Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå stela kroppars rörelse så måste vi kunna beskriva och förstå rotation TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Rörelse i rummet: Cylindriska koordinater ŷ Repetition ˆR = cosθ ˆx+ sinθŷ R ˆR ẑ θ ˆR ˆx R r = RˆR +zẑ +dzẑ radiell och tangentiell komponent radien är konstant vid cirkelrörelseþ R= & R= && 0 +v z ẑ +&zẑ +a z ẑ +&&zẑ TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Vektorbeskrivning av rotation Repetition Vektornotation används då man vill ange runt vilken axel vinkeländringen (rotationen) sker. Vinkellägesvektorn För rotation i xy-planet pekar rotationsaxeln alltid i z-led. Då gäller: De kinematiska sambanden för konstant vinkelacceleration blir i vektor notation: TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Repetition Kraftmomentet τ med avseende på punkten O defnieras: τ τ = r F sinφ τ = r F {RK12.48} där r är läget för kraftens verkningspunkt relativt O. r F vinkelrät mot och enligt högerhandsregeln {RK12.20} Två tolkningar: F φ F F O r O r O r TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Kinetik: Rörelsemängdsmoment för en partikel Rörelsemängdsmomentet för en partikel: L med avseende på punkten O definieras L = r p = r mv ( ) där r är läget för partikeln relativt O. {RK12.49} L = r m v sinφ β vinkelrät mot r och v enligt högerhandsregeln TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Kinetik: Rörelsemängdsmoment för en partikel L = r p = r mv ( ) Rörelsemängdsmomentets ändring (m.a.p. tiden): dl dt = dr dt p+ r dp dt = r F net =0 Derivata av produkt "Momentlagen": Kraftmoment ger ändring av rörelsemängdsmoment! Speciellt för cirkelrörelse: L = r p = r mv ( ) = mr 2 ωẑ Þ dl dt = dω mr2 dt TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Kinetik: Stelkroppsrotation kring fix axel L tot Betrakta nu det totala rörelsemängdsmomentetet för i stycken partiklar i ett plan, med massor m i som roterar på konstanta avstånd kring en fix axel O. Vi väljer att uttrycka detta med planpolära koordinater. r i = R i ˆR Om partiklarna tillhör samma stela kropp så roterar de med samma vinkelhastighet kring axeln r 3 v3,, m 3 O r 2, v 2,m 2 r 1 v1,, m 1 Det totala rörelsemängdsmomentet för partikelsystemet L tot = ål i i {RK 12.55} TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
z (jfr masscentrum!) Detta resultat gäller även för stela kroppar utsträckta i z-led, men bara i vissa specialfall, t.ex. rotation kring en symmetriaxel! R i är då avståndet till rotationsaxeln. R 1 R 2 TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Gäller för alla partikelsystem Gäller då och I är konstant - stela kroppar TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Följande gäller för stela kroppar roterande runt en symmetriaxel:
(Anm.: r F = r F Har förutsatt att krafterna är centralkrafter, vilket oftast är sant!) A BA B AB F BA r A O F AB r B
= 0 Gällande för alla partikelsystem (inklusive stela kroppar): TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Beräkning av tröghetsmoment (diskret massfördelning) Beräkna tröghetsmomentet I för N identiska partiklar placerade i en ring med radien R, med avseende på en rotationsaxel genom ringens centrum. Den totala massan för partikelsystemet betecknas M.
Beräkning av tröghetsmoment (kontinuerlig massfördelning) Beräkna tröghetsmomentet I för en tunn homogen stav med längden L och massan M a) för rotation kring masscentrum, och b) för rotation kring änden.
Bevis: Se RK s. 325!
Fallande stav med stöd En tunn stav med längden L hålls liggande på ett bord med sitt masscentrum sträckan l utanför bordskanten. När staven släpps faller den under rotation kring bordskanten. Bestäm stavens vinkelacceleration precis när den släpps. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Hur kan en katt som släpps upp-och-ner landa på fötterna? https://en.wikipedia.org/wiki/falling_cat_problem TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Kinetisk energi vid rotationsrörelse (stelkropp) Beskriv den kinetiska energin för den roterande kroppen som summan av alla ingående partiklars kinetiska energi.
Kinetisk energi vid rotationsrörelse Translation av rotationsaxel Fallande skiva En tunn, homogen, kvadratisk skiva med massa M och sida a faller från sitt uppstående jämviktsläge. Bestäm skivans vinkelfart med avseende på stödpunkten precis innan den slår i marken. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
{RK 12.36}
Vi är alltså intresserade av accelerationen av hjulets masscentrum. Vi kan bestämma denna acceleration om vi känner till nettokraften på hjulet med hjälp av Newtons andra lag för ett partikelsystem F net = Ma cm. Men vi kan också bestämma accelerationen om vi känner till nettokraftmomentet τ net = Iα under förutsättningen att hjulet rullar utan att glida (enligt figurens koordinatsystem med positiva vinklar moturs). a cm = αrˆx O p R h β ŷ + α = αẑ ẑ ˆx a cm TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Första steget är att identifiera alla krafter som verkar på klotet. Vi har en tyngdkraft, normalkraft och friktionskraft enligt figuren. Vi vet att. Lösning 1: Bestäm nettokraftmomentet m.a.p kontaktpunkten p. Definiera vektorn r från p till O: r = Rŷ τ net = 0 F f + 0 F N + r F g τ net = RMgsin βẑ Þ α = τ net I F g = Mg = r F g sin βẑ ẑ ŷ + = RMgsin β ẑ där I är tröghetsmomentet m.a.p. rotation kring p. I Vi kan bestämma I för klotet med hjälp av tabellerat uttryck I cm (för rotation kring O) samt parallellaxelteoremet. Därmed kan vi bestämma vinkelaccelerationen och slutligen α = RMgsin β ẑ = 5g 5g sin βẑþα = I 7R 7R sin β a cm = αrˆx = 5g 7 sin β ˆx (konstant acceleration) ˆx F f F N p O F g β I = I cm + MR 2 = 2 5 MR2 + MR 2 a cm Þ I = 7 5 MR2 SVAR: a cm = 5g 7 sin β ˆx TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Punkten p är inte unik. Vi skulle kunna beräkna kraftmomentet m.a.p. vilken punkt som helst. ŷ + Lösning 2: Bestäm nettokraftmomentet m.a.p masscentrum O. Definiera vektorn r från O till p: r = Rŷ τ net = r F f + r F N + 0 F g = r F f ty r F f τ net = R F f = 0 ty r / /F N ẑ = r F f ẑ ẑ Eftersom vi inte känner till friktionskraften måste analysera nettokrafterna i x-led. F net,x = F f + F g sin β = F f + Mgsin β Samtidigt vet vi att accelerationen sker i x-led a cm = a cmˆx Þ F f = Mgsin β Ma cm Þ τ net = ( RMa cm RMgsin β)ẑ ˆx F f F N p O Þ F net,x = Ma cm F g β Þ α = τ net I I = I cm = 2 5 MR2 = RMa cm RMgsin β ẑ I ( ) Þ α = 5 a gsinβ cm ẑ 2R där I är tröghetsmomentet m.a.p. rotation kring O. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Lösning 2 forts α = 5 ( a gsin β cm ) ẑ 2R Klotet rullar utan att glida Þa cm = 5 ( a gsin β cm ) 2 Þ α = 5 ( a gsin β cm ) 2R Þ a cm = αrˆx Þ a cm = αr Lös ut accelerationen Þa cm = 5gsin β 7 a cm = a cmˆx = 5g 7 sin β ˆx (konstant acceleration) SVAR: a cm = 5g 7 sin β ˆx TFYA15 Fysikaliska modeller VT2018 Stelkroppsmekanik Fredrik Karlsson
Ett homogent cylinderformat hjul med massan m och radien r befinner sig på höjden H på en ramp vars lutning β kan varieras. En tröskel med höjden h håller hjulet i en stabil position vid små vinklar.