 F 1 +x Den otentiella enegin fö ett diolmoment i ett magnetfält som en funktion av vinkeln mellan diolmomentet och magnetfältet ä U(θ) = T dθ = µ B sin(θ)dθ = µ B cos(θ) = µ B (27) T = B y x 2 + B yx 2 = B y x U( B Fö hela ketsen få vi vidmomentet genom att summea alla segmenten T = B n y x i = BA (23) i=1 dä A ä aean fö ketsen. Detta ä baa det momentana vidmomentet då ketsen ä aallellt med magnetfältet. B Detta innebä nu att systemet ha ett minimi en viss iktning, så baa med dessa ekvatione åstadkomme man inte en elmoto, fö systemet skulle baa söka sig till sitt jämviktsläge och stanna dä. Fö att åstadkomma en moto med en konstant stöm måste man byta å magnetsfältets iktning jämföt med. Detta kan enklast åstadkommas med att ha en diskontinuelig del som byte iktningen å stömmen: Elektomagnetism, Kai odlund 2009 30 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 32

XV.8.1. Paamagnetiska mateial Paamagnetiska mateial ha ett stot antal små emanenta magnetiska diole, vilka häö sig fån elektonöelsen och elektonenas ine diolmoment. Dessa diole ä nomalt oienteade åt vilket håll som helst (.g.a. vämeöelsen). ett magnetfält oientea sig dessa längs med det ytte magnetfältet (lägsta otentialla enegin) och magnetfältet inne i mateialet kan föstäkas mäkbat. [Wikiedia: htt://en.wikiedia.og/wiki/bushed_dc_electic_moto ä iktningen av fältet byts, ske en mycket snabb föänding i fältet lokalt. Detta lede ofta till gnisto, och denna ty av elmoto kallas däfö ofta å finska kiinäkone (fast officiellae namnet ä tasavitamoottoi ) B = 0 B > 0 Magnetiska fältet inne i aamagnetiska mateial kan skivas som en summa av det ytte magnetfältet och magnetfältet som induceas av de magnetiska diolena B inne = B ytte + B magn.diolena Det induceade ine magnetfältet ä ootioneligt till det ytte fältets stolek B magn.diolena = χ m B ytte (28) Elektomagnetism, Kai odlund 2009 33 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 35 XV.8. Magnetiska mateial dä χ m ä tyiskt 10 4-10 5 fö aamagnetiska mateial. Vi få slutligen magnetfältet inne i mateialet: En magnet och en stömslinga känne en likadan kaft i ett magnetfält. Man kan inte uskilja vilkendea det ä. Vanligen indela man mateialen i te olika klasse, beoende å hu de eagea å ett ytte magnetfält. B inne = B ytte + χ m B ytte = (1 + χ m )B ytte (29) Elektomagnetism, Kai odlund 2009 34 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 36

XV.8.2. Diamagnetiska mateial många atome ä elektonkonfiguationen sådan att inga emanenta magnetiska diole bildas. Det ytte fältet kan ändå inducea stömma i mateialet, så att det induceade diolmomentena eka mot magnetfältet. Magnetfältet fösvagas däfö i diamagnetiska mateial: χ m < 0. B = 0 B > 0 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 37 BMagnetiseing Residual b a magnetiseing d c B ytte a b c d 0 Bytte Bdiol bilden se vi en hysteesiskuva, dä magnetiseingen fö det feomagnetiska mateialet öka, nä det ytte fältet öka (stäckade linjen). Det ytte fältet oientea de magnetiska diolena inne i mateialet. nat ha alla diolena oienteat sig i iktning av det ytte fältet, och fastän ytte fältet öka, öka inte magnetiseingen mea (satuation) unkt a. Vi följe sedan hysteesiskuvan längs med ilana. u avta det ytte fältet, och magnetiseingen avta något. Vid unkt b ä det ytte fältet noll, men magnetiseingen hålle i sig (emanent magnet). Efte detta svängs nu det ytte magnetfältet i motsatt iktning, och den böja småningom svänga de mikoskoiska diolena med sig. Vid unkt c ha det ytte fältet svängt ungefä hälften med sig, och det totala magnetiseingen ä noll. Elektomagnetism, Kai odlund 2009 39 XV.8.3. Feomagnetiska mateial Då feomagnetiska mateial sätts i ett magnetfält, föbli dessa magnete fastän det ytte fältet tas bot (Exemelvis: jän nickel cobolt.. ). Denna effekt komme fån det att bedvidliggande emanenta magnetiska diole åveka vaanda så att den ine enegin fö mateialet ä läge ifall diolmomentena ä aallella. Det totala magnetfältet kan öka damatiskt B feomagn 10 3 B ytte Vid d ha sedan magnetfältet svängt alla diolena åte åt samma håll (liknande som a). B = 0 B > 0 fall mateialets temeatu öka mycket, komme vämeöelsen att göa att diolmomentena inte mea ä aallella, och feomagneten ha blivit aamagnetisk. Likadant kan aamagnete uvisa feomagnetiska egenskae då de nedkyls. Den kitiska temeatuen kallas fö Cuie-temeatuen fö detta mateial. Då det ytte magnetfältet tas bot, föbli det feomagnetiska mateialet magnetiskt. Fö att minska å det feomagnetiska magnetfältet, måste man ha ett ytte fält i motsatt iktning. Detta kallas fö hysteesis Elektomagnetism, Kai odlund 2009 38 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 40

XV.9. Kaften å en laddning i ett magnetfält acceleeas av en otentialskillnad V och få kinetiska enegin Vi fick tidigae att kaften å ett stömbäande längdelement l i ett magnetfält B ä F = l B E k = 1 2 mv2 = V q (31) hastigheten som atikeln ha innan den komme in i ett vinkelät magnetiskt fält ä De som egentligen känne den magnetiska kaften ä de mikoskoiska laddningana i ledningen som ö å sig med hastigheten v = l/ t. Vi få då att stömmen gånge längdelementet bli: l = Q/ t v t = Q v. fall denna laddning Q ä baa en unktladdning q få vi att den magnetiska kaften å denna unktladdning ä: v = 2qV m (32) F = qv B (30) dä ikningen fö kaften fås fån högehandsegeln Det magnetiska fältet ä i iktning ut fån aet, så att den magnetiska kaften ä alltid mot cikelns mitt (centietal kaft) fö vilken följande ekvation gälle F M = q v B = m v2 R Elektomagnetism, Kai odlund 2009 41 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 43 Exemel: En elekton ha hastigheten v = (7 î + 3 ĵ + 2 ˆk) m/s i ett magnetfält B = (2.0 ˆk) T. Vad ä kaften å elektonen? Kaften å elektonen ä F = qv B dä kyssodukten bli fån vilken vi få adien fö atikeln R = mv qb (33) v B = (v y B z v z B y )î + (v zb x v x B z )ĵ + (v xb y v y B x )ˆk vilket ge vid insättning av väden = (v y B z )î + ( v xb z )ĵ F 1.6 10 19 C(3 2 î 7 2 ĵ) m s s C m ( 9.6 î + 22.4 ĵ) 10 19 Detta innebä alltså att beoende å massan komme atiklana ut å olika ställen fån sektometen. Alltså kan den användas fö att välja ut atikla av önskad massa, elle analysea massdistibutionen av vilka som helst laddade atikla. Massektometa används mycket vittsett både inom fysiken och kemin Radien kan också skivas med hjäl av den acceleeande otentialen R = mv qb = m qb 2qV m = 1 B 2mV q föa exemlet beäknade vi kaften å en elekton i ett magnetfält. Denna kaft ä alltid vinkelät mot hastigheten, vilket betyde att kaften också ä vinkelät mot en liten stäcka ds som elektonen gå och totala abetet (dw = F ds = 0) ä noll. Detta betyde att stoleken å hastigheten v aldig ändas, endast elektonens iktning: En laddad atikel ö sig hela tiden med konstant fat i ett magnetfält. Detta kan användas i en s.k. massektomete, dä en laddad atikel q med massan m föst Elektomagnetism, Kai odlund 2009 42 en cykloton acceleeas laddade atikla med elfält i en cikelfomad bana. Tiden (eioden) fö ett vav fö atikeln bli T c = 2πR v = 2πm qb Elektomagnetism, Kai odlund 2009 44 (34)

vilken ä obeoende av hastigheten elle adien! Vinkelfekvensen fö cikelöelsen bli ω c = 2π = qb T c m (35) Eftesom laddningen q fökotas bot, fungea denna hastighetsfilte fö både ositiva och negativa laddninga. Patikelns hastighet och dämed också kinetiska enegin kan ökas ifall en eiodisk sänningskälla som oskillea med samma vinkelfekvens, se bilden nedan V (t) = V sin(ω c t) Då atikelns hastighet öka och näma sig ljusets, öka också atikelns massa. Röelsemängden bli = mv/ 1 v2 c2, vilket betyde att både magnetfältet och vinkelfekvensen måste modifieas så att cikelbano fås. Dessa aaate kallas fö synkotone Elektomagnetism, Kai odlund 2009 45 Elektomagnetism, Kai odlund 2009 47 ä en laddad atikel ö sig samtidigt i ett elfält och magnetfält, känne den två kafte. Den totala kaften, kallad Loentz-kaften ä F = qe + qv B (36) Detta kan användas som hastighetsfilte ifall hastigheten fö atikeln ä vinkelät till både magnet och elfältet + E + B + + + - - - - - Fö att atikeln skall öa sig akt, måste Loentz kaften vaa noll vilket ge hastigheten som atikeln måste ha qe + qv B = 0 v = E B (37) Elektomagnetism, Kai odlund 2009 46